Тригонометрические уравнения сводящиеся к квадратным конспект

Конспект урока алгебры по теме «Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: под редакцией А.Н. Колмогорова. “Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы”

Тип урока: комбинированный.

— вспомнить методы решения простейших тригонометрических уравнений и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— изучить метод замены тригонометрической функции для решения некоторых видов тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений;

— продолжать содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— продолжать формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— продолжать отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

— вырабатывать самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новым способом решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

1. Вводно-мотивационная часть

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Запишите сегодняшнее число и тему урока. “Метод замены для решения некоторых тригонометрических уравнений”. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока — решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня – вспомнить метод решения простейших тригонометрических уравнений, решение квадратных уравнений и изучить, как с помощью замены тригонометрических функций сводить некоторые тригонометрические уравнения к квадратным.

В начале урока мы вспомним методы решения квадратных уравнений, числовые значения тригонометрических функций, основные формулы тригонометрии, формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

После каждого блока заданий будем проводить разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с тем, как с помощью замены переменных сводить некоторые тригонометрические уравнения к квадратным. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: создать базу для усвоения понятий, которые будут использованы на уроке.

Учитель: Первое задание для устной работы — решите уравнения:

Уравнения	Ответ
	-3, 3
	1
	3, 5
	-2, -1, 1, 2

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

Выражение	Ответ
	x

	0

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций и значения тригонометрических функций для различных чисел.

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, называют табличные значения тригонометрических функций.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

1 вариант		2 вариант
Вычислить	Ответ	Вычислить	Ответ



	1		-1
	Нет		нет

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы!

Учитель: Ребята, проверьте правильность ответов и оцените свои работы согласно шкале:

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида: , при .

Учащиеся называют формулы решения уравнений

Количество верных ответов	Оценка
6	5
5	4
4	3

2.2. Введение нового способа решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Учитель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новым способом: с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

Вид уравнения	Подходящая замена
1
2
3
4
5
6
7		или

В таблице приведены виды тригонометрических уравнений и подходящая замена переменной, с помощью которой данные уравнения могут быть сведены к квадратным. Чтобы не заучивать таблицу, давайте выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному.

Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение виду: , где – некоторые числа, – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом.

Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой , при этом учитывается область значений обозначаемой функции.

Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы.

Учитель: разберем несколько примеров:

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену ,

получаем квадратное уравнение: ,
находим корни ,
замечаем, что посторонний корень, поскольку ,
делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение , у которого корнями будут числа .

Ответ: .

2) .

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену . Из основного тригонометрического тождества следует, что , ,

получим квадратное уравнение: ,
находим корни: ,
делаем обратную замену:
или

Ответ: , .

3).

Данное уравнение соответствует (7) таблицы, поэтому можно сделать замену или . После решения примера самостоятельно сделайте другую замену и сравните ответы.

Сделаем, например, замену , вспомним, что, поэтому , получим уравнение , откуда или, делая обратную замену, .

Ответ: .

4) .

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку , то уравнение сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену и получаем неполное квадратное уравнение , откуда . ( посторонний корень, поскольку .

Делаем обратную замену:

Ответ: .

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На оценку	1 вариант
задание	ответ
3

2 вариант3

Учитель: “А теперь проверьте работу соседа, поставьте оценку”.

Выписываются на доске ответы. Учитель: проверьте правильность собственного решения и правильность проверки примера соседа.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 — решали квадратные уравнения,
2 — упрощали тригонометрические выражения,
3 – искали значения тригонометрических выражений
4 – решали тригонометрические уравнения, сведением к квадратным
5 – проверяли решения соседа по парте.

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Учитель: Дома я предлагаю закрепить пройденный материал и выполнить следующие задания: 1) прочитать параграф 3 пункт 11, 2) сделать номера (см. таблицу)

№	Задание	Ответ
164г
165а

166в172г

167б

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили метод решения квадратных и биквадратных уравнений, числовые значения тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, познакомились с новым способом решения некоторых известных тригонометрических уравнений. У меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений домашней работы большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

— Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Урок окончен. До свидания!

Список литературы.

1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра и математический анализ для 10 класса”. М., Просвещение, 2010.

2. Бортакивский А.С., Закалюкин В.М., Шапошников В.П. “Экзаменационные задачи и варианты по математике”. М., МАИ-ПРИНТ, 2009.

3. Мордкович А.Г. “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” М., Мнемозина, 2001.

4. Рурукин А.Н. “Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа: 10 класс”, М., “ВАКО”, 2011.

Конспект урока на тему «Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших

тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения

методом введения новой переменной.

Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить

способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.

Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.

План урока: 1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

7. Первичный контроль знаний.

8. Подведение итогов.

10. Домашнее задание.

1. Организационный момент .

2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)

3. Актуализация знаний. Решить уравнение:

Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?

Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?

Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?

Открыли тетради записали число, классная работа, тема урока: « Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной».

Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.

4. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .

Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .

5. Закрепление нового материала.

Решить уравнение: sin 2 x — 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х — 3 cos х -3 = 0 .

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

7. Первичный контроль

Работа в парах: решить уравнение:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

tg x = или tg x = -1

2. 5 sin 2 x + 6cos x — 6 = 0

5 cos 2 x — 6cos x +1 = 0

5 t 2 — 6 t + 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

cos x = или cos x = 1

1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;

2. 2sin 2 — sin х + 2 = 3.

1. Решите уравнение 2 cos 2 x — 3 cos ( x ) — 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ — ; ].

2. 3tg x — 2 с tg x = 5

Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.

Вспомните : Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?

«На сегодняшнем уроке я разобрался…»;

«Я похвалил бы себя…»;

«Особенно мне понравилось…»;

«Сегодня мне удалось…»;

«Я почувствовал, что…»;

1) §18, № 6(в), 8(б), 9(а), 21(а).

2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.

1. Решите уравнение + 4 tg x — 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].