Тригонометрические уравнения с решениями презентация

«Урок-презентация» Решение тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Урок «Решение тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим». Урок входит в раздел «Тригонометрические функции» курса алгебры и начала анализа – 10 класс. Это урок объяснения нового материала, ему предшествует тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений».

На уроке используется компьютерная презентация, цель которой помочь учащимся лучше разобраться в учебном материале. Презентация не громоздкая, она состоит из 22 слайдов. На слайдах представлен теоретический материал урока, подробно разобраны примеры решения тригонометрических уравнений. Также представлена геометрическая задача, решение в которой сводится к тригонометрическому уравнению. Представлены задания для самостоятельной работы разного уровня и приведены ответы к заданиям. Все задания максимально приближены к вариантам Единого Государственного Экзамена по математике. Презентация также содержит справочный материал.

Каждый слайд содержит гиперссылки, которые позволяют легко возвращаться от теоретического материала к примерам и заданиям. Слайды содержат минимум анимации, чтобы не отвлекать учащихся от основной задачи урока. Стоит также отметить, что данную компьютерную презентацию учащиеся могут использовать не только на данном уроке, но и дома в качестве справочного материала.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Владимирова Р.В. учитель математики МБОУ «Гимназия № 94» Московского района г.Казани Решение тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим «Каждая решенная мною задача становится образом, который служит впоследствии для решения других задач» Р.Декарт

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2. Повторение Простейшие тригонометрические уравнения Частные случаи Задания для на повторение 4. Уравнения, приводимых к алгебраическим 5. Примеры решения уравнений 6. Использование тр.ур . при решении геометрических задач 7.Задания для самостоятельной работы 8.Краткий справочник формул 2

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда и других. Современную форму тригонометрическим функциям и вообще тригонометрии придал Леонард Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика. 1 3 Введение Содержание

ТРИГОНОМЕТРИЯ — математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ , с помощью которых связываются элементы треугольника, изучаются в курсе математического анализа. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – это уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций. Введение 1 Содержание 4

Решение простейших тригонометрических уравнений Если уравнение не имеет решения. Если Если уравнение не имеет решения. Если 2 Содержание 5

Решение простейших тригонометрических уравнений Частные случаи 2 Содержание 6

1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 2. Решите уравнение : 1) 2) 3) 4) 3. Укажите наименьший положительный корень уравнения 1) 2) 3) 4) Задания на повторение 2 Содержание 7

Уравнения, приводимые к алгебраическим С помощью замены переменной можно привести тригонометрическое уравнение к алгебраическому. Рассмотрим несколько типов уравнений: Тип уравнения Замена Алгебраическое уравнение 4 Содержание 8 ПР №1 ПР №2 ПР №3 ПР №4

Делаем обратную замену , Пример 1 Уравнения, приводимые к алгебраическим Сделаем замену переменной Получаем : , 5 Содержание 9 Теория

Получаем : , Уравнения, приводимые к алгебраическим Сделаем замену переменной Применим основное тригонометрическое тождество 5 Пример 2 Содержание 10 Теория

Пример 3 Уравнения, приводимые к алгебраическим Сделаем замену переменной Получаем : , 5 Содержание 11 Теория

Получаем : , Пример 4 Уравнения, приводимые к алгебраическим Сделаем замену переменной 5 Содержание 12 Теория

6 Решение геометрической задачи Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в шесть раз короче гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника. Содержание 13

ДАНО: треугольник АВС угол С –прямой ВД- биссектриса НАЙТИ : , РЕШЕНИЕ: Пусть Применив теорему синусов к треугольнику АВД, найдем, что Решение задачи Решение геометрической задачи Учитывая условия задачи, получаем: 6 14

Задача продолжение Решение геометрической задачи ОТВЕТ: 6 Решение задачи сводится к решению тригонометрического уравнения Решаем квадратное уравнение относительно ,получаем Содержание 15

Задания для самостоятельной работы Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Уравнения, приводимые к алгебраическим 7 Содержание 16 Ответы

Ответы самостоятельной работы Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Уравнения, приводимые к алгебраическим 7 Содержание 17 Задания

Краткий справочник формул 8 Нахождение тригонометрических функций по единичной окружности Основные тригонометрические тождества Формулы двойного аргумента Формулы сложения Формулы преобразования суммы в произведение Формулы преобразования произведения в сумму Содержание 18

Единичная окружность . . . 3 Содержание Задания на повторение 19 ПР №1 ПР №2 ПР №3 ПР №4 Задания с.р

2. Основные тригонометрические тождества 3.Формулы двойного аргумента 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 Краткий справочник формул 8 20

Краткий справочник формул 4. Формулы сложения 1 2 3 4 5 6 7 8 8 55 19

Краткий справочник формул 5. Формулы преобразования суммы в произведение 1 2 3 4 6. Формулы преобразования произведения в сумму 1 2 3 8 22

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока алгебры в 10 классе: «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения»

Соотнести свое уравнение с одним из типов уравнений, используя справочный материал.

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения», 10 класс (профильный)

Материал презентации был представлен на защите урока на Всероссийском конкурсе «Мой лучший урок» (2 место).

«Тригонометрические уравнения, сводимые к алгебраическим»

Данные задания помогут учащимся при подготовке к ЕГЭ, а также на уроках по теме «Тригонометрические уравнения» для закрепления умений и навыков.

Методическая разработка урока на тему: Решение показательных уравнений, приводимых к квадратным, методом замены переменной.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. На уроке рассматривались показательные уравнения, которые можно решить способом замены переменных. Класс, в котором проводился урок, характеризуется неустойчивостью внимани.

Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: полиномиальные алгебраические уравнения. Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, неравенств, систем»

Программа состалена на основе авторской программы элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

N16 Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному. за 2.05.20 для группы МЖКХ1 и за 4.05.20 для группы ПК1

Задание:1. Сделать конспект краткого справочного материала.2. Оформить решение типовых задач.3. Выполнить самостоятельно N1-N8.

26.04.2021 ПК1 Тема: «Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному».

Задание:1. Выполнить конспект краткого справочного материала по теме: » Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному».2. Оформить упражнения с решениями в тетради.3. Решить.

Презентация по алгебре на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: учитель математики Гадирова Н.Я. МБОУ «Лицей № 4» г.о. Королев Методика решения тригонометрических уравнений L/O/G/O

Решение тригонометрических уравнений Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии и продолжают в 10-11 классах. Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений Основные методы: замена переменной, разложение на множители, однородные уравнения, прикладные методы: по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму, по формулам понижения степени, универсальная тригонометрическая подстановка введение вспомогательного угла, умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

1.Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Проблемы ,возникающие при решении тригонометрических уравнений

Наша задача: свести любое тригонометрическое уравнение к простейшему виду.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk‚ kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk‚ kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ 2.sint = а, где | а |≤ 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk‚ kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk‚ kЄZ 3)sint = — 1 t = — π/2+2πk‚ kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Your Text Here Yor Text Here При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2π или π. С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2π соответствующих прогрессий.

Your Text Here Yor Text Here sin x

Yor Text Here cos x

Yor Text Here tg x и ctg x

Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. Метод разложения на множители заключается в следующем: если То всякое решение уравнения Является решением совокупности уравнений Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным. При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества: Уравнения сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным. Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx — 1 = 0. Решение. Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t — 1 = 0. Решим его: D = 1 + 8 = 9, Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1.

2) sinx = -1, 1) sinx = 1/2,

Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

Однородные тригонометрические уравнения 2.Однородные 1)Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0. В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. Рассмотрим уравнение Разделим левую и правую часть уравнения на : Так как то существует угол φ такой, что при этом Тогда уравнение примет вид и выбор будут не всегда равносильны. Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор Решите уравнения:

Уравнения, линейные относительно sin x и cos x а sin x + в cos x = с. Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл; Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество. Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0. Примеры: 3 sin 5x — 4 cos 5x = 2 2 sin 3x + 5 cos 3x = 8. Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими. Решение этих уравнений существует при

Решение уравнений с применением формул понижения степени. : При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени Решение уравнений с применением формул тройного аргумента. При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы (1) (2)

Решение уравнений методом универсальной подстановки. Тригонометрическое уравнение вида где R – рациональная функция, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.

тригонометрические уравнения, содержащие знак модуля или знак корня. Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам. Решите уравнения:

Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений. При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства:

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений. Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. Также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.

Способы отбора корней тригонометрических уравнений на заданном промежутке Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Алгебраический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений

Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Решить уравнение Записать корни уравнения Разделить виды решения для косинуса; подсчитать значения x при целых n до тех пор, пока значения x не выйдут за пределы данного отрезка. Записать ответ. x k -2 -1 0 1 2 … x k -2 -1 0 1 2 …

Алгебраический способ Решение неравенства относительно неизвестного параметра n и вычисление корней Записать двойное неравенство для неизвестного (x), соответственное данному отрезку или условию; решить уравнение. Для синуса и косинуса разбить решения на два. Подставить в неравенство вместо неизвестного (x) найденные решения и решить его относительно n. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n. Подставить полученные значения n в формулу корней.

Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На окружности Решить уравнение. Обвести дугу, соответствующую данному отрезку на окружности. Разделить виды решений для синуса и косинуса. Нанести решения уравнения на окружность. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу. y x 0 arccos a d -arccos a c а

Геометрический способ Изображение корней на графике с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На графике Решить уравнение. Построить график данной функции, прямую у = а, на оси х отметить данный отрезок. Найти точки пересечения графиков. Выбрать решения, принадлежащие данному отрезку. x y y = sin x y = a arcsin a П-arcsin a с d a

Пример: Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin2 x = – cos 2x + 3; 10sin2 x = 2sin2 x – 1 + 3, 8sin2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть Из второй серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть

Тригонометрические уравнения и методы их решений. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемФёдор Кавелин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Тригонометрические уравнения и методы их решений.» — Транскрипт:

1 Тригонометрические уравнения и методы их решений

2 Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения тригонометрических уравнений.

3 Содержание: 1. Алгебраический метод Алгебраический метод 2. Метод разложения на множители Метод разложения на множители 3. Метод вспомогательного угла Метод вспомогательного угла 4. Однородные уравнения Однородные уравнения 5. Универсальная подстановка Универсальная подстановка 6. Метод оценки Метод оценки 7. Метод понижения степени Метод понижения степени 8. Метод сравнения множеств Метод сравнения множеств 9. Переход к половинному углу Переход к половинному углу 10. Преобразование произведения в сумму Преобразование произведения в сумму

4 Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

5 Пример. Решить уравнение: 2cos 2 x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin 2 x)-sinx+1=0 -2sin 2 x-sinx+3=0 2sin 2 x+sinx-3=0 Пусть sinx=y, -1y1 2y 2 +y-3=0 y 1 =-1,5- не подходит по условию y 2 =1 Возвращаемся к старой переменной: sinx=1 x=/2+2k, k є Z

6 Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение: sinx — sin2x = 0 Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 0 1. sinx=0 x=k, k є Z 2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2n, n є Z Ответ: x=k, k є Z

7 Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение =25 25=5 5(3sinx/5-4cosx/5)=5 3sinx/5-4cosx/5=1 Т.к. (3/5) 2 +(4/5) 2 =1, то 3/5=cosφ φ=arccos(3/5) 4/5=sinφ φ=arcsin(4/5) sinxcosφ-cosxsinφ=1 sin(x-φ)=1 x-φ= /2+2k, k є Z x=/2+φ+2k, k є Z x=/2+arcsin(4/5)+2k, k є Z

8 Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

9 Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2. Решение. 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4sinx · cosx + 3cos 2 x = 0 tg 2 x + 4tgx + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tg x = –1, x=-/4+k, k є Z 2) tg x = –3, x=-arctg3+n, n є Z

10 Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции. Пусть tg(x/2)=t, тогда sinx=2t/(1+t 2 ) (1) cosx=(1-t 2 )/(1+t 2 ) (2) tgx=2t/(1-t 2 ) В конце решения следует обязательно сделать проверку!

0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» > 11 Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»>

12 Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

13 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=1 sinx=1 x=/2+2m, m є Z sin5x=1 — ? sin5(/2+2n)=1 sin(5/2+52n)=1 sin(5/2)=1 sin(/2)=1 — верно Ответ:x= /2+k, k є Z sinx=-1 x=-/2+2n, n є Z sin5x=-1 — ? sin5(-/2+2n)=-1 sin(-5/2+52n)=-1 sin(-5/2)=-1 sin(-/2)=-1 — sin(/2)=-1 — верно

14 Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени: 2sin 2 x=1-cos2x 2cos 2 x=1+cos2x

15 Пример. Решить уравнение: sin 4 x+cos 4 x= ½ sin 2 2x Решение. (sin 2 x) 2 +(cos 2 x) 2 = ½ sin 2 2x ¼ (1-2cos2x+cos 2 2x+1+2cos2x+cos 2 2x)= ½ (1-cos 2 2x) ½ (2+2cos 2 2x)=1-cos 2 2x 1+cos 2 2x= 1-cos 2 2x 2cos 2 2x=0 cos2x=0 2x=/2+k, k є Z x= /4+k/2, k є Z

16 Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств. Если Е(f) E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений Если Е(f) E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

17 Пример. Решить уравнение: 6cos 2 5x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos 2 5x+5,1=5cosx (2) Пусть f(x)=6cos 2 5x+5,1 и φ(x)=5cosx. Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x), Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x). Так как Е(f) E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже решений не имеет.

18 Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента: sin2x=2sinxcosx cos2x=cos 2 x-sin 2 x В конце решения следует обязательно сделать проверку!

19 Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2. Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2)+sin²(x/2)= =2sin²(x/2)+2cos²(x/2) sin²(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cos²(x/2)=0 tg²(x/2)–4tg(x/2)+3=0 tg 1 (x/2)=1 x=/2+2k, k є Z tg 2 (x/2)=3 x=2arctg3+2k, k є Z

20 Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1. singxsingx=sinγxsinδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαxcosβx=cosγxcosδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 3. singxsingx=cosγxcosδx, если α-β=±(γ+δ) 4. cosαxcosβx=sinγxsinδx, если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

21 Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в сумму: 2singsing=cos(α-β)-cos(α+β) 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β) 2singcosβ=sin(α+β)+sin(α-β) 2cosαsing=sin(α+β)-sin(α-β) преобразования суммы в произведение: sing+sing=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) sing-sing=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

22 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть в сумму: ½ cos4x – ½ cos6x = cos4x ½ cos6x+ ½ cos4x= 0 cos6x+cos4x=0 Преобразуем левую часть в произведение: 2cos5xcosx=0 cos5xcosx=0 cos5x=0, x=/10+2k/5, k є Z cosx=0, x=/2+2n, n є Z. Ответ:x=/10+2k/5, k є Z

23 Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья