Тригонометрические уравнения за 11 класс

Решение тригонометрических уравнений. Алгебра 11 класс. Вводное повторение

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение № 3.doc

Информационная карта автора методической разработки

Губина Клара Владимировна

Место работы (полное наименование образовательной организации в соответствии с её уставом)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2»

Адрес школьного сайта в Интернете

Занимаемая должность (наименование в соответствии с записью в трудовой книжке)

Адрес личного Интернет-ресурса

Личная электронная почта

Умей поставить себя на место ученика. У каждого есть право на ошибку. Найди возможность дать ученику шанс исправить ее.

Выбранный для просмотра документ Урок по теме. Повторение.Решение тригонометрических уранений.doc

Название предмета Алгебра и начала анализа.

УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.

Уровень обучения Профильный

Тема урока Повторение материала 10 класса. Тригонометрические уравнения.

Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы 1

Место урока в системе уроков по теме 1.

Цель урока Обобщить и систематизировать теорию о способах решения тригонометрических уравнений, виды уравнений.

повторить решение простейших уравнений, основные тригонометрические формулы, основные формулы тригонометрических уравнений;

закрепить умения применять данные формулы не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

развивать умения самостоятельного решения уравнений связанных с выбором алгоритма решения уравнений;

содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;

ознакомить с логическими приемами мышления.

воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;

содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Обучающиеся должны уметь: находить корни простейших тригонометрических уравнений, уметь решать уравнения как простейшие (из ЕГЭ базового уровня), так и более сложных уравнений (из ЕГЭ профильного уровня) и спользовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам.

Техническое обеспечение урока проектор, компьютер, экран.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение, материала повторяемой темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)

Тема “Решение тригонометрических уравнений» актуальна, умение решать тригонометрические уравнения позволит вам справиться с заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Будьте активны, внимательны, помогайте друг другу вспомнить, все то, что вы изучали на уроках алгебры и началах анализа в 10 классе.

2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа).

Вопросы и задания для актуализации :

а). Как решить уравнение sinx = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

б). Как решить уравнение cos x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

в). Как решить уравнение tg x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

г). Давайте вспомним частные случаи. Учащиеся в тетрадях записывают решение этих уравнений.

3. Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем. Разбор всех тригонометрических уравнений на виды.

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения вида T ( kx + m ) = a , где T — знак какой – либо тригонометрической функции.

Пример: sin 2 x = 0,5

Решение: 2 x = m , 2 x = m , x = m , x = m ,

Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: х – 7 = 8 + 6в или х – 7 = 6 + 8 t , тогда х = -4

тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin 2 х + В sin х + С =0 или A sin 2 х + В cos х + С =0

Пример: Решите уравнение:

sin 2 х + 5 sin х — 6 =0. Введем замену sin х = z , решая квадратное уравнение

z 2 + 5 z — 6 = 0, z ₁ = 1; z ₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z .

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

При решении уравнения вида A sin 2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin 2 х = 1 — cos 2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Пример: Решите уравнение 2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin 2 х = 1 — cos 2 х,

2 (1 — cos 2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos 2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos 2 х — 3 cos х + 1 = 0

Решая квадратное уравнение 2 t 2 — 3 t +1 = 0,

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z .

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z

однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Пример: 2 sin x + 3 cos x = 0.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

х = arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = 0. Разделив обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2 x + В tg x + С = 0.

Пример: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0 | : cos 2 х ≠ 0

2 tg 2 x — 3 tg x — 5 = 0

2 t 2 – 3 t – 5 =0

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = — π /2 + πk , k Z .

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

возводим в четную степень.

умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Решим уравнеие:

Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны

равенством . Следовательно, при делении

уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

Еще формулы для решения уравнений: Формулы понижения степени:

4. Решите уравнения:

1.) Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2.) Решите уравнение .

3.) Решите уравнение

5. Домашнее задание:

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

6. Итог урока. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

Что нового узнали на уроке?

Испытывали ли вы затруднения при решении уравнений?

Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Разработка урока алгебры в 11 классе с использованием ИКТ на тему «тригонометрические уравнения»
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Данная работа расчитана на работу с использованием ИКТ на уроке, но можно использовать и для работы без применение техники. Урок предназначен для повторения основных способов решений тригонометрических уравнений, для подготовки к экзаменам.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Описание конкурсных материалов

Новосёлова Лидия Евгеньевна

(ФИО, ОУ, должность)

МОБУ СОШ села Амзя, учитель математики

«ИКТ в творчестве педагога»

Урок математики с использованием презентации, теста

Учебный предмет, класс

Математика, 11 класс

Название темы или раздела

Решение тригонометрических уравнений

Программные средства, с

Программы Microsoft Word, PowerPoint,

помощью которых создан

Эффективное использование времени на уроке, нагляд-

ность, повышение уровня мотивации к изучению математики

Материалы для повторения в форме презентации,

(тригонометрические формулы, схема способов решений

уравнений), проверочная работа — тест

Слайд-шоу, графические изображения

звуковые файлы, ссылки,

анимационные и другие

1.Цыганов Ш.И. «Все задачи ЕГЭ прошлых лет».- Уфа,2008

Интернет, ЦОР и др.)

Использование педагогом: на уроках изучения новой

темы и уроках повторения по тригонометрии

в 9 – 11-х классах, при подготовке к экзаменам на всех

— педагогом на уроке

этапах урока: повторение, изучение новой темы,

(указать этапы урока);

закрепление уч. материала, итоги урока.

-при подготовке к контрольным работам, экзаменам

Автор учебного занятия (урока): Новосёлова Лидия Евгеньевна

Тема учебного занятия (урока): Решение тригонометрических уравнений

Координаты автора (ОУ, телефон, e-mail): МОБУ СОШ села Амзя,

Компетентности, формируемые на учебном занятии

Обучающийся должен знать :

— значения тригонометрических функций для углов ;

— формулы для решения простейших тригонометрических уравнений;

— технологию решения основных типов тригонометрических уравнений:

1. заменой;
2. разложение на множители;
3. однородные уравнения первой и второй степени.

Ученик должен уметь :

— распознавать вид уравнения;

— определяться со способом решения каждого конкретного уравнения

Предметная область учебного занятия (урока): математика

Возраст обучающихся: 11 класс

Краткая аннотация учебного занятия (урока)

1. Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений».
2. Ход урока
3. Организационный момент. Приветствие.
4. Устная работа. Презентация (слайды).
5. Работа по теме урока.

1. Разбор схемы способов решения тригонометрических уравнений.
2. Решение примеров на каждый из способов.

1. Проверочная работа на компьютерах (тест).
2. Анализ оценок. Итоги урока.
3. Литература:

1. Цыганов Ш.И. «Все задачи ЕГЭ прошлых лет».- Уфа,2008
2. Разработка учителя математики Грико Л.В., г. Искитим Новосибирской области.
3. Интернет.

Конкурс «ИКТ в творчестве педагога 2011-2012»

Учебная тема: «Тригонометрия»

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Новосёлова Лидия Евгеньевна

первой квалификационной категории

МОБУ СОШ села Амзя

1. Систематизация знаний по темам: «Тригонометрические формулы», «Решение простейших тригонометрических уравнений», «Способы решений тригонометрических уравнений».
2. Повторение и закрепление полученных знаний.
3. Умение применять полученные знания к решению нестандартных задач на экзаменах.

1. Расширение кругозора обучающихся.
2. Развивать потребность к самообразованию.
3. Развитие познавательной активности.
4. Развитие приёмов внимания, умения сопоставлять, анализировать, делать выводы.

1. Воспитание самостоятельности, ответственности, мобильности, умения работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Формы организации работы на уроке: индивидуальная, групповая.

1. Проверка выполнения домашнего задания проводиться в течении всего урока – каждому было дано одно тригонометрическое уравнение, решение которого они оформляют на доске перед уроком, а на уроке его объясняют (см. уравнения из схемы «Способы решения тригонометрических уравнений»).

1. Актуализация знаний.

1. На доске приготовлена таблица значений функций, которую учащиеся заполняют по строчкам, правильность каждой из которой проверяются с помощью открывающихся сразу после ответа слайдом на экране.

1. Простейшие тригонометрические уравнения (по одной строчке)
2. Частные случаи (а=0, а=1, а=-1)
3. Основные тригонометрические тождества
4. Формулы суммы и разности аргументов
5. Формулы двойного аргумента (тройного)
6. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени
7. Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
8. Формулы приведения.

Все формулы и правила учащиеся проговаривают устно, правильность ответов проверяется сразу открывающимся слайдом на экране.

Способы решения тригонометрических уравнений. Схема для трёх способов (метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные уравнения первой и второй степени) выведена на экран. Каждый из способов обсуждается и рассматривается на конкретных примерах, которые были заданы каждому по одному примеру на дом, и перед уроком оформлены кратко на доске.

Метод замены переменной.

1) 2sin² x -5sin x +2 = 0

t=½, sin x = ½, x=(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ,

t=2-не удовлетворяет условию (*).

2) cos² x – sin² x – cos x=0,

2cos²x – cos x – 1 =0,

2t² — t – 1 =0, t=-½, cos x =- ½, x = ±⅔π+2πn, nєZ,

t= 1, cos x = 1, x = 2πn.

3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4,

t + 3/t – 4 = 0, t² — 4t + 3 = 0,

t=1, tg x/2 = 1, x =π/2 + 2πn,

t = 3, tg x/2 = 3, x = 2arctg 3 +2πn, nєZ.

Метод разложения на множители.

sin x – 1/3=0 или cos x + 2/5 = 0,

sin x = 1/3, cos x =-2/5,

x =(-1)ⁿ·arcsin1/3 + πn, nєZ, x = ±(π-arccos2/5) + 2πn, nєZ.

1. 2sin x cos 5x – cos 5x = 0,

cos 5x (2sin x — 1) = 0,

cos 5x = 0, или 2sin x – 1 =0,

x = π/10 + πn/5, nєZ, x = =(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ.

Однородные уравнения 1-ой степени.

1. 2sin x – 3 cos x = 0, /:cos x 2) sin 2x + cos 2x = 0,/:cos 2x

2tg x – 3 = 0, tg 2x =-1,

tg x = 3/2, x =- π/8 + πn/2, nєZ.

x = arctg 3/2 + πn, nєZ.

Однородные уравнения второй степени.

1. sin² x – 3 sin x· cos x + 2cos² x = 0, /:cos² x

tg² x – 3tg x + 2 = 0,

t =1, tg x = 1, x = π/4+ πn, nєZ,

t = 2,tg x = 2, x = arctg2 + πn, nєZ.

cos x(√3sin x + 1) = 0,

cos x = 0, или sin x = -1/√3,

x = π/2 +πn, nєZ, x = (-1)ⁿ·arcsin(-1/√3) + πn, nєZ/

3) sin³ x + sin² x· cos x – 3sin x· cos² x – 3cos³ x = 0, /:cos³ x

tg³ x + tg² x – 3tg x – 3 = 0,

(tg x — 3)(tg x + 1)= 0,

tg x =±√3 или tg x = -1,

x = ±arctg√3 + πn, nєZ, x = -π/4.

4) 3sin² 3x – 2√ 3sin 3x· cos 3x + 5cos² 3x = 2,

sin² 3x – 2√ 3sin 3x · cos 3x + 3cos² 3x =0,

tg² 3x – 2√3tg 3x + 3 = 0,

1. Проверочная работа, проводится с помощью ПК. Обучающиеся разбиваются на 2 группы: 1-я-те, кому достаточно на экзамене работы по части В(они решают тест- см. тест, оформленный в Microsoft Excel), 2-я – те, кто планирует приступать к решению части С на экзамене – необходимо решить 3 тригонометрических уравнения по теме урока ( приводится 3 примера, оформленные в Microsoft Word). Оценка выставляется сразу по выполнению работы.

1. Итоги урока. Домашнее задание: найти и решить одно «интересное» тригонометрическое уравнение из ЕГЭ с применением способа, не рассмотренном на уроке.

Предварительный просмотр:

к разработке урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Данный урок целесообразно проводить с использованием ИКТ или интерактивного оборудования по следующим соображениям:

1. Экономия времени на уроке за счет того, что весь материал для повторения, работы в течение урока, для проведения проверочной работы уже не надо готовить на доске или карточках. За счет сэкономленного времени можно разобрать больше материала, необходимого для подготовки к экзаменам- а это очень важный фактор для 11-тиклассников,особенно тем, кому необходимо большое количество набранных на экзамене баллов.
2. Материал данной темы (тригонометрия) всегда труден для обучающихся, но всегда присутствует на экзаменах. Поэтому для его усвоения и хорошего запоминания приходится использовать не како-то один вид работы. С использованием ИКТ можно задействовать и слуховую память и зрительную, и повысить заинтересованность обучающихся к предмету, разнообразить формы работы (это и просмотр телевизора, и работа на доске и в тетради , и работа на компьютере).
3. Подготовленный дидактический материал позволяет работать и со «слабыми», и с «сильными» и для разных классов- с 9 по 11-й, он полностью соответствует программам и учебным планам этих классов.
4. Урок построен так, что каждый этап проходит с использованием ИКТ: повторение – использование слайдов, разбор методов решения выполнен в виде схемы на экране, проверочная работа проводится на компьютерах (работа разноуровневая- для «слабых» — тест с простыми заданиями, для более «сильных» — самостоятельная работа с последующей сразу после выполнения работы проверкой ответов и решений, приготовленных в компьютерах)
5. Данная разработка урока хороша ещё и тем, что так как в кабинете не всегда бывает в наличии и проектор (или, как в нашем случае, телевизор ), и компьютеры, любую из частей урока можно использовать, распечатав материал в бумажном варианте.
6. Системность такой работы на уроке развивает в обучающихся информационные, коммуникативные, социальные компетентности. У обучающихся формируются умения получать, осмысливать, обрабатывать, использовать полученные знания – всё это играет большую роль для наших выпускников при поступлении и актуально на данный момент для каждого из нас в современном обществе.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!