Тригонометрические уравнения смешанного типа определение

Уравнения смешанного типа

Смешанные уравнения – это уравнения, в которых переменная находится в функциях разных типов.

Решение смешанного уравнения

Каждое такое уравнение решается очень индивидуально. Общего метода решения – нет. В некоторых уравнениях нужно умело использовать формулы. В других помогут графики функций.

Пример. Решить уравнение \(\log_2⁡x=-x+1\).
Решение: Здесь никакие преобразования не помогут найти корень . Это отличительный признак уравнений, решающихся графически.
Представим левую и правую части уравнения как функции: \(f(x)=\log_2⁡x\) и \(g(x)=-x+1\). Уравнения требует, чтоб они были равны – значит, графики этих функций должны пересекаться, а точка пересечения и будет корнем уравнения.
Построим графики функций и найдем точки пересечений.

Единственная точка пересечения — \((1;0)\). Значит, корнем уравнения будет значение \(x=1\). Проверим это подстановкой:

Конечно, некоторые из вас сразу нашли этот корень простым подбором, но это не будет полноценным решением. Почему? Потому что вы не можете быть уверены, что других корней нет, а график функций снимает этот вопрос — он четко показывает: корень здесь только один.

Это показательно — тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что \(15\) можно представить как \(3\cdot 5\). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим \(15\) на множители.

Перенесем выражение из правой части в левую.

В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем \(5^<\sin⁡x>\) вправо.

Имеем показательное уравнение . Решаем его как обычно — «убираем» основания степеней.

Делим уравнение на \(\sin⁡x\). Это можно сделать т.к. \(\sin⁡x=0\) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

Конспект по математике 11 класс «Смешанные тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тип урока: Урок обобщения и систематизации.

-исследовательский – решение познавательных обобщающих задач;

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», решение смешанных тригонометрических уравнений, продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.

● Устная работа (разминка)

● Самостоятельная работа (повторение)

● Проверка вариантов ЕГЭ (домашняя работа)

● Демонстрация решённых самостоятельно смешанных тригонометрических уравнений

● Самостоятельное решение смешанных уравнений.

● Индивидуально — консультационная работа.

Крылатые выражения (девиз урока)

Сегодня на уроке мы продолжим работу над обобщением и систематизацией полученные знания по теме «Тригонометрические уравнения». На этом занятии мы будем решать смешанные тригонометрические уравнения, и тем самым – продолжаем подготовку к ЕГЭ. Работаем по следующему плану:

Устная работа. Диктант «Верно — неверно»

● Самостоятельная работа (повторение)

Для каждого варианта — задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 минуты.

Критерий оценки: «5» — все 9 «+», «4» — 8 «+», «3» — 6-7 «+»

● Проверка вариантов ЕГЭ (домашняя работа).

● Демонстрация решённых самостоятельно смешанных тригонометрических уравнений. Отсканированные работы на слайдах. Ход решения кратко рассказывают ученики.

№ 511105. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем уравнение:

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке

Получаем:

Ответ: а) б)

№ 501689. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

№ 502313. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо откуда либо откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

№ 505565. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Заметим, что: Далее имеем:

Заданному промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Последовательно получаем:

б) Условию удовлетворяет только числа

Ответ: а) ; б)

● Самостоятельное решение смешанных уравнений.

log ₅ ( cos x − sin 2 x + 25) = 2

Перепишем Все уравнение с учетом этого факта:

Перед нами каноническое логарифмическое уравнение . В нем мы можем смело убрать знаки логарифма (т.е. просто приравнять аргументы логарифмов). Получим:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Перед нами тригонометрическое уравнение. Переносим 25 влево и получаем:

cos x − sin 2 x = 0

Формула синуса двойного угла

В данном случае все очень легко. Вспоминаем формулу синуса двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x

Подставляем это выражение в наше уравнение:

cos x − 2sin x · cos x = 0

Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом есть cos x . Выносим его за скобку:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

либо cos x = 0, либо 1 − 2sin x = 0

Перед нами совокупность из двух простейших тригонометрических уравнений:

cos x = 0; 1 — 2sin x = 0.

Вспоминаем, что cos x = 0 — это частный случай, поэтому x = π/2 + π n , n ∈ Z .

2). ( 2sinx — )∙ log ₃ (tgx) = 0.

Решение: ( 2sinx — )∙ log ₃ (tgx) = 0, ОДЗ: tgx > 0

2sinx — = 0 или log ₃ (tgx) = 0

sinx = tgx = 1

х =

Заметим, что x= не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: ; .

● Индивидуально — консультационная работа. Ученики могут начинать решение с любого уравнения при необходимости за советом или помощью обращаются к одноклассникам или ко мне.

№ 484551. Решите уравнение

Уравнение равносильно системе

Из неравенства получаем, что . В уравнении сделаем замену и решим уравнение или Равенствам и на тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию

Получаем решения:

Ответ:

№ 484552. Решите уравнение

Уравнение равносильно системе

Тогда или . Последнее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем: .

Ответ: .

№ 507620. Решите уравнение:

Уравнение равносильно системе:

Уравнение решений не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

№ 507633. Решите уравнение

Левая часть уравнения имеет смысл при Приравняем числитель к нулю:

Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения. Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения.

Ответ:

№ 507656. Решите уравнение

Перейдём к системе:

Решим первое уравнение:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

№ 507659. Решите уравнение

Найдем нули числителя:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Тригонометрические уравнения смешанного типа определение

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: