Тригонометрические уравнения с модулем егэ

Тригонометрические уравнения с модулем

Разделы: Математика

Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а 2 x-sinx=0

sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx 2

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

х= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ:

№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим

Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии

Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.

Ответ:

№6 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:

х=2

Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2

№7. Решить уравнение.

Решение. ОДЗ:

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида

Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.

Ответ:

№8. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Ответ:

№9. Решить уравнение.

Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.

Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x 2 +15x-45=(-x 2 +15x-44)-1≤-1

при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.

При решении уравнения второй системы получается:

В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида можно решать и следующим способом:

№10. Решить уравнение.

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx 21.02.2008

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

Урок-консультация по алгебре в 11 классе «Решение тригонометрических уравнений с модулем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

буклет 1 сторона.jpg

буклет 2 сторона.jpg

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc

Тема: Решение тригонометрических уравнений с модулем

Тип урока по цели: изучение

Тип урока по форме проведения: урок-консультация.

Форма работы с учащимися: общая, групповая и индивидуальная.

Эпиграф Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

повторить методы решения тригонометрических уравнений,

изучить способы раскрытия модуля по определению и с помощью формулы

рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем;

рассмотреть тригонометрические уравнения, модуль в которых появляется в ходе их решения

развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы

развивать математическую речь (используя грамотно математические термины);

развивать логическое мышление, память, познавательный интерес,

вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.

показывать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи,

формировать эстетические навыки при оформлении записей, навыки контроля и самоконтроля.

Средства наглядности: макеты единичной окружности, сборник подготовки к ЕГЭ, раздаточный материал: лист-конспект (рабочая тетрадь, копирка), видео-консультация, мультимедийный проектор, компьютеры, карточки для магнитной доски, магниты.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы продолжаем изучение тригонометрических уравнений.

Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

Показываем таблички с простейшими тригонометрическими уравнениями.

определение модуля действительного числа

Какие способы решения уравнений мы используем ?

назовите виды тригонометрических уравнений

о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений

Работа у магнитной доски группы из 2 учеников

Перед вами уравнения, распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения в таблицу.

Объясните свой выбор.

Разложение на множители

1) 2 sinx cos 5 x – cos 5 x =0;

3)3tg 2 x + 2tg x -1=0

4) 2 cos 2 x + 9cos x +14=0

6)2sinx – 3cosx = 0

sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0

9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.

10) 3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0

12) 3cos 2 x – sinx – 1 =0

13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

14)

Распределяют уравнениями по колонкам таблицы

Усвоение новых знаний

Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока.

В лист конспект вписывают фамилию и класс

Уравнения широко представлены в экзаменационном материале. А тригонометрические уравнения, содержащие модуль входят в задание 15.

вспомним определение модуля действительного числа.

Рассмотрим способы раскрытия модуля:

Как раскрыть модуль по определению, используя формулу и с учетом ОДЗ

Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения.

Комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения

Как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования

Решение уравнений задания 15

В чем недостаток графического способа?

Рассмотрим Графический способ решения уравнений

У доски работает 1 человек:

-Построить в одной системе координат два графика функции

-убедиться, что они имеют общую точку

-абсцисса точки-корень уравнения

Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки на свое усмотрение.

Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения

Работа у доски: 6 ученика

1.Раскрытие модуля по определению -2ученика

2.Метод оценки левой и правой части уравнения-1

3.Раскрытие модуля по определению и учетом ОДЗ-1

4.Появление модуля в ходе решения уравнения-1

5.Раскрытие модуля по формуле:-1

Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки на свое усмотрение.

Использование интернет ресурса – видео урок

Смотрят, внимательно слушают

Доклад о применении тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…

Работа с презентацией

Проверка понимания учащимися нового материала.

Устно: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений с модулем

Раскрывая модуль по определению сколько систем получаем?

Когда удобно раскрывать модуль по формуле?

Отвечают на вопросы

Закрепление и проверка усвоения нового материала.

проверить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно по вариантам 1 уравнение

Решают под копирку, второй лист сдают учителю

Самопроверка.Сверяют с образцом на компьютере, обменявшись работой друг с другом.

Рефлексия: Думаем, все согласятся, что — математика замечательный предмет для удивления .

Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»):

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по определению____

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по формуле ____

Я понял(а), в каком случае использовать метод оценки левой и правой части уравнения____

Я могу решать тригонометрические уравнения с модулем___

Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»

Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

— Здравствуйте ребята. Садитесь.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы продолжаем изучение тригонометрических уравнений.

Блиц-опрос. Решите уравнения( учитель показывает таблички с простейшими тригонометрическими уравнениями. Ученики говорят решения по цепочке).

фронтальный опрос. Ответьте на вопросы

определение модуля действительного числа

Какие способы решения уравнений мы используем ?

назовите виды тригонометрических уравнений

о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений

Работа у магнитной доски (группа из 2 учеников).

Разложение на множители

2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2sinx – 3cosx = 0

sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0

3tg 2 x + 2tg x -1=0

3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0

2 cos 2 x + 9cos x +14=0

3cos 2 x – sinx – 1 =0

2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

Изучение нового материала:

ИТОГ: Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока: Решение тригонометрических уравнений с модулем.

Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

— Давайте вместе сегодня сделаем этот шаг к определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

Изучить способы раскрытия модуля:

Выяснить, как раскрыть модуль по определению; используя формулу; с учетом ОДЗ.

Ответить на вопрос: Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения?

Рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем. И уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения уравнений.

Повторить, как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования.

Решить уравнения из ЕГЭ,задания 15.

Назовите определение модуля действительного числа.

В чем недостаток графического способа перед аналитическим?

Рассмотрим графический способ решения уравнений (у доски работает ученик, все в листе-конспекте выполняют задания и сравнивают свое решение).

Повторяем алгоритм графического решения тригонометрических уравнений с модулем:

Построить в одной системе координат два графика функции

-убедиться, что они имеют общую точку

-абсцисса точки-корень уравнения

Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и уравнений, модуль в которых будет появляться в ходе их решения (у доски работают 6 учеников, поочередно решая свои уравнения, комментируя решения. Класс делает запись в конспекте).

Раскрыть модуль по определению:

Раскрыть модуль по определению(под знаком модуля не триг.функ.):

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Метод оценки частей уравнения

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

Появление модуля в ходе решения уравнения

Физминутка: Ребята закройте глаза, положите голову на руки. Подумайте о.

Раскрытие модуля по формуле:

,

Раскрытие модуля с учетом ОДЗ

Решение. ОДЗ:

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

ИТОГ: Когда для раскрытия модуля используем определение? Почему составляем строгое неравенство при раскрытии модуля как в последнем случае?

-Все методы описаны у вас в конспекте. Подсказки при подготовке дом.заданий обеспечены.

— Внимательно посмотрим на решение уравнения из ЕГЭ (видео).

При поступлении в вуз необходимо знать чуть больше чем другие абитуриенты, чтобы набрать больше баллов и составить конкуренцию.

— Решение можно попробовать записать самостоятельно. Кто затрудняется, может взять подсказку (на рабочем столе).

— Где и как можно использовать знания, полученные при изучении тригонометрических уравнений? Узнаем из исторической справки.

Презентация. Доклад о применении тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…

ИТОГ:- Дополнительную информацию можно посмотреть в Интернете.

-Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно по вариантам 1 уравнение.

(Решают под копирку, второй лист сдают учителю. Обмениваются работами, проверяют их, используя образец на компьютере).

-Кто справился полностью с работой?

-Возьмите опросник и ответьте на вопросы (собрать листочки).

Кто оценил свою работу:

У кого остались вопросы?

Домашнее задание из ЕГЭ.

-Так как на одном уроке невозможно ответить и решить все уравнения. Мы продолжим отвечать на вопросы на следующем уроке. Сегодня вы активно поработали. Оценки получили .Молодцы ребята! Думаем, все согласятся, что — математика замечательный предмет для удивления . Спасибо за урок.

Лист-конспект: Решение тригонометрических уравнений с модулем Ф. И.______________________, класс__

1.Раскрытие модуля по определению

2.Метод оценки левой и правой части уравнения

3.Раскрытие модуля по определению и учетом ОДЗ

одз

4.Появление модуля в ходе решения уравнения

5.Раскрытие модуля по формуле:

Домашнее задание ( Д.А.Мальцев Математика ЕГЭ 2015.книга 2 Профильный уровень) ТЕСТ 31 задание15

найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»):

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по определению____

Я понял(а), в каких случаях раскрывать модуль по формуле ____

Я понял(а), в каком случае использовать метод оценки левой и правой части уравнения____

Я могу решать тригонометрические уравнения с модулем___

Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»

Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Краткое описание документа:

Урок составлен и проведен совместно с педагогом Заболотневой Н.В. на обучающихся 10 и 11 классов.

Данный урок в форме консультации позволяет ребятам 10 и 11 классов повторить знания по тригонометрическим уравнениям. Кроме того, учитывая, что в 10 классе алгебра изучается углубленно, а в 11 — по обычной программе, ребята 10 классов даже знают и умеют больше.

К конспекту занятия прилагаются буклеты-подсказки по решению тригонометрических уравнений, дидактический материал-раздатки на парты, листы самостоятельной работы — для уменьшения времени (переписывать не надо) и ускорения процесса решения заданий. Имеется также готовый видеофайл- решения уравнения (нарезка из фильма большого). Но в связи с тем, что он занимает много места и не авторский — могу дать ссылку на оригинал (http://www.youtube.com/watch?v=tgjzloGhF0Q). Пользуйтесь наздоровье.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 747 материалов в базе

Другие материалы

• 10.03.2015
• 3029
• 20

• 10.03.2015
• 3736
• 3

• 10.03.2015
• 907
• 1

• 10.03.2015
• 2274
• 7

• 10.03.2015
• 479
• 0

• 10.03.2015
• 10418
• 11

• 10.03.2015
• 1188
• 13

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.03.2015 1276
• ZIP 2.3 мбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лобанова Фаина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 20221
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.