Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом
Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).
Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом
Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tgx=\sqrt<3>\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=\sqrt<3>\).
Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…
…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.
Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.
Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…
…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac<π><3>+πn\), \(n∈Z\).
Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=-1\).
Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:
Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.
Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.
Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом
Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.
Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac<1><\sqrt<3>>\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.
Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…
…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…
…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).
Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt<3>\), котангенс будет \(\frac<1><\sqrt<3>>\).
Разберем еще пример, а потом подведем итог.
Пример. Решить уравнение \(ctgx=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.
Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:
Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.
Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.
Урок алгебры и начала анализа в 10 Б кл: «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx=a, ctgx=a и их решения»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
КГУ «Володарская СОШ Зеленовского РОО»
Урок алгебры и начала анализа в 10 Б кл: «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a , ctgx = a и их решения»
Подготовила и провела: учитель математики и физики
Урок алгебры и начала анализа по теме «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a , ctgx = a и их решения»
Цель урока: формирование умений и навыков решения простейших тригонометрических уравнений вида tgx = a , ctgx = a .
— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;
— обобщение и систематизация материала;
— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений.
— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;
— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
— воспитание навыков делового общения, активности;
-формирование интереса к математике и ее приложениям.
Формы организации работы обучающихся на уроке:
индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.
Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.
Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы»;
на партах обучающихся: памятка по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы — консультации, лист бумаги для самостоятельной работы, карточки заданий с уравнениями, разноуровневые карточки, учебник «Алгебра и начала анализа. 10 класс.»
I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.
Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.
Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).
II. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.
Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.
Опрос по теоретическому материалу:
а) Сформулировать определение арксинуса числа.
б) Сформулировать определение арккосинуса числа.
2. Устная работа практической направленности.
1) Вычислите:
2) Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет).
3. Опрос по теоретическому материалу:
А.Эйнштейн говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
1). Какое уравнение называется тригонометрическим?
(Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится только под знаком тригонометрической функции. Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеет их бесконечное множество.)
2) Какие уравнения называются тригонометрическими простейшими уравнениями?
(Уравнения sin x = a , cos x=а, tg x=а, ctg x=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями)
Каковы решения данных уравнений:
|а|>1 уравнение корней не имеет
4. Устная работа практической направленности.
Исправьте ошибки в решениях тригонометрических уравнений и подумайте об их причинах.
III. Проверка домашнего задания.
Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.
В парах взаимопроверка с оцениванием (с пометками на полях тетради)
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Самостоятельная работа учеников с последующей взаимопроверкой. Работа в парах.
(предлагаются готовые решения с ответами уравнений, предлагается помощь консультантов)
1 вариант 2 вариант
sin x +1 =0 2 sin x + =0
2 cos ( 2 sin (3x — ) = —
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
3) Решение уравнения самостоятельно с последующей самопроверкой (правильное решение на слайде презентации)
Так как x = 1 – x, то 4 – (1 – x) = 4 sin x,
3 + x = 4 sin x, x — 4 sin x + 3 = 0,
Пусть y = sin x, получим уравнение
sin x =1 или sin x = 3
x = + 2 n, n Z, решений нет.
Ответ: x = + 2 n, n Z.
IV . Изучение нового материала. Как найти решения уравнений вида tgx = a , ctgx = a ?
Работа в парах. Общего метода решения любого тригонометрического уравнения не существует. Однако некоторые способы решения отдельных видов тригонометрических уравнений можно указать. Решение любого тригонометрического уравнения сводятся к решению простейших уравнений вида cosx x = a , sinx = a , tgx x = a . Уравнение ctgx = a равносильно уравнению tgx x = или
tg x =а, x = arctga + πn , n є z .
tg x =0 x = πn , n є z , tgx = 1 x = tgx = — 1 x =
Математика. Уравнения tg х = а и ctg х = а . Примеры.
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а Просмотр содержимого документа
«Математика. Уравнения tg х = а и ctg х = а . Примеры.»
http://infourok.ru/urok-algebri-i-nachala-analiza-v-b-kl-prosteyshie-trigonometricheskie-uravneniya-vida-tga-ctga-i-ih-resheniya-3636025.html
http://multiurok.ru/files/matematika-uravneniia-tg-kh-a-i-ctg-kh-a-primery.html