Тригонометрические уравнения с решениями 10 класс урок

Урок по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Конспект урока по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по алгебре в 10 классе

Автор: Буянтуева Валентина Табитуевна,

учитель математики МБОУ «Курумканская СОШ № 2»

Тема: Решение тригонометрических уравнений

• образовательные – закрепить и систематизировать виды и методы решения тригонометрических уравнений;
• развивающие – уметь применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
• воспитательные – формирование коммуникативных способностей у учащихся.

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний и умений учащихся.

Методы обучения : частично – поисковый, эвристическая беседа, работа по опорным схемам, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка.

Формы организации урока : фронтальная, групповая, индивидуальная формы

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран, «кубик – экзаменатор»

I Организационный момент (1 мин)

II Математический диктант (7 мин)

III Историческая справка (4 мин)

IV Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения) (7 мин)

V Обсуждение идей решения уравнений (10 мин)

VI Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)

VII Домашнее задание (2 мин)

VIII Итог урока (4 мин)

I Организационный момент . Объявление темы, цели урока.

II Математический диктант . (через копирку)

Цель: контроль знаний, приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

1. Чему равен arcsin(-a)?
2. Чему равен arcctg(-a)?
3. Каково будет решение уравнения sin x = a при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения sin x = а при IaI ≤ 1 ?
5. Какой формулой выражается решение уравнения ctg х = а?
6. Каким будет решение уравнения cos x =1?
7. Каким будет решение уравнения cos x =-1?
8. Каким будет решение уравнения cos x =0?

1. Чему равен arccos(-a) ?
2. Чему равен arctg(-a) ?
3. Каково будет решение уравнения cos x = a при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения cos x = a при IaI ≤ 1?
5. Какой формулой выражается решение уравнения tgх= а?
6. Каким будет решение уравнения sin x =1 ?
7. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
8. Каким будет решение уравнения sin x =0?

После окончания математического диктанта собираются листочки – оригиналы (верхние), копии (нижние листы) остаются у детей. Учитель открывает правильные ответы на экране, идет самопроверка, самооценка.

Итоги математического диктанта. Выводы. (Учитель спрашивает у кого все верно, у кого 1 ошибка и т.д.)

III Историческая справка

Выступают 2 учащихся, которые подготовили сообщения о развитии тригонометрических уравнений.

Цель: развитие математического кругозора, воспитание интереса к математике.

IV Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения)

Цель: Обобщение, систематизация знаний по видам, типам тригонометрических уравнений и методам их решений.

Фронтальная работа. На доске написаны уравнения:

1. s in 3x = 1
2. cos 2 x – 9 cos x + 8 = 0
3. 2 cos 2 x + 3 sin x = 0
4. sin 2x =-
5. tg x + 3ctg x = 4
6. ctg( + ) =
7. sin x— cos x = 0
8. 2 cos 3x + 4 sin x = 7
9. (ctg x – 1)(2sin + 1) = 0
10. 6 sin 2 х + 4 sin x cos x = 1
11. sin 2x – sin x = 0

12) cos x + sin x = 2

Учитель: Ответы учащихся (примерные )

— Назовите те уравнения, которые простейшие. (1, 4, 6)

— Как они решаются? (по известным формулам)

— Назовите одноименные уравнения и сводящиеся к ним. (2, 3, 5, 7, 10)

— Какие уравнения из них однородные и сводящиеся к ним? (7, 10)

— Каков общий вид однородных уравнений? ( аcos x + вsin x = 0; аcos 2 x + вsin 2 x = 0 ит.д.)

— Как их решаем? (делим обе части на cos x ; cos 2 x и т.д.)

— Почему имеем право делить на них? ( cos x и sin x одновременно равняться нулю не могут)

— Назовите те уравнения, которые можно решить методом замены переменной. (2, 3, 5, 10)

— Какие из этих уравнений можно решить методом разложения на множители? (9, 11)

— Как решить уравнение № 8 ? (методом оценки левой и правой частей)

— Каким методом решить уравнение № 12 ? (методом введения вспомогательного аргумента)

Работа в парах . Задания на карточках: Для данных уравнений выберите соответствующий прием решения и нужную формулу, укажите их стрелкой:

Уравнения Приемы, методы решения Формулы

2sin 2 х + cos x – 1 = 0 разложение на множители 2 cos 2 α = 1 + cos 2α

3sin 2x – sin 2x = 0 понижение степени уравнения sin 2 α + cos 2 α= 1

4 cos 2 x + cos 2x = 5 преобразование суммы sin 2α = 2 sinα cosα

sin 7x + sinx = cos 3x замена переменной

Проверка через проектор на экране.

Выводы : При решении тригонометрических уравнений нет единого метода, следуя которому удалось бы решить такие уравнения. Но общая цель состоит в преобразовании входящих в уравнение выражений таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к простейшему или распалось на несколько простейших. Ведущий принцип – не терять корни !

— На изображенных на схемах множествах точек выберите те, координаты каждого из которых удовлетворяют заданному условию:

1) сos 8 х + sin 8 х = 1

2) cos 8 х + sin 7 х = 1

3) cos 7 х+ sin 7 х = — 1

схема а) схема б) схема в)

— Вопрос: Найдите соответствующую схему для уравнения cos 8 х+ sin 9 х = 1

— Сколько таких уравнений можно составить?

Ответ: Схема а). Таких уравнений можно составить бесконечно много.

V Обсуждение и раскрытие идей решения уравнений ( Групповая работа )

На доске записаны 6 уравнений, каждая из 6 групп выбирает 1 уравнение, обсуждает, решает в группе.

1. cos 2 x — 2 cosx = 0
2. 2 sin x cos x = 1
3. сos( x) + 3 sin x = 0
4. (2 cos x – 1) (tg x — ) = 0
5. sin x — cosx = 0
6. sin 2 х — 5 cosx – 5 = 0

После истечения времени представители групп выходят к доске, показывают и объясняют ход решения. Остальные группы задают вопросы и записывают решения в тетрадь.

VI Дифференцированная самостоятельная работа

(на выбор учащихся предлагается 3 варианта: А –на «3», В – на «4», С – на «5»)

Вариант А Вариант В Вариант С

1. сosx = 1) sin 2 х — 3 cosx = 0 1) 8 sin 2 х + cosx + 1 = 0
2. 2 sin x – 1)(tg x — ) = 0 2) tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0 2) 4 sin 2 х + 3 sin x cos x — cos 2 x = 0

Проверка самостоятельной работы осуществляется в форме самопроверки по готовым решениям на экране через проектор, оценку ставят сами ученики.

VII Домашнее задание (на выбор учащихся) Вариант А — №23 (в,г); Вариант В — №24 (а,г); Вариант С — №25 (в,г), 26 (а).

VIII Итог урока. Рефлексия . Оценки за урок, желательно всем. Вот уже несколько уроков вы решаете тригонометрические уравнения. Что это за уравнения? Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете? Методы их решения?

Игра «Кубик – экзаменатор» по решению простейших тригонометрических уравнений.

Каждый игрок бросает кубик один раз, решает устно простейшее тригонометрическое уравнение, которое написано на грани кубика. Развертка кубика.

Урок алгебры в 10 — м классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

“Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”.

Цели и задачи урока:

1) повторить основные формулы и методы решения тригонометрических уравнений;

2) закрепить умения и навыки решения тригонометрических уравнений общими и специальными методами;

3) познакомить учащихся с новым методом решения уравнений;

4) развивать у учащихся ключевые компетенции.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация.

I. Организующее начало урока

— Сегодня у нас не совсем обычный урок. У нас присутствуют гости, и я надеюсь, что мы не разочаруем.

И начать урок мне хочется тоже не совсем обычно.

— Французский математик и физик Паскаль говорил: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его намного занимательным”.

Я решила начать последовать совету Паскаля и предложить вам разгадать такой ребус.

— Как вы думаете, почему я предложила вам расшифровать такое слово? Что оно означает?

“Тригонометрия” происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

— Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕГЭ в 11 кл.

Итак, тема сегодняшнего урока “Решение тригонометрических уравнений”.

II Актуализация знаний

Слайд 4. “Решение тригонометрических уравнений”.

Восточная мудрость гласит: “Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”

Какие-то знания по теме “Тригонометрические уравнения” мы уже приобрели, приумножать знания — никогда не поздно, поэтому и на сегодняшнем уроке будем мудрыми, и еще раз посмотрим, насколько умело мы применяем наши знания.

Чтобы решить любое тригонометрическое уравнение, что необходимо знать?

— Общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

— Какие простейшие тригонометрические уравнения вы знаете?

— sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

— Вспомните общие формулы их решений.

Простейшие тригонометрические уравнения sin x = a, cos x = a

— Что надо помнить при решении таких уравнений?

— Частные случаи. Слайд 7

Уравнения вида tg x = a и ctg x = a.

— Проверим, насколько хорошо мы умеем решать простейшие тригонометрические уравнения.

Укажите общую формулу, по которой находятся все корни уравнения. Слайд 9. (Для удобства — задания на листах на каждом столе)

1)

А) ,

Б) ,

Г) ,

Д) .

2)

А) ,

Б) ,

В) ,

Д) .

1)

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д)

2)

А) ,

Б)

В)

Г) ,

Д) .

Проверьте себя! (Указаны правильные ответы).

— Поднимите руку, кто не допустил ни одной ошибки.

III. Основная часть урока

— Решение простейших уравнений мы вспомнили, можно приступать к решению более сложных уравнений.

Вспомним, какие методы тригонометрических уравнений мы знаем.

Наверное, надо начать с общих методов:

— разложение на множители,

— метод введения новой переменной,

— функциональный (применение свойств функций).

К специальным методам относятся:

— применение формул тригонометрии,

— метод вспомогательного аргумента,

— метод универсальной подстановки.

Перед каждым учеником лежит лист, на котором записано 15 уравнений.

Будем работать над решением этих уравнений. Некоторые решим устно, более сложные — письменно.

1. .

— Введение новой переменной (у = sin х)

2.

— Сведение к квадратному уравнению относительно cos x.

3.

— Применение формул тригонометрии, разложение на множители.

4.

— Сведение к одноименным функциям, сведение к квадратному уравнению.

5.

— Как называется такое уравнение и как его решить?

— Однородное II степени : cos 2 x 0

Сведение квадратному уравнению относительно tg.

6.

— Как удобно решить такое уравнение?

— С помощью метода вспомогательного аргумента

— Вернемся к нашему уравнению (Слайд 17)

Чему равен ?

7.

— Использование свойства ограниченности функций

I слагаемое 2, II слагаемое 4, следовательно, сумма 6, т.е. корней нет.

8. Укажите число корней уравнения на промежутке [0; 2π]

— Какой метод решения удобно использовать?

— А теперь решим следующие уравнения письменно (сразу 2 человека на боковых досках).

9.

Упростим левую часть уравнения:

,

— посторонний корень

10.

— решений нет, т.к.

.

— Внимательно посмотрите на уравнение №11.

Можете ли вы сейчас предложить метод его решения? В чем заключается проблема его решения?

— В левой и правой частях этого уравнения находятся функции, имеющие различную природу.

— Такие уравнения решаются особым методом — “Методом мажорант”, с которым вас познакомит ваш одноклассник.

Выступление ученика по теме “Метод мажорант”.

— Посмотрите, какие еще уравнения можно решить этим же методом?

— Уравнения№12 и №15.

12. (один ученик решает на доске с полным объяснением).

Подставим найденное число в I уравнение.

=> — корень уравнения.

IV. Постановка домашнего задания

Уравнения №13, 14, 15 — ваше домашнее задание.

13.

14.

15.

При подведении итога урока мне хочется задать вам один вопрос: что бы вы посоветовали ученику, который только начинает учиться решать тригонометрические уравнения?

Начните свои советы со слов: “Помни, что…”.

И в конце нашего урока хочу обратить ваше внимание на такие слова Станислава Коваля “Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Предмет: Алгебра и начала анализа. Класс 10.

Дата проведения – 20.12.2017 г.

Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

1. Образовательная : познакомить учащихся с типами тригонометрических уравнений и научить решать простейшие виды однородных, приводимых к алгебраическим и решаемых разложением на множители уравнений.

2. Развивающая : развивать у учащихся умение классификации предметов, поисковые навыки, учиться находить пути решения новой учебной задачи.

3. Воспитательная : воспитывать познавательную активность, самостоятельность и активность учащихся, прививать трудолюбие.

Тип урока : изучения нового материала

Вид урока : урок – семинар.

Форма работы : фронтальная.

Оборудование и материалы :

Интерактивная доска. Презентация к уроку.

Карточки-инструкции, раздаточный материал.

Актуализация опорных знаний.

Назвать главные точки на тригонометрической окружности.

Назвать значения тригонометрических функций для точек , находящихся в разных четвертях.

Назвать точки, для которых sin t = , cos t = — , tg t = -1, ctg t = .

Назвать решения частных случаев простейших тригонометрических уравнений: sin t = 0, sin t = 1, sin t = -1, cos t = 0, cos t = 1, cos t = -1.

Объяснение нового материала.

Перед Вами на карточках написаны три группа тригонометрических уравнений. Внимательно рассмотрите уравнения каждой группы и найдите лишние уравнения в каждой группе.

Учитель знакомит учащихся с типами уравнений: 1 группа – уравнения, приводимые к алгебраическим, 2 группа — однородные и 3 группа – уравнения, решаемые разложением на множители.

В задачнике находим уравнения в соответствии с классификацией.

Рассмотрим алгоритмы решения разных групп уравнений. Кто может предложить последовательность решения уравнений 1 группы — уравнения, приводимые к алгебраическим.

а).Решение алгебраических уравнений заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

Пример . 2sin 2 x + sin x – 1 = 0, sin x = t,

Предлагаю самостоятельно решить уравнение 3 из первой группы.

6 cos 2 x + cos x – 1 = 0, cos x = t,

6t 2 +t – 1 = 0, D = 1 + 24 = 25, t _{1 =} — , t ₂ =

x = + 2 πn, x = arccos + 2πk, n,k ϵZ

Формулируем алгоритм решения.

б) Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических путём деления обеих частей уравнения на выражение, стоящее в левой части уравнения справа. Однородные уравнения бывают уравнениями первой степени и второй. Рассмотрим, как их определить.

Пример. 2 cos 2 x – 3 cos x sinx + sin 2 x = 0, разделим строку на sin 2 x . Сделать запись. Получим уравнение 2 с tg 2 x – 3 ctg x + 1 = 0, приводимое к алгебраическому.

Чем отличается уравнение 3 sin 2 x – sin x cos x = 2,

3 sin 2 x – sin x cos x — 2 = 0,

3 sin 2 x – sin x cos x — 2 (sin 2 x + cos 2 x) = 0,

3 sin 2 x – sin x cos x — 2 sin 2 x — 2 cos 2 x) = 0,

sin 2 x – sin x cos x — 2 cos 2 x = 0, разделим на cos 2 x,

получим уравнение tg 2 x – tgx — 2 = 0,

Формулируем алгоритм решения.

в) Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.

Пример . 2cos 2 x – cos x = 0, cos x ( 2 cos x – 1 ) = 0,

Формулируем алгоритм решения.

Подведение итогов урока: Назвать тип уравнения и способ его решения:

cos x sin x + sin x = 0

6 cos 2 x – 5 cos x sin x – sin 2 x = 0

2 sin 2 x + 3 sin x + 1 = 0

Домашнее задание. № 18.6, 18.11, 18.12 (а, б)

Краткое описание документа:

конспект урока по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Урок проводится после изучения методов решения простейших тригонометрических уравнений. На уроке решаются уравнения алгебраические, однородные, уравнения, в которых необходимо вынести множитель за скобки. Первый урок по данной теме.

На уроке учащиеся под руководством учителя должны вывести алгоритмы решения уравнений каждого типа.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 332 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

§ 18. Тригонометрические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 17.01.2018
• 5333
• 43

• 16.01.2018
• 2675
• 8

• 15.01.2018
• 409
• 0

• 03.01.2018
• 1279
• 38

• 24.12.2017
• 499
• 1

• 24.12.2017
• 16639
• 1

• 21.12.2017
• 1191
• 1

• 04.12.2017
• 428
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.01.2018 2810
• DOCX 88 кбайт
• 62 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кучеренко Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5617
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.