Тригонометрические уравнения неравенства и системы неравенства

Решение тригонометрических неравенств и систем

п.1. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:
a) $ctg\left(\frac<3\pi><2>+\frac x3\right)-\frac<1><\sqrt<3>>\leq 0$
По формуле приведения $ctg\left(\frac<3\pi><2>+\frac x3\right)=-tg\frac x3$
Получаем:
$-tg\frac x3-\frac<1><\sqrt<3>>\leq 0\Rightarrow tg\frac x3\geq \frac<1><\sqrt<3>>$
$arctg\frac<1><\sqrt<3>>+\pi k\leq\frac x3\lt\frac\pi2+\pi k$
$3\cdot\frac\pi6+3\pi k\leq x\lt\frac<3\pi><2>+3\pi k$
$\frac\pi2+3\pi k\leq x\lt\frac<3\pi><2>+3\pi k$

Ответ: $\left.\left[\frac\pi2+3\pi k;\ \frac<3\pi><2>+3\pi k\right.\right) $

б) $tg\left(2x+\frac\pi4\right)+1\geq 0$
$tg\left(2x+\frac\pi4\right)\geq -1$
$-\frac\pi4+\pi k\leq 2x+\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k$
$-\frac\pi2+\pi k\leq 2x\lt\frac\pi4+\pi k$
$-\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\leq x\lt\frac\pi8+\frac<\pi k><2>$
Ответ: $\left.\left[-\frac\pi4+\frac<\pi k><2>;\ \frac\pi8+\frac<\pi k><2>\right.\right) $

в) $3cos2x\leq 1$ \begin cos2x\leq\frac13\\ arccos\frac13+2\pi k\leq 2x\leq 2\pi-arccos\frac13+2\pi k\\ \frac12 arccos\frac13+\pi k\leq x\leq \pi-\frac12 arccos\frac13+\pi k \end Ответ: $\left[ \frac12 arccos\frac13+\pi k;\ \pi-\frac12 arccos\frac13+\pi k\right] $

г) $cos^2x-2cosx\gt 0$
$cosx(cosx-2)\gt 0$
$cosx-2\lt 0$ при любом $x$. Делим неравенство на отрицательную скобку, получаем:
$cosx\lt 0$
$\frac\pi2+2\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><2>+2\pi k$
Ответ: $\left(\frac\pi2+2\pi k;\ \frac<3\pi><2>+2\pi k\right) $

Пример 2*. Решите неравенства:

a) $\frac12\lt sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>$

Ответ: $$ \left.\left(\frac\pi6+2\pi k;\ \frac\pi4+2\pi k\right.\right]\cup \left.\left[\frac<3\pi><4>+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right.\right) $$б) $sin2x+\sqrt<3>cos2x\geq 1$
Вводим вспомогательный угол, умножаем на $\frac12$ \begin \frac12 sin2x+\frac<\sqrt<3>><2>cos2x\geq\frac12\\ sin\frac\pi6 sin2x+cos\frac\pi6 cos2x\geq\frac12\\ cos\left(2x-\frac\pi6\right)\geq\frac12\\ -\frac<\pi><3>+2\pi k\leq 2x-\frac\pi6\leq \frac\pi3+2\pi k\\ -\frac\pi6+2\pi k\leq 2x\leq \frac\pi2+2\pi k\\ -\frac<\pi><12>+\pi k\leq x \leq \frac\pi4+\pi k \end Ответ: $$ \left[-\frac<\pi><12>+\pi k;\ \frac\pi4+\pi k\right] $$

в) $tg^2x-\left(1+\sqrt<3>\right)tg x+\sqrt<3>\lt 0$
$tg^2x-tgx-\sqrt<3>tgx+\sqrt<3>\lt 0$
$tgx(tgx-1)-\sqrt<3>(tgx-1)\lt 0$
$(tgx-\sqrt<3>)(tgx-1)\lt 0$
$1\lt tgx\lt \sqrt<3>$
$arctg1+\pi k\lt x\lt arctg\sqrt<3>+\pi k$
$\frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac\pi6+\pi k$
Ответ: $\left(\frac\pi4+\pi k;\ \frac\pi6+\pi k\right)$

г) $\sqrt<5-2sinx>\geq 6sinx-1$
Замена: $t=sinx,\ -1\leq t\leq 1$
Методы решения иррациональных неравенств – см. §11 справочника для 9 класса. \begin \begin \sqrt<5-2t>\geq 6t-1\\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin \begin 6t-1\lt 0\\ 5-2t\geq 0 \end \\ \begin 6t-1\geq 0\\ 5-2t\geq (6t-1)^2 \end \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin \begin t\lt\frac16\\ t\leq\frac52 \end \\ \begin t\geq\frac16\\ 5-2t\geq 36t^2-12t+1 \end \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \left[ \begin t\lt\frac16 \\ \begin t\geq\frac16\\ 18t^2-5t-2\leq 0 \end \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin t\lt\frac16 \\ \begin t\geq\frac16\\ (9t+2)(2t-1)\leq 0 \end \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin t\lt\frac16 \\ \begin t\geq\frac16\\ -\frac29\leq t\leq \frac12 \end \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \left[ \begin t\lt\frac16 \\ \frac16\leq t\leq\frac12 \end \right. \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow \begin t\leq\frac12 \\ -1\leq t\leq 1 \end \Rightarrow -1\leq t\leq\frac12 \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ -1\leq sinx\leq\frac12 \Rightarrow sinx\leq\frac12\Rightarrow -\frac<7\pi><6>+2\pi k\leq x\leq \frac\pi6+2\pi k $$
Ответ: $\left[-\frac<7\pi><6>+2\pi k;\ \frac\pi6+2\pi k\right]$

Пример 3*. Решите системы:
a) \begin \begin sin^2x+sin^2x=sin^2 3x\\ cosx\lt-\frac12 \end \end Решаем уравнение: \begin sin^2 2x=sin^2 3x-sin^2x=(sin3x+sinx)(sin3x-sinx)\\ sin^22x=2sin2xcosx\cdot 2sinxcos2x=sin2x\cdot(2sinxcosx)\cdot 2cos2x\\ sin^22x=sin^22x\cdot 2cos2x\\ sin^22x(1-2cos2x)=0\\ \left[ \begin sin^22x=0\\ 1-2cos2x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \frac<1-cos4x><2>=0\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin cos4x=1\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 4x=2\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k> <2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Отмечаем полученные решения на числовой окружности, задаем дугу $cosx\lt-\frac12$, отбираем решения, попавшие на дугу.

Получаем три базовых точки $\pm\frac<5\pi><6>,\pi$.
С учетом полного периода 2πk записываем всё множество решений.

б) \begin \begin 2sin^2x-sinx+sin3x\lt 1\\ cosx\gt 0 \end \end Разность синусов: $sin⁡3x-sin⁡x=2sin⁡xcos⁡2x$
В первом неравенстве получаем: \begin 2sin^2x+2sinxcos2x\lt 1\\ 2sinxcos2x\lt 1-2sin^2x\\ 2sinxcos2x\lt cos2x\\ cos2x(2sinx-1)\lt 1\\ \left[ \begin \begin cos2x\gt 0\\ 2sinx-1\lt 0 \end \\ \begin cos2x\lt 0\\ 2sinx-1\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin -\frac\pi2+2\pi k\lt 2x\lt\frac\pi2+2\pi k\\ sinx\lt\frac12 \end \\ \begin \frac\pi2+2\pi k\lt 2x\lt\frac<3\pi><2>+2\pi k\\ sinx\gt\frac12 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin -\frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\pi k\\ sinx\lt\frac12 \end \\ \begin \frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\\ sinx\gt\frac12 \end \end \right. \end

$$ \begin \frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac<\pi><4>+\pi k\\ sinx\lt\frac12 \end $$

$$ \left(-\frac\pi4;\ \frac\pi6\right)\cup \left(\frac<5\pi><6>;\ \frac<5\pi><4>\right) $$ С полным периодом $2\pi k$

$$ \begin \frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\\ sinx\gt\frac12 \end $$

$$ \left(\frac\pi4;\ \frac<3\pi><4>\right) $$ С полным периодом $2\pi k$

Учитываем второе неравенство, $cosx\gt 0$. Отбираем только решения справа от оси $Y$.
Получаем: $\left(-\frac\pi4;\frac\pi6\right)\cup\left(\frac\pi4;\frac\pi2\right)$
Ответ: $\left(-\frac\pi4+2\pi k;\ \frac\pi6+2\pi k\right)\cup \left(\frac\pi4+2\pi k;\ \frac\pi2+2\pi k\right)$

Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений, и неравенств

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, И НЕРАВЕНСТВ.

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Просмотр содержимого документа
«Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений, и неравенств»

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений, и неравенств.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

информационно-коммуникационные: электронная презентация.

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о тригонометрических уравнениях, неравенств и систем уравнений, и неравенств;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

сформированность знаний о тригонометрических уравнениях, неравенств и систем уравнений, и неравенств;

владение умением решать задачи на тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений, и неравенств;

умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

умение рационально распределять рабочее время;

умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

владение навыками познавательной рефлексии;

умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

умение структурировать полученную информацию;

умение анализировать и обобщать информацию;

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: тригонометрические уравнения, тригонометрические неравенства, тригонометрические системы уравнений, тригонометрические системы неравенств.

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о тригонометрических уравнениях, неравенств и систем уравнений, и неравенств.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

Какие вы знаете тригонометрические уравнения?

Приведите пример тригонометрического уравнения и неравенства.

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений тригонометрических уравнений, неравенств и систем уравнений, и неравенств.

Тригонометрические уравнения – это уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов.

Преобразование уравнения для получения его простейшего вида

Решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

К определению тригонометрического уравнения различные авторы подходят по-разному. Мы назовем тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестную переменную только под знаком тригонометрических функций.

Уравнения и так далее,

суть тригонометрического уравнения.

Уравнения и т.д не являются тригонометрическими. Они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, . Мы видим, что не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналитически: , откуда или .

1)Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Почти все тригонометрические уравнения являются сводящимися к простейшим, однако можно выделить уравнения, сводящиеся к простейшим гораздо легче. Для начала проанализируем все виды простейших уравнений.

К уравнениям такого вида относятся: . Этим уравнениям следует уделить особе внимания, так как это основные тригонометрические уравнения, без которых невозможно решить любые другие.

Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Тригонометрические выражения, которые соединены между собой знаками «» или «

Тождественные неравенства мы должны доказать, а условные — решить. Тригонометрическое неравенство является тождественным, если оно будет справедливо при любых допустимых значениях неизвестных, которые входят в заданное неравенство. К примеру:

при , кроме

при всех

Тригонометрическое неравенство является условным в том случае, когда оно справедливо не при всяком значении неизвестных, в него входящих. К примеру:

, выполняется только на отрезках

, выполняется в интервале

Решить тригонометрическое неравенство — значит найти какое-то множество неизвестных значений, которые в него входят, или при которых будет выполняться данное неравенство.

При решении данных неравенств нам необходимо помнить, что тригонометрические функции и имеют наименьший положительный период , a и имеют наименьший положительный период . В ходе решения неравенств с тригонометрическими функциями необходимо обязательно использовать периодичность заданных функций, а также их монотонность на промежутках.

Чтобы решить неравенство, которое содержит только или , нам достаточно просто решить неравенство на любом отрезке . Для получения множества всех решений прибавим к каждому найденному на этом промежутке корню, числа вида . Что касаемо неравенств, содержащих и , их решения будут находиться на промежутке длиной .

Также тригонометрические неравенства можно решить с помощью графиков функций . Также будем прибегать к помощи единичной окружности.

Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

Какая была тема сегодняшнего занятия?

Что нового вы узнали?

Какая была цель занятия?

Что получилось у вас сегодня?

Что не получилось?

Достигли ли мы поставленной цели?

Инструктирование о выполнении домашнего задания

Системы тригонометрических неравенств и методы их решения

Системы неравенств можно решать с помощью единичной окружности, придерживаясь следующего алгоритма:

Отметить на окружности решение первого неравенства.
Отметить решение второго неравенства.
Выделить общее решение (пересечение дуг).
Записать общее решение системы неравенств с учетом периода.

Пример 1. Решите систему неравенств: $\begin sinx>-\frac<\sqrt2>2, \\ cosx\le\frac<\sqrt3>2. \\ \end$

Решение: Решим простейшие неравенства с помощью формул общих решений: $x\in (arcsina+2\pi n; \pi-arcsina+2\pi n), n\in Z \ и \\ x\in[arccosa+2\pi n; 2\pi-arccosa+2\pi n], n\in Z.$

Для наших неравенств имеем два промежутка решений:

$1)\ x\in (arcsin(-\frac<\sqrt2>2)+2\pi n; \pi-arcsin(-\frac<\sqrt2>2)+2\pi n), n\in Z \Rightarrow \\ x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \pi+\frac<\pi>4+2\pi n) \Rightarrow x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z. $

$2)\ x\in [arccos\frac<\sqrt3>2+2\pi n; 2\pi-arccos\frac<\sqrt3>2+2\pi n], n\in Z \Rightarrow \\x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; 2\pi-\frac<\pi>6+2\pi n] \Rightarrow x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<11\pi>6+2\pi n], n\in Z.$

Для этих двух промежутков необходимо указать пересечение. Изобразим это на тригонометрической окружности:

Видно, что пересечением областей решений является промежуток:

$x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z$ .

Промежуток $x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \frac<11\pi>6+2\pi n], n\in Z$ не является частью решения, т. к. на самом деле здесь области не пересекаются, поскольку лежат в разных диапазонах углов: отрицательном и положительном.

Обратите внимание на то, что начало промежутка решений включается, а конец исключается.

Ответ: $x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z$ .

источники:

http://multiurok.ru/files/trigonometricheskie-uravneniia-neravenstva-i-siste.html

http://itest.kz/ru/ent/matematika/10-klass/lecture/sistemy-trigonometricheskih-neravenstv-i-metody-ih-resheniya