Тригонометрические уравнения с двойным аргументом

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №35. Формулы двойного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• решение уравнений с использованием формулы синуса, косинуса двойного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы двойного аргумента — это формулы, позволяющие ; и выразить через ; и . Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение . Представим как и подставим в формулу синуса суммы. Получим:

(1)

Эту формулу называют синус двойного аргумента.

Например, . В этом случае .

Рассмотрим выражение , где так же . Применяем формулу косинуса суммы:

Получили формулу косинуса двойного аргумента (2)

Например,

Так как , а , то получим ещё две формулы косинуса двойного аргумента.

(3)

(4)

Рассмотрим выражение tg и с помощью формулы тангенса суммы выведем формулу тангенса двойного угла. Помним, что . Получаем:

, где (5)

Для котангенса двойного угла применяем формулу:
, где (6)

Например, .

Формулы (1)-(6) можно использовать как слева направо, так и справа налево. Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение. Например,

Докажем формулу для тройного угла.

Представим . По формуле синуса суммы получим:

(используем формулы двойного аргумента)

(применяем формулу

Получили формулу синуса тройного угла:

(7)

Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:

. (8)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Найти , если

Применим формулу (3)

Пример 2. Доказать тождество

Доказательство: Преобразуем левую часть, воспользуясь тем, что формулой (1) и формулой квадрата суммы, получаем:

Левая часть равна правой. Доказано.

Пример 3. Найти ,если

Урок-закрепление по теме: «Формулы двойного аргумента»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Данная разработка урока поможет учителю научить учащихся применять формулы двойного аргумента к доказательствутождеств, упрощению выражений, решению уравнений и позволит провести диагностику трудностей по теме и успешной сдаче ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока : Формулы двойного аргумента (решение уравнений)

Цель урока : проверить знание формул двойного аргумента

1. Уметь применять знания формул к доказательству тождеств, упрощению выражений, решению уравнений
2. Повторить формулы тригонометрии, табличное значение тригонометрических функций известных углов, решение простейших тригонометрических уравнений вида: sinx=a; cosx=a; tgx=a; ctgx=a., знать условие равенства дроби нулю.
3. Подготовиться к самостоятельной работе, выяснить при решение каких заданий они испытывают затруднения; т.е. провести анализ потенциальных проблем, трудностей и рисков каждого ученика, определить пути их преодоления.
4. Использовать на уроке демонстрирующих элементов нового материала в виде презентаций

План-конспект урока в 10 классе по теме Формулы двойного аргумента

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

План-конспект урока в 10 классе по теме

Цели урока: совершенствовать умения и навыки решения тригонометрических уравнений, применять формулы двойного аргумента при решении тригонометрических уравнений;

продолжить формирование математической культуры (речь, оформление решений), развитие логического мышления при выполнении упражнений;

развивать навыки самоконтроля, самоанализа своей деятельности

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Актуализация опорных, знаний

Работа по карточкам у доски.

Проверка выполнения математического диктанта по слайду.

Определение темы урока и цели урока.

Выделение основных типов тригонометрических уравнений.

Работа в парах с проверкой у доски.

Самостоятельная работа (с самопроверкой).

I . Актуализация знаний учащихся.

Слова учителя: вспомним, какие основные вопросы вы должны были подготовить к уроку (выучить формулы двойного угла и понижения степени, повторить способы решения тригонометрических уравнений).

1. Работа по карточкам у доски

К доске выходят два ученика и выполняют задания по карточкам

1) Решите уравнения: а) cosx = ; б) .

2) Решите уравнения: а) sinx = ; б) .

3) а) Запишите: 1. формулы двойного аргумента,

2. формулы понижения степени.

б) Решите уравнение: sin2x=1 .

2. Фронтальная работа с классом. Математический диктант.

1) Запишите общую формулу решения уравнения

sint = a , cost = a , tgt = a .

2) Найдите значение t , если sint =1, sint = -1, sint =0,

cost= 1 , cost = -1 , cost = 0 .

3) Решите уравнения cos 3 x = -1 sin 2 x = 1,

-3sin2x = 5 2sinx = 1,

-2 cosx = 1. -3 tgx = 5,

Выполнение задания 3) учащиеся проверяют по слайду №2, оценивают свою работу и количество получившихся баллов выставляют в свой лист самооценки (уравнение решено верно – 1 балл, не решено – 0 баллов).

3. Учащиеся заслушивают ответы у доски, исправляют допущенные ошибки, дополняют ответы.

II .Определение темы и цели урока.

Исходя из того, что учащиеся вспомнили решение простейших тригонометрических уравнений, основные способы решения тригонометрических уравнений и изучили формулы двойного аргумента, они формулируют тему урока и его цель.

Тема урока: «Формулы двойного аргумента. Применение формул при решении уравнений».

Цель урока: научиться применять формулы двойного аргумента и формулы понижения степени при решении уравнений.

III . Выделение основных типов тригонометрических уравнений.

Работа с задачником «Алгебра и начала математического анализа 10 – 11 классы». В 2ч. Ч 2.Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/(А.Г.Мордкович и др.); под редакцией А.Г.Мордковича.-10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.

Учащиеся выделяют основные группы уравнений по задачнику и определяют способы их решения.

№21.25 сведение уравнений к простейшим с помощью формул двойного угла

б ) sin4x∙cos4x = 0; г ) sin 2 x – cos 2 x = .

№21.24 разложением на множители, применив формулы двойного аргумента.

а) sin 2 x – 2 cosx = 0.

№21.26 применение формул понижения степени и разложением на множители.

а) 1 – cosx = 2 sin .

№21.29, 21.35 — применение формул двойного аргумента.

№21.29 (а) Найдите корни уравнения cos 2 x + 3 sinx = 1, принадлежащие отрезку .

№21.35(а) Решите уравнение 3 sin 2 x + cos 2 x = 1

№21.27, 21.28 применение формул понижения степени.

№21.28(а) sin 2 2 x = 1 обсуждение с учащимися двух способов решения (по слайду №3)

Учащиеся приходят к выводу, что применение формулы двойного аргумента упрощает решение уравнения.

IV . Работа в группах.

Учащиеся записывают решения рассмотренных уравнений в тетрадях с последующей записью решения каждого уравнения на доске представителем каждой группы.

Учащиеся оценивают свою работу в группах самостоятельно, выставляя баллы в лист самооценки.

V . Самостоятельная работа по вариантам с самопроверкой по готовым ответам

(в заданиях из задачника – ответы для самопроверки в конце учебника; задания 4, 5 проверяют 4 ученика у доски)

Задания самостоятельной работы на слайде №4

1. Учащиеся оценивают выполнение самостоятельной работы, подводят итоги работы на уроке, заполняя лист самооценки.

Ученика (цы) 10 кл._________________________

1) общие формулы

2) частные случаи решения уравнений

3) решение уравнений

3. Работа в группах

Учащиеся обсуждают, что узнали нового,

какие были трудности,

что было интересно.

VIII . Домашнее задание.

Повторить формулы §18, 21, рассмотреть пример 8 § 21.

№ 21.24(г), 21.10(а,г), 21.13(в,г) или 21.26(б), 21.27(а), 21.28(в), 21.29(б), 21.35(б).

В ходе урока учащиеся повторили решение простейших тригонометрических уравнений и частные случаи решения тригонометрических уравнений, решение основных типов тригонометрических уравнений. С этой целью были составлены задания по карточкам для работы у доски и задания математического диктанта. Это было необходимо для того, чтобы перейти к решению тригонометрических уравнений, где применялись формулы двойного угла и понижения степени.

Выполнение заданий в группах способствовало формированию навыков самоанализа своей деятельноси, самоконтроля и оказания взаимопомощи членам своей группы.

Задания самостоятельной работы в конце урока были подобраны так, чтобы определить уровень усвоения изученного материала.

Результаты самостоятельной работы показали, что учащиеся иногда забывают частные случаи решения тригонометрических уравнений, допускают ошибки при решении уравнения cosx = a , возникают трудности при нахождении значения тригонометрических функций аргумента, если известно значение одной из них.

Применение формул понижения степени при решении тригонометрических уравнений вызвало интерес учащихся, так как это дает рациональный способ решения.

Цели и задачи урока были достигнуты, изучаемый материал был усвоен. Ошибки, допущенные учащимися при выполнении самостоятельной работы, будут устраняться при работе на последующих уроках.