Тригонометрические уравнения по формуле синуса

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Тригонометрические уравнения и неравенства с примерами решения и образцами выполнения

Корень уравнения есть число, ко­торое, будучи подставленным в
уравнение вместо обозначающей его буквы или вида, приводит к
исчезновению всех его членов.
И. Ньютон

Тригонометрические формулы

В курсе алгебры рассматривались синус, косинус и тангенс
произвольного угла, выраженного в градусах или радианах.
Там же были доказаны основные формулы, которые
исполь­зовались для преобразований тригонометрических выражений.
Напомним эти формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:

Ньютон Исаак (1643— 1727) — английский математик, физик, механик, астроном; основоположник современной механики; одновременно с немецким математиком Г. Лейбницем ему принадлежит разработка дифференциального и интегрального исчислений.

3. Формулы сложения:

4. Формулы синуса и косинуса двойного угла:

5. Формулы приведения:

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того
чтобы записать любую из них, можно руководствоваться
сле­дующими правилами:

1) В правой части формулы который

2) Если в левой части формулы угол равен или

то синус заменяется на косинус, тангенс —
на котангенс и наоборот. Если угол равен то замены
не происходит.

Например, покажем, как с помощью этих правил можно
получить формулу приведения для

По первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак >,
так как если то a косинус во второй четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заме­нить на синус, следовательно,

6. Формулы синуса, косинуса, тангенс угла

7. Формулы синуса и косинуса угла

тангенса угла

Приведем несколько примеров применения формул (1) — (9).

Пример:

Вычислить , если и

Сначала найдем . Из формулы (1) Так как в третьей четверти то По формулам (2) находим

Пример:

Используя формулы (1), (3) и (4), получаем:

Пример:

Вычислить

Используя формулы (8) и (9), получаем:

По формулам приведения находим:

Ответ.

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Пример:

Используя формулу сложения и формулу синуса двойного
угла, получаем:

Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу
суммы синусов:

С помощью этой формулы получаем:

Докажем теперь справедливость формулы (1).

Обозначим

Тогда и поэтому

Наряду с формулой (1) используются формула разности
синусов, а также формулы суммы и разности косинусов:

Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1);
формула (2 ) получается из формулы ( 1 ) заменой на
(до­кажите самостоятельно).

Пример:

Вычислить

Пример:

Преобразовать в произведение

Пример:

Доказать, что наименьшее значение выражения равно а наибольшее равно

Преобразуем данное выражение в произведение:

Так как наименьшее значение косинуса равно — 1, а наи­большее равно 1, то наименьшее значение данного выражения
равно а наибольшее равно

Уравнение cos х = а

Из курса алгебры известно, что значения косинуса заключены
в промежутке [— 1; 1], т. е.

Поэтому если |а |> 1 , то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = — 1,5 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол х. Абсциссу, равную имеют две точки окруж­ности

и (рис. 18). Так как , то точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где . . . . Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , f также на углы где . . . . Итак, все корни уравнения — можно найти по формулам Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:

Пример:

Решить уравнение

Абсциссу, равную , имеют две точки окружности
и (рис. 19). Так как , то угол
а потому угол . Следовательно, все корни уравнения
можно найти по формуле

Таким образом, каждое из уравнений

и имеет бесконечное множество корней. На отрезке каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и
— корень уравнения . Число называют арккосинусом числа и за­писывают:

а число — арккосинусом числа и записывают:

Вообще уравнение , где , имеет на отрезке только один корень. Если , то корень заключен в про­межутке ; если а

Например, так как и так как

и

Аналогично тому, как это сделано при решении за­дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения , где , выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение cos x = — 0,75.
По формуле (2) находим

Значение arccos ( — 0,75) можно приближенно найти на ри­сунке 21, измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арккосинуса можно также находить
с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. На­
пример, значение arccos (—0,75) можно вычислить на
микрокаль­куляторе МК-54 по программе

Итак,

В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г
был установлен в положение Р (радиан).
Если вычисления проводить в градусной мере, то переклю­чатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в поло­жение Г (градус). Программа вычислений остается прежней:

Итак, .

Пример:

Решить уравнение (4 cos х — 1) (2 cos 2x + 1)=0.

Ответ. ,

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов
положитель­ных чисел. Например:

Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х = а при а = 0,
а = 1, а = — 1 можно находить по более простым формулам:

Задача 5. Решить уравнение

По формуле (6) получаем откуда

Уравнение sin х= а

Известно, что значения синуса заключены в промежутке
[— 1; 1], т. е. Поэтому если |а |> 1 , то
уравне­ние sin x = a не имеет корней. Например, уравнение
sin x = 2 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что sin x — ордината точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол x. Ординату, равную , имеют две точки окруж­ности и (рис. 22). Так как — , то точка полу­чается из точки Р(1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где ……. Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на углы где ……. Итак, все корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n — четное число, т. е. n = 2k, то из форму­лы (1) получаем а если n — нечетное число, т. е. , то из формулы (1) получаем

О т в е т .

Пример:

Решить уравнение

Ординату, равную имеют две точки единичной ок­ружности и (рис. 23), где . Следо­вательно, все корни уравнения можно найти по фор­мулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n = 2k, то по формуле (2) получаем , а если n = 2k — 1, то по формуле (2) находим ..

Ответ.

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На отрезке

каждое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арксинусом числа и записывают: ; число — называют арксинусом числа и пишут:

Вообще уравнение sin x = a, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключен в промежутке ; если а

Например, так как и так как и

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2 можно показать, что корни уравнения sin x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение .

По формуле (4) находим

Значение можно приближенно найти из рисунка 25,
измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных
таблиц или с помощью микрокалькулятора. Например, значение можно вычислить на микрокалькуляторе МК-54 по
программе

Итак,
При этом переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан).

Пример:

Решить уравнение (3 sin х — 1) (2 sin 2х + 1) = 0.

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет находить значения арксинусов отри­
цательных чисел через значения арксинусов положительных
чисел. Например:

Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin x = a при а = 0 , а = 1 , а = — 1 можно находить по более
прос­тым формулам:

Пример:

Решить уравнение sin 2х = 1.

По формуле (7) имеем откуда

Уравнение tg x = а

Известно, что тангенс может принимать любое действительное
значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом
значении а.

Пример:

Решить уравнение

Построим углы, тангенсы которых равны Для этого про­ведем через точку Р (рис. 26) прямую, перпендикулярную РО,
и отложим отрезок через точки М и О проведем пря­
мую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диа­
метрально противоположных точках и . Из прямоугольного треугольника РОМ находим , откуда .

Таким образом, точка получается из точки Р (1; 0) поворотом
вокруг начала координат на угол а также на углы , где , … .
Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на угол

а также на углы , где … .

Итак, корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну

Пример:

Решить уравнение

Углы, тангенсы которых равны указаны на рисун­ке 27, где Из прямоугольного треугольни­ка РОМ находим , т.е. . Таким образом, точка получается поворотом точки P(1; 0) вокруг начала
координат на угол , а также на углы где k = ± 1, ± 2,….. Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на углы .

Поэтому корни уравнения можно найти по формуле

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На интервале — каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арктангенсом числа и записывают: ; число — называют арктангенсом числа и пишут: .

Вообще уравнение tg х = а для любого имеет на интер­вале только один корень. Если , то корень
заключен в промежутке ; если а

Например, , так как ; и так как и .

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение tg х = 2.

По формуле (2) находим

Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 29,
измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арктангенса можно также найти по
таблицам или с помощью микрокалькулятора.

Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-54 по
программе

Итак,

Пример:

При этих значениях х первая скобка левой части исходного
уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так
как из равенства tg x = — 4 следует, что

Следо­вательно, найденные значения х являются корнями исходного уравнения.

Эти значения x также являются корнями исходного урав­нения, так как при этом вторая скобка левой части уравнения
равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.

Ответ.

Можно доказать, что для любого справедлива формула

Эта формула позволяет выражать значения арктангенсов
от­рицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например:

Решение тригонометрических уравнений

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требу­ется применение формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно­метрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример:

Решить уравнение

Это уравнение является квадратным относительно sin х.
Обозначив sin x= y, получим уравнение Его корни

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin х = — 2.

Уравнение sin x = l имеет корни уравне­ние
sin x = — 2 не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Заменяя на получаем:

Обозначая sin х = у, получаем откуда

1) sin х = — 3 — уравнение не имеет корней, так как | — 3 | > 1.
2)

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Используя формулу получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение tg x — 2 ctg x + 1 = 0 .

Так как то уравнение можно записать в виде
Умножая обе части уравнения на tg x, получаем:

Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл,
если и Так как для найденных корней и то исходное уравнение равносильно уравнению
Ответ.

Пример:

Обозначив sin 6 x = у, получим уравнение от­куда

Уравнения вида a sin х + b cos х = с

Пример:

Решить уравнение 2 sin x —3 cos x = 0.
Поделив уравнение на cos x, получим 2tg x — 3 = 0,

При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x — cos x = 0 были поделены на cos x. Напомним, что при делении
уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли
кор­ни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если
cos x = 0, то из уравнения 2 sin x — cos x = 0 следует, что sin x = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Следовательно, при
делении уравнения a sin х + b cos x = 0, где cos x
(или sin x) корни этого уравнения не теряются.

Пример:

Решить уравнение 2 sin x + cos x = 2.
Используя формулы
и записывая правую часть уравнения в виде , получаем

Поделив это уравнение на

Обозначая получаем уравнение откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 2x — sin x — cos x — 1 = 0.
Выразим sin 2 x через sin x + cos x , используя тождество

Обозначим sin x + cos x = t, тогда и уравнение при­мет вид , откуда

2) Уравнение sin x + cos x = 2 не имеет корней, так как
и равенства sin x = 1, cos x = l одновременно не могут
выполняться.

Ответ.

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото­рых равна нулю, решаются разложением их левой части на
мно­жители.

Пример:

Решить уравнение sin 2х — sin х = 0.

Используя формулу для синуса двойного аргумента, за­пишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sin х = 0.
Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем
sin x (2 cos x — 1) = 0

Ответ.

Пример:

Решить уравнение cos Зх + sin 5x = 0.

Используя формулу приведения , за­пишем уравнение в виде

Используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 7 x + sin 3 х = 3 cos 2х.

Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне­ние в виде

Уравнение cos2x = 0 имеет корни а уравнение не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

уравнение примет вид:

Заметим, что числа вида содержатся среди чисел вида так как если n = 3k, то

Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ.

Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу­
ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об­
щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух
серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так:

Пример:

Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так
как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю,
а вторая не теряет смысла.

При этих значениях х вторая скобка левой части исходного
уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому
эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Выразим

Так как то

от­куда

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

2) уравнение — корней не имеет.

Ответ.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух частей: 1) преобразование тригонометрического выражения к простейшему виду; 2) решение простейшего тригонометрического уравнения. Первая часть сложна из-за множества применяемых формул как тригонометрических, так и алгебраических. Применяются такие приемы как разложение на множители, преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение и, наоборот, произведения в сумму. Достаточно часто тригонометрические уравнения сводятся к линейным и квадратным уравнениям и уравнениям с корнями. Тригонометрические уравнения во всяком случае имеют ограничения, содержащиеся в тангенсе и котангенсе, т.к. , , то здесь и .Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида: ; и

1) Решение уравнения . Арксинусом числа называется число, обозначаемое , синус которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что ось — это ось синусов, и значение синуса

отмечается на оси .

2) Решение уравнения . Арккосинусом числа называется число, обозначаемое , косинус которого равен , при этом Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Эти решения отмечены на окружности.

Напоминаем, что ось — ось косинусов, и значение косинуса отмечается на оси .

3) Решение уравнения Арктангенсом числа называется число, обозначаемое , тангенс которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что значение тангенса отмечается на оси тангенсов, которая параллельна оси и касается единичной окружности в крайней правой точке.

Там, где возможно, и заменяются табличными значениями. Соответствующая таблица и тригонометрические формулы приведены в разделе преобразования тригонометрических выражений. Там же рассмотрены примеры таких преобразований.

Здесь использована специальная формула, отличная от стандартной для уравнения

Существуют следующие специальные формулы:

Следует заметить также, что буква для обозначения целого числа может быть выбрана любая, но принято брать Если уравнение имеет два и более решений, эти буквы принято брать различными.

Т.к. решения 1-го и 2-го уравнений должны совпадать, то, как видно на окружности, единственно возможная точка соответствует решению

Эта система, как видно на окружности, решений не имеет

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Тригонометрические уравнения и неравенства — основные понятия и определения

В этой главе мы рассмотрим некоторые уравнения, а также простейшие системы уравнений, содержащие неизвестную иод знаком тригонометрических функций. Такие уравнения называются тригонометрическими уравнениями.

Приведем некоторые примеры тригонометрических уравнений и их систем:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) .

Решение различных типов тригонометрических уравнений большей частью основано на сведении их к некоторым простейшим уравнениям, которые мы рассмотрим ниже. При этом остаются в силе общие правила, относящиеся к решению уравнений. В частности, данное уравнение не всегда приводится к простейшей форме с помощью одних лишь равносильных преобразований. Поэтому следует проверить найденные решения, подставляя их в исходное уравнение.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы пытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций

При решении различных тригонометрических уравнений мы будем часто приходить к некоторым простейшим уравнениям, решения которых следует запомнить. Приведем эти уравнения. Для того чтобы можно было дать геометрическую иллюстрацию к этим уравнениям, будем считать х углом в радианной мере.

Уравнение sin х = а

имеет решение при . Для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни нашего уравнения, воспользуемся рис. 127. Допустим, что мы нашли какой-то корень уравнения sin х = а:

Тогда, в силу периодичности функции sin х, имеем

т.е. и числа вида , где k = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению (139.1). Заметим еще, что и

т. е. также удовлетворяет уравнению (139.1). Следовавательно также удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению sin х = а, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где k= 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arcsin а.

Объединив две серии (139.2) и (139.3) корней данного уравнения sin х = а одной формулой, мы будем записывать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Поясним формулу (139.4) и другим способом, с помощью рис. 139.

Известно, что sin x = а (на рис. 139 ОA = 1, ).

Уравнению (139.1) удовлетворят углы:

а) положительные: и (k = 0, +1, +2, …);

б) отрицательные: и (k = 0, —1, —2, …).

Все эти углы можно задать одной формулой (139.4), и, обратно, любой угол, полученный по формуле (139.4), есть угол либо вида а), либо вида б). Проверим, например, обратное утверждение для положительных углов.

Если (четное число), то из (139.4) получаем

если же (нечетное число), то из (139.4) получаем

Аналогично проводится проверка и для отрицательных углов.

Пример:

sin x = 1/2.

Решение:

Так как , то .

Пример:

.

Решение:

Так как , то .

Замечание. При выводе формулы (139.4) мы воспользовались рис. 127, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения sin x = a. Формула (139.4) остается в силе и тогда, когда , а также при а = 0, 1 или —1. Однако эти последние случаи удобней рассмотреть особо.

Допустим, что а = 1 или a = — 1. Корни уравнения sin х = 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …, а корни уравнения sin x = — 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2…. . Допустим теперь, что а = 0. Корни уравнения sin x = 0 можно записать так:

Уравнение cos x = a

имеет решение при . Для вывода общей формулы корней уравнения (140.1) воспользуемся рис. 128. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (140.1): .

Тогда в силу периодичности , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению cos х = а. В силу четности косинуса ; применив еще свойство периодичности, мы получим, что числа вида также удовлетворяют уравнению cos х = а. (На рис. 128 мы видим, что .) Следовательно, зная одно какое-либо значение , удовлетворяющее уравнению cos x = a, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где n = 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arccos а.

Объединив две серии (140.2) и (140.3) корней уравнения cos x = a одной формулой, мы будем писать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Рекомендуем читателю пояснить формулу (140.4) с помощью рисунка, аналогичного рис. 139.

Пример:

.

Решение:

Пример:

cos x = — х/2.

Решение:

Пример:

cos х = 0,995.

Решение:

(см. приложение II).

Замечание. При выводе формулы (140.4) мы воспользовались рис. 128, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения cos x = a. Рекомендуем читателю доказать, что формулой (140.4) можно пользоваться и во всех остальных случаях (—1

Уравнение cos x = l имеет корни:

Уравнение cos x = 0 имеет корни:

Уравнение tg x = a

имеет решение при любом а (). Воспользуемся рис. 129 для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни уравнения (141.1). Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (141.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т.е. и числа вида , где n = 0, ±1. ±2, …, удовлетворяют уравнению tg x = a. Следовательно, зная одно какое-то значение удовлетворяющее уравнению tg x = а, мы можем получить общее решение (совокупность всех корней) в виде

В качестве будем, как правило, брать arctg a. Итак, общее решение уравнения tg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

tg x = —1,9648.

Решение:

(см. приложение II).

Уравнение ctg х = а

имеет решение при любом а (). Для вывода общей формулы корней уравнения (142.1) воспользуемся рис. 130. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (142.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …. удовлетворяют уравнению ctg х = а. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению ctg х = а, мы можем получить общее решение в виде

В качестве будем, как правило, брать arcctg a. Итак, общее решение уравнения ctg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

ctg х = —28,64.

Решение:

. Воспользовавшись формулой , будем иметь

(см. приложение I). Следовательно,

Некоторые дополнения

Если в уравнениях sin x = a, cos х = а, tg х = а и ctg x = a известно, что х — угол в градусной мере, то общие решения нужно записывать по-другому.

Для уравнения sin x = a, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения cos х = а, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения tg х = а, где а — любое число, нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и — 90°

где n = 0, ±1, ±2. … и 0°

б) Нельзя, однако, писать

Разберем примеры уравнений, непосредственно сводящихся к уже рассмотренным.

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

sinх = 1 /]/2, откуда согласно (143.1) имеем х — 180°и + (—1)»45°, где я = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

, откуда согласно (140.4) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 sin х — 4 = 0.

Решение:

Из нашего уравнения получаем равносильное уравнение sin x = 4/3, которое решений не имеет, ибо не выполняется условие . Следовательно, первоначальное уравнение также не имеет решений.

Пример:

Решить уравнение 3 tg х + 1 = 0.

Решение:

tg x = —1/3, откуда согласно (141.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Замечание. Ответ можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 ctg x + 2 = 0.

Решение:

ctg x = —2/3, откуда согласно (142.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Пример:

Решить уравнение 2 sin 5x + l = 0.

Решение:

Записав уравнение в виде sin 5x = —1/2, найдем отсюда сначала промежуточный аргумент , откуда получим общее решение данного уравнения , где n = 0, ±1, ±2,…

Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента

Сущность способа: Мы получили решения уравнений вида sin x = a, cos х = а, tg x = a и cxg x = a. Во многих случаях решение тригонометрических уравнений сводится к решению основных элементарных уравнений после выполнения ряда алгебраических действий.

Так, пусть имеется уравнение, левая часть которого содержит х только под знаком одной тригонометрической функции, например:

Во всех этих случаях задача решения уравнения распадается на две:

1) Решение алгебраического уравнения относительно новой неизвестной t = sin x, t = tg x, t = cos x.

2) Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.

Пример:

Решение:

1) Положив sin x = t, приходим к алгебраическому уравнению (в данном случае к квадратному уравнению) относительно новой неизвестной t:

Решив уравнение , получим и .

2) Задача решения уравнения свелась к решению двух тригонометрических уравнении:

Уравнение sin x = — 3 решений не имеет. Общее решение уравнения sin x = 1/2 имеет вид

Так как при переходе от тригонометрического уравнения к двум тригонометрическим уравнениям мы нигде не теряли и не получали посторонних корней, то решение является решением первоначального уравнения .

В большинстве случаев, однако, приходится исходное уравнение еще преобразовывать так, чтобы оно приобрело нужный вид:

В п. 145 показаны приемы таких преобразований.

Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента

1) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Изучим случай, когда . Разделиз обе части уравнения (145.1) на , придем к следующему уравнению, содержащему только t = tg х:

Заметим, что уравнения (145.1) и (145.2) будут равносильны, ибо мы предполагаем, что . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями уравнения (145.1) при .) Далее следует найти значения t = tg x из уравнения (145.2) и, если они окажутся действительными, отыскать соответствующие серии решений х.

Пример:

Решение:

Разделим обе части уравнения на . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, ибо при этом , следовательно, потери корней не происходит). Получим уравнение , откуда .

а) , ;

б) , .

где п = 0, ±1, ±2, …

Замечание:

где , сводится к уравнению типа (145.1), если его записать сначала так:

Пример:

Запишем данное уравнение так:

После этого будем иметь

Разделим обе части последнего уравнения на . (Те значения х, для которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения.) Получим уравнение

откуда и . Решив последние уравнения, получим решения первоначального уравнения:

2) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Пусть . Заменив через , мы придем к уравнению

Из уравнения (145.6) находим возможные значения для t = соs x; естественно, что они будут иметь смысл лишь в случае . Рассмотрим несколько примеров. Пример 3. Решить уравнение

Решение. Заменяя через , придем к уравнению , откуда cos x = 1 и cos x = —1/2. Уравнение cos x = l имеет решение , а уравнение cos x = —1/2 — решение . Совокупность значений и является решением данного уравнения.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos x = 1/2 и cos x = —3/2. Последнее уравнение не имеет решений, ибо не выполнено условие . /Мы получаем одну серию решений данного уравнения: .

3) Рассмотрим уравнение тина

где a, b и с—какие-то действительные числа. Oграничимся рассмотрением примеров.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда sin x = 1/2 и sin x = —1/4. Оба последних уравнения имеют соответственно решения

Совокупность значений и является множеством всех решений данного уравнения.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда и . Последнее уравнение не имеет решения, ибо не выполнено условие . Мы получаем одну серию решении первоначального уравнения:

4) Рассмотрим уравнение типа

где .

Деля обе части уравнения на , получим

где n = 0, ±1, ±2, … Заметим, что, предположив , мы не потеряли корней, ибо если cos x = 0, то .

Пример:

Решение:

Разделим обе части уравнения на , получим , откуда .

5) Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов, то и в этом случае иногда представляется возможным выразить их все через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos 2х = — l/3.

Следовательно, и (n = 0, ±1, ±2, …).

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Заменив sin 2x через 2sin x cos x, придем к уравнению или . Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …).

Второе уравнение после деления на дает ctg x = 2, откуда (n = 0, ±1, ±2, …).

Решениями первоначального уравнения и будут значения и . Заметим, что в нашем случае деление обеих частей уравнения б) на sinx не привело к потере корней, ибо те значения х, при которых sin x обращается в нуль, не являются корнями первоначального уравнения.

Пример:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 2 и, заменив 2sin x cos x на sin 2х, получим sin 2x cos 2x = 1/4. С последним уравнением поступим опять так же, получим sin 4x = 1/2, откуда . Окончательно имеем

Пример:

Решение:

Подставив найденное значение для в исходное уравнение, получим . Далее имеем

Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ± 1, ± 2, …). Второе уравнение запишем в виде . Приравняв нулю числитель (1 — 2cos x), получим корни второго уравнения: .

Способ разложения на множители

1) Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть f(x) разлагается на множители, то, как указано в п. 54, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получится несколько отдельных уравнений; корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в о. д. з. каждого из множителей левой части уравнения.

Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Заметим, что этот способ мы уже фактически применяли при решении примеров 9 и 11 из п. 145.

Рассмотрим е;це несколько примеров.

Пример:

Решить уравнение sin x ctg 2x = 0.

Решение:

Согласно предыдущему будем искать отдельно решения двух уравнений: a) sin x = 0 и б) ctg 2x = 0. Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Второе уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Проверка показывает, что решениями первоначального уравнения будет лишь совокупность значений , а значения не удовлетворяют данному уравнению, ибо при теряет смысл второй множитель ctg 2х.

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin <|ccc|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac<\sin \alpha><\cos \alpha>&&\mathrm\, \alpha =\dfrac<\cos \alpha><\sin \alpha>\\&&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 <\cos^2 \alpha>&& 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1<\sin^2 \alpha>\\&&\\ \hline \end\]
формулы двойного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin <2\alpha>=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos<2\alpha>=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin <2\alpha>&& & \cos<2\alpha>=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos<2\alpha>=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\, x+3\mathrm\,x+4=0\)

Т.к. \(\mathrm\,x\cdot \mathrm\,x=1\) , то \(\mathrm\,x=\dfrac1<\mathrm\,x>\) . Сделаем замену \(\mathrm\,x=t\) . Т.к. область значений тангенса \(\mathrm\,x\in\mathbb\) , то \(t\in\mathbb\) . Получим уравнение:

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac=0\) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin <3\alpha>=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos<3\alpha>=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :

\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :

\(\mathrm^2\,x+3\mathrm\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm\,x, \ t\in\mathbb\) . Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :

\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :

\(1+\mathrm\, x=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2> &&& \cos<\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2>\\&&&\\ \hline \end\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac2\) .

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac2\) . Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\) .

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin \begin &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac12 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\end \end \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\) . Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\Rightarrow \left[ \begin \begin &2x+\dfrac<\pi>4=-\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac<\pi>4=\pi+\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n \end \end \right. \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \left[ \begin \begin &x=-\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>-\dfrac<\pi>8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac<3\pi>8+\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+\pi n \end \end \right. \ \ n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)