Тригонометрические уравнения решаемые путем понижения степени

Тема 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Уравнения, решаемые понижением степени. Однородные уравнения и приводимые к ним. Универсальная подстановка.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) по теме

Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным экзаменам по математике в вузы, проводимым как в форме письменных контрольных работ, так и в форме тестирований.

Имея многолетний положительный опыт подготовки школьников и абитуриентов к экзаменам по математике, проводимым в разных формах, считаю целесообразным поделиться своими разработками со всеми заинтересованными в них лицами.

Тема 18. «Тригонометрические уравнения. Уравнения, решаемые понижением степени. Однородные уравнения и приводимые к ним. Универсальная подстановка» содержит теоретические сведения, систематизированный набор ключевых методов решения типовых задач, сопровождающихся подробным разбором решений. По каждому методу приводятся упражнения с ответами для закрепления изучаемого материала.

Материал будет полезен для использования учителями общеобразовательных учреждений на элективных курсах и факультативных занятиях по математике для подготовки учащихся к ЕГЭ, абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема 18. Тригонометрические уравнения.

Уравнения, решаемые понижением степени. Однородные уравнения и приводимые к ним. Универсальная подстановка.

IV. Уравнения, решаемые понижением степени.

Если уравнение содержит в четной степени, то бывает удобно применять формулы понижения степени

Пример. Решить уравнение

Решение является частью множества корней

1) Число корней уравнения на интервале равно.

V. Однородные уравнения и приводимые к ним.

Однородные уравнения, то есть уравнения вида

где — некоторые числа (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно путем деления обеих частей уравнения на соответственно.

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на путем различных преобразований функций, входящих в уравнение и т.д.

Примеры. Решить уравнение.

Решение. Легко убедиться, что не является корнем исходного уравнения. В самом деле, если , то в силу исходного уравнения, и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на . Получим уравнение

Решение. Поскольку не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую части уравнения на В результате приходим к квадратному уравнению относительно

Ответ:

Решение. Представим правую часть данного уравнения в виде . Тогда исходное уравнение запишется в виде

После преобразований приходим к уравнению

разобранному в предыдущем примере.

Ответ:

1. Ответ:
2. Ответ:
3. Ответ:
4. Ответ:
5. Ответ:
6. Число корней уравнения на интервале равно.

VI. Универсальная подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента к тангенсу половинного аргумента. Используются формулы

Этим методом удобно решать линейные тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида

При переходе от синуса и косинуса аргумента к тангенсу половинного аргумента возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться формулами , значения необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Примеры. Решить уравнение.

Решение. Сделаем подстановку для сокращения письма введем новую переменную Исходное уравнение перепишется в виде

Проверим, является ли решением данного уравнения значит не является корнем.

Способы решения тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.

На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;

· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;

· развитие творческих способностей;

· повышение интереса к предмету;

· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;

· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Особенность методической разработки.

Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8

7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13

10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

2. Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.

Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;

Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим

Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим

Уравнения для самостоятельного решения:

V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

при решении тригонометрических уравнений.

Уравнения для самостоятельного решения:

VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Пример. Решить уравнение

Уравнения для самостоятельного решения:

VII. Уравнения вида

Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .

Пример.

Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда

Уравнения для самостоятельного решения:

VIII. Уравнения смешанного типа

1. Решите уравнения:

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

y

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

2. Решите уравнения.

y

Не удовлетворяет условию

Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

3. Решите уравнение.

Данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

не удовлетворяет условию

Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .

Ответ:

4. Решите уравнения.

Число корней на .

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.

Число решений на равно 5.

а)

Найти число решений на .

б) .

Найти число решений на

в)

Найти число решений на .

г) .

Найти число решений на .

5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.

Аналогичная ситуация с формулами

Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.

Примерами таких формул являются:

Ответ:

а) . Ответ: .

в) .

Ответ: .

б) . Ответ: .

г) .

Ответ: .

IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).

Уравнения, приводимые к алгебраическим.

Уравнения, решаемые способом разложения на множители.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения вида .

Уравнения смешанного типа.

1.

2.Найти наименьший корень уравнения на интервале

3.

Тест. Решение тригонометрических уравнений.

1. Найдите корни уравнения на интервале .

а) ; б) ; в) .

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

а) ; б) ; в) .

3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу

а) ; б) ; в) .

4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .

а) ; б) ; в) .

Задания для итогового контроля результатов обучения.

1. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите сумму корней управления

на промежутке .

3. Укажите количество корней уравнения

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;

б) .

X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.

Решите уравнение . (С2,2007г.)

ОДЗ уравнения:

Используя способ разложения на множители, получим

или .

не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.

.

Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:

С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:

1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.

2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.

3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.

4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.

5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.

6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.

7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.

8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.

3. Тригонометрические уравнения, решаемые путем понижения степени

Скачать
презентацию4. Решение однородных тригонометрических уравнений >>

3. Тригонометрические уравнения, решаемые путем понижения степени уравнения.

Слайд 15 из презентации «Способы решения тригонометрических уравнений». Размер архива с презентацией 437 КБ.

Алгебра 10 класс

«Основные тригонометрические функции» — Множество значений тригонометрических функций. Задайте с помощью формулы функцию. Свойства функции. Контрольная работа. Свойства функции y = tg (x). Область значений. Положительный период. Множество значений функции. Постройте график функции. Точки. График функции. Определение четности и нечетности функции. Значения х. Промежутки. Истинное высказывание. Функция y = tg (x). Какая из функций является четной.

«Построение графиков с помощью производной» — Справка. Построить эскиз графика функции. Аннотация. Одно решение. Вводная беседа. Область определения функции. Новые информационные технологии. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Актуальность. Историческая справка. Промежутки возрастания функции. Посмотрите в MathCAD(е). Вспомните план исследования. Вертикальная асимптота. Построение графика функции. Промежутки убывания функции.

«Способы решения логических задач» — Кто кому подарил подарок. Задачи. Два истинных высказывания. Татьяна. Этапы решения логических задач. Весенний праздник. Где лежат подарки. Три пожилых матроны. Способы решения логических задач. Решение логических задач. День борьбы за права женщин. Упростите логические выражения. Дополнительные задачи. Митя. Разминка. Повторение. Работницы швейных и обувных фабрик. Высказывание.

««Производные» 10 класс алгебра» — Закончите формулировки утверждений. Определите знаки производной функции. Теорема. Верное утверждение. Производная равна нулю. Сравните формулировки теорем. Теоретическая разминка. Характер монотонности функции. Неравенство. Сравните. Решите задачу. Обобщаем информацию. Применение производной для исследования функций. Опишите характер монотонности функций. Найдите точки. Новые термины. Выберите верное утверждение.

«Физический и геометрический смысл производной» — Происходящие во вселенной изменения и процессы. Спасибо за внимание. Геометрический смысл производной функции. Объяснение физического смысла производной функции. Ньютон — создатель первой научной «механической картины мира». Производная функции. Дифференцирование. Физический и геометрический смысл производной функции. Дифференцирование — уникальный математический метод. Физический смысл производной функции.

«Системы счисления» — Десятичная СС. Переводы в системах счисления. Восьмеричная СС. Правила перевода. Правило перевода дробных чисел. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Двоичные числа. Позиционные системы счисления. Правило перевода из p-i системы счисления. Проверка. Двоичная СС. Десятичные числа. Римская система счисления. Примеры. Разбить двоичное число на тетрады. Системы счисления. Разбить двоичное число на триады.

Всего в теме «Алгебра 10 класс» 52 презентации