Тригонометрическое уравнение вида tgx a

Арктангенс и решение уравнения tg x=a (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом

Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).

Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом

Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…

…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.

Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.

Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…

…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac<π><3>+πn\), \(n∈Z\).

Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=-1\).

Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.

Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.

Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом

Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.

Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac<1><\sqrt<3>>\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.

Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…

…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…

…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).

Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt<3>\), котангенс будет \(\frac<1><\sqrt<3>>\).

Разберем еще пример, а потом подведем итог.

Пример. Решить уравнение \(ctg⁡x=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.

Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.

Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.

Урок алгебры и начала анализа в 10 Б кл: «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx=a, ctgx=a и их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

КГУ «Володарская СОШ Зеленовского РОО»

Урок алгебры и начала анализа в 10 Б кл: «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a , ctgx = a и их решения»

Подготовила и провела: учитель математики и физики

Урок алгебры и начала анализа по теме «Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a , ctgx = a и их решения»

Цель урока: формирование умений и навыков решения простейших тригонометрических уравнений вида tgx = a , ctgx = a .

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

Формы организации работы обучающихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы»;

на партах обучающихся: памятка по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы — консультации, лист бумаги для самостоятельной работы, карточки заданий с уравнениями, разноуровневые карточки, учебник «Алгебра и начала анализа. 10 класс.»

I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.

Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

II. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.

Опрос по теоретическому материалу:

а) Сформулировать определение арксинуса числа.

б) Сформулировать определение арккосинуса числа.

2. Устная работа практической направленности.
1) Вычислите:

2) Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет).
3. Опрос по теоретическому материалу:

А.Эйнштейн говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

(Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится только под знаком тригонометрической функции. Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеет их бесконечное множество.)

2) Какие уравнения называются тригонометрическими простейшими уравнениями?

(Уравнения sin x = a , cos x=а, tg x=а, ctg x=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями)

Каковы решения данных уравнений:

|а|>1 уравнение корней не имеет

4. Устная работа практической направленности.
Исправьте ошибки в решениях тригонометрических уравнений и подумайте об их причинах.

III. Проверка домашнего задания.

Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.

В парах взаимопроверка с оцениванием (с пометками на полях тетради)

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Самостоятельная работа учеников с последующей взаимопроверкой. Работа в парах.

(предлагаются готовые решения с ответами уравнений, предлагается помощь консультантов)

1 вариант 2 вариант

sin x +1 =0 2 sin x + =0

2 cos ( 2 sin (3x — ) = —

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

3) Решение уравнения самостоятельно с последующей самопроверкой (правильное решение на слайде презентации)

Так как x = 1 – x, то 4 – (1 – x) = 4 sin x,

3 + x = 4 sin x, x — 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

sin x =1 или sin x = 3

x = + 2 n, n Z, решений нет.

Ответ: x = + 2 n, n Z.

IV . Изучение нового материала. Как найти решения уравнений вида tgx = a , ctgx = a ?

Работа в парах. Общего метода решения любого тригонометрического уравнения не существует. Однако некоторые способы решения отдельных видов тригонометрических уравнений можно указать. Решение любого тригонометрического уравнения сводятся к решению простейших уравнений вида cosx x = a , sinx = a , tgx x = a . Уравнение ctgx = a равносильно уравнению tgx x = или

tg x =а, x = arctga + πn , n є z .

tg x =0 x = πn , n є z , tgx = 1 x = tgx = — 1 x =