Тригонометрические уравнения сводящиеся к алгебраическим

Тригонометрические уравнения сводящиеся к алгебраическим

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Уроки №125-126. Тригоном. уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок подготовила учитель математики МАОУ СШ № 10 г.Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Урок опубликован на сайте: http://pavls1954.wixsite.com/1954 Урок алгебры и начал математического анализа в 10 классе Учебник «Алгебра и начала математического анализа», базовый и профильный уровень, под ред. А.Б. Жижченко, 2010 г.

Приветствую вас на уроке Девиз урока: Успешного усвоения учебного материала Уроки №125-126 14.05.2020 Уравнение есть равенство, которое ещё не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь. А. Фуше

1.Теория. Глава IX, §3, 2.Практика. Стр.321, №№43-48 (ост.) ДР№55 на 14.05.2020 http://www.5egena5.ru/4ege.html Адрес сайта: ЕГЭ на «5»:

Стр.322, №43(2) Решение:

Стр.322, №43(3) Решение:

Стр.322, №43(4) Решение:

Стр.322, №43(6) Решение: Посторонний корень

Стр.322, №45(2) Решение: Решить уравнение

Стр.322, №46(2,4) Вычислить:

Стр.322, №47(2) Вычислить:

Стр.322, №48(2) Вычислить: Оцените свое выполнение ДЗ

Проверочная работа по ДЗ № 43 2,5 1,4

Классная работа Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим Глава IX. §4.

Цели урока: Рассмотреть решение тригонометрических уравнений, которые можно свести к решению алгебраических уравнений, выполнив замену. — Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме.

Стр.322-323 Читаем текст параграфа до задачи 1. §4,п.1.Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Стр.322-323 §4,п.1.Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Стр.322-323 §4,п.1.Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Разбираем решение задачи 1 по тексту учебника.

Стр.327, №50(3) Решение: Решите уравнение самостоятельно по образцу решения задачи 1 учебника Проверка

Стр.327, №50(3) Решение:

Стр.327, №50(4) Решение: Каким является данное уравнение относительно cosx? Что предлагаете сделать? Выполните замену.

Стр.327, №50(4) Решение: Решите уравнение относительно t

Стр.327, №50(4) Решение: Какие условия нужно проверить?

Стр.327, №50(4) Решение: Следовательно уравнение …

Стр.327, №50(4) Решение: Следовательно данное уравнение корней не имеет или

Стр.327, №50(4) Решение: Полученные уравнения корней не имеют, т.к. Ответ: корней нет

Стр.323 Разбираем решение задачи 2 по тексту учебника.

Стр.327, №51(4) Решите уравнение самостоятельно по образцу решения задачи 2 учебника Проверка

Стр.327, №51(4) Решение: 2) При t=2 корней нет, т.к. или

Стр.327, №51(4) Решение: Корней нет, т.к.

Стр.323-324 Разбираем решение задачи 3 по тексту учебника.

Стр.327, №52(2) Решение: Какую замену предлагаете сделать?

Стр.327, №52(2) Решение: На что нужно домножить обе части уравнения?

Стр.327, №52(2) Решение: Какие два уравнения нужно решить?

Стр.327, №52(2) Решение: Решите самостоятельно каждое уравнение:

Стр.327, №52(2) Решение: Покажите полученные серии углов на единичной окружности:

Стр.327, №52(2) Запишите полученные серии углов общей формулой

Средний балл за урок: «5»- все было понятно и задания выполнялись без особого труда; «4» – были трудные моменты, осталось еще раз разобрать задания, чтобы не было проблем в будущем; «3»- остались непонятными некоторые задания из-за пробелов в знаниях. Следует поработать индивидуально. Оцените свое усвоение материала в классе

1.Теория. Глава IX, §3, 4 (Задачи 1-3) 2.Практика. Стр.321, №№50-52 (ост.) ДР№56 на 15.05.2020 http://www.5egena5.ru/4ege.html Адрес сайта: ЕГЭ на «5»:

Ответы в уравнениях:

Ответы в уравнениях:

1. Назовите ответы в уравнениях: Пошаговая проверка

2. Назовите ответы в уравнениях: Пошаговая проверка

Если то Проверка Заполните пропуски:

Если то Заполните пропуски:

Если то Проверка Заполните пропуски:

Если то Заполните пропуски:

Если то Проверка Заполните пропуски:

Если то Заполните пропуски:

Проверка Заполните пропуски:

Проверка Заполните пропуски:

8. Заполните таблицу

Проверьте заполнение таблицы

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 551 материал в базе

Другие материалы

• 19.05.2020
• 161
• 5

• 19.05.2020
• 221
• 6

• 19.05.2020
• 174
• 9

• 19.05.2020
• 206
• 9

• 19.05.2020
• 191
• 7

• 19.05.2020
• 147
• 2

• 19.05.2020
• 261
• 12

• 19.05.2020
• 135
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.05.2020 625
• PPTX 4 мбайт
• 71 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 420352
• Всего материалов: 407

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Урок комплексного применения знаний.

Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
1. Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
2. Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, справочный материал.

Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.

Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.

II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)

1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.

Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.

2. Метод разложения на множители.

Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Метод введения дополнительного угла.

4. Метод использования универсальной подстановки.

Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки

Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.

5. Метод понижения степени.

III. Самостоятельная работа (программированный контроль).

1-й вариант	2-й вариант
1) 2cos 2 x + 2sin x = 2,5 2) sin2x = -cos2x 3) (cosx – sinx) 2 = cos2x	1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) sin2x – sin3x = 0 3) sin2x = 2 sin 2 x

Коды ответов:1-й вариант: 524, 2-й вариант: 361.