Тригонометрическое уравнение однородные уравнения второй степени

Однородные тригонометрические уравнения

Разделы: Математика

«Величие человека в его способности мыслить».
Блез Паскаль.

Цели урока:

1) Обучающие – познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений.

2) Развивающие – развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.

3) Воспитательные – воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

1. Перфокарты для шести учащихся.
2. Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
3. Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
4. Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
5. Презентация к уроку (Приложение 1).

Ход урока

1. Организационный этап (2 минуты)

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2) и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

2. Повторение теоретического материала (15 минут)

Задания на перфокартах (6 человек). Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)

Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография.

1. Какие уравнения называются тригонометрическими?
2. Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
3. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
4. Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
5. Сформулировать определение арксинуса числа а.
6. Сформулировать определение арккосинуса числа а.
7. Сформулировать определение арктангенса числа а.
8. Сформулировать определение арккотангенса числа а.

Игра «Отгадайте зашифрованное слово»

Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)

4) tg (arc cos (1/2))

Ответ: «Изгиб»

Игра «Рассеянный математик»

На экран проектируются задания для устной работы:

Проверьте правильность решения уравнений. (правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)

Ответы с ошибками

Правильные ответы

х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn

cos x = 1/2, х = ±π/3+2πn

Проверка домашнего задания.

Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.

1 уравнение. Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)

2 уравнение. Решение записывается учащимся на доске.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Актуализация новых знаний (3 минуты)

Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат. Ответы появляются на слайде. (слайд 7) .

Введение новой переменной:

№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Пусть sinx = t, тогда:

Разложение на множители:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; …

№3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

№4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Преподаватель: Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями. Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать.

4. Объяснение нового материала (25 минут)

Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.

Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. (слайд 8)

Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

а sinx + b cosx = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

– Может ли получиться такая ситуация?

– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.

Определение. Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени. (слайд 8)

Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x:

а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x).

Например: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠ 0, то

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).

Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

tgx = 1 или tgx = 1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

х = arctg1 + πn, n ∈Z.

5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)

Выберите лишнее уравнение:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

6. Закрепление нового материала (24 мин).

Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

у 2 – 10 у + 21 = 0

tgx = 7 или tgx = 3

х = arctg7 + πn, n ∈Z

х = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

tg2x = 5 или tg2x = 1

2х = arctg5 + πn, n ∈Z

х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

tg x = 1/5 или tg x = –1

х = arctg1/5 + πn, n ∈Z

х = arctg(–1) + πn, n ∈Z

Дополнительно (на карточке):

Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Варианты ответов:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев

х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер

Правильный ответ: Леонард Эйлер.

7. Дифференцированная самостоятельная работа ( 8 мин.)

Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)

Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ—ОТЕЛЬ». (слайд 11)

Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)

8. Запись домашнего задания (1 мин)

Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)

9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.

Учащиеся отвечают на вопросы:

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
2. Как решаются эти уравнения?

Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.

(УМК А.Г. Мордковича и др. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс

М. «Мнемозина»,2013 года)

Тема урока : Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Учитель : Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.

• ввести определение однородного тригонометрического уравнения второй степени; вывести алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.
• повторить и закрепить навык решения простейших тригонометрических уравнений; тренировать вычислительные навыки.
• развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.

Демонстрационный материал :

1. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности(«надо»).

2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»)

3) Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность(«хочу»)

— Чем занимались на прошлом уроке? (Решали простейшие тригонометрические уравнения; уравнения методом замены, разложением на множители, однородные уравнения первой степени.)

— Всё получалось? (Нет, но мы повторяли алгоритм решения таких уравнений, исправляли ошибки.)

— Какое предположение вы сделали в конце прошлого урока? (Что существуют более сложные виды тригонометрических уравнений и мы их сможем решить.)

— С чего начнём? (Повторим алгоритмы решения известных нам уравнений.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.

6) Мотивировать к пробному действию («надо» — «могу» — «хочу»).

7) Организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Sin x =0 sin x = 1

Cos x =0 cos x = 1

tg x = 0 tg x = 1

ctg x = 0 sin x = — 1

Среди предложенных уравнений укажите:

1. 2 tg 2 t – 5tg t +2 = 0

2. 2sin x – 3 cos x = 0 1) уравнения, которые решаются

3. (sin x — ) (sin x + 1) = 0 методом замены; (1)

4. sin 2x + cos 2x = 0 2) уравнения, которые решаются

5. sin 2 x – 3 sinхcos x + 2 cos 2 x = 0 методом разложения на

6. sin x + cos x = 2 3) однородные тригонометрические

уравнения 1 степени (2,4)

— Сформулируйте алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой степени.

Учащиеся формулируют алгоритм. Алгоритм пошагово появляется на доске.

— Найдите среди предложенных уравнений, то которое будет пробным.

— Рассмотрим его, чем оно отличается от остальных ? (Все одночлены в левой части – второй степени.)

— Уравнения вида а sin 2 x + b sin х cos x + c cos 2 x = 0

Называются однородными второй степени. Способ таких уравнений вам известен? (Нет.)

— Попробуйте решить уравнение № 5.

Учащиеся выполняют пробное действие.

-Удалось найти верный ответ? В чём затруднение?

(Нет, не удалось; решил, но не могу обосновать решение.)

3.Выявление места и причин затруднения.

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)

4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– В чём причина затруднения? (Мы не знаем алгоритма решения таких уравнений.)

Были ли уравнения

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.

3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)

4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

-Какова цель урока? (Составить алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Какова тема урока? (Однородные уравнения второй степени.)

— Запишите тему в тетрадь.

-Какие приёмы вы предлагаете использовать для конструирования алгоритма? (Деление обеих частей уравнения на cos 2 x.)

— Как решить уравнение вида: а sin 2 mx + b sin cos mx + c cos 2 mx = 0

— Для выполнения построенного плана предлагаю объединиться в группы и решить задания:

Ответ: , .

Учащиеся работают в группах. Записывают решение на заготовках для кодоскопа. Проверка через кодоскоп..

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

-Решим № 364 (в) проговаривая все этапы алгоритма.

sin 2 x + sin х cos x — 2 cos 2 x = 0 a≠0 c≠0

( Разделить обе части уравнения на cos 2 x)

tg 2 x + tg x — 2=0

Z 2 + Z – 2 = 0 (Решим полученное квадратное уравнение)

(В ернёмся к замене)

tg x = 1 или tg x = -2 ( Решим простейшие тригонометрические

х = , х = — (Запишем ответ уравнения).

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) Организовать соотнесение работы с подробным образцом;

3) Организовать вербальное сопоставление работы с подробным образцом;

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

-Время на выполнение задания вышло. Проверьте свою работу по подробному образцу.

— С какого шага начнём проверку ( Проверим, чему равны коэффициенты.)

-Следующий шаг проверки ? ( Разделить обе части уравнения на cos 2 .)

— Дальше ?(Вввести замену Z = tg x и решить полученное квадратное уравнение.)

-Следующий шаг проверки ? (Вернёмся к замене и решим простейшие тригонометрические уравнения.)

-Последний шаг проверки? (Проверка правильности записи ответа уравнения.)

— Кто ошибся при определении коэффициентов?

— Кто допустил ошибки при делении обеих частей уравнения на cos 2 ?

— Кто неверно решил кв. уравнение?

— Кто неверно решил простейшее тригонометрическое уравнение?

8.Включение в систему знаний и повторение.

1) Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

-Рассмотрите уравнение. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени? (Нет.)

-А можно его привести к такому виду? (Да.)

— Что для этого нужно сделать? ( По основному тригонометрическому тождеству заменить 1 на sin 2 x + cos 2 x привести подобные слагаемые.)

— Решите это уравнение. (Ответ: х = — )

— Как вы думаете, а существуют другие виды тригонометрических уравнений? (Конечно.)

— Что может нам помочь в решении новых видов уравнений? (Тригонометрические формулы, которые мы знаем.)

-А много ли тригонометрических формул вы знаете ? (Пока нет.)

-Сделайте предположение, что вы узнаете на следующих уроках? (Новые тригонометрические формулы.)

9. Рефлексия учебной деятельности.

1) Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения.

3) Выполнения требований, известных учащимся.

4) Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.

5) Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

— Что нового узнали на уроке? (Новый вид тригонометрического уравнения, способ его решения.)

— Достигли цель, поставленную в начале урока? (Да.)

— Почему? (Мы составили алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Где может пригодиться новое знание ? (При решении более сложных тригонометрических уравнений.)

— Как вы оцените свою работу на уроке?

-Для чего нам необходимо выполнять домашнее задание? (Чтобы закрепить умение решать данный вид уравнений.)

— Предлагаю записать домашнее задание : № 363(г), № 362 (бв), дополнительно: №378.

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цель: ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени; сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени; научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени; развивать умение выявлять закономерности, обобщать; стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. Приложение 1 .

Актуализация опорных знаний.

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

Усвоение новых знаний.

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая, что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени: деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos2x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки. Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin2x +2sinx cosx = 0 решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки . Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.

Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos2x и последующим введение новой переменной.

Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx. Однородные уравнения вида a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361-в

3-я и 4-я группа решают № 363-в

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника № 361-в
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363-в
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
разделим обе части уравнения на cos2x, получим tg2x + tgx – 2 = 0

решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а2 + а – 2 = 0
Д = 9
а1 = 1 а2 = –2
возвращаемся к замене

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

Подведение итогов урока.

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?

Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Задание на дом: § 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно № 380(а).

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

Единица измерения углов? (Радиан)

Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

Как называется верное равенство? (Тождество)

Равенство с переменной? (Уравнение)

Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

Множество корней уравнения ? (Решение)

Фамилия, имя обучающего

Познавательная активность
уч-ся