Тригонометрические уравнения sinx cosx tgx

Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t

Разделы: Математика

Классы: 10 , 11

Цели:

1). Образовательные:

• Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
• Коррекция знаний, умений, навыков.
• Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
• Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.

2) Развивающие:

• Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
• Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.
• Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.

3) Воспитательные задачи:

• Формирование самостоятельности, мыслительной активности.

Ход урока

1. Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
2. Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
3. Закрепление нового материала.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.

Вместе с учащимися разбираются свойства:

1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx) 2 = sin 2 x +cos 2 x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 — 1= — 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.

2) Выразить tg 2 x+ctg 2 x, если tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx) 2 = tg 2 x+ctg 2 x + 2tgx ctgx= tg 2 x+ctg 2 x + 2.

Следовательно tg 2 x+ctg 2 x = 7.

Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.

№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin 2 x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.

4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t 2 -1.

4 t – ( t 2 — 1) + 4 = 0,

Решая квадратное уравнение, получаем t₁ = 5, t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 5

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x + cos x = — 1

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = — / 2;

sin (x + / 4) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем:

x + / 4 = — / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.

Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.

Закрепление уравнений данного типа (у доски — учащийся):

№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0

Введем обозначение: sin x — cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 — t 2 .

Решая квадратное уравнение, получаем: t₁= 3 , t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = — 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x — sin / 4 * cos x = — / 2.

sin ( x — / 4 ) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем :

x — / 4 = — / 4 + 2 n или x — / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.

Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.

№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.

Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.

Применяя данную подстановку, получаем: t 2 — 3t +4 = 0.

t₁ = 2 , t₂ =

sin x + cos x =2.

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = .

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на .

sin ( x — / 4 ) = 1.

x — / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .

Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .

№ 4. Применим еще одну подстановку.

4tg 2 x+ctg 2 x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

4tg 2 x+ctg 2 x – 4 = t 2 , получаем:

2tg x- ctg x = — 4.

2tg x- 1/tg x = — 4

2 tg 2 x+ 4tg x — 1 =0.

t₁ = (-2 + )/2, t ₂ = (-2 — )/2.

х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 — )/2 + n , где n Z .

Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 — )/2 + n , где n Z .

№ 5. Закрепление темы:

tg 2 x+ctg 2 x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

tg x + ctg x = t, получаем:

Решая квадратное уравнение , получаем: t₁ = — 2 , t₂ = — 1.

tg 2 x- 2tg x + 1 =0,

x = /4 + n, где n Z .

tg x + ctg x = -1 не имеет решения.

Ответ: / 4 + n, где n Z .

№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):

2(tgx+ ctg x)= (tg 2 x+ctg 2 x) — 2=0.

Проверка по этапам:

Квадратное уравнение относительно t: t 2 — 2 t = 0.

Корни уравнения: t=0 или t= 2/,

Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .

Далее рассматриваются более сложные уравнения, содержащие модули.

¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.

Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t 2 .

Решая уравнения с модулем, получаем:

t = 0 или t= 1 , t = -1.

Далее решаем уже рассмотренные уравнения:

sin x + cos x = 0,

Объединяя решения, получаем ответ:

Ответ: — /4+ n ; /2 n, где n Z .

Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3) sin x + cos x — sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x — 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 — sin2 x,

6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.

Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

7.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8.

9.

10.

11.

12.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1) k обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14.

15.

16.

17.

18.

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

Но поэтому

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

19.

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

20.

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21.

22.

23.

24.

25.

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при уравнение равносильно уравнению

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.