Тригонометрические уравнения содержащие одз уровень а

Задания по теме «Область допустимых значений (ОДЗ)»

Открытый банк заданий по теме область допустимых значений (ОДЗ). Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\,3\pi \right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac<9\pi >4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac<7\pi >3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac<5\pi >3.

Ответ

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac<5\pi >3, \frac<7\pi >3, \frac<9\pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right] ;

Решение

а) ОДЗ: \begin tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

\left[\!\!\begin 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end\right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi <12>+\frac<\pi n>2, n \in \mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right].

Ответ

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac<7\pi >2;\,\frac<9\pi >2\right].

Решение

а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:

(\cos x)_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt 9>4=\frac<1\pm3>4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac<2\pi >3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac<11\pi >3, x_2=4\pi , x_3 =\frac<13\pi >3.

Ответ

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac<11\pi >3, 4\pi , \frac<13\pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac<11+5ctg\left( \dfrac<3\pi >2-x\right) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac<3\pi >2\right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac<3\pi >2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что \frac<11+5tgx><1+tgx>= \frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+\frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac<6><1+tgx>. Отсюда \cos x =\frac<\dfrac65><1+tgx>, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac<3\sqrt 2>5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac<3\sqrt 2>5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac<3\sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что \left( \frac<3\sqrt 2>5\right) ^2=\frac<18> <25>значит \frac<3\sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда \frac\pi 4+0

Аналогично, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac<3\sqrt 2>5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac<3\sqrt 2>5\Bigg). При этом -2\pi

-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac<3\pi >2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac<7\pi >2.

Ответ

а) \frac\pi4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac<7\pi>4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

x=(-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.

Ответ

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac<3\pi ><2>; -\frac<\pi >2 \right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,

k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, \sin x \neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1<1+\cos 2x>=\frac 1<1+\cos (\pi +x)>, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac<3\pi >2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac<11>6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac<11> <12>\leqslant m \leqslant -\frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac<11><12>;-\frac5<12>\right] .

2) -\frac <3\pi>2 \leqslant -\frac<\pi >3+2\pi n \leqslant -\frac<\pi ><2>, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1<6>, -\frac7 <12>\leqslant n \leqslant -\frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 <12>; -\frac1 <12>\right].

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac<\pi >2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.

Ответ

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Тригонометрические уравнения с учетом ОДЗ

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\dfrac<\pi><2>\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а) Решите уравнение \(\dfrac<4><\sin^2<\left(\frac<7\pi><2>-x\right)>>-\dfrac<11><\cos>+6=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi;\frac<7\pi><2>\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac<5\pi><2>; -\pi\right]\).

​​Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.
а)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi; \dfrac<5\pi><2>\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac<\pi><2>; 2\pi \right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а) Решите уравнение \(2\log^2_<0<,>5>(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -3\pi;-\dfrac<3\pi><2>\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а) Решите уравнение \(2\log^2_2(2\cos x)-9\log_2(2\cos x)+4=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -3\pi; -\dfrac<3\pi><2>\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а) Решите уравнение: \((2\sin^2x-\cos x-1)\log_<3><(-0<,>2\sin x)>=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: \([5\pi;7\pi]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а) Решите уравнение \((2\cos^2+3\sin-3)\cdot \log_<2><(\sqrt<2>\cos)>=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-5\pi;-3\pi]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac<7\pi><2>\right]\).

​​Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.
а)