Тригонометрические уравнения со сложным аргументом

Урок по алгебре на тему «Решение простейших тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ простейшие тригономнтрические уравнения.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Дата: 23 ноября 2015 год Предмет: алгебра и начала анализа Учитель: Давлетбаева Ю.Ю. Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений Создание постера на тему:

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk‚ kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk‚ kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ 2.sint = а, где | а |≤ 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk‚ kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk‚ kЄZ 3)sint = — 1 t = — π/2+2πk‚ kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

1. Индивидуальная работа. Найдите соответствие между заданиями и ответами. Проверьте ответы по ключу. Заполните оценочный лист. 2. Задания для лидеров. Самостоятельная индивидуальная работа

Практическое применение тригонометрических уравнений Нам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И мы не догадываемся, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца, звучание музыки и разработка компьютерных игр – это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями. Большое значение имеет теория тригонометрии, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Некоторые примеры мы сейчас предлагаем вашему вниманию:

Применение в геодезии Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников, тригонометрия дает мощный метод решения геометрических задач. Чтобы воспользоваться им, строители туннелей намечают геодезический пункт, откуда видны концы туннеля. Затем они визируют направления и определяют углы между ними. Математический принцип предельно прост.

Применение в астрономии На сфере, как и на поверхности Земли, о расстояниях можно судить по углам под которыми они видны из центра сферы. Положению точки на поверхности Земли определяются ее широтой (углом отсчитываемым от экватора) и долготой. Это дает мореплавателю расстояние и курсовой угол. Астрономы определяют положение звезд при помощи таких сферических небесных треугольников.

Применение в технике Применения тригонометрии разнообразны. Принцип действия самозахватывающего ключа основан на измерении косинуса угла между захватами. При уменьшении угла косинус возрастает — захваты смыкаются. При смыкании небольшое перемещение захватов обеспечивает плотное сцепление с отвинчиваемой деталью.

Применение в электротехнике В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными, например, колебания тока в электрической цепи. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям, которые можно описать по закону синуса или косинуса. Осцилло́граф — прибор, предназначенный для исследования электрических сигналов путем визуального наблюдения графика сигнала на экране либо записанного на фотоленте, а также для измерения параметров сигнала (амплитуды, периоду) по форме графика.

Домашнее задание Iвариант IIвариант «3» Решить уравнение «3» Решить уравнение «4» Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;π] «4» Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;π] «5» Найдите сумму корней уравнения, принадлежащих промежутку [-π;π] «5» Найдите сумму корней уравнения, принадлежащих промежутку [0;2π]

SMS – сообщение Напишите короткое сообщение другу, рассказав чем вы сегодня занимались на уроке и что узнали нового. Рефлексия

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ» Я. А. КАМЕНСКИЙ. Подведение итогов, оценивание

Выбранный для просмотра документ решение простейших тригонометрических уравнений со сложным аргументом.docx

Урок № 33 класс: 10 (ОГ) предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Цель: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся по решению простейших тригонометрических уравнений;

1. Обучающая : повторить основные свойства обратных тригонометрических функций и решения простейших тригонометрических уравнений вида ,, .

2. Развивающая : работать над развитием понятийного аппарата и развивать навыки самоконтроля;

3 . Воспитательная : воспитывать ответственное отношение к труду, волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок закрепления ЗУН

Вид урока : комбинированный

Оборудование : интерактивная доска, плакат, раздаточный материал, оценочные листы.

Межпредметная связь: физика и астрономия, география

Учащиеся должны знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений;

Учащиеся должны уметь решать простейшие тригонометрические уравнения

1. Организационный момент

а) приветствие, проверка отсутствующих

б) настрой на урок

в) распределение на группы

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний

а) создание постера «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений»

б) самостоятельная парная работа учащихся «Составление кластера»

4. Закрепление изученных ЗУН

а) самостоятельная индивидуальная работа с учащимися

б) практическое применение тригонометрических уравнений

7. Подведение итогов, оценивание

1. Организационный момент

а) приветствие, проверка отсутствующих

б) настрой на урок

— Повернитесь друг к другу, посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь друг к другу, пожелайте друг другу хорошего рабочего настроения на уроке. Теперь посмотрите на меня. Я тоже желаю вам работать дружно, открыть что-то новое.

в) распределение на группы . « Представь, что ты оказался(лась) на необитаемом острове. Кого бы ты хотел(а) видеть рядом с собой? «

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний

а) Создание постера на тему: «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений»

Цель: проверить знания учащихся основных формул для нахождения корне простейших тригонометрических уравнений

2 балла — нет ошибок

1 балл — пропустили 1 -2 формулы

0 баллов — пропущено боллее 2 формул

б) Самостоятельная парная работа учащихся «Составление кластера» Взаимопроверка. Работа в парах.

Цель: проверить знания определения обратных тригонометрических функций.

— ознакомьтесь со схемой «Составление кластера»

— возьмите карточки №1 на столах

— в соответствии с таблицей соедините стрелками функции и соответствующие данным обратным тригонометрическим функциям область определения, область значения, условие монотонности.

— Обменяйтесь карточками и проверьте по ключам с помощью слайда 2

— заполните оценочный лист в соответствии с критериями

Решение тригонометрических задач со сложным аргументом

Курс школьной математики предусматривает изучение различных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы всё чаще встречаются уравнения и неравенства, методы, решения которых выходят за рамки школьного учебника математики. Поэтому, объектом нашего исследования стали тригонометрические уравнения, неравенства и функции со сложной функциональной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Данные уравнения требуют дополнительного исследования множества решений. Это и закрепление и прекрасная демонстрация их применения на практике, и подготовка к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали решения уравнений и неравенств, у которых аргументом является сложная функция от х. В основу которых положено применение всех основных тригонометрических тождеств зависимости синуса и косинуса, тангенса и котангенса, также введение новых переменных.

Цель нашей работы – показать решения тригонометрических задач, в которых под знаком тригонометрической функции находится – сложная функция (и даже тригонометрическая) от х.

Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках по алгебре и началам анализа. Они редко встречаются и в пособиях для поступающих в высшие учебные заведения. Однако их можно встретить на вступительных экзаменах. Заметим, что предлагаемый набор упражнений можно использовать как на уроках, так и на курсах по выбору.

• поиск и отбор материала;

• группировка и систематизация материала;

• анализ материала по исследованию работы;

• практическое применение полученных в результате анализа данных.

Решение тригонометрических задач со сложным аргументом можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезу и проверять полученные результаты. Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения задач, приходится обдумывать, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.

Наш интерес к этой теме вызван не случайно. В школьной программе решения тригонометрических задач, аргументом которых является сложная функция, не затрагивается. Формирование некоторых навыков в решении такого рода задач затрагивается, но недостаточно, для формирования умения решать такие задачи.

В своей работе мы показали решения различных задач. Упор в работе сделан на аналитические способы решения уравнений и неравенств, но при исследовании функций рассматриваются и построения графиков функций со сложным аргументом.

Надеемся, что материал, предложенный в этой работе, будет интересен старшеклассникам, абитуриентам (и поможет при поступлении в ВУЗ), а также учителям и учащимся в классах с профильным изучением математики, а так же на курсах по выбору.

§ 1. Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом

Уравнения называются тригонометрическими, если переменная находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где.

Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где.

Каждое из уравнений и , соответственно равносильно уравнениям , где , и , где.

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Пример 2. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,.

Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда , значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, уравнение: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 4. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда , значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, уравнение: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 5. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Пример 6. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,.

Далее решим совокупность уравнений:. Но так как , то , отсюда, значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, каждое уравнение совокупности: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Рассмотрев решения ряда тригонометрических уравнений, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция, мы пришли к следующему: при решении таких задач рационально применять метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной, применение которой приводит к более простому уравнению.

Мы продолжили свое исследование, решая более сложные уравнения:

Пример 7. Решить уравнение. (ГАУ)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , откуда. То исходное уравнение равносильно уравнению , где Z. Откуда Поскольку то Но так как Z,то

Решаем три уравнения:

Пример 8. Решить уравнение. (МГАП)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , откуда, , получим уравнение, которое равносильно совокупности двух уравнений: Учитывая, что , имеем: Из данных неравенств с учетом целочисленности и находим, что.

Пример 9. Решить уравнение (СПбГУ)

Решение. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение , откуда ; ;.

Решим квадратное уравнение относительно х: ,.

; ; , т. е. Но х может быть мнимым, так как остается вещественным при найденных значениях х.

Пример 11. Решить уравнение (МГУ, ВМиК)

Решение. Преобразуем уравнение, применив формулы приведения, к виду , откуда ,; или.

Так как то , т. е. , из данного неравенства с учетом целочисленности n находим, что. Значит уравнение примет вид , откуда ,.

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Найдем решение уравнения , отсюда. Так как , значит , то из всех можно взять только, и.

Пример 13. Решить уравнение (МГУ, мех. -мат. )

Решение. Применим формулу приведения, получим ; ; , где Z. Так как значит правая часть уравнения принимает неотрицательные значения, т. е. , , где.

Найдем корни уравнения )2 и )2,.

Пример 14. Решить уравнение (БГТУ)

Решение. Пусть ,тогда уравнение примет вид , откуда получаем. Решим уравнение: , Z, откуда , Z. Так как то Неравенство имеет решение при =0, а неравенство не имеет решений. Значит, ; , а , Z.

Пример 15. Решить уравнение (СПбГАСУ)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид. Имеем, что , где Z. Значит , где Z. Так как , то , откуда, следовательно =0.

Уравнение примет вид: , решим его. Пусть , тогда уравнение имеет. Решим уравнение , где Z. Преобразуем в произведение () с помощью дополнительного аргумента:. Следовательно уравнение ;

Значения должны удовлетворять двойному неравенству значит =0.

Теперь решим уравнение ;.

Пример 16. Решить уравнение (СПбГУТиД)

Решение. Преобразуем уравнение применяя формулы понижения степени: ; ; отсюда , Z; ; ; ; ; ;. Так как — арифметический, то , т. е. Это значит, что а быть отрицательным или нулем не может.

Пример 17. Решить уравнение.

Решение. Заменим правую часть уравнения , получим уравнение:. Пользуясь условием равенства синусов, получим:

Пример 18. Решить уравнение. (СПбИМГАП)

Решение. Преобразуем уравнение. Пусть , тогда уравнение примет вид ; откуда получаем , Z. Решим уравнение: , Z. Мы видим, что ,. Возведем в квадрат обе части уравнения 2, 2, так как , то. Ясно, что и , отсюда , Z.

Пример 19. Решить уравнение (СПбГУТ)

Решение. Преобразуем уравнение,. Применяя формулы понижения степени, приходим к уравнению.

Преобразуем сумму косинусов двух углов в произведение, получим ; ; ; Пусть , тогда уравнение примет вид ; , Z. Решим уравнение , Z. Или , Z. Но так как , то , откуда ;.

Пример 20. Решить уравнение (СПбГУТ)

Решение. Заменим правую часть уравнения , получим уравнение. Пользуясь условием равенства тангенсов, получим: , или.

Следует иметь в виду, что те корни уравнения , которые дадут тангенсу значения вида или котангенсу значения вида (- целое), если оно вообще существует, не будут являться корнями данного, потому что при или теряет смысл левая и правая части данного уравнения. Такие корни уравнения при определении корней данного должны быть отброшены.

Уравнение эквивалентно следующему: ;

Пусть , тогда уравнение примет вид: ; откуда , или. Следовательно Кроме того, должны быть исключены те значения , которые дают. Для того, чтобы , необходимо, чтобы было квадратом нечетного числа, т. е. чтобы. Отсюда получаем: , , или , где ,.

Таким образом нужно решить в целых числах уравнение , причем и — числа различной четности, потому что. Таких решений будет четыре: ; ; ;. Первое и второе решение дают , а последние два. В первом случае , а во втором. Но если , то , причем только должно быть исключено, так как левая часть данного уравнения в этом случае не определена.

Второе же приводит к решению. Если , причем только должно быть отброшено, а приводит к решению. Итак, данное уравнение имеет следующие решения:; ,;.

Пример 21. Решить уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , отсюда , Z. Тогда , Z, откуда и.

Далее имеем Но так как то и. Окончательно получаем уравнение , ,.

Пример 22. Решить уравнение. (СПБГТУ)

Решение. Решим данное уравнение относительно х как уравнение второй степени, чтобы узнать имеет ли оно корни, найдем дискриминант

Неравенство верно при , т. е. , Z. Но тогда, если , то имеем и подставим значение аргумента , получим: , Z.

Преобразуем равенство: ; ; ; а Мы видим, что равенство верно при и при , т. е.

Пример 23. Решить уравнение на отрезке.

Решение. После приведения к общему знаменателю в левой части получаем уравнение , , Z, ,найдем дискриминант , ,.

Очевидно, что. Найдем те значения x, при которых. Для этого решим неравенство ,.

Неравенство выполнено при всех , а для второго неравенства получаем , откуда , т. е. При получаем. Если , то — не входит в область определения уравнения. При имеем , а при корень уравнения.

Пример 24. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение и применим формулу разности косинусов:

Так как N, то при , значит, а так как N, то при.

Решим первое уравнение. Уединим радикалы: , полученное уравнение равносильно системе Из первого уравнения системы уединим радикал: , откуда. Рассмотрим , а , а неравенство верно при N. Значит, что ,.

Возведем в квадрат обе части уравнения: , получим: , отсюда , N.

Решим второе уравнение: Уединим радикалы , , , но это уравнение явно корней не имеет при.

Пример 25. Найти корни уравнения , принадлежащие отрезку.

Решение. Данное уравнение равносильно системе Решим первое уравнение системы и найдем его корни на отрезке , так как. Заменим , то преобразуем в произведение по формуле разность косинусов. Так как , то , , Z;. Так как , то , тогда ,. Значит.

Продолжая рассматривать решения тригонометрических уравнений со сложным аргументом различных типов, мы пришли к следующему:

1) Вывести алгоритма решения уравнений со сложным аргументом невозможно, к каждому уравнению нужно подходить индивидуально, применяя метод функциональной подстановки, постепенно освобождаясь от скобок, упрощая уравнение.

2) Решение тригонометрических задач со сложным аргументом можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезу и проверять полученные результаты.

3) Кроме использования определенных алгоритмов решения задач, приходится обдумывать, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости, применение тригонометрических тождеств, для упрощения уравнения.

§ 2. Решение тригонометрических неравенств со сложным аргументом

При решении неравенств используем метод интервалов, считая его наиболее простым в подобных ситуациях:

Пример 26. Решите неравенство.

Решение. Пусть. Найдем нули функции , решая уравнение , , ,.

Замечаем, что последнее уравнение не имеет корней при целых , а поэтому функция сохраняет свой постоянный знак на всей координатной прямой.

Следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

Пример 27. Решите неравенство.

Решение. Пусть. Найдем нули функции. , ,. Так как , то и ,.

Поскольку период функции равен , то применяем метод интервалов на отрезке длины.

Пример 28. Решите неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию , найдем нули функции , при ,. при

Как уже говорилось, алгоритма решения тригонометрических уравнений со сложным аргументом нет. Но в своей работе, рассматривая уравнения различных типов, мы показали некоторые способы решения подобных уравнений.

И таким образом в данной работе указаны основные направления, по которым следует идти при решении тригонометрических уравнений со сложным аргументом. Кроме того, при написании данной работы мы сформировали собственные навыки решения тригонометрических задач со сложным аргументом и, которые пригодятся нам при дальнейшем обучении, сейчас в школе, потом в вузе.

Мы рассмотрели в работе один из наиболее общих методов решения задач такого типа – метод функциональной подстановки, и решили с его помощью несколько задач, разных по сложности и рассмотрели несколько исследовательских задач с параметрами.

Решение тригонометрических задач можно считать первой ступенью к решению исследовательских научных проблем в математике и математическом моделировании.

Тригонометрические уравнения со сложным аргументом

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: