Целое уравнение примеры 9 класс

Урок-зачет в 9-м классе «Целые уравнения»

Разделы: Математика

Цели урока:

1) Воспитывать трудолюбие, терпение, прилежание, внимательность, настойчивость в преодолении трудностей;

2) Учиться принимать и оказывать помощь и поддержку товарищей;

3) Отработать навык решения целых уравнений, начиная с линейного вида и заканчивая уравнениями олимпиадного текста;

4) Учиться уважать труд младших и старших учеников твоего учителя

При подготовке к уроку проведена следующая работа:

• Подобран материал четырех вариантов заданий, аналогичных экзаменационным разного уровня сложности: линейных уравнений, квадратных, биквадратных, уравнений с заменой переменных, уравнений с применением в решении теоремы Безу и следствий из нее.
• Приглашены гости: родители и учителя математики.
• Выполнена презентация наиболее сложных типов целых уравнений.
• Ученикам 10 а класса получены ответы к вариантам, приготовлены индивидуальные карточки с заданиями для всех 27 учеников 9 а класса. Для проверки работ ответы вариантов внесены в таблицу, за каждый вариант отвечает один старшеклассник, он вводит сводную ведомость оценки (нормы оценок обговорены с учителем заранее). Еще потребуются два старшеклассника для сбора заданий у ребят.
• Учениками 7 в и 7 г классов приготовлена веселая песня на мотив песни «Коммунальная квартира». (Приложение 1)
• Перед исполнением песни ученик 7 г класса читает стихотворение «Баллада о математике».

Этот небольшой концерт для девятиклассников прозвучит после сдачи зачета; во время подведения общих итоговых оценок урока.

Начало урока.

На экране высвечивается тема урока и его цели. Проводится устная разминка всех учеников по заготовленному тексту на доске. В это же время трое учеников решают квадратные уравнения.

Подобрать корни по формулам Виета:

Решения ученики проводят (1) и (2) подробно, применяя формулы Д, Д₁ и формулу корней. Третий ученик напоминает формулы Виета, особо отмечая что Д > 0, иначе нет корней (г).

Вместе с учителем (за время подготовки) решения тремя учениками на доске) другие ребята устно проверяют себя в решении таких уравнений:

г)

После проверки решения с доски ребята в рабочих тетрадях отмечают тему урока и записывают решения целых уравнений с помощью теорем Безу и следствий из нее.

а) 2х 3 +3х 2 -23х-12 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

б) -3х 3 +10х 2 +27х-10 = 0

3х 3 -10х 2 -27х+10 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

При решении применялись теоремы:

Остаток при делении многочлена на двучлен (х-а) равен значению делимого многочлена при х = а.

Многочлен делится на двучлен (х-а) тогда, и только тогда, если а является корнем данного многочлена.

Если а — корень многочлена f(х), то f(а) = 0, следовательно f(х) = (х-а) * q(х), где q(х) — многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена f(х).

Навыки решения целых уравнений с применением теоремы Безу и ее следствий ребята приобрели на занятиях элективного курса «Избранные вопросы математики».

Поскольку самым сложным для учеников является деление многочленов, пробуем еще раз делить многочлен на многочлен.

в) х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 = 0

По следствию из теоремы Безу если f(х) = х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 (коэффициент при «старшем» одночлене равен 1), тогда все рациональные корни многочлена являются целыми числами и являются делителями свободного члена, т.е. числа -2.

F(-2) = 0=> -2 — корень; f(-1) = 0=> -1 — корень.

Тогда f(х) делится на (х+2)(х+1) = х 2 +3х+2

Записи в тетрадях на этом заканчиваются.

Далее идет презентация решения целых уравнений.

1-й ученик. Применение теорем о корне многочлена и о целых корнях целого уравнения.

Целые корни уравнения являются делителями числа -2.

3-й ученик. Введение новой переменной.

(х 2 — 2х — 5) 2 — 2 * (х 2 — 2х — 5) — 3 = 0

Пусть х 2 — 2х — 5 = а, тогда

а = 3 или а = -1 (по формулам Виета)

х 2 — 2х — 5 = 3 или х 2 — 2х — 5 = -1

х 2 — 2х — 8 = 0 или х 2 — 2х — 4 = 0

х = 4 или х = -2 Д = 5

(по формулам Виета) х = 1

Ответ: 4;-2; 1

2) (2х 2 + 7х — 8) * (2х 2 + 7х — 3) — 6 = 0

Пусть 2х 2 + 7х = t, тогда

(t — 8) * ( t — 3) — 6 = 0

t 2 — 11t + 18 = 0(по формулам Виета)

2х 2 + 7х = 9 или 2х 2 + 7х = 2

2х 2 + 7х — 9 = 0 2х 2 + 7х — 2 = 0

х = -4,5 или х = 1 х=

Ответ: -4,5; 1;

4-й ученик. Применение разложения на множители.

1) 5х 3 — 19х 2 — 38х + 40 = 0

(5х 3 + 40) — (19х 2 + 38х) = 0

5 · (х 3 + 8) — 19х * (х + 2) = 0

5· (х + 2) * (х 2 — 2х +4) — 19х * (х + 2) = 0

(х + 2) * (5 * (х 2 — 2х +4) — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 10х + 20 — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 29х + 20) = 0

х + 2 = 0 или 5х 2 — 29х + 20 = 0

х = -2 Д = 841 — 4 * 5 * 20 = 441

2) 9х 3 — 18х 2 — х + 2 = 0

9х 2 * (х — 2) — (х — 2) = 0

(х — 2) (9х 2 — 1) = 0

х₁ = 2 х₂ = х₃ =

Ответ: 2;

Во время презентации подключались к работе ученики к обсуждению по вопросам: типичные ошибки при введении новой переменной, метод группировки и формулы сокращенного умножения при разложении на множители, подбор корней по формулам Виета.

5. На втором уроке ученики включены в работу по решению целых уравнений. Каждое уравнение уже записано на отдельном листе, на этом же листе ученик выполняет решение. Как только решение одно из заданий — поднимает руку, «курьер» — десятиклассник забирает решение на проверку в комиссию десятиклассников. Оценка оглашается и заносится в ведомость. За консультацией можно обратиться к учителю, если решение зашло в тупик, оценка при этом снижается (на полях делается замечание).

Работа рассчитана на 30минут. Приложение 2

Дополнительно на доске:

Ответ: -5;1;-1;

6. Ученики 10 класса проверяли по ходу решения варианты заданий. Если часть работы не выполнена, то оценка за отсутствующие задания 0. Итоговая оценка идет как среднее арифметическое, заносится в ведомость, если есть возможность, высвечивается на экране в конце урока.

Пока подводятся итоги, ученики 7 классов выступают с концертом 5-6 минут. При наличии времени слово можно дать родителям, либо детям.

Урок заканчивается озвучиванием итоговых оценок.

Мастер-класс «Решение целых уравнений в 9 классе»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок математики в 9 классе

Тема урока: « Решение целых уравнений»

Организационный момент. (1 слайд)

-О каких уравнениях мы вели речь на предыдущих уроках? ( О целых уравнениях)

-Какие уравнения называются целыми? (Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.)

Внимание на экран (2 слайд) Какие из уравнений не являются целыми? Почему ?

х 2 =0

— =5

+ 3х = 18

= 0

— Как определяется степень уравнения? (Если уравнение с одной переменной, записано в виде Р(х) = о , где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0 , где Р(х) – многочлен стандартного вида.)

Внимание на экран (3 слайд) Определите степень уравнения. Дайте ответ и прокомментируйте его.

7х 5 – 5х 4 +2 = х (5)

6х 7 + 6х 4 -3х 2 +1 = х + 2 (7)

-11х + 79х 2 = 17 (2)

х 5 + 3х 6 – х 3 + 1 = 0 (6)

(х + 4)(х – 7)(х + 8) = 0 (3)

(5 – х)(х + 5) + х(х – 10) (1)

х 2 (х + 4) –(х – 2)(х 2 +1) = 3 (2)

(х 3 – 2)(3х 2 + 1) – 3(х 5 – 2) = 4 (3)

— Сколько корней может иметь каждое целое уравнение п- й степени? (Уравнение п- й степени имеет не более п корней.)

3. Основная часть урока.

Рассмотрим известные вам способы решения целых уравнений. Какие способы вы знаете? 1)уравнения, приводимые к линейным и квадратным

2) разложение на множители

3) Введение новой переменной

4) биквадратные уравнения)

Внимание на экран: (4 слайд) Каждый из вас решит одно уравнение и затем объяснит остальным ход его решения. При решении можете пользоваться учебниками, записями предыдущих уроков.

Способы решения целых уравнений

Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

Разложение на множители

Введение новой переменной (х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0

Биквадратные уравнения х 4 -13х 2 + 36 = 0

Внимание на экран, проверим решение ваших уравнений.

(5 слайд) Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

36х 2 – 12х + 3х – 1 – 36х 2 – 24х – 4 = 10

х =

Ответ: х =

(6 слайд) Разложение на множители

х 3 – 3х — 3,5х 2 = 0

Х ₁ = 0 и х 2 -3,5х -3 – 0

Д = (-3,5) 2 — 4*1*(-3) = 12,25 — 12 = 0,25

Х ₂ = = 2

Х ₃ = = 1,5

(7 слайд) Введение новой переменной

(х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0 Пусть (х 2 + 2х) = у, тогда

Д = (-2) 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

У ₁ = = 3

У ₂ = = -1

(х 2 + 2х) = 3 (х 2 + 2х) = -1

х 2 + 2х- 3 = 0 х 2 + 2х +1 = 0

Д = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 Д = 2 2 – 4*1*1 = 4 – 4 = 0

х ₁ = = 1 х ₃ = = -1

х ₂ = = -3

(8 слайд) Биквадратные уравнения

х 4 -13х 2 + 36 = 0 Пусть х 2 = у, тогда

Д = (-13) 2 – 4*1*36 = 169-144 = 25

У ₁ = = 9

У ₁ = = 4

4. Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: обязательного минимума и дополнительных заданий, так же она предполагает два уровня сложности. Подумайте, какой вам уровень выбрать и приступаем к решению. (9 слайд)

а) (5 – х)(5 + х) + х(х – 10) = 25

б) 9х 3 – 27х 2 = 0

в) (х – 7) 2 – 4(х – 7) – 45 = 0

г) х 4 — 5х 2 + 4 = 0

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) + = 1

б) х 3 – 4х 2 – 9х + 36 = 0

в) (х 2 – х + 1)(х 2 – х -7) = 65

г) х 4 + 9х 2 + 8 = 0

Найди координаты точек пересечения функции у = х 2 – 26х + 25 с осью ОХ

Найди координаты точек пересечения функции у = 12 – 23х – 9х 2 с осями координат

— Закончили выполнение задания, поменяйтесь с учащимися с тем же вариантом и проверим друг у друга решения, сверяясь с ответами на доске. (10 слайд)

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) х =

Функция у = х 2 – 26х + 25 пересекается с осью ОХ в точках с координатами (25;0) и (1;0)

Функция у = 12 – 23х – 9х 2 пересекается с осью ОУ в точке с координатами (0;12)

с осью ОХ в точках с координатами ( ; о) и (-3; 0)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 343 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

12. Целое уравнение и его корни

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.01.2018
• 582
• 1

• 22.01.2018
• 238
• 0

• 22.01.2018
• 270
• 0

• 22.01.2018
• 310
• 0

• 22.01.2018
• 280
• 0

• 22.01.2018
• 551
• 1

• 22.01.2018
• 370
• 0

• 22.01.2018
• 2145
• 67

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2018 2182
• DOCX 46.3 кбайт
• 61 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Усачева Марина Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2443
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Алгебра

План урока:

Целое уравнение и его степень

Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:

(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);

А вот примеры нецелых выражений:

Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.

Введем понятие целого уравнения.

Приведем примеры целых ур-ний:

0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18

Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.

Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).

Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.

Пример. Преобразуйте целое ур-ние

так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.

Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:

Теперь раскроем скобки:

4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35

Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0

– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.

Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.

Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике

Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.

Пример. Определите степень ур-ния

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0

7х 3 – 10х – 44 = 0

Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень

Приведем примеры ур-ний первой степени:

5,4568у + 0,0002145 = 0

Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.

Приведем примеры ур-ний второй степени:

6t 2 + 98t – 52 = 0

Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу

Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:

2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0

Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:

5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0

Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.

Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.

Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k₁, k₂,k₃,…k_n. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:

Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния

надо каждую скобку приравнять к нулю:

х – k₁ = 0 или х – k₂ = 0 или х – k₃ = 0 или…х – k_n = 0

Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:

Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.

Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.

Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0

Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:

(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0

(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0

х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.

Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k₁), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.

Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k₁, k₂,k₃,…k_n, k_n+1 и запишем уравнение:

Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.

Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k₁, k₂,k₃,…k_n, то этому ур-нию равносильна запись (х – k₁)(х – k₂)(х – k₃)…(х – k_n) = 0

Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.

Решение уравнений методом подбора корня

Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!

Пример. Докажите, что корнями ур-ния

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

являются только числа (– 1), 1 и 2.

Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:

(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0

При х = 1 получаем:

1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0

Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2

2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0

Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.

Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.

Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:

Числа а₀, а₁, а₂,…а_nи называют коэффициентами уравнений.

Например, для уравнения

5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0

Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии

нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи

х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0

где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а₁ = 0.

Для обозначения первого коэффициента а₀ может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента а_n – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».

Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:

Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами

Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:

Поделим обе его части на m и получим

Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а₀m n –1 , a₁m n –2 , а_n–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число а_n/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа а_n.

Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.

Пример. Найдите целые корни уравнения

2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0

Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):

2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0

2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0

2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0

Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.

Пример. Решите ур-ние

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2

Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:

(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0

Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.

Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.

Докажем это. Подставим в ур-ние

значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:

Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.

Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния

499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0

Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:

499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0

Следовательно, единица является его корнем.

Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители

Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:

(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0

Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:

х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0

х 2 = 4 или х 2 = – 4

Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.

Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:

100 – 210 + 134 – 24 = 0

Следовательно, первый корень – это 1.

Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k₁, k₂и k₃. Тогда ему равносильно другое ур-ние

Мы нашли, что первый корень k₁ = 1, то есть

Обозначим как P₁(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k₂ и k₃. Очевидно, что корнями ур-ния

Будут числа 1, k₂ и k₃. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем

(х – 1)•P₁(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24

Поделим обе части на (х – 1):

Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р₁(х), причем решением уравнения P₁(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k₂и k₃. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:

Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:

Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:

(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2

Далее снесем слагаемое 134х вниз:

На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):

(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х

Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):

При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:

Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:

В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)

Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0

Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:

100х 2 – 110х + 24 = 0

D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500

Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.

В данном случае мы воспользовались следующим правилом:

Пример. Решите уравнение

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:

2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0

Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16

Теперь возможно деление:

Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)

С учетом этого перепишем исходное ур-ние:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0

х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0

Решим квадратное ур-ние

D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80

В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле

где k₁ и k₂– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k₁, k₂ и k₃, то его можно разложить на множители по формуле

Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.

Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:

2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0

2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0

2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0

Значит, многочлен можно разложить на множители:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:

(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2

Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0

Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:

2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4

Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k₁), (х – k₂), (х – k₃) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).

Графический метод решения уравнений

Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства

где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.

Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.

Пример. Решите графически уравнение

Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:

Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):

Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.

Ответ: х ≈ 1,46557

Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.

Пример. Определите количество корней уравнений

б) х 3 – 2х + 0,5 = 0

Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:

Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:

Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.

Ответ: а) один корень; б) три корня.

Решение дробно-рациональных уравнений

До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.

Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:

С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:

Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.

Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:

1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.

2) Решают полученное целое ур-ние.

3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.

Пример. Решите ур-ние

Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:

2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2

х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0

х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0

У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:

2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0

Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):

Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)

Тогда ур-ние примет вид:

(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0

х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0

Решим квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8

Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии

в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:

Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.

Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:

Пример. Найдите все корни ур-ния

Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:

Тогда уравнение примет вид

Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):

Знаменатель должен равняться нулю:

4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0

4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0

у 2 + 10у – 96 = 0

Решаем квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484

Получили, что у₁ = – 16, а у₂ = 6. Произведем обратную замену:

х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6

х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0

Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:

D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63

А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25

Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии

в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.

При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.

Пример. Сколько корней имеет уравнение

Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:

Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.