Цели изучения темы квадратные уравнения

Реализация деятельностного метода при изучении темы «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Современная школа видит свою основную цель в изучении ученика как неповторимой индивидуальности, в создании оптимальных условий для его становления, личностного развития, в поддержке на пути самоопределения и самореализации через образование. Безусловно, все это имеет большое значение для перехода к экспериментированию новых идей и педагогических решений.

Сегодня актуальны такие методики обучения, которые ориентированны на активную самостоятельную деятельность обучающихся, формируют личную позицию, мотивацию учения, предполагают использование и активное освоение различных источников информации[3]. Одним из вариантов такого обучения являются методики, ориентированные на действия.

Шаш Н.Н.[2] сформулировала принципы обучения действием, которые утверждают следующее:

1. Люди учатся только тогда, когда хотят учиться.
2. Люди учатся тогда, когда сталкиваются с трудноразрешимыми проблемами.
3. Обучение – это социальный процесс, процесс сотрудничества.
4. Обучение как изменение поведения начинается тогда, когда мы получаем входные сигналы о результате, порождаемом действием.
5. Обучение часто состоит в переосмыслении того, что уже «известно», а не в приобретении новых знаний и фактов. Устоявшийся образ мыслей может быть потенциальным барьером на пути к изменениям.

Ориентированность на действие предполагает самостоятельное добывание учащимися необходимых знаний в процессе решения определенной проблемы с обязательным выполнением всех фаз полного действия: информирование, планирование, принятие решения, выполнение, контроль и оценка.

Основой обучения методики дидактических задач становится не только самостоятельное планирование учащимися, проведение и контроль деятельности, но и организация ими собственного учебного процесса. Понимание постановки задания, добывание информации и планирование работы, выполнение деятельности, ее контроль и оценка образуют ядро обучения. В центре обучения стоит усвоение базы знаний, необходимой для успешного усвоения учебной деятельности [1].

Например, рассмотрим последовательность фаз такого занятия при изучении темы «Решение квадратных уравнений». Структуру этого урока представим в виде технологической карты (табл.2), указав соответствующие цели (табл.1) и методико-дидактическое обеспечение (МДО) (табл.3).

Таблица 1. Цели урока

Знать

Уметь

Формулу корней квадратного уравнения общего вида

1. Определять последовательность действий при решении квадратных уравнений.
2. Решать квадратные уравнения общего вида.
3. Анализировать выполненную работу.

Практика организации занятий, ориентированных на действие, показывает, что введение новых знаний целесообразно строить по методике дидактических задач. Изучение нового материала начинается с его подачи. Действие начинается с анализа информационной базы, в результате чего учащийся получает задание. Затем планируется ход действий, и выбирается одна из возможных альтернатив действий. Наконец выполняется запланированное действие. Результат действия проверяется весь цикл действия рефлексируется.

Таблица 2. Технологическая карта урока

Этапы занятия

Цели

Время

(мин.)

Содержание деятельности

Формы и методы

1. Постановка темы и целей

Мотивировать учащихся на активную познавательную деятельность

Обоснование значимости рассматриваемого материала в практической деятельности. Формирование целей

2. Постановка задачи

Воспринять и осмыслить задание

Ознакомление с дидактической задачей. Выяснение возможностей разрешения заданной ситуации (лист 1)

Усвоить новую информацию. Знать формулу нахождения корней квадратного уравнения

Работа с информационным листом (справочным материалом) (лист 2)

4. Планирование/ принятие решения

Уметь рационально использовать новую информацию

Составление плана действий (лист 3)

Самостоятельная работа в группах

Уметь составлять алгоритм решения квадратных уравнений; решать квадратные уравнения; анализировать выполненную работу

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (лист 4); решение уравнений (лист 6); проверка предложенных решений (лист 7); решение дидактической задачи (лист 1)

Работа в группах; индивидуальная работа; фронтальная работа

Проверить полноту и правильность выполнения заданий

Сравнение последовательности действий при решении квадратных уравнений с эталоном (лист 5); выявление собственных ошибок (лист 8); анализ предложенного решения; проверка решения дидактической задачи

Контроль учителя; самоконтроль; фронтальная беседа; взаимопроверка

Уметь оценивать деятельность в соответствии с предложенными критериями

Заполнение оценочного листа (лист 10) и обсуждение достижения поставленных целей

Самооценка; работа в группах

Таблица 3. МДО урока по теме «Решение квадратных уравнений»

Содержание

Лист

Текст дидактической задачи (задание 4)

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений»

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (задание 1)

Эталон последовательности действий при решении квадратных уравнений

Примеры для решения (задание 2)

Примеры для проверки (задание 3)

Таблица перевода баллов в отметку

Рассмотрим последовательность фаз приведенного выше урока. Следует отметить, что перед началом занятия класс делится на группы и каждому учащемуся предлагается папка, содержащая МДО, т.е. определенный набор листов формата А4 (здесь мы позволили себе сократить их масштаб)

1. Информация. Занятие начинается с формирования целей (метоплан на доске) и постановки дидактической задачи практического характера (лист 1). Таким образом, через близкую к реальной жизни постановку задания достигается двойная цель. Во-первых, учащиеся видят, с какими требованиями они могут столкнуться в реальной дальнейшей жизни, и, во-вторых, возникает адекватная ситуация запроса необходимых в обучении знаний и умений.

Дидактическая задача

После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. Сколько было учеников, если по свидетельству одного выпускника они обменялись 870 фотографиями?

1. Планирование. Поскольку задание для учащихся является новым и подобрано так, что с помощью имеющихся знаний и умений его решить нельзя, то у них возникает информационный дефицит. Учащиеся запрашивают недостающую информацию, и учитель предоставляет ее в форме информационных листов, фрагмент которого приведен на листе 2, причем эта информация необязательно предлагается в форме каких-либо конкретных листов. Она может быть представлена подобранной литературой, информацией на электронных носителях и т.д. Эти особенности зависят от мастерства учителя и возможностей учащихся. Обучающиеся изучают предложенную им информацию и направляют ее для решения ранее возникшей проблемы.

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: , где .

(*)

Формулу (*) называют формулой корней квадратного уравнения общего вида.

Выражение называют дискриминантом и обозначают .

Пример. Решить уравнение .

Решение: Здесь , , , тогда .

По формуле (*) находим: , откуда получаем

, .

Ответ: , .

Желаем успехов при изучении данной темы!

1. Принятие решения. В этой фазе занятия планируется дальнейший ход действий для решения дидактической задачи. Число и последовательность учебных этапов определяется так же, как и средства, необходимые для каждого учебного этапа и может быть записано в Лист-планирования (лист 3).

Лист-планирование

Вам необходимо научиться решать квадратные уравнения.
Спланируйте свои действия в соответствии с целями урока.

Как вы действуете?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________

1. Выполнение. За принятием решения следует воплощение запланированного в конкретные действия. В нашем случае на этой фазе происходит групповое составление алгоритмов решения примеров (лист 4) с подробным и полным решением, которые предлагает учитель в готовом виде на «Информационных листах» или посредством подобранной литературы; индивидуальное выполнение конкретных примеров (лист 6), групповой анализ решения задачи предложенного учителем типа «Найти ошибку в предложенном решении» (лист 7). Завершает этот этап решение дидактической задачи (возврат к листу 1).

Группа 1
Составить алгоритм решения примера 1 из информационного листа 2.

Группа 2
Составить алгоритм решения примера 2 из информационного листа 2.

Группа 3
Составить алгоритм решения примера 3 из информационного листа 2.

Вариант 1

1) ;

2) 4

3) .

Каждый учащийся группы получает свой вариант.

Проверь правильность решения и исправь найденные ошибки.

.

Решение: 1) ; ; .

Ответ: Действительных корней нет.

Каждая группа получает своё задание.

1. Контроль. После выполнения задания наступает этап контроля решения.
2. Оценка. Занятие заканчивается оценкой решения дидактической задачи.

Следует заметить, что фазы «контроль» и «оценка» могут идти параллельно (листы 5 и 8), причем сразу по мере выполнения промежуточных задач заполняется оценочный лист (лист 10). В конце занятия осуществляется перевод полученных баллов в отметку (лист 9).

Вариант 1

1) .

2) Действительных корней нет.

3) ; .

Алгоритм решения квадратных уравнений

2. Вычислить дискриминант(D).

3. По значению дискриминанта (D) определить количество корней и найти их:

3а) если D›0, то уравнение имеет два корня;
3б) если D=0, то уравнение имеет один корень;
3в) если D‹0, то уравнение не имеет действительных корней.

Методическая разработка раздела « Квадратные уравнения» образовательной программы по алгебре в 8 классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Управление образования

администрации Арзамасского района.

по алгебре в 8 классе

Разработал: учитель математики

МБОУ Наумовская основная

Спиридонова Людмила Ивановна

Педагогический стаж – 31 год

Стаж работы по предмету – 25 лет

2012 – 2013 учебный год

Название пункта раздела

Цели и задачи раздела

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоение учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Ожидаемые результаты освоения раздела программы

Обоснование используемых в образовательном процессе по разделу программы образовательных технологий, методов и форм организации деятельности обучающихся

Система знаний и система деятельности.

Поурочное планирование по разделу « Квадратные уравнения»

Разработка урока по теме: « »»

Приложения к уроку

Презентация к уроку

Исходными документами для составления методической разработки раздела:

«Квадратные уравнения» явились:

— Региональный базисный учебный план общеобразовательных учреждений Нижегородской области, утвержденный приказом Министерства образования Нижегородской области № 57 от 04. 03. 2005 года.

— Стандарты второго поколения. Проект. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы. Руководители проекта: А.А. Кузнецов, В.М. Рыжаков, А.М. Кондаков.– М.: Просвещение, 2010 год.

— Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, на 2012-2013 учебный год. (Приказ Минобразования и науки РФ от 9 декабря 2008 года №349).

Раздел разработан на основе программы для общеобразовательных учреждений. Составитель: Т. А. Бурмистрова, Москва, «Просвещение», 2008 год.

Предлагаемая программа по алгебре составлена в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике. Раздел программы «Квадратные уравнения» является одним из ведущих в образовательной области «Математика». Тема «Квадратные уравнения» — основная тема курса алгебры 7 – 11 классов. Навык решения квадратных уравнений необходим каждому ученику для итоговой аттестации за курс основной и старшей школы. Умение решать квадратные уравнения является одним из базовых умений для приобретения новых.

Умение решать квадратные уравнения начинает формироваться ещё в 6 — 7 классах и к моменту начала изучения темы «Квадратные уравнения» дети умеют решать уравнения графически и выделением полного квадрата.

Во втором полугодии 8 класса идет завершение процесса обучения решению квадратных уравнений. При изучении темы происходит обобщение знаний учащихся по двум вопросам: квадратные уравнения и рациональные уравнения.

Считаю целесообразным поменять изучение материала в главе 3 «Квадратные уравнения», чтобы провести систематизацию способов решения квадратных уравнений и рассмотреть вопрос о выборе оптимального способа решения квадратного уравнения. Осуществление выбора способа решения предполагает анализ эффективности его применения, происходит осмысление выполняемой работы, таким образом, обеспечивается глубина и прочность знаний учащихся. Выбор можно осуществить только при наличии нескольких способов решения, поэтому в представленном поурочном планировании я изменила последовательность изучения параграфов в данной теме.

Концепция математической подготовки учащихся предполагает, что знания ученик должен добывать сам, поэтому считаю, что на уроках целесообразно организовывать исследовательскую работу, к которой я отношу и осуществление выбора оптимального способа для решения квадратного уравнения.

Данная разработка конкретизирует тематическое планирование, представленное авторами УМК, и раскрывает содержание уроков, исходя из образовательных целей урока, предлагается выбор образовательной технологии.

Полагаю, что данная разработка может быть полезна молодым специалистам, которые ещё не владеют содержанием программы, и тем учителям, кто только начинает работать по УМК под редакцией А.Г. Мордковича.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении алгебраических, иррациональных, тригонометрических и других видов уравнений, а также занимает важное место в заданиях ЕГЭ. Раздел программы содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителя, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса с учетом индивидуальных способностей и потребностей обучающихся, материальной базы школы. Темы занятий в планировании распределены по принципам:

Основной целью данного раздела является освоение обучающимися понятий квадратное уравнение, полное и неполное квадратное уравнение, формирование умений решать квадратные уравнения различными способами, решать задачи, в которых математической моделью являются квадратные уравнения.

Место раздела в базисном учебном плане.

Федеральный базисный учебный план для общеобразовательных учреждений РФ на изучение программного материала по алгебре в 8 классе отводит 102 часа. Количество часов на изучение каждого раздела программы варьирует сам учитель, делая упор на программу. Так на изучение программного раздела «Квадратные уравнения» в 8 классе отводится 21 час из них 2 часа на контрольные работы. Я, учитывая реальный объем знаний школьников и уровень владения умениями, а также значимость материала для их формирования, оставила количество часов без изменения программы.

Это третья тема программы, изучается после темы: « Рациональные дроби. Квадратные корни».

В ней предусмотрено:

— использование разнообразных способов обучения (средств, методов, форм организации учебной деятельности);

— внедрение современных методов обучения и педагогических технологий.

Раздел ориентирован на использование учебника Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. «Алгебра» Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, М. «Просвещение» 2010г.

Дополнительные пособия для учителей и обучающихся:

1. Дидактические материалы по алгебре: 8 класс Авторы: Л.И.Звавич, Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Москва, «Просвещение», 2008

2. Тесты по алгебре 8 класс. К учебнику Ю.Н. Макарычев . 8 класс. М.: Издательство « Вако», 2010

3. Математические диктанты для 5 – 9 классов, М.: Издательство « Просвещение», 2009

4. Контрольные и проверочные работы по алгебре. 8 класс. Издательство «Экзамен», 2010

5. Тесты для промежуточной аттестации «Алгебра 7 -8 класс» под редакцией Ф.Ф.Лысенко, Издательство « Легион», Ростов – на — Дону, 2008

6. Поурочное планирование по алгебре, Т.М.Ерина, М.: Издательство «Экзамен», 2008

2 . Цели и задачи раздела.

Учебный предмет «Алгебра» в современной школе имеет познавательно — практическую направленность, т.е. он дает обучающимся расширенные знания об уравнении и способах его решения.

Цель данного раздела : выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

обеспечить усвоение обучающимися понятий квадратное уравнение, полное и неполное квадратное уравнение, биквадратное уравнение;

сформировать умение решать квадратные уравнения различными способами; применять их при решении задач.

развивать у школьников умение выделять главное в изучаемом материале, учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать.

пробудить любознательность, возбудить готовность решать задачи самостоятельно, побудить обучающихся к активности.

Познакомить обучающихся с понятием квадратного уравнения; неполного квадратного уравнения; биквадратного уравнения.

Научить переносить приобретенные знания на другие области (геометрия, физика).

Выработать навыки решения квадратных уравнений различными способами.

3. ПСИХОЛОГО – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ СПЕЦИФИКИ ВОСПРИЯТИЯ И ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ОБУЧАЮЩИМИСЯ В СООТВЕТСТВИИ С ВОЗРАСТНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ.

Учебно-воспитательный процесс — это не только процесс усвоения знаний, формирование умений и навыков самостоятельного и творческого мышления, но и создание благоприятных условий для формирования и позитивного развития личности ребенка. Одним из путей реализации данной цели является знание и учет уровня развития, способностей обучающегося, потребности и мотивации к учению, возрастные особенности. Перспективная цель – это создание благоприятных условий для формирования и развития личности ребенка. Для определения уровня развития и обученности детей использовала методы и приемы психологической диагностики, результаты которых использовала с целью оптимизации учебно-воспитательного процесса при составлении планирования раздела: «Квадратные уравнения».

В возрасте около 14 лет наступает период, называемый психологами «проектирование будущего». Единственным предметом, где такие размышления могут перейти из разряда «мечтаний» в разряд «целеполагания», является образование. В это время важно вывести обучающегося через образовательные ситуации на проживание ситуаций социальных, тем более что образ идеального будущего формируется в раннем юношеском возрасте под влиянием успешного настоящего. Помимо «академического настоящего», у старшеклассника должен появиться опыт реальной деятельности в рамках наиболее общих профессиональных направлений с тем, чтобы он смог примерить на себя ту или иную социальную роль. Поэтому деятельность обучающегося в этот период можно рассматривать как социальные практики. С другой стороны, в старших классах более четко проявляются образовательные интересы обучающихся, связанные с планами на дальнейшую учебу и трудовую деятельность.

В этом возрасте проявляется осознание собственных мыслительных процессов, поэтому выполнение действий контроля и оценки предполагает привлечение внимания школьников к содержанию собственных действий, к рассмотрению их оснований с точки зрения соответствия результату, требуемому задачей. Такое рассмотрение обучающимися оснований собственных действий, называемое рефлексией, позволяет сформировать у обучающихся навыки самоконтроля за процессом усвоения материала.

Система уроков по данной теме сориентирована не столько на передачу «готовых знаний», сколько на формирование активной личности, мотивированной к самообразованию, обладающей достаточными навыками и психологическими установками к самостоятельному поиску, отбору, анализу и использованию информации. Это поможет выпускнику адаптироваться в мире, где объем информации растет в геометрической прогрессии, где социальная и профессиональная успешность напрямую зависят от позитивного отношения к новациям, самостоятельности мышления и инициативности, от готовности проявлять творческий подход к делу, искать нестандартные способы решения проблем, от готовности к конструктивному взаимодействию с людьми.

Обучающиеся 8 класса обладают достаточными знаниями и навыками, для изучения темы. В начале темы приводятся решения неполных квадратных уравнений различного вида.

По уровню развития и обученности класс делится на 3 группы.

— уровень – низкий уровень развития. У них отсутствует способность к длительной сосредоточенности, быстро утомляются, внимание рассеянное, плохая память, постоянно делают ошибки при выполнении заданий, с трудом могут выразить свои мысли. Такая группа отсутствует в данном классе.

-уровень — средний уровень развития у — 66% обучающихся. Обучающиеся достаточно внимательны, редко отвлекаются, но не всегда могут точно выразить свои мысли, хотя правильно понимают изучаемый материал, недостаточна быстрота мыслительных операций. Есть среди них дети, которым нужно больше учить, а иногда и просто «зубрить». А есть и «лентяи», которые, пользуясь своей способностью быстро схватывать и запоминать, они мало работают дома, поэтому им необходима помощь учителя.

– уровень – высокий уровень развития у – 33 % обучающихся. Они глубоко и полно овладевают содержанием учебной программы. Это обучающиеся способны к самостоятельному построению учебных действий. Они выполняют достаточно сложные упражнения, критически оценивают свои действия, могут дать отчет на всех этапах выполнения задания. Обучающиеся этой группы активны, с высокой работоспособностью, долговременной памятью, любознательны, обладают устойчивым вниманием. Они быстро включаются в работу, умеют сравнивать, анализировать, способны запоминать и воспроизводить логику рассуждений, последовательность мыслей.

Поддержанию должностного уровня познавательного интереса к предмету способствует использование нетрадиционных форм проведения занятий по данной теме. Дифференциация обучения, личностный подход к ученику как к личности с ее потребностями и возможностями. Только дифференцированный и индивидуальный подход к каждому обучающемуся позволит организовать достаточно плодотворный, активный процесс на уроках по теме: « Квадратные уравнения». Ученики данного класса положительно относятся к школе. Её посещение у них не вызывает отрицательных переживаний. Усваивают основное содержание учебных программ. Достаточно внимательны, редко отвлекаются, но не всегда могут точно выразить свои мысли, хотя правильно понимают изучаемый материал, недостаточна быстрота мыслительных операций, процесс переключения с одного вида деятельности на другой замедленный, осуществляется при повторении целей деятельности со стороны учителя. Они могут выполнять намеченный план деятельности только при помощи взрослых (учителя). Волевое усилие присутствует не всегда. Недостаточная активность и самостоятельность при выполнении задания нуждаются в направляющей помощи учителя. В речи наблюдаются ошибки, сама речь недостаточно выразительна.

4. Ожидаемые результаты освоения раздела программы

В направлении личностного развития: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания; креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач; умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

В метапредметном направлении: первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации; умение видеть различные стратегии решения задач; понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом; умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем.

В предметном направлении: умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации); владение базовым понятийным аппаратом: овладение символьным языком математики;овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, применение их к решению математических и нематематических задач, предполагающее умение: выполнять устные и письменные вычисления; выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в смежных учебных предметах; применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов; точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику; использовать различные языки математики (словесный, символический, графический); обосновывать суждения.

В результате изучения раздела программы « Квадратные уравнения» ученик

должен знать (понимать):

— определение квадратного уравнения,

— неполного квадратного уравнения,

— приведённого квадратного уравнения,

— формулу дискриминанта квадратного уравнения,

— формулу корней квадратного уравнения,

— формулу корней квадратного уравнения, в котором коэффициент является чётным числом.

— решать неполные квадратные уравнения,

— решать полные квадратные уравнения,

— решать приведённые квадратные уравнения

— решать простейшие рациональные уравнения,

— применять квадратные и рациональные уравнения к решению задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности:

— решение уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где, а ≠ 0, с использованием формулы корней,

— познакомить с формулами Виета, выражающими связь между корнями и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трёхчлена на линейные множители.

— овладев способом решения дробных рациональных уравнений, который сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

— изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

5. Используемые в образовательном процессе образовательные технологии, методы и формы организации деятельности обучающихся.

При изучении алгебры в 8 классе использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности.

На уроках изучения главы 3 « Квадратные уравнения» используются такие методы, как:

словесные методы обучения (рассказ, объяснение, лекция, беседа (репродуктивная и поисковая), работа с учебником;

наглядные методы (иллюстрация, демонстрация наглядных пособий, презентаций, таблиц, рисунков);

практические методы (устные и письменные упражнения, практические работы);

активные методы (дидактические игры, анализ контрольных ситуаций, решение проблемных задач, обучение алгоритму);

индуктивный и дедуктивный.

Каждый метод рассматриваю как определенную систему приемов. Использую приемы общей (внешней ) организации учебной деятельности : приемы слушания, наблюдения, планирования работы с учебником, компьютером, пересказа информации, самоконтроля, организации домашней работы, и приемы познавательной (внутренней) деятельности: приемы внимания, запоминания, приемы словесного описания, объяснения, приемы постановки вопросов и проблем, приемы рефлексии, приемы оперирования образами, суждениями, понятиями.

На уроке алгебры при изучении темы « Квадратные уравнения» использую различные формы организации учебной деятельности обучающихся:

В поурочное планирование включаю четыре вида занятий:

1) урок на изучение нового материала;

2) урок на отработку и закрепление пройденного материала;

3) урок контроля знаний (контрольная работа);

4) урок контроля знаний (тематический зачет).

Основные типы уроков:

урок усвоения новых знаний;

урок закрепления изученного материала;

урок систематизации и обобщения нового материала;

урок проверки и оценки знаний;

Эффективность знаний, умений и навыков, обучающихся по разделу

«Квадратные уравнения» во многом зависит от использования учителем различных образовательных технологий, методов и форм организации деятельности обучающихся. Учитывая возрастные и психологические особенности обучающихся для реализации раздела программы целесообразно использовать следующие методы обучения:

— по характеру познавательной деятельности:

Методика обучения решению квадратного уравнения

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

слушатель учебного курса

«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»

учитель математики МОУ «СОШ№4

имени Героя Советского Союза Ф.Т. Жарова г. Шатуры»

Шатурского муниципального района Московской области

Куликова Ольга Александровна

Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Е.Л. Мардахаева

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§1.Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 2. Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

3.1.Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений».

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

§ 8. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Актуальность. Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определение целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы.

Цель итоговой практико-значимой работы: «Разработать систему подготовки учащихся к итоговой аттестации в основной школе на примере темы «Методика обучения решению квадратного уравнения»

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

1. Выявить теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

2. Выполнить отбор средств обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», в том числе средства ИКТ.

3. Разработать методические рекомендации по использованию выбранного программного средства при изучении темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

4. Отобрать систему задач по теме «Квадратные уравнения», в том числе задач с параметром, для организации подготовки к итоговой аттестации.

5. Разработать методические рекомендации по использованию отобранной системы задач в образовательном процессе.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§ 1. Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

видеть структуру содержания учебного предмета в целом,

видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,

видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных учащихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа

составляется развернутый тематический план изучения темы,

определяются цели и задачи уроков,

отбирается содержание уроков,

организовывается деятельность учащихся.

На изучение темы «Квадратные уравнения, 8 класс, учебник «Алгебра, 8 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/под ред. С. А.Теляковского 18-е изд., стер. М.: Просвещение, 2013. по программе отводится 30 часов.

Рабочая программа составлена основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, рабочей программы к предметной линии учебников (УМК Ю.Н. Макарычев и др.)

Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычев и др .7 – 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Н. Г. Миндюк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице

Тематическое планирование, 4часа в неделю

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

Решать квадратные уравнения. Находить подбором кор­ни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать дробные рациональные урав­нения, сводя решение таких уравнений к решению ли­нейных и квадратных уравнений с последующим исклю­чением посторонних корней.

Решать текстовые задачи, используя в качестве алге­браической модели квадратные и дробные рациональ­ные уравнения

Квадратное уравнение и его корни

Анализ контрольной работы № 5

Дробные рациональные уравнения

Тема: «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

определение квадратного уравнения

понятие приведенного квадратного уравнения

понятие неполного квадратного уравнения

вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения , приводятся еще формулы корней уравнения или . Использование этих формул упрощает вычисления.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения (§9). Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики.

Таим образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида;
уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· делать проверку.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения.

Упражнения для домашней работы никак не обозначены. В теме решения текстовых задач рассматриваются две старинные задачи, часть задач носит геометрический характер, есть несколько задач с практическим содержанием. Для разнообразия работы с учащимися в учебнике предлагаются дополнительные задания разного уровня сложности. Так же есть параграф под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше» — это уравнения с параметром. В этом параграфе все задания, кроме двух первых, отмечены как задачи повышенной сложности. Однако, данная тема рассматривается с учащимися только по усмотрению учителя.

Во всей теме всего три задания для решения устно, большая часть задач направлена на отработку навыков решения уравнения по формулам. Однако, заданий для исследовательской и проектной деятельности нет. Очень трудно по этим задачам организовать проблемные или эвристические уроки, нет задач на развитие логического мышления. Практически все задания предназначены для развития вычислительных навыков.

В итоге изучения материала по запоминанию темы учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения. В целом освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Анализ задачного материала темы «Квадратные уравнения»

Название темы пункта

По характеру требований

По дидактической цели

По способу решения

По уровню усвоения

Неполные квадратные уравнения

Выяснить: 512, 519

Найти корни: 515, 522

Решить уравнение: 516-518, 521,523

Решить текстовую задачу: 524-530

Выберете верный ответ: 520

Обязательные: 512, 513, 514, 515, 517, 518, 519, 521

Тренировочные: 522, 523

Алгоритмические: 515, 517, 518, 521

2 УУ: 516, 522, 523, 524, 525, 526, 527

3 УУ: 520, 528-530

На отработку определения: 512-514

Решение неполных уравнений: 515, 517, 518, 521

Формула корней квадратного уравнения

Вычислить дискриминант: 533

Найти корни: 536, 544, 546

Решить уравнение: 534, 535, 539-543, 545, 547, 551, 554

Найти параметр: 555

Обязательные: 533- 536, 538-543

Смешанные: 537, 548-550, 553-555

Тренировочные: 544-547, 551, 552

2 УУ: 537, 538, 544-553

На отработку определения: 533

Решение квадратных уравнений по формуле: 534-536, 539-543

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решить текстовую задачу: 559-568, 571-575

Решить старинную задачу: 569, 570

На составление математической модели: 559-563

Найти сумму и произведение корней: 580

Решить уравнение и выполнить проверку: 581,582

Найти подбором корни уравнения: 583, 584

Найти один из корней и параметры: 585-592

Определить знаки корней: 594, 595

Алгоритмические: 580-584, 594, 595

2 УУ: 583—590, 594, 595

На отработку теоремы Виета: 580-590

Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий квадратные уравнения, виды квадратных уравнений, а так же на отработку нахождения корней квадратного уравнения по формулам и подбор корней с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применением новой темы, а так же при решении параметрических задач на применение теоремы Виета.

§2.Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»

В настоящее время основным принципом разработки требований к подготовке выпускников является представление их в виде набора вопросов и задач, непосредственно позволяющих осуществить проверку наличия тех или иных знаний, умений, навыков выпускников 9-х классов. Процедура разработки таких задач-измерителей состоит в последовательной конкретизации целей обучения математики в основной школе и выстраивании иерархической системы целей:

Общие цели математического образования Требования к уровню подготовки выпускников Планируемые результаты обучения Образцы задач Контрольно-измерительные материалы.

Объектами контроля в заданиях первой части работы являются: знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, математической символики и средств наглядности и пр.), владение основными алгоритмами, умение решать несложные математические проблемы, не сводящиеся к прямому применению алгоритма, умение применять математические знания в несложных практических ситуациях.

Задания по теме «Квадратные уравнения» регулярно включаются в материалы основного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена.

Анализ методических пособий для подготовки к ОГЭ показал, что в

Модуле «Алгебра» часть 1некоторые задания №4 требуют базовых знаний решения неполных и полных квадратных уравнений.

Учащимся необходимо уметь проводить классификацию уравнений по общему виду; уметь определять числовые коэффициенты, применять формулы при решении квадратных уравнений; уметь выделять общее и находить различия.

Объектами контроля в заданиях второй части являются: умение интегрировать знания из различных тем курса при решении задач комбинированного характера, владение некоторыми специальными приемами решения задач, умение строить и исследовать простейшие математические модели, использовать разнообразные способы рассуждений при исследовании математических ситуаций, умение математически грамотно и ясно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Часть 2 содержит задания № 21; № 22, повышенного уровня.

№ 21. Решите уравнение (х — 1) (х 2 +6х+9) = 5(х+3).

При решении уравнений данного вида, учащиеся должны знать:

формулы сокращенного умножения,

уметь представлять квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена,

уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители,

выносить общий множитель за скобку,

применять алгоритм решения квадратных уравнений,

применять формулы для второго четного коэффициента.

№ 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

При решении данных заданий, учащиеся должны уметь составлять дробно-рациональные уравнения, приводить их к квадратным.

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

К заданиям повышенного уровня можно отнести уравнения с параметром из п. 27.

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром — это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения– привести заданные уравнения к более простому виду. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.
Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Методические рекомендации при изучении некоторых тем «Линейные и квадратные уравнения».

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для

этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то,

при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения

является любое действительное число.

3.1. Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Примеры (ОГЭ 2016)

1) х 2 ‒ 2х + а + 3=0; 2) х 2 ‒ (2 + а)х + 3 = 0; 3) ах 2 ‒ 2х + 3 = 0

Найдите все значениях параметра b, при каждом из которых отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6.

Ответ: отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6 при b = –1 и b =6.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых решением неравенства является объединение двух непересекающихся интервалов.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

Ответ: при уравнение имеет единственное решение.

№4. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2.

При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на

коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это

деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех

действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения

является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = (а-2) : 2а(а-2) ,

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

2)если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х =1/2а .

(а — 1) х 2 +2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = — 7/6.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых

дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе

значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например,

при аао D0). Вместе с этим при переходе через

точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в

нашем примере при аао D0 уравнение

имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении

уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0

дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D/4=(2а+ l) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D/4= 5а+4.

Из уравнения D/4 = 0 находим а = — 4/5— второе контрольное значение

параметра а. При этом если а

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а

2) если а = 1, то х = — 7/6; 3) если a≥-4/5 , a ≠ 1, то х_1;2 = ;

Решение задач с параметрами необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Глобальная информатизация общества является одной из доминирующих тенденций ХХI века. Поэтому обучение в школе должно обеспечить формирование у людей новых компетентностей, знаний и умений, способов деятельности, которые им потребуются в новой информационной среде обитания, в том числе и для получения образования в условиях широкого использования современных информационных технологий обучения. Сегодня педагог-предметник уже не в состоянии игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая им программно — техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно новый уровень.

Microsoft PowerPoint — это программное обеспечение, предназначенное для создания эффектных и динамичных презентаций. Для утилиты свойственна широкая функциональность, относительно управления графикой, стилями и текстом.
Приложение входит в состав и поставляется в рамках пакета Microsoft Office.
Благодаря этому, разработка слайдов осуществляется практически на профессиональном уровне. Совместная работа программы с SharePoint Workspace и SharePoint Server обеспечивает быстрый обмен информацией.
Пользовательский интерфейс и графические возможности PowerPoint способствуют быстрому выполнению задачи. Система защищает презентации посредством применения прав доступа, обеспечивая, вместе с этим, простое начало процедуры рецензирования.
Последняя версия программы позволяет выбирать темы, прибавлять варианты дизайна, выравнивать картинки и текст. Помимо этого, появилась возможность совместной работы нескольких пользователей над одной презентацией. Среди нововведений — инновационный режим редактирования и широкоформатные шаблоны.
При создании презентации пользователь столкнется со следующими особенностями:
— наличие начального экрана, который способствует быстрому старту работы и помогает сразу же приступать к подбору новых тем;
— множеством различных тем — можно выбрать одну из доступных цветовых схем, а затем применить ее одним лишь кликом мышки;
— направляющими — выравнивают текстовые блоки и другую графику с текстом;
— объединением фигур — инструменты группировки, объединения, фрагментации, вычитывания и пересечения необходимы для компоновки двух или более фигур.
Процесс планирования презентаций может сопровождаться настройкой таких функций, как:
— приближение слайдов — пользователи без особого труда могут направить внимание аудитории на конкретные пункты своей презентации путем увеличения графиков, диаграмм и прочих объектов слайда. Сделать это довольно просто — достаточно кликнуть несколько раз мышкой, а чтобы уменьшить объекты, необходимо выполнить те же действия;
— навигационная сетка — позволяет определить порядок показа слайдов — произвольно или по порядку, при этом сама сетка видна лишь пользователю;
— автоматическое расширение — демонстрация презентации на втором экране должна сопровождаться соответствующей настройкой ее формата.
В целом, MS PowerPoint — великолепный продукт, достаточно удобный для пользователей разного уровня. Программа обладает расширенным функционалом, который необходим для создания качественных презентаций.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Презентации по математике рекомендуется использовать в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания учеников с помощью ответов на вопросы, закрепить знания, умения и навыки учащихся.
Одна из самых главных задач школы — это не только снабжать знаниями учеников, а также — прививать им умение добывать информацию самостоятельно. Презентация к уроку «Решение квадратных уравнений», даёт возможность ученикам активно включиться в исследовательскую и творческую деятельность.

§6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений»

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений. Заполняя таблицы в презентации (слайд 2,3), находят коэффициенты полного, неполного, приведенного, квадратного уравнения, вычисляют дискриминант, извлекают квадратные корни.

Определяют количество корней различных квадратных уравнений

Целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень;

3) если дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня;

4) если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Слайды 6; 7 содержит задания для устной работы и ответы.

Целесообразно поступать следующим образом:

1) применить теорему Виета;

2) умножить на – 1 обе части уравнения и найти дискриминант;

3) выделить квадрат двучлена и найти его корни;

4) решить неполное квадратное уравнение вынесением за скобку общего множителя;

5) вынести общий множитель за скобку, при нахождении корней применить теорему Виета.

Как показывает опыт, большинство учащихся при решении квадратных уравнений применяют способ решения по формуле корней квадратного уравнения.

Но этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах. Решение иррациональных, показательных, логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений

И там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета. Слады 8; 9.

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства ,

Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета

Если числа х₁ и х₂ таковы, что их произведение равно свободному члену, а сумма второму коэффициенту с противоположным знаком, то они являются корнями уравнения : х 2 +рх+q=0

Теорема Виета замечательна тем, что,

не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x₁ + x₂ и x₁∙ x₂

определить знаки корней уравнения

(Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа

Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа.

Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);

Пример 1. Найдите ; если X 2 — 10x + 23 = 0

Решение. X 2 — 10x + 23 =0

Пусть и . Корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства ;

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные.

Пример 2. Решить уравнение .

Пусть и — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный, а знак меньшего по модулю совпадает со знаком второго коэффициента. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения. Ответ: 2; -5.

При закреплении материала можно использовать комментированные решения уравнений, при этом ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе.

Система деятельности учащихся при изучении раздела «Квадратные уравнения» и темы «Решение квадратных уравнений» включает в себя: Преобразующую деятельность: умения переносить полученные знания в новой ситуации – приёмы решения квадратных уравнений различными способами; приёмы нахождения корней квадратного уравнения, исходя из свойств коэффициентов; умение применять теорему Виета; умение задавать вопросы; приёмы тождественных преобразований целых и дробных алгебраических выражений; приёмы рационализации вычислений с помощью тождественных преобразований выражений; приёмы решения уравнений. Общеучебная деятельность: рациональные приёмы вычислений; использование буквенной символики для изучения свойств математических объектов; приёмы работы с учебником алгебры, дополнительными источниками информации; приёмы организации домашней работы по алгебре; ведение тетради по алгебре; навыки общения в учебном процессе и т.д. Самоорганизационная деятельность: организация внимания; способ постановки цели; планирование; самоконтроль; самоанализ; работа с учебником; организация домашней работы и т.д.

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

При новой форме атте­стации от учащихся требуется владение более широким кругом умений, относящихся к области познавательной деятельности. В соответствии с этим, при выполнении заданий базового уровня экзаменационной работы учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формули­ровках, применять свои знания в практических ситуациях.

Задания части 1

Задания направлены на проверку владения следую­щими знаниями и умениями:

знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной», «корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число корнем данного уравнения;

решать линейные и квадратные уравнения и уравнения, сводя­щиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения, неслож­ные дробно-рациональные уравнения.

№1. Решите уравнение: (2 — 6х)(х — 4) = 0;

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№2. Решите уравнение: (1 — 5х)(2х — 3) = 0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№3. Решите уравнения

а) Зх 2 + х = 0; б) Зх — х 2 = 0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№ 4. Решите уравнения

а) -12 = 0; б)16- 4х 2 =0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№5. Решите уравнения

а) х 2 — 28 = 3х; Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

б) Зх 2 + 14х = 5. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№6. Решите уравнение ;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№8. Какое из следующих уравнений имеет два различных корня?

1)х 2 -2х + 5 = 0 2)9х 2 -6х+1 = 0

3) 2х 2 — 7х + 2 = 0 4) Зх 2 — 2х + 2 = 0

№9. Какое из следующих уравнений не имеет корней?
1) х 2 + Зх + 1 = 0 2) х 2 + 2х + 1 = 0

3) х 2 + 2х — 3 = 0 4) х 2 + х + 3 = 0

Задания части 2

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

№11. Решите уравнение

№12. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3)

№13. Решение задачи при помощи составления дробно рационального уравнения приводимое к квадратному.

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час.

§ 8. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Проверяемые элементы подготовки к ОГЭ:

—знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной»,
«корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число кор­нем данного уравнения;

— знать и применять алгоритмы решения основных видов урав­нений с одной переменной:

проводить простейшее исследование квадратного уравнения (устанавливать, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько);

решать полные и неполные квадратные уравнения, а также уравне­ния, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения;

решать несложные дробно-рациональные уравнения сводящиеся к квадратным в результате несложных преобразований.

В подборке задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка содержатся полные и неполные квадратные уравнения, а также уравне­ния, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований, целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения. В экзамен могут быть включены все виды уравнений , которые предусмотрены стандартом, однако это всегда задания, не осложненные техническими трудностями, фактически они требуют только знания соответствующего алгоритма.

Основные недостатки математической подготовки учащихся, или На что обратить внимание при подготовке ОГЭ

Удовлетворительные результаты связаны только с заданиями на
решение простейших уравнений: уравнений, сводящихся простыми
преобразованиями к квадратным уравнениям, представлен­ных в стандартном виде. Но даже на этом уровне имеются определенные
проблемы, требующие особого внимания. Так, процент верных ответов
снижается и при решении уравнений с дробными коэффициентами. Например, № 4. Решите уравнение -12 = 0), и при решении полного квадратного уравнения, если первый коэффициент является дробным.

№6. Решите уравнение ; В ответе запишите сумму корней уравнения. №7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0; В ответе запишите сумму корней уравнения.

Вообще, всегда, когда в том или ином контексте возникает необходимость работать с дробями, у учащихся возникают трудности. Умение перейти от дробных коэффициентов к целым, безусловно, отно­сится к числу значимых. Следуя известному правилу «целое лучше дро­би», целесообразно в ходе обучения неоднократно демонстрировать им, как можно с помощью домножения и левой, и правой частей уравнения на одно и то же число «избавиться» от дробей.

Может показаться странным, но решение неполного квадратного уравнения вида №3. Решите уравнения а) Зх 2 + х = 0; б) Зх – х 2 = 0 вызывает у учащихся больше затруднений, чем применение формулы корней квадратного уравнения. Это свидетельствует о том, что учителя сосредоточиваются на отработке овладения соответ­ствующим алгоритмом в ущерб понятийной стороне. Об этом, кстати, говорит и невысокий процент выполнения задания из примера №8, №9.

Более подготовленные учащиеся, должны уметь проводить исследование квадратных уравнений содержащих буквенные коэффициенты (уравнения с параметрами).

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие. Выпускнику необходимо знать, что квадратное уравнение имеет корни, если D (к 2 -4ас .

При решении дробно рациональных уравнений (№11. не указывают область допустимых значений, испытывают затруднения в приведении к общему знаменателю. Необходимо напомнить учащимся, что любое целое число возможно записать со знаменателем один.

Затруднения возникают и при решении заданий «Модуль Алгебра», части 2, № 21. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3). Не все учащиеся «видят» формулу сокращенного умножения (х 2 + 6х + 9) = (х + 3) 2 или теряют корень х = — 3. Целесообразно включать аналогичные задания при закреплении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе. Выработать алгоритм решения.

Следует отметить, что невысок процент выполнения текстовых задач из второй части экзаменационной работы (№13. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час).

Задача решается при помощи дробно рационального уравнения приводимое к квадратному х 2 – 14х – 15 =0.

Фактически они решаются только теми выпускниками, которые имеют отметку «5».

И еще одна из основных ошибок, которая проявляется при состав­лении уравнения по условию текстовой задачи на движение, связа­на с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

Все это свидетельства того, что в арифметической подготовке выпускников основной школы много пробелов (естественно, это негативно сказывается и на изучении алгебры).

Весьма типичным недостатком в записи решения задачи, а это требуется при выполнении задач повышенного уровня слож­ности, является неверное употребление математической термино­логии и символики. Так, вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» можно увидеть выражение «решим ква­дратный трехчлен».

Серьезное непонимание существа дела проявляется в неумест­ном употреблении логических союзов «и» и «или». В сознании учащихся наблюдается путаница между употреблением этих сою­зов как логических связок и как частей речи русского языка. На­пример, результат решения квадратного уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 записывают так: х = 2 или х = 3 (или употребляют в этой записи знак совокупности). В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии с чем требуется пере­числить элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний). Это может быть сделано разными способами, на­пример: х_х = 2, х₂ = 3; 2 и 3; 2; 3.

Основной государственный экзамен (ОГЭ) в новой форме, дает большие возможности для диагностики учебных достижений учащихся. По отношению к индивидууму итоговая аттестация позволяет решать три основные задачи:

1) выявление конкретных недостатков в знаниях и умениях
учащегося;

2) определение уровня его математической компетентности;
3) выявление готовности к обучению в старшей школе.

В ходе выполнения итоговой практико-значимой работы по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», мною был выполнен:

логико-дидактический анализ темы, логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ;

выполнена подборка задач с параметрами и даны методические рекомендации по обучению учащихся;

разработана презентация к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint ;

даны методические рекомендации к использованию материала к уроку;

выполнена подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка;

даны методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Все поставленные мною задачи решены в полном объёме.