Тригонометрические уравнения на формулы приведения

Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\), \(\frac<3\pi><2>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac<3\pi><2>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi><2>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi><2>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi><2>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi><2>-a)=-. \)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

— если «точка привязки» \(\frac<\pi><2>\) (\(90^°\)) или \(\frac<3\pi><2>\) (\(270^°\))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» \(π\) (\(180^°\)) или \(2π\) (\(360^°\)) – функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\) или \(\frac<\pi><2>-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac<\pi><2>\) \((90^°)\) и \(\frac<3\pi><2>\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos⁡(\frac<3π><2>-a)=. \) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos⁡(\frac<3π><2>-a)=-\sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Углы \(<41>^°\) и \(<49>^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).

Теперь применим к синусу формулу приведения:

\(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

\(90^°\)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию.

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac <\pi>2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac <\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac <3\pi>2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac <3\pi>2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(\pi + \alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`

2. `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac <3\pi>2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)= — cos \alpha`

3. `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)`.

`cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <6\pi>2+\frac <\pi>2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac<\pi>2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.

Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)= — cos (\frac<\pi>2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac <\pi>2`, `\pi`, `\frac <3\pi>2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac <\pi>2` и `\frac <3\pi>2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Практические примеры использования формул приведения

Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:

• задачи на решение прямоугольного треугольника;
• преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
• стереометрические задачи.

Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.

Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac<\sqrt 3>3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac<\sqrt 3>2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac<\sqrt 3>2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac <9\pi>8` и `cos \frac <9\pi>8`; 2) `sin \frac <\pi>8` и `cos \frac <3\pi>10`.

Решение: 1)`sin \frac <9\pi>8=sin (\pi+\frac <\pi>8)=-sin \frac <\pi>8`

`cos \frac <9\pi>8=cos (\pi+\frac <\pi>8)=-cos \frac <\pi>8=-sin \frac <3\pi>8`

`-sin \frac <\pi>8> -sin \frac <3\pi>8`

2) `cos \frac <3\pi>10=cos (\frac <\pi>2-\frac <\pi>5)=sin \frac <\pi>5`

`sin \frac <\pi>8 Доказательство формул приведения

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac <\pi>2 + \alpha`: ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac <\pi>2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac <\pi>2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac <\pi>2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <\pi>2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2-\alpha)` соответственно.

А `\frac <3\pi>2 + \alpha` и `\frac <3\pi>2 — \alpha` как `\pi +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\pi +(\frac <\pi>2-\alpha)`.

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Формулы приведения. Список

Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π 2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии.

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

• Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Здесь z — любое целое число, а α — произвольный угол поворота.
• Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонстрируем это.

Возьмем угол α = 16 π 3 . Это угол можно записать так:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = — 2 π 3 + 2 π · 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π

В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

Возьмем тот же угол α = 16 π 3 и вычислим его тангенс

Пример 1. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ?

Представим угол α = 16 π 3 в виде α = π + π 3 + 2 π · 2

Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения

t g ( π + α + 2 π z ) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3

Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса

Теперь используем другое представление угла α = 16 π 3 .

Пример 2. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ? α = — 2 π 3 + 2 π · 3 t g 16 π 3 = t g — 2 π 3 + 2 π · 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Наконец, для третьего представления угла запишем

Пример 3. Использование формул приведения

α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α t g α = t g ( 3 π 2 — π 6 + 2 π ) = c t g π 6 = 3

Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

Пример 4. Использование формул приведения

Представим sin 197 ° через синус и косинус острого угла.

Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α = 197 ° в одном из видов

± α + 360 ° · z , 90 ° ± α + 360 ° · z , 180 ° ± α + 360 ° · z , 270 ° ± α + 360 ° · z . Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления:

197 ° = 180 ° + 17 ° 197 ° = 270 ° — 73 °

sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° ) sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° )

Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие

sin ( π + α + 2 πz ) = — sinα sin ( 3 π 2 — α + 2 πz ) = — cosα sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° + 360 ° · z ) = — sin 17 ° sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° + 360 ° · z ) = — cos 73 °

Мнемоническое правило

Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника — искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов.

2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

3. Для углов ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π 2 ± α + 2 πz и 3 π 2 ± α + 2 πz соответственно меняется на «кофункцию». Синус — на косинус. Тангенс — на котангенс.

Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила.

Пример 1. Использование мнемонического правила

Запишем формулы приведения для cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . α — улог первой четверти.

1. Так как по условию α — улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

2. Определим знаки функций cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . Угол π 2 — α + 2 πz также является углом первой четверти, а угол π — α + 2 πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.

cos π 2 — α + 2 πz = + t g π — α + 2 πz = —

3. Согласно третьему пункту для угла π 2 — α + 2 π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π — α + 2 πz остается прежним. Запишем:

cos π 2 — α + 2 πz = + sin α t g π — α + 2 πz = — t g α

А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.

Рассмотрим пример с конкретным углом α = 777 ° . Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

Пример 2. Использование мнемонического правила

1. Представим углол α = 777 ° в необходимом виде

777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2

2. Исходный угол — угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

3. sin 777 ° = sin ( 57 ° + 360 ° · 2 ) = sin 57 ° sin 777 ° = sin ( 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2 ) = cos 33 °

Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

Угол α должен быть острым!

Вычислим тангенс угла 5 π 3 . Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение t g 5 π 3 = — 3 , но мы применим мнемоническое правило.

Пример 3. Использование мнемонического правила

Представим угол α = 5 π 3 в необходимом виде и воспользуемся правилом

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = — c t g π 6 = — 3 t g 5 π 3 = t g 2 π — π 3 = — t g π 3 = — 3

Если же представить угол альфа в виде 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат применениея мнемонического правила будет неверным.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Неверный результат обусловлен тем, что угол 2 π 3 не явдяется острым.

Формулы приведения. Доказательство

Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π 2 и 3 π 2 . Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2 πz , так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса.

Приведем доказательство формул приведения для синусов и косинусов

sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = — sin α

Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A 1 x , y , а после поворота на угол π 2 + α — в точку A 2 . Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

Два прямоугольных треугольника O A 1 H 1 и O A 2 H 2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A 2 имеет координаты A 2 — y , x . Используя определения синуса и косинуса, запишем:

sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = — sin α

С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α — sin α = — c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = — sin α cos α = — t g α

Для доказательства формул приведения с аргументом π 2 — α его необходимо представить в виде π 2 + ( — α ) . Например:

cos π 2 — α = cos π 2 + ( — α ) = — sin ( — α ) = sin α

В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.