Тригонометрические уравнения сводящиеся к простейшим

• Уравнения, сводящиеся к простейшим: Метод введения новой переменной
презентация к уроку по математике (10 класс)

Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнения, сводящиеся к простейшим Метод введения новой переменной

Простейшие тригонометрические уравнения sinx = a x=(-1) n arcsina + π n, n ϵ Z sinx = 0 x= π n, n ϵ Z sinx = 1 x= , n ϵ Z sinx = — 1 x= — , n ϵ Z arcsin (-a) = — arcsina

Простейшие тригонометрические уравнения cosx = a x= ± arccosa +2 π n, n ϵ Z cosx = 1 x=2 π n, n ϵ Z cosx = 0 x= , n ϵ Z cosx = — 1 x= π +2 π n, n ϵ Z arccos (-a) = π – arccos a

Простейшие тригонометрические уравнения tgx = a x = arctga + π n, n ϵ Z ctgx = a x= arcctga + π n, n ϵ Z arctg (-a) = — arctga arcctg (-a) = π — arcctga

Метод введения новой переменной Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример 1 : Решим уравнение Решение . Вводим новую переменную Тогда мы получаем квадратное уравнение: , из которого

Таким образом: и Находим значения x : 1) x = π/6 + πk 2) x = –π/2 + 2πn Ответ :

Пример 2 : Решим уравнение Решение : Мы знаем, что Отсюда выводим значение Вводим это значение sin 2 x в наш пример: Раскрываем скобки:

Сводим подобные члены: Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

Введем опять новую переменную и в результате получим квадратное уравнение: Решив его, находим корни: или Обратная замена: Рассмотрим вариант

Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 ( cos x Мне нравится

Тригонометрические уравнения сводящиеся к простейшим

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Ход семинара

1. Прослушать сообщение об истории возникновения и разви­тия тригонометрии.

1) Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сво­дящиеся к простейшим.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся сле­дующие:

. Повторить алгоритмы ре­шения.

Пример 1. Решить уравнение . Решение. Учитывая четность функции f(x) =соs х:

Ответ:

2) Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведение

Формулы преобразования суммы в произведение:

— сумма синусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности. Разность синусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

— сумма косинусов любых двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

— разность косинусов любых двух углов равна взятому со знаком минус удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Пример 1. Решить уравнение соs 9х — соs 7х + соs 3х — соs х = 0

Решение. -2sin 8х sin х – 2sin 2х sin х = 0

-2 sin х(sin 8х + sin 2х) = 0

sin х=0 или sin 8х+sin 2х = 0

2sin 5x cos 3х = 0

sin 5x=0 или cos 3х = 0

Так как при k=5n, nÎZ, решения первого и второго уравнений совпадают, то

Ответ: , .

3) Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

a) Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Пример 1. Решить уравнение sin 3х — 3соs 6х = 2

Решение. sin 3х – 3(соs² 3х — sin²3x) – 2 =0

sin 3х – 3(1- sin² 3х — sin²3x) – 2 =0

6sin² 3х + sin 3х – 5 =0

Пусть sin 3x = t, |t|£1, тогда: 6t²+t-5=0, D=121, t­1 = -1, t2=5/6.

sin 3 х = -1 или sin 3х = 5/6

Ответ: , .

Уравнения и неравенства, в которые входят выражения sin x + cos x и sin 2x удобно решать при помощи замены неизвестного sin x + cos x = t, так как при этом

sin2x = 2sinxcosx = 2sin x cos x +1-1 = sin² х + 2sin xcos x + соs²х -1 = (sin x + cos x)²-1 = t²-1. Пример 3. Решить уравнение sin х + cos х + sin х cos х = 1

Решение. Пусть sin x +cos x = t, тогда: sin х cos х = ½ sin 2х = ½ (t²-1).

t + ½ t² — ½ = 1, t² +2t — 1 = 2, t² +2t — 3 = 0, t­1 = -3, t2=1.

sin x +cos x = -3 или sin x +cos x = 1

Ответ: .

4) Однородные уравнения

a) Однородное уравнение первой степени аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0, решается делением на cosx или на sin x (это можно сделать, так как cosx≠0, в противном случае, т. е. если сosx =0, следует, что sinx =0, но одновременно эти равенства выполняться не могут): atgx+b=0, и приходим к простейшему уравнению tgx=-b/a.

Пример 1. Решить уравнение 5sin 3х = 2соs 3х

Решение. 5tg3x = 2

Ответ: .

б) Неоднородное уравнение первой степени аsin x +bcos x = c, где а≠0, b≠0, c≠0 сводится к однород­ному разными способами.

Пример 2. Решить уравнение 2sin х — 3соs х=2

Решение.

Пусть tg x/2 = t, тогда: t²+4t-5=0, t­1 = -5, t2=1.

или

Ответ: ,

Пример 3. Решить уравнение 2sin х — 3соs х=2

Решение. Введем вспомогательный угол φ, такой, что ,

Ответ: ,

Или: Введем вспомогательный угол φ, такой, что ,

Ответ: ,

в) Однородное уравнение второй степени аsin²x +bsinxcosx+ccos² x = 0, где а≠0, b≠0,c≠0 решается делением на cos²x или на sin²x и приходим к квадратному уравнению atg²x+btgx+c=0 относительно tgx.

Пример 1. Решить уравнение 7sin² х-8sinxcosx-15cos²x=0

Пусть tg x = t, тогда: 7t²-8t-15=0, D=484, t­1 = -1, t2=15/7.

tgx=-1 или tgx=15/7

Ответ: , .

г) Неоднородное уравнение второй степени аsin²x +bsinxcosx+ccos² x = d,где а≠0, b≠0, c≠0, d≠0 сводится к однород­ному.

Пример 2. Решить уравнение 3sin² х+2sinxcosx=2

Пусть tg x = t, тогда: t²+2t-2=0, D=12, t­1,2 = -1±√3.

tgx=-1+√3. или tgx=-1-√3.

Ответ: , .

5)Уравнения, решаемые с помощью формул понижения сте­пени

Пример 1. Решить уравнение sin² х +sin²2х + sin² 3х = 3/2

Решение.

cos 4x=0 или 2cos 2х+1 = 0

Ответ: , .

6) Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведе­ния тригонометрических функций в сумму

Формулы преобразования суммы в произведение:

Пример 1. Решить уравнение соs 7х ·соs 3х = соs 4х

Решение.

sin 7х=0 или sin 3х = 0

Ответ: , .

7) Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла α можно выразить через тангенс половинного угла:

Пример 1. Решить уравнение 1+соs х + tg х/2 = 0

Решение.

Пусть , тогда t³+t+2=0.

Покажем решение на тригонометрической окружности.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство tg x £ 1 .

Покажем решение на тригонометрической окружности

с использованием оси тангенсов.

Ответ: .

2)Решение неравенств заменой переменной

Пример 1. Решить неравенство -5sin x + cos 2x 0

Пусть sin x = t, | t | £ 1 (*).

D=9,

Ответ: .

Задачи с параметрами

Пример 1. Определить, при каких значениях параметра а урав­нение (а2 — 4)соs х = а + 2 имеет решения.

Решение. 1) Если , то а = ±2,

при а=2, 0·соs х = 4, решений нет.

при а = -2, 0·сos х = 0, х — любое действительное число.

2) Если , а ≠ ±2, то . Уравнение имеет решение, если

Ответ: урав­нение имеет решения при а£1 или а≥3 .

Пример 2. Определить, при каких значениях параметра а урав­нение sin х = а + 2 имеет решения.

Решение. Уравнение имеет решение, если

Ответ: урав­нение имеет решения при .

Пример 3. Определить, при каких значениях параметра а урав­нение (а + 2)tg х = 4 имеет решения.

Решение. 1) Если а + 2 = 0, а = — 2, то 0·tg х = 4, решений нет.

2) Если а + 2 ≠ 0, a ≠ — 2, то .

Ответ: урав­нение имеет решения при a ≠ — 2.

Пример 4. Определить, при каких значениях параметра а урав­нение sin х = cos a имеет решения.

Решение. Уравнение sin х = cos a является однородным уравнением первой степени
а sin x + bcos x = 0. Оно имеет решения при любом а.

Ответ: урав­нение имеет решения при любом а.

Итог семинара. Подвести итоги семинара и обратить внимание на сильные и слабые стороны подготовки и учащихся.