Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.
Пример 3.
Уравнение 
не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение 
имеет два мнимых корня: 
(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения 
— ни одно из них не имеет корней.
Уравнения 
неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
(обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где 
— действительные числа; 
называют коэффициентом при переменной, 
— свободным членом.
Для линейного уравнения 
могут представиться три случая:
1) 
; в этом случае корень уравнения равен 
;
2) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению 
. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение 
. Итак, 
— корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где 
— действительные числа, причем 
, называют квадратным уравнением. Если 
, то квадратное уравнение называют приведенным, если 
, то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: 
— первый коэффициент, 
— второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения 
находят по формуле
Выражение 
называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение 
, можно переписать формулу (2) в виде 
Если 
, то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если 
— целое число, т. е. коэффициент 
— четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь 
. Имеем:
Так как 
, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, 
— корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
По формуле (3) находим 
т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения 
находим 
(см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия 
Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени 
. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:
, где 
— многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид 
. Если 
— корень уравнения 
а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если 
— корень хотя бы одного из уравнений 
то — корень уравнения 
т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если 
, где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений 
Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем 
откуда 
Значит, либо х + 2 = 0, либо 
. Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть 
но среди выражений 
есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений 
могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Имеем 
; значит, либо 
, либо 
.Из уравнения 
находим х = 0, из уравнения 
находим 
.
Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение 
. Это посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив 
, получим уравнение
откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим 
. Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим 
, тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но 
. Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим 
, 
; из второго уравнения получаем 
Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив 
, придем к квадратному уравнению 
Пример:
Решить уравнение 
.
Решение:
Положив 
, получим квадратное уравнение , откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим 
Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить 
т груза, а на самом деле грузили 
т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит 
ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит 
ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. 
ч, приходим к уравнению
решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем 
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна 
, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна 
Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть 
, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть 
Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится 
л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось 
л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй 
л кислоты, а всего
за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению
Решив это уравнение, найдем два корня: 
и 
. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 
. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению
0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,
из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения 
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что 
, получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим 
, т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда 
Проверка:
1) При х = 5 имеем
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем 
Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим 
и мы получаем уравнение 
, откуда находим 
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения 
в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.
Уравнение 
не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где 
равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
откуда находим 
Решив это квадратное уравнение, получим 
Пример 2.
Решение:
Приведем все степени к одному основанию 
. Получим уравнение 
которое преобразуем к виду 
Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как 
,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив 
Получим квадратное уравнение 
с корнями 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как 
при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где 
нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 
затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Перейдем от заданного уравнения к уравнению 
и решим его. Имеем 
Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств 
Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.
Ответ: -3.
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим 
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 3.
Решение:
Так как 
заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив 
Получим
Но 
; из уравнения 
находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем 
Полагая 
получим уравнение 
, откуда 
Остается решить совокупность уравнений 
Из этой совокупности получим 
— корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая 
, получим уравнение 
корнями которого являются 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Так как 
, а -1 0 и мы получаем
если 
, то D = 0 и мы получаем 
, т. е. (поскольку ) 
.
Итак, если 
то действительных корней нет; если 
= 1, то 
; если ,то ; если 
и 
, то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня 
его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство 
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, 
, то 
и 
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) 
; из второго 
; из третьего 
. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо 
, либо 
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Алгебра
План урока:
Целое уравнение и его степень
Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:
(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);
А вот примеры нецелых выражений:
Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.
Введем понятие целого уравнения.
Приведем примеры целых ур-ний:
0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18
Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.
Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.
Пример. Преобразуйте целое ур-ние
так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.
Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:
Теперь раскроем скобки:
4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35
Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0
– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.
Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.
Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике
Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.
Пример. Определите степень ур-ния
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9
Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0
7х 3 – 10х – 44 = 0
Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень
Приведем примеры ур-ний первой степени:
5,4568у + 0,0002145 = 0
Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.
Приведем примеры ур-ний второй степени:
6t 2 + 98t – 52 = 0
Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу
Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:
2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0
Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:
5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0
Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.
Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.
Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k1, k2,k3,…kn. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:
Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния
надо каждую скобку приравнять к нулю:
х – k1 = 0 или х – k2 = 0 или х – k3 = 0 или…х – kn = 0
Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:
Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.
Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.
Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0
Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:
(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0
(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0
х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.
Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k1), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.
Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k1, k2,k3,…kn, kn+1 и запишем уравнение:
Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.
Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k1, k2,k3,…kn, то этому ур-нию равносильна запись (х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0
Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.
Решение уравнений методом подбора корня
Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!
Пример. Докажите, что корнями ур-ния
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
являются только числа (– 1), 1 и 2.
Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:
(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0
При х = 1 получаем:
1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0
Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2
2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0
Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.
Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.
Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:
Числа а0, а1, а2,…аnи называют коэффициентами уравнений.
Например, для уравнения
5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0
Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии
нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи
х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0
где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а1 = 0.
Для обозначения первого коэффициента а0 может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента аn – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».
Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:
Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами
Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:
Поделим обе его части на m и получим
Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а0m n –1 , a1m n –2 , аn–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число аn/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа аn.
Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.
Пример. Найдите целые корни уравнения
2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0
Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):
2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0
2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0
2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0
Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.
Пример. Решите ур-ние
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2
Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:
(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0
Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.
Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.
Докажем это. Подставим в ур-ние
значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:
Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.
Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния
499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0
Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:
499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0
Следовательно, единица является его корнем.
Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители
Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:
(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0
Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:
х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0
х 2 = 4 или х 2 = – 4
Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.
Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:
100 – 210 + 134 – 24 = 0
Следовательно, первый корень – это 1.
Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k1, k2и k3. Тогда ему равносильно другое ур-ние
Мы нашли, что первый корень k1 = 1, то есть
Обозначим как P1(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k2 и k3. Очевидно, что корнями ур-ния
Будут числа 1, k2 и k3. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем
(х – 1)•P1(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24
Поделим обе части на (х – 1):
Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р1(х), причем решением уравнения P1(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k2и k3. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:
Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:
Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:
(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2
Далее снесем слагаемое 134х вниз:
На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):
(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х
Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):
При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:
Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:
В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)
Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0
Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:
100х 2 – 110х + 24 = 0
D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500
Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.
В данном случае мы воспользовались следующим правилом:
Пример. Решите уравнение
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:
2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0
Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16
Теперь возможно деление:
Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)
С учетом этого перепишем исходное ур-ние:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0
х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0
Решим квадратное ур-ние
D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80
В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле
где k1 и k2– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k1, k2 и k3, то его можно разложить на множители по формуле
Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.
Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:
2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0
2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0
2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0
Значит, многочлен можно разложить на множители:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:
(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2
Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0
Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:
2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4
Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k1), (х – k2), (х – k3) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).
Графический метод решения уравнений
Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства
где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.
Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.
Пример. Решите графически уравнение
Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:
Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):
Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.
Ответ: х ≈ 1,46557
Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.
Пример. Определите количество корней уравнений
б) х 3 – 2х + 0,5 = 0
Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:
Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:
Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.
Ответ: а) один корень; б) три корня.
Решение дробно-рациональных уравнений
До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.
Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:
С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:
Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.
Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:
1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.
2) Решают полученное целое ур-ние.
3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.
Пример. Решите ур-ние
Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:
2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2
х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0
х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0
У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:
2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):
Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)
Тогда ур-ние примет вид:
(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0
х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0
Решим квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8
Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии
в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:
Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.
Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:
Пример. Найдите все корни ур-ния
Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:
Тогда уравнение примет вид
Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):
Знаменатель должен равняться нулю:
4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0
4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0
у 2 + 10у – 96 = 0
Решаем квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484
Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:
х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6
х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0
Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:
D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63
А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25
Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии
в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.
При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.
Пример. Сколько корней имеет уравнение
Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:
Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.
Целое уравнение и его корни — Уравнения с одной переменной — Уравнения и неравенства с одной переменной
Цель: решение уравнений высоких степеней.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Изучение нового материала
Уравнение называют целым, если обе части его являются целыми выражениями (т. е. не содержат деления на выражения с переменными). С помощью равносильных преобразований целое уравнение можно привести к виду Рn(х) = 0, где Рn(х) — многочлен n-й степени.
а) Преобразуем целое уравнение (2х2 + 1)2 – x5 = 1 — 3(х2 — 2). Для этого раскроем скобки, перенесем все члены в одну часть и приведем подобные члены. Получаем: 4х4 + 4х2 + 1 — х5 = 1 — 3х2 + 6, или 0 = -4х4 — 4х2 — 1 + х5 + 1 — 3х2 + 6, или 0 = x5 — 4х4 — 7х2 + 6. Таким образом, имеем уравнение пятой степени 0 = Р5(x), где Р5 (х) = х5 — 4х4 — 7х2 + 6 — многочлен пятой степени.
б) Преобразуем целое уравнение
Сначала умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей — число 12 и получим: 3(х2 — 1)2 + 3х2 + 5 = 12(х + 1)2. Затем выполним преобразования, аналогичные использованным в предыдущей задаче. Получаем: 3х4 — 6х2 + 3 + 3х2 + 5 = 12х2 + 24х + 12, или 3х4 — 3х2 + 8 — 12х2 — 24х – 12 = 0, или 3х4 — 15х2 — 24х – 4 = 0. Таким образом, имеем уравнение четвертой степени Р4(х) = 0, где Р4(х) = 3х4 — 15х2 — 24х — 4 — многочлен четвертой степени.
Мы видим, что необходимо научиться решать уравнения n-й степени Pn(х) = 0. При n = 1 такое уравнение является линейным (ах + b = 0, где а ≠ 0 по определению) и имеет единственный корень х = -b/a. При n = 2 получаем квадратное уравнение ax2 + bх + с = 0 (а ≠ 0). Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения D = b2 — 4ас. Для D 0 имеет два различных корня Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений (разумеется, со старшим коэффициентом, не равным нулю) видим, что количество корней уравнения не более его степени.
В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение n-й степени Pn(х) = 0 имеет не более n корней. Что касается самих корней, то ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).
Будем называть уравнения третьей, четвертой и т. д. степеней уравнениями высоких степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удается решить с помощью двух основных приемов: разложением многочлена Pn(х) на множители или с использованием замены неизвестной.
Решим уравнение х3 + 2х2 – х — 2 = 0.
Сгруппируем члены многочлена и разложим его на множители. Получаем: (х3 + 2х2) — (х + 2) = 0, или х2(х + 2) — (х + 2) = 0, или (х + 2)(х2 — 1) = 0, или (х + 2)(х — 1)(х + 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем три линейных уравнения: х + 2 = 0 (корень х = -2), х — 1 = 0 (корень х = 1) и х + 1 = 0 (корень х = -1). Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: x1 = -2, х2 = 1 и х3 = -1.
В этом уравнении мы также будем раскладывать многочлен на множители. Но в данном случае разложение очень неочевидно. Один корень легко угадать (подобрать): x1 = 1. Тогда многочлен должен иметь множитель х — 1. Именно такой множитель мы и будем выделять в многочлене. Получаем: (6х3 — 6х2) – х2 — х + 2 = 0, или 6х2(х — 1) — (х2 — х) — 2х + 2 = 0, или 6×2(x — 1) — x(x — 1) — 2(x — 1) = 0, или (х — 1)(6×2 — х — 2) = 0. Случай х — 1 = 0 мы уже рассмотрели (с него начинали). Теперь решим квадратное уравнение 6х2 — х — 2 = 0 и найдем его корни х2 = 2/3 и х3 = -1/2.
В более сложных случаях используют замену неизвестной. Очень распространены биквадратные уравнения ах4 + bх2 + с = 0 (т. е. уравнения, квадратные относительно х2). Для их решения вводят новую переменную у = х2.
Решим биквадратное уравнение 4х4 — 5х2 + 1 = 0.
Введем новую переменную у = х2 и получим квадратное уравнение 4y2 – 5y + 1 = 0, корни которого y = 1 и у = 1/4. Вернемся к старой переменной х и получим два простейших квадратных уравнения: х2 = 1 (корни x1 = 1 и х2 = -1) и х2 = 1/4 (корни х3 = 1/2 и х4 = -1/2).
Решим уравнение (х2 — 2x)2 — 4(х2 — 2х) + 3 = 0.
Так как и в это уравнение неизвестная jc входит только в виде комбинации x2 — 2х, то удобно ввести замену у = х2 — 2х. Тогда приходим к квадратному уравнению у2 — 4у + 3 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = 3. Возвращаясь к неизвестной х, для у1 получаем: x2 — 2х = 1 (корни ); для у2: х2 — 2х = 3 (корни х3 = -1, х4 = 3). Так найдены все четыре корня исходного уравнения.
Решим уравнение (х2 + 4х + 3)(x2 + 4x + 1) = 48.
Легко сообразить, что уравнение может быть решено так же, как и предыдущее, если ввести замену у = х2 + 4х + 1. Тогда получим уравнение (у + 2)у = 48, или у2 + 2у — 48 = 0, корни которого у1 = -8, у2 = 6. Приходим к совокупности двух уравнений: x2 + 4x + 1 = 6 (корни x1 = -5, x2 = 1) и x2 + 4x + 1 = -8 (корней нет).
Решим уравнение (х — 1)(х + 1)(х + 3)(х + 5) = 105.
При решении этой задачи важно сообразить, что (х — 1)(х + 5) = х2 + 4х — 5, (х + 1)(х + 3) = х2 + 4х + 3. Поэтому, изменив порядок умножения сомножителей в исходном уравнении, получим: [(х – 1)(x + 5)][(х + 1)(x + 3)] = 105, или (х2 + 4х – 5)(x2 + 4х + 3) = 105. Далее эта задача решается аналогично предыдущей. Введем замену у = х2 + 4х – 5 и получим уравнение у(у + 8) = 105, корни которого y1 = -15 и y2 = 7. Решим уравнения х2 + 4х — 5 = -15 (корней не имеет) и х2 + 4х — 5 = 7 (корни х1 = -6 и х2 = 2).
Решим уравнение (х2 + 3х — 8)2 + 2х(х2 + 3х — 8) — 3х2 = 0.
Многочлен, который стоит в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести замену у = х2 + 3х — 8. Тогда уравнение примет вид: у2 + 2ху — 3х2 = 0. Решив его как квадратное уравнение по переменной у, получим: у = -х ± 2х, т. е. у = -3х и у = х. Возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения: х2 + 3х — 8 = -3х (корни ) и х2 + 3х – 8 = х (корни х3 = -4 и х4 = 2).
Достаточно часто встречаются целые уравнения, требующие исследования корней.
Докажите, что уравнение (х2 + 2х + 2)(х2 — 4х + 5) = 1 не имеет корней.
Рассмотрим функции y1 = х2 + 2х + 2 = (х + 1)2 + 1 и у2 = х2 — 4х + 5 = (х — 2)2 + 1. Очевидно, что у1 ≥ 1 и у2 ≥ 1. Поэтому произведение у1у2 ≥ 1. Уточним это неравенство. Функция у1 имеет наименьшее значение (равное 1) при х = -1. Но тогда у2(-1) = (-3)2 + 1 = 10 и произведение у1у2 > 1. Аналогично функция у2 имеет наименьшее значение (равное 1) при х = 2. Тогда y1(1) = 22 + 1 = 5 и вновь произведение у1у2 > 1. Поэтому при всех значениях х произведение у1у2 > 1 и данное уравнение корней не имеет.
При каких значениях а корни уравнения х2 — 2ах + (а + 1)(а — 1) = 0 принадлежат промежутку [-2; 1]?
Прежде всего решим это квадратное уравнение: По условию задачи получаем систему двойных линейных неравенств или откуда -1 ≤ а ≤ 0.
В ряде случаев корни уравнения могут иметь достаточно громоздкий вид и для решения задачи приходится использовать графическое представление уравнения.
При каких значениях а один из корней уравнения х2 + 3х + a — 2 = 0 больше 4, а другой меньше 4?
Найдем дискриминант уравнения D = 9 — 4(а — 2) = 17 — 4а и корни Понятно, что аналитическое решение задачи вызывает трудности, т. к. сводится к решению иррациональных неравенств. Поэтому рассмотрим функцию у = х2 + 3х + а — 2. При всех значениях параметра а ее графиком является парабола, направленная ветвями вверх. Обсудим такие параболы, пересекающие ось абсцисс. При этом точки пересечения являются корнями уравнения х2 — 3х + а — 2 = 0.
На рисунке представлены парабола 1, у которой обе точки пересечения х меньше 4; парабола 2, у которой одна из точек меньше 4, а другая больше 4; парабола 3, у которой обе точки больше 4.
Условию задачи удовлетворяет парабола 2, для которой (в отличие от парабол 1 и 3) у(4) 2). Очевидно, что если график у2 находится не ниже прямой б (параллельной участку АВ), то уравнение также имеет один корень (т. е. при а ≤ -2). Кроме того, уравнение имеет единственное решение, если прямая у2 проходит через точку В(-2; 3). Получаем уравнение а(-2) + 1 = 3, откуда а = -1.
Итак, при a > 2, a ≤ -2 и а = -1 данное уравнение имеет единственный корень.
III. Контрольные вопросы
1. Определение целого уравнения.
2. Биквадратное уравнение и его решение.
IV. Задание на уроке
№ 265 (а, в, д); 266 (а, б); 268; 270; 272 (а, в, д); 274 (б); 276 (а, в); 278 (а, г); 281 (б); 282 (а); 283 (б); 284 (а).
V. Задание на дом
№ 265 (б, г, е); 266 (в, г); 269; 271; 272 (б, е); 274 (а); 276 (б, г); 278 (б, д); 281 (а); 282 (б); 283 (а); 284 (б).
VI. Творческие задания
1. Линейные уравнения
Решите линейное уравнение.
Определите количество корней уравнения.
При каких значениях а уравнение имеет не менее трех корней?
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 5.
Ответы: 
2. Квадратные уравнения
Решите квадратное уравнение.
Найдите все значения а, при которых уравнение имеет два корня.
При каких значениях а уравнение имеет корни?
Найдите пары (х; у) целых чисел х и у, для которых выполнено равенство.
31) Уравнение 3х2 + ax -1 = 0 имеет корни х1 и х2. Найдите:
32) Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (х — 6а)2 + (х — 2а)2 = 128 симметричны относительно точки х = 12.
33) Найдите значения параметра а, при которых больший корень уравнения х2 — (20а — 3)х + 100а2 — 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.
34) Корни уравнения х2 — (а + 3)х + а + 5 = 0 отличаются в 2 раза. Найдите значение параметра а и корни уравнения х2 — (а + 3)х + а + 5 = 0.
35) При каждом значении параметра а найдите число решений уравнения 9(3х — 1)а2 — (21х — 19)а + 2(х — 1) = 0.
36) Найдите значения параметра а, при которых уравнения х2 + 3х + 7а — 21 = 0 и х2 + 6х + 5а — 6 = 0 имеют хотя бы один общий корень.
37) При каких значениях а корни уравнения х2 — 2ах + (а + 1)(а — 1) = 0 принадлежат промежутку [-5; 5]?
38) При каких значениях а один корень уравнения х2 — (а + 1)х + 2а2 = 0 больше 0,5, а другой меньше 0,5?
39) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 + (2 — а)х — а — 3 = 0 минимальная?
Ответы: 
3. Уравнения высоких степеней
При каком значении а уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.
31) Докажите, что уравнение (х2 + 2х + 2)(х2 — 4х + 5) = 1 не имеет корней.
32) Докажите, что уравнение (2х2 — 4х + 3)(х2 — 2х + 2) = 1 имеет единственный корень х = 1.
Ответы: 
VII. Подведение итогов урока
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.
http://100urokov.ru/predmety/2-urok-uravneniya-s-odnoj-peremennoj
http://compendium.su/mathematics/algebra9/16.html