Тригонометрические уравнения на промежутке задания

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\,3\pi \right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac<9\pi >4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac<7\pi >3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac<5\pi >3.

Ответ

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac<5\pi >3, \frac<7\pi >3, \frac<9\pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right] ;

Решение

а) ОДЗ: \begin tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

\left[\!\!\begin 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end\right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi <12>+\frac<\pi n>2, n \in \mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right].

Ответ

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac<7\pi >2;\,\frac<9\pi >2\right].

Решение

а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:

(\cos x)_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt 9>4=\frac<1\pm3>4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac<2\pi >3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac<11\pi >3, x_2=4\pi , x_3 =\frac<13\pi >3.

Ответ

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac<11\pi >3, 4\pi , \frac<13\pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac<11+5ctg\left( \dfrac<3\pi >2-x\right) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac<3\pi >2\right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac<3\pi >2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что \frac<11+5tgx><1+tgx>= \frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+\frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac<6><1+tgx>. Отсюда \cos x =\frac<\dfrac65><1+tgx>, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac<3\sqrt 2>5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac<3\sqrt 2>5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac<3\sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что \left( \frac<3\sqrt 2>5\right) ^2=\frac<18> <25>значит \frac<3\sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда \frac\pi 4+0

Аналогично, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac<3\sqrt 2>5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac<3\sqrt 2>5\Bigg). При этом -2\pi

-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac<3\pi >2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac<7\pi >2.

Ответ

а) \frac\pi4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac<7\pi>4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

x=(-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.

Ответ

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac<3\pi ><2>; -\frac<\pi >2 \right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,

k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, \sin x \neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1<1+\cos 2x>=\frac 1<1+\cos (\pi +x)>, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac<3\pi >2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac<11>6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac<11> <12>\leqslant m \leqslant -\frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac<11><12>;-\frac5<12>\right] .

2) -\frac <3\pi>2 \leqslant -\frac<\pi >3+2\pi n \leqslant -\frac<\pi ><2>, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1<6>, -\frac7 <12>\leqslant n \leqslant -\frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 <12>; -\frac1 <12>\right].

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac<\pi >2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.

Ответ

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Разделы: Математика

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- ]. Ответ: .

2) sin x = , где хI [0;2?]. Ответ: ; .

3)cos 2x = —, где хI [0;]. Ответ:

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg – sin + cos + sin . Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?

в) arcsin + arcsin . Ответ: .

г) 5 arctg (-) – arccos (-). Ответ:– .

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- ].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х = + 2?k, где k R.

– Запишем это решение в виде совокупности:

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.