Тригонометрические уравнения с заменой переменной егэ

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.

Алгебра

План урока:

Замена переменной

Пусть необходимо решить тригонометрическое уравнение

Это уравнение уже не является простейшим. Однако если заменить выражение 2х новой переменной (обозначим ее как t), то мы получим уже знакомое нам ур-ние:

Формула его корней выглядит так:

У нас есть формула, по которой можно вычислить значения t. Теперь произведем обратную замену:

Поделим это равенство на 2 и получим решение ур-ния:

Аналогичным путем можно решить любое уравнение вида

Где Т – какая-то тригонометрическая функция, k, b и a – некоторые числа.

Задание. Найдите решение тригонометрического уравнения

и выпишите его первые три положительных корня.

Решение. Введем переменную t = 3x + π/6, тогда ур-ние примет вид:

Далее следует обратная замена:

Получили формулу корней. Теперь надо найти три наименьших положительных корня. Напомним, что тригон-кое ур-ние имеет бесконечное количество корней, но каждый из них соответствует какому-либо целому числу n. Это соответствие как раз и задается формулой корней. Достаточно лишь выбрать какое-нибудь целое число n и подставить его в формулу корней. При этом большим значениям n соответствуют большие корни.

Выберем n = 0 и получим

Это положительный корень, но является ли он наименьшим? Проверим n = – 1:

Это отрицательное число. Значит, при n ≤– 1 получаются отрицательные корни, а при n ≥ 0 корни будут положительны. Нам нужны три наименьших положительных корня, им соответствуют значения n, равные 0, 1 и 2. Ноль мы уже подставляли в формулу корней, теперь подставим единицу и двойку:

Подставлять надо целые числа, потому что именно целым числам соответствуют корни уравнения. После формулы корней в ответах делается приписка «n∈ Z», или «где n – целое число».

Примечание. Записывая общее решение тригонометрических ур-ний (то есть серию корней), мы везде делаем приписку «n∊Z», которая означает, что n– это произвольное целое число. В будущем в промежуточных выводах мы ее делать не будем, так как она всегда подразумевается. Однако при решении учебных заданий, в том числе и на экзаменах, в ответе надо обязательно дописывать эту фразу, иначе оценка может быть снижена.

Заметим, что часто в простых случаях новую переменную не записывают явно, чтобы сделать решение более простым.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Ур-ние cosx = – 1 является частным случаем, у которого решение записывается так:

Тогда для ур-ния cos (2x– π/4) = – 1 можно написать

Задание. Решите ур-ние

Решение. Слева стоит произведение двух скобок, а справа – ноль. Произведение будет равняться нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из его множителей будет нулевым, то есть:

Вычислить arcsin 1/3 и arccos (– 2/5) мы не можем, так как чисел 1/3 и 2/5 нет в тригонометрических таблицах, поэтому оставляем решения в таком виде.

Теперь рассмотрим чуть более сложный случай, когда в качестве новой переменной принимают саму тригонометрическую функцию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Решение. Здесь за переменную можно принять величину sinx:

Получили обычное квадратное уравнение! Решим его, найдя дискриминант

У нас есть два значения t. Можно произвести обратную замену неизвестного:

Получили два тригонометрических уравнения. Второе из них решений не имеет, ведь область значений синуса – это промежуток [– 1; 1], то есть ни при каких х он не может быть равен двум. Решим первое уравнение:

Применение формул для преобразования уравнений

Когда в уравнении стоят различные тригонометрические функции, то замена одной из них переменной не помогает найти корни ур-ния. В таких случаях требуется использовать тригонометрические формулы, чтобы получилось ур-ние, содержащее только одну тригонометрическую функцию.

Задание. Решите ур-ние

Решение. В уравнении стоят две различные тригонометрические функции – синус и косинус. Следует упростить левую часть, чтобы в ней осталась только одна функция. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

С его помощью можно выразить величину sin 2 x:

Теперь подставим эту формулу в исходное ур-ние:

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Получили обычное уравнение с заменой переменной. Из него с помощью замены t = cosx получаем квадратное ур-ние:

Производим обратную замену:

Каждое из этих ур-ний имеет решение. Начнем с первого из них:

Арккосинус от отрицательного числа найдем отдельно, используя формулу

Подставляем вместо а число 0,5:

Тогда решение ур-ния cosx = – 0,5 примет вид:

Теперь решим второе ур-ние:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Перенесем все выражения в левую часть:

Можно заметить, что теперь в левой части стоит выражение, которое похоже на формулу синуса разности двух углов:

Действительно, если в формулу подставить значения α = 5х и β = 3х, то мы получим левую часть ур-ния. Это значит, что ур-ние можно переписать в виде:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Сначала заменим синус двойного угла:

Далее вынесем за скобки множитель 2sinx:

В скобках осталось выражение, которое, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно единице:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Заменим cos2x, используя формулу косинуса двойного угла:

теперь избавимся от соs 2 x:

Вводим переменную t = sinx:

Выполняем обратную замену:

Запишем их решения:

Задание. Решите ур-ние

и укажите те корни, которые принадлежат промежутку [– 2π; – π].

Решение. Преобразуем обе части, используя формулу косинуса двойного угла, а также формулу приведения sin (x + π/2) = cosx:

И снова вводим новую переменную cosx = t:

Выполняем обратную замену

Так как arccos (– 0,5) = π – arccos 0,5 = π– π/3 = 2π/3, то решениями этих ур-ний будут серии:

Первая часть задания выполнена. Теперь следует отобрать корни, попадающие в промежуток [– 2π; – π]. Сначала для удобства разобьем первую серию решений на две:

Подставим в серии решений число n = 0:

Получили три корня, которые больше, чем (– π), а потому располагаются на координатной прямой правее промежутка [– 2π; – π].Значит, нет смысла проверять ещё большие значение n, ведь им будут соответствовать ещё большие значения х. Будем подставлять отрицательные значения n до тех пор, пока не получим корни, меньшие (– 2π). При n = – 1 имеем:

Корни х₁ и х₂ попадают в промежуток [– 2π; – π]. Теперь подставим n = – 2:

Все три полученных значения меньше, чем (– 2π), то есть они не входят в нужный нам промежуток. Нет смысла подставлять другие значение n (– 2, – 3, – 4 …), так как будут получаться ещё меньшие корни. В итоге только два корня, (– 4π/3) и (– 2π), принадлежат промежутку [– 2π; – π].

Иногда в ур-нии стоят тригонометрические функции от разных углов. В этом случае приходится использовать формулы суммы или разности аргументов.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Разложим выражения sin (π/3 – х) и sin (π/6 – х), используя формулу синуса и косинуса разности:

Тогда левая часть ур-ния примет вид:

Здесь мы просто левую часть, в которой большое выражение стоит, заменяем

А то, что такую замену можно сделать, мы доказали в решении до этого, используя формулы разности.

Соответственно, всё уравнение можно переписать так:

Однородные тригонометрические уравнения

Особый интерес представляют уравнения вида

где а и b – некоторые постоянные числа, не равные нулю. Такие ур-ния называют однородными уравнениями 1-ой степени. Приведем несколько примеров таких ур-ний:

Для решения таких ур-ний обе части делят на cosx:

Обратите внимание, что при выводе этой формулы мы делили ур-ние на cosx. Однако это выражение может быть равным нулю, а деление на ноль запрещено. Это значит, что мы должны быть уверены, что у ур-ния нет такого корня х, что соs х = 0. Уверены ли мы в этом?

Заметим сразу, что функции у = sinx и у = cosx обращаются в ноль в различных точках. Поэтому, если сosx = 0, то sinx ≠ 0, а значит, и всё выражение

не равно нулю. Поэтому мы можем спокойно делить такое ур-ние на соsx.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Делим обе части на соsх и получаем:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Можно составить две формулы приведения:

С их учетом исходное ур-ние примет вид:

Делим ур-ние на cos 2x:

Существуют и более сложные однородные уравнения второй степени. В общем случае они имеют вид:

Для того, чтобы решить их, необходимо поделить обе части на cos 2 x, и тогда мы получим равносильное ур-ние:

Произведя замену tgx = t, получим квадратное уравнение

Задание. Решите ур-ние

Решение. Поделим обе части на выражение cos 2 x:

Введем переменную tgx = t:

Возвращаемся к переменной х:

Введение вспомогательного угла

В правой части однородного ур-ния стоит ноль. Усложним задачу и рассмотрим схожие ур-ния, у которых справа стоит произвольное число, которое может быть и отлично от нуля. То есть ур-ние имеет вид

Существует ли универсальный метод решения тригонометрических уравнений такого вида? Да, существует, и называется он методом вспомогательного угла. Очевидно, что величина a 2 + b 2 является положительной, ведь это сумма квадратов чисел, отличных от нуля. Это значит, что существует действительное число

которое больше нуля.

Поделим ур-ние на N и получим новое ур-ние

Для краткости введем новые обозначения:

коэффициенты уравнения запишем большими буквами, чтобы не писать корни.

и тогда ур-ние примет более простой вид:

Попытаемся найти величину А 2 + В 2 :

Так как величина А 2 + В 2 равна единице, то можно подобрать такой угол α, что будут одновременно выполняться равенства

Угол α называют вспомогательным углом. Как его подобрать? Из равенства А = sinα очевидно, что

Заменим в (1) числа А и В по формулам (2) и (3) и получим:

Теперь слева стоит косинус разности, который можно «свернуть»:

Это уже почти что простейшее тригонометрическое уравнение, которое мы сможем решить.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Коэффициенты перед синусом и косинусом равны 5 и 12. Найдем корень из суммы 5 2 + 12 2 :

Значит, число N = 13. Поделим ур-ние на 13:

Теперь введем вспомогательный угол α = arcsin 5/13. Тогда

Подставим в (1) вместо дробей 5/13 и 12/13 sinα и cosα:

Теперь смотрим в тригонометрические формулы сложения и вычитания аргументов. Есть ли там что-то похожее на левую часть ур-ния? Действительно, там есть следующая формула:

Наше ур-ние похоже на эту формулу, но надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое. Для этого можно умножить ур-ние на (– 1):

Уравнения с ограничениями на значение переменной

До этого мы рассматривали случаи, при которых переменная х могла принимать любые значения в уравнении. Однако, если в ур-нии переменная стоит под знаком корня или находится в знаменателе, то возникают некоторые ограничения на те значения, которые она может принимать. Рассмотрим пример.

Задание. Решите ур-ние

Решение. В левой части произведение двух множителей, а справа – ноль, следовательно, можно записать:

Решение для первого уравнения запишем в виде двух серий, а не одной (так проще будет проводить дальнейшее исследование). Сначала вычислим арксинус:

Тогда получаем три серии решений:

Теперь учтем, что в исходном уравнении выражение cosx стоит под корнем, поэтому должно соблюдаться условие:

Косинус принимает положительные значения в I и IV четверти. Отметим все серии решении на единичной окружности и посмотрим, какие из них попадают в I и IV четверть:

Теперь мы видим, что корни из серии 4π/3 + 2πn находятся в III четверти, то есть для них соsx 2 x = ctgx

Презентация по математике на тему «Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения (задание №13)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику