Дидактические материалы для подготовки к ЕГЭ: тригонометрические уравнения (10-11 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ алг10 ср05 Тригонометрические уравнения.doc
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 sin 2 x – 5sin x – 7 = 0
2. 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0
3. 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0
4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0
5. 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0
6. 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x – 17cos x + 6 = 0
2. 2cos 2 x + 5sin x + 5 = 0
3 . 6 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 4 ctg x + 8 = 0
5. 6cos 2 x + 13sin 2 x = –10
6. 2 sin 2 x + 6sin 2 x = 7(1 + cos 2 x )
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3sin 2 x – 7sin x + 4 = 0
2 . 6sin 2 x – 11 cos x – 1 0 = 0
3 . sin 2 x + 5 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 1 2 ctg x + 13 = 0
5. 5 – 8cos 2 x = sin 2 x
6. 7 sin 2 x + 9cos 2 x = –7
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x + 17cos x + 6 = 0
2 . 3 cos 2 x + 10 sin x – 10 = 0
3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 1 2 ctg x + 5 = 0
5. 10sin 2 x – 3sin 2 x = 8
6. 11sin 2 x – 6cos 2 x + 8cos 2 x = 8
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10sin 2 x + 11sin x – 8 = 0
2 . 4 sin 2 x – 11 cos x – 1 1 = 0
3 . 4 sin 2 x + 9 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 8 ctg x + 10 = 0
5. 3sin 2 x + 8sin 2 x = 7
6. 10sin 2 x + 11sin 2 x + 6cos 2 x = –6
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3cos 2 x – 10cos x + 7 = 0
2 . 6 cos 2 x + 7 sin x – 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 0 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 1 4 ctg x + 5 = 0
5. 6 sin 2 x + 7sin 2 x + 4 = 0
6. 7 = 7sin 2 x – 9cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6sin 2 x – 7sin x – 5 = 0
2 . 3 sin 2 x + 1 0cos x – 1 0 = 0
3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 5 ctg x + 14 = 0
5. 10sin 2 x – sin 2 x = 8cos 2 x
6. 1 – 6 cos 2 x = 2sin 2 x + cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3cos 2 x – 5cos x – 8 = 0
2 . 8 cos 2 x – 14 sin x + 1 = 0
3 . 5 sin 2 x + 14sin x cos x + 8 cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 9 ctg x + 3 = 0
5. sin 2 x – 5cos 2 x = 2sin 2 x
6. 5 cos 2 x + 5 = 8sin 2 x – 6sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6sin 2 x + 11sin x + 4 = 0
2 . 4 sin 2 x – cos x + 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 8 ctg x + 6 = 0
5. sin 2 x + 1 = 4cos 2 x
6. 14cos 2 x + 3 = 3cos 2 x – 10sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4cos 2 x + cos x – 5 = 0
2 . 10 cos 2 x – 17 sin x – 16 = 0
3 . sin 2 x + 6 sin x cos x + 8 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 6 ctg x + 7 = 0
5. 2 cos 2 x – 11sin 2 x = 12
6. 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10sin 2 x – 17sin x + 6 = 0
2 . 5 sin 2 x – 1 2cos x – 1 2 = 0
3 . 2 sin 2 x + 5 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
4 . 7 tg x – 1 2 ctg x + 8 = 0
5. 3 + sin 2 x = 8cos 2 x
6. 2 sin 2 x + 3cos 2 x = –2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2cos 2 x – 5cos x – 7 = 0
2 . 12 cos 2 x + 20 sin x – 19 = 0
3 . 5 sin 2 x + 1 2 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 6 ctg x + 11 = 0
5. 22 sin 2 x – 9sin 2 x = 20
6. 1 4cos 2 x – 2cos 2 x = 9sin 2 x – 2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4sin 2 x + sin x – 5 = 0
2 . 6 sin 2 x + 7 cos x – 1 = 0
3 . 4 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 6 ctg x + 13 = 0
5. 3 – 4sin 2 x = sin 2 x
6. 10sin 2 x + 3cos 2 x = –3 – 14sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8cos 2 x – 10cos x – 7 = 0
2 . 4 cos 2 x – sin x + 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 0 sin x cos x + 8cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 1 2 ctg x + 5 = 0
5. 14sin 2 x – 11sin 2 x = 18
6. 2 sin 2 x – 3cos 2 x = 2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3sin 2 x – 5sin x – 8 = 0
2 . 1 0 sin 2 x + 17 cos x – 1 6 = 0
3 . sin 2 x + 8 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 9 ctg x + 9 = 0
5. 14sin 2 x – 4cos 2 x = 5sin 2 x
6. 1 – 5 sin 2 x – cos 2 x = 12cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8cos 2 x + 14cos x – 9 = 0
2 . 3 cos 2 x + 5sin x + 5 = 0
3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 5 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 3 ctg x + 14 = 0
5. 2 sin 2 x – 7sin 2 x = 16cos 2 x
6. 14sin 2 x + 4cos 2 x = 11sin 2 x – 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 1 2cos 2 x – 20cos x + 7 = 0
2 . 5 cos 2 x – 12 sin x – 12 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 6 ctg x + 7 = 0
5. sin 2 x + 2sin 2 x = 5cos 2 x
6. 13sin 2 x – 3cos 2 x = –13
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3sin 2 x – 10sin x + 7 = 0
2 . 8 sin 2 x + 1 0cos x – 1 = 0
3 . 4 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 3 ctg x + 8 = 0
5. sin 2 x + 4cos 2 x = 1
6. 10cos 2 x – 9sin 2 x = 4cos 2 x – 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6cos 2 x – 7cos x – 5 = 0
2 . 3 cos 2 x + 7 sin x – 7 = 0
3 . 3sin 2 x + 7 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 4 ctg x + 7 = 0
5. sin 2 x – 22cos 2 x + 10 = 0
6. 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 5sin 2 x + 12sin x + 7 = 0
2 . 1 0 sin 2 x – 11 cos x – 2 = 0
3 . 4 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 10 ctg x + 7 = 0
5. 14 cos 2 x + 5sin 2 x = 2
6. 4 sin 2 x = 4 – cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6cos 2 x + 11cos x + 4 = 0
2 . 2cos 2 x – 3 sin x + 3 = 0
3 . 2 sin 2 x + 7 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 3 ctg x + 11 = 0
5. 9 sin 2 x + 22sin 2 x = 20
6. 8 sin 2 x + 7sin 2 x + 3cos 2 x + 3 = 0
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 sin 2 x + 3sin x – 5 = 0
2 . 1 0 sin 2 x – 17 cos x – 1 6 = 0
3 . 5 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 1 4 ctg x + 1 = 0
5. 10 sin 2 x + 13sin 2 x + 8 = 0
6. 6 cos 2 x + cos 2 x = 1 + 2sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x + 11cos x – 8 = 0
2 . 4 cos 2 x – 11 sin x – 11 = 0
3 . 3sin 2 x + 8 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 1 2 ctg x + 11 = 0
5. 5 sin 2 x + 22sin 2 x = 16
6. 2 sin 2 x – 10cos 2 x = 9sin 2 x + 10
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4sin 2 x + 11sin x + 7 = 0
2 . 8 sin 2 x – 14 cos x + 1 = 0
3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 9 cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 2 ctg x + 11 = 0
5. 8 sin 2 x – 7 = 3sin 2 x
6. 11sin 2 x = 11 – cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2cos 2 x + 3cos x – 5 = 0
2 . 6 cos 2 x – 11 sin x – 10 = 0
3 . sin 2 x + 7 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0
4 . 7 tg x – 8 ctg x + 10 = 0
5. 9cos 2 x – sin 2 x = 4sin 2 x
6. 7 sin 2 x + 3cos 2 x + 7 = 0
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10sin 2 x + 17sin x + 6 = 0
2 . 3 sin 2 x + 7 cos x – 7 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 9 ctg x + 12 = 0
5. 3 sin 2 x + 5sin 2 x + 7cos 2 x = 0
6. 12cos 2 x + cos 2 x = 5sin 2 x + 1
Решите тригонометрические уравнения:
1. 5cos 2 x + 12cos x + 7 = 0
2 . 10 cos 2 x + 17 sin x – 16 = 0
3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 6 ctg x + 5 = 0
5. 8 sin 2 x + 3sin 2 x = 14cos 2 x
6. 2sin 2 x – 7cos 2 x = 6sin 2 x + 7
Решите тригонометрические уравнения:
1. 12sin 2 x – 20sin x + 7 = 0
2 . 3 sin 2 x + 5 cos x + 5 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 4ctg x + 11 = 0
5. 8 cos 2 x + 7sin 2 x + 6sin 2 x = 0
6. 1 – cos 2 x = 18cos 2 x – 8sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4cos 2 x + 11cos x + 7 = 0
2 . 10 cos 2 x – 11 sin x – 2 = 0
3 . 2 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 2 ctg x + 5 = 0
5. 7 sin 2 x + 2 = 18cos 2 x
6. 13sin 2 x + 13 = –5cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8sin 2 x + 14sin x – 9 = 0
2 . 2sin 2 x + 5 cos x + 5 = 0
3 . sin 2 x + 9 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 5 ctg x + 9 = 0
5. 7 sin 2 x + 5sin 2 x + 3cos 2 x = 0
6. 2sin 2 x + 9sin 2 x = 10cos 2 x + 10
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3cos 2 x – 7cos x + 4 = 0
2 . 8 cos 2 x + 10 sin x – 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 1 4 ctg x + 3 = 0
5. 7 sin 2 x = 22sin 2 x – 4
6. cos 2 x + 8sin 2 x = 1 – 18cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8sin 2 x – 10sin x – 7 = 0
2 . 2sin 2 x – 3 cos x + 3 = 0
3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 1 4 ctg x + 1 = 0
5. 4 sin 2 x + 10cos 2 x = 1
6. 11sin 2 x – 7cos 2 x = 11
Выбранный для просмотра документ алг10 ср05 ответы.doc
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 590 292 материала в базе
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
- 30.08.2015
- 453
- 0
- 30.08.2015
- 8835
- 51
- 30.08.2015
- 20161
- 99
- 30.08.2015
- 9977
- 53
- 30.08.2015
- 878
- 0
- 30.08.2015
- 6181
- 40
- 30.08.2015
- 760
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 30.08.2015 31012
- ZIP 41.5 кбайт
- 121 скачивание
- Рейтинг: 3 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Склярова Галина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 6 лет и 5 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 226028
- Всего материалов: 24
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР
Время чтения: 1 минута
Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника
Время чтения: 2 минуты
В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках
Время чтения: 1 минута
Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии
Время чтения: 3 минуты
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Задания по теме «Тригонометрические уравнения»
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1179
Условие
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\,3\pi \right].
Решение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac<9\pi >4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac<7\pi >3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac<5\pi >3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac<5\pi >3, \frac<7\pi >3, \frac<9\pi >4.
Задание №1178
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right] ;
Решение
а) ОДЗ: \begin
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi <12>+\frac<\pi n>2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right].
.png)
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.
Задание №1177
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac<7\pi >2;\,\frac<9\pi >2\right].
Решение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt 9>4=\frac<1\pm3>4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac<2\pi >3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac<11\pi >3, x_2=4\pi , x_3 =\frac<13\pi >3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac<11\pi >3, 4\pi , \frac<13\pi >3.
Задание №1176
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac<11+5ctg\left( \dfrac<3\pi >2-x\right) ><1+tgx>.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac<3\pi >2\right).
Решение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac<3\pi >2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac<11+5tgx><1+tgx>.
Заметим, что \frac<11+5tgx><1+tgx>= \frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+\frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac<6><1+tgx>. Отсюда \cos x =\frac<\dfrac65><1+tgx>, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac<3\sqrt 2>5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac<3\sqrt 2>5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac<3\sqrt 2>5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
Заметим также, что \left( \frac<3\sqrt 2>5\right) ^2=\frac<18> <25>значит \frac<3\sqrt 2>5
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
Отсюда \frac\pi 4+0
Аналогично, -\frac\pi 4
0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.
\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac<3\sqrt 2>5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac<3\sqrt 2>5\Bigg). При этом -2\pi
-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac<3\pi >2\right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac<7\pi >2.
Ответ
а) \frac\pi4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
б) -\frac<7\pi>4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5.
Задание №1175
Условие
а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];
Решение
а) Преобразуем уравнение:
\cos x+2 \sin x \cos x=0,
x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
x=(-1)^
б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.
Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.
Ответ
а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^
б) \frac\pi 2.
Задание №1174
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac<3\pi ><2>; -\frac<\pi >2 \right].
Решение
а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,
k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.
Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.
Значит, \sin x \neq 1.
Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1<1+\cos 2x>=\frac 1<1+\cos (\pi +x)>, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.
б) Решим неравенства
1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac<3\pi >2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi
3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.
1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac<11>6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac<11> <12>\leqslant m \leqslant -\frac5<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac<11><12>;-\frac5<12>\right] .
2) -\frac <3\pi>2 \leqslant -\frac<\pi >3+2\pi n \leqslant -\frac<\pi ><2>, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1<6>, -\frac7 <12>\leqslant n \leqslant -\frac1<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 <12>; -\frac1 <12>\right].
3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac<\pi >2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.
Ответ
а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;
Тригонометрических уравнений на 18 вариантов
Получим подробное решение:
Дано уравнение $$\cos<\left (\frac
Это ур-ние преобразуется в $$\frac
Перенесём $$\frac<\pi><6>$$ в правую часть ур-ния с противоположным знаком, итого: $$\frac
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
http://academyege.ru/theme/trigonometricheskie-uravneniya-3.html
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/diario/169-reshenie-trigonometricheskih-uravnenij-onlajn/