Целые уравнения 9 класс это

Урок-зачет в 9-м классе «Целые уравнения»

Разделы: Математика

Цели урока:

1) Воспитывать трудолюбие, терпение, прилежание, внимательность, настойчивость в преодолении трудностей;

2) Учиться принимать и оказывать помощь и поддержку товарищей;

3) Отработать навык решения целых уравнений, начиная с линейного вида и заканчивая уравнениями олимпиадного текста;

4) Учиться уважать труд младших и старших учеников твоего учителя

При подготовке к уроку проведена следующая работа:

• Подобран материал четырех вариантов заданий, аналогичных экзаменационным разного уровня сложности: линейных уравнений, квадратных, биквадратных, уравнений с заменой переменных, уравнений с применением в решении теоремы Безу и следствий из нее.
• Приглашены гости: родители и учителя математики.
• Выполнена презентация наиболее сложных типов целых уравнений.
• Ученикам 10 а класса получены ответы к вариантам, приготовлены индивидуальные карточки с заданиями для всех 27 учеников 9 а класса. Для проверки работ ответы вариантов внесены в таблицу, за каждый вариант отвечает один старшеклассник, он вводит сводную ведомость оценки (нормы оценок обговорены с учителем заранее). Еще потребуются два старшеклассника для сбора заданий у ребят.
• Учениками 7 в и 7 г классов приготовлена веселая песня на мотив песни «Коммунальная квартира». (Приложение 1)
• Перед исполнением песни ученик 7 г класса читает стихотворение «Баллада о математике».

Этот небольшой концерт для девятиклассников прозвучит после сдачи зачета; во время подведения общих итоговых оценок урока.

Начало урока.

На экране высвечивается тема урока и его цели. Проводится устная разминка всех учеников по заготовленному тексту на доске. В это же время трое учеников решают квадратные уравнения.

Подобрать корни по формулам Виета:

Решения ученики проводят (1) и (2) подробно, применяя формулы Д, Д₁ и формулу корней. Третий ученик напоминает формулы Виета, особо отмечая что Д > 0, иначе нет корней (г).

Вместе с учителем (за время подготовки) решения тремя учениками на доске) другие ребята устно проверяют себя в решении таких уравнений:

г)

После проверки решения с доски ребята в рабочих тетрадях отмечают тему урока и записывают решения целых уравнений с помощью теорем Безу и следствий из нее.

а) 2х 3 +3х 2 -23х-12 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

б) -3х 3 +10х 2 +27х-10 = 0

3х 3 -10х 2 -27х+10 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

При решении применялись теоремы:

Остаток при делении многочлена на двучлен (х-а) равен значению делимого многочлена при х = а.

Многочлен делится на двучлен (х-а) тогда, и только тогда, если а является корнем данного многочлена.

Если а — корень многочлена f(х), то f(а) = 0, следовательно f(х) = (х-а) * q(х), где q(х) — многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена f(х).

Навыки решения целых уравнений с применением теоремы Безу и ее следствий ребята приобрели на занятиях элективного курса «Избранные вопросы математики».

Поскольку самым сложным для учеников является деление многочленов, пробуем еще раз делить многочлен на многочлен.

в) х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 = 0

По следствию из теоремы Безу если f(х) = х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 (коэффициент при «старшем» одночлене равен 1), тогда все рациональные корни многочлена являются целыми числами и являются делителями свободного члена, т.е. числа -2.

F(-2) = 0=> -2 — корень; f(-1) = 0=> -1 — корень.

Тогда f(х) делится на (х+2)(х+1) = х 2 +3х+2

Записи в тетрадях на этом заканчиваются.

Далее идет презентация решения целых уравнений.

1-й ученик. Применение теорем о корне многочлена и о целых корнях целого уравнения.

Целые корни уравнения являются делителями числа -2.

3-й ученик. Введение новой переменной.

(х 2 — 2х — 5) 2 — 2 * (х 2 — 2х — 5) — 3 = 0

Пусть х 2 — 2х — 5 = а, тогда

а = 3 или а = -1 (по формулам Виета)

х 2 — 2х — 5 = 3 или х 2 — 2х — 5 = -1

х 2 — 2х — 8 = 0 или х 2 — 2х — 4 = 0

х = 4 или х = -2 Д = 5

(по формулам Виета) х = 1

Ответ: 4;-2; 1

2) (2х 2 + 7х — 8) * (2х 2 + 7х — 3) — 6 = 0

Пусть 2х 2 + 7х = t, тогда

(t — 8) * ( t — 3) — 6 = 0

t 2 — 11t + 18 = 0(по формулам Виета)

2х 2 + 7х = 9 или 2х 2 + 7х = 2

2х 2 + 7х — 9 = 0 2х 2 + 7х — 2 = 0

х = -4,5 или х = 1 х=

Ответ: -4,5; 1;

4-й ученик. Применение разложения на множители.

1) 5х 3 — 19х 2 — 38х + 40 = 0

(5х 3 + 40) — (19х 2 + 38х) = 0

5 · (х 3 + 8) — 19х * (х + 2) = 0

5· (х + 2) * (х 2 — 2х +4) — 19х * (х + 2) = 0

(х + 2) * (5 * (х 2 — 2х +4) — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 10х + 20 — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 29х + 20) = 0

х + 2 = 0 или 5х 2 — 29х + 20 = 0

х = -2 Д = 841 — 4 * 5 * 20 = 441

2) 9х 3 — 18х 2 — х + 2 = 0

9х 2 * (х — 2) — (х — 2) = 0

(х — 2) (9х 2 — 1) = 0

х₁ = 2 х₂ = х₃ =

Ответ: 2;

Во время презентации подключались к работе ученики к обсуждению по вопросам: типичные ошибки при введении новой переменной, метод группировки и формулы сокращенного умножения при разложении на множители, подбор корней по формулам Виета.

5. На втором уроке ученики включены в работу по решению целых уравнений. Каждое уравнение уже записано на отдельном листе, на этом же листе ученик выполняет решение. Как только решение одно из заданий — поднимает руку, «курьер» — десятиклассник забирает решение на проверку в комиссию десятиклассников. Оценка оглашается и заносится в ведомость. За консультацией можно обратиться к учителю, если решение зашло в тупик, оценка при этом снижается (на полях делается замечание).

Работа рассчитана на 30минут. Приложение 2

Дополнительно на доске:

Ответ: -5;1;-1;

6. Ученики 10 класса проверяли по ходу решения варианты заданий. Если часть работы не выполнена, то оценка за отсутствующие задания 0. Итоговая оценка идет как среднее арифметическое, заносится в ведомость, если есть возможность, высвечивается на экране в конце урока.

Пока подводятся итоги, ученики 7 классов выступают с концертом 5-6 минут. При наличии времени слово можно дать родителям, либо детям.

Урок заканчивается озвучиванием итоговых оценок.

Мастер-класс «Решение целых уравнений в 9 классе»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок математики в 9 классе

Тема урока: « Решение целых уравнений»

Организационный момент. (1 слайд)

-О каких уравнениях мы вели речь на предыдущих уроках? ( О целых уравнениях)

-Какие уравнения называются целыми? (Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.)

Внимание на экран (2 слайд) Какие из уравнений не являются целыми? Почему ?

х 2 =0

— =5

+ 3х = 18

= 0

— Как определяется степень уравнения? (Если уравнение с одной переменной, записано в виде Р(х) = о , где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0 , где Р(х) – многочлен стандартного вида.)

Внимание на экран (3 слайд) Определите степень уравнения. Дайте ответ и прокомментируйте его.

7х 5 – 5х 4 +2 = х (5)

6х 7 + 6х 4 -3х 2 +1 = х + 2 (7)

-11х + 79х 2 = 17 (2)

х 5 + 3х 6 – х 3 + 1 = 0 (6)

(х + 4)(х – 7)(х + 8) = 0 (3)

(5 – х)(х + 5) + х(х – 10) (1)

х 2 (х + 4) –(х – 2)(х 2 +1) = 3 (2)

(х 3 – 2)(3х 2 + 1) – 3(х 5 – 2) = 4 (3)

— Сколько корней может иметь каждое целое уравнение п- й степени? (Уравнение п- й степени имеет не более п корней.)

3. Основная часть урока.

Рассмотрим известные вам способы решения целых уравнений. Какие способы вы знаете? 1)уравнения, приводимые к линейным и квадратным

2) разложение на множители

3) Введение новой переменной

4) биквадратные уравнения)

Внимание на экран: (4 слайд) Каждый из вас решит одно уравнение и затем объяснит остальным ход его решения. При решении можете пользоваться учебниками, записями предыдущих уроков.

Способы решения целых уравнений

Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

Разложение на множители

Введение новой переменной (х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0

Биквадратные уравнения х 4 -13х 2 + 36 = 0

Внимание на экран, проверим решение ваших уравнений.

(5 слайд) Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

36х 2 – 12х + 3х – 1 – 36х 2 – 24х – 4 = 10

х =

Ответ: х =

(6 слайд) Разложение на множители

х 3 – 3х — 3,5х 2 = 0

Х ₁ = 0 и х 2 -3,5х -3 – 0

Д = (-3,5) 2 — 4*1*(-3) = 12,25 — 12 = 0,25

Х ₂ = = 2

Х ₃ = = 1,5

(7 слайд) Введение новой переменной

(х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0 Пусть (х 2 + 2х) = у, тогда

Д = (-2) 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

У ₁ = = 3

У ₂ = = -1

(х 2 + 2х) = 3 (х 2 + 2х) = -1

х 2 + 2х- 3 = 0 х 2 + 2х +1 = 0

Д = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 Д = 2 2 – 4*1*1 = 4 – 4 = 0

х ₁ = = 1 х ₃ = = -1

х ₂ = = -3

(8 слайд) Биквадратные уравнения

х 4 -13х 2 + 36 = 0 Пусть х 2 = у, тогда

Д = (-13) 2 – 4*1*36 = 169-144 = 25

У ₁ = = 9

У ₁ = = 4

4. Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: обязательного минимума и дополнительных заданий, так же она предполагает два уровня сложности. Подумайте, какой вам уровень выбрать и приступаем к решению. (9 слайд)

а) (5 – х)(5 + х) + х(х – 10) = 25

б) 9х 3 – 27х 2 = 0

в) (х – 7) 2 – 4(х – 7) – 45 = 0

г) х 4 — 5х 2 + 4 = 0

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) + = 1

б) х 3 – 4х 2 – 9х + 36 = 0

в) (х 2 – х + 1)(х 2 – х -7) = 65

г) х 4 + 9х 2 + 8 = 0

Найди координаты точек пересечения функции у = х 2 – 26х + 25 с осью ОХ

Найди координаты точек пересечения функции у = 12 – 23х – 9х 2 с осями координат

— Закончили выполнение задания, поменяйтесь с учащимися с тем же вариантом и проверим друг у друга решения, сверяясь с ответами на доске. (10 слайд)

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) х =

Функция у = х 2 – 26х + 25 пересекается с осью ОХ в точках с координатами (25;0) и (1;0)

Функция у = 12 – 23х – 9х 2 пересекается с осью ОУ в точке с координатами (0;12)

с осью ОХ в точках с координатами ( ; о) и (-3; 0)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 660 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

12. Целое уравнение и его корни

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.01.2018
• 582
• 1

• 22.01.2018
• 238
• 0

• 22.01.2018
• 270
• 0

• 22.01.2018
• 310
• 0

• 22.01.2018
• 280
• 0

• 22.01.2018
• 551
• 1

• 22.01.2018
• 370
• 0

• 22.01.2018
• 2145
• 67

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2018 2183
• DOCX 46.3 кбайт
• 61 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Усачева Марина Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2444
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Целое уравнение и его корни — Уравнения с одной переменной — Уравнения и неравенства с одной переменной

Цель: решение уравнений высоких степеней.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала

Уравнение называют целым, если обе части его являются целыми выражениями (т. е. не содержат деления на выражения с переменными). С помощью равносильных преобразований целое уравнение можно привести к виду Рn(х) = 0, где Рn(х) — многочлен n-й степени.

а) Преобразуем целое уравнение (2х2 + 1)2 – x5 = 1 — 3(х2 — 2). Для этого раскроем скобки, перенесем все члены в одну часть и приведем подобные члены. Получаем: 4х4 + 4х2 + 1 — х5 = 1 — 3х2 + 6, или 0 = -4х4 — 4х2 — 1 + х5 + 1 — 3х2 + 6, или 0 = x5 — 4х4 — 7х2 + 6. Таким образом, имеем уравнение пятой степени 0 = Р5(x), где Р5 (х) = х5 — 4х4 — 7х2 + 6 — многочлен пятой степени.

б) Преобразуем целое уравнение

Сначала умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей — число 12 и получим: 3(х2 — 1)2 + 3х2 + 5 = 12(х + 1)2. Затем выполним преобразования, аналогичные использованным в предыдущей задаче. Получаем: 3х4 — 6х2 + 3 + 3х2 + 5 = 12х2 + 24х + 12, или 3х4 — 3х2 + 8 — 12х2 — 24х – 12 = 0, или 3х4 — 15х2 — 24х – 4 = 0. Таким образом, имеем уравнение четвертой степени Р4(х) = 0, где Р4(х) = 3х4 — 15х2 — 24х — 4 — многочлен четвертой степени.

Мы видим, что необходимо научиться решать уравнения n-й степени Pn(х) = 0. При n = 1 такое уравнение является линейным (ах + b = 0, где а ≠ 0 по определению) и имеет единственный корень х = -b/a. При n = 2 получаем квадратное уравнение ax2 + bх + с = 0 (а ≠ 0). Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения D = b2 — 4ас. Для D 0 имеет два различных корня Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений (разумеется, со старшим коэффициентом, не равным нулю) видим, что количество корней уравнения не более его степени.

В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение n-й степени Pn(х) = 0 имеет не более n корней. Что касается самих корней, то ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвертой и т. д. степеней уравнениями высоких степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удается решить с помощью двух основных приемов: разложением многочлена Pn(х) на множители или с использованием замены неизвестной.

Решим уравнение х3 + 2х2 – х — 2 = 0.

Сгруппируем члены многочлена и разложим его на множители. Получаем: (х3 + 2х2) — (х + 2) = 0, или х2(х + 2) — (х + 2) = 0, или (х + 2)(х2 — 1) = 0, или (х + 2)(х — 1)(х + 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем три линейных уравнения: х + 2 = 0 (корень х = -2), х — 1 = 0 (корень х = 1) и х + 1 = 0 (корень х = -1). Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: x1 = -2, х2 = 1 и х3 = -1.

В этом уравнении мы также будем раскладывать многочлен на множители. Но в данном случае разложение очень неочевидно. Один корень легко угадать (подобрать): x1 = 1. Тогда многочлен должен иметь множитель х — 1. Именно такой множитель мы и будем выделять в многочлене. Получаем: (6х3 — 6х2) – х2 — х + 2 = 0, или 6х2(х — 1) — (х2 — х) — 2х + 2 = 0, или 6×2(x — 1) — x(x — 1) — 2(x — 1) = 0, или (х — 1)(6×2 — х — 2) = 0. Случай х — 1 = 0 мы уже рассмотрели (с него начинали). Теперь решим квадратное уравнение 6х2 — х — 2 = 0 и найдем его корни х2 = 2/3 и х3 = -1/2.

В более сложных случаях используют замену неизвестной. Очень распространены биквадратные уравнения ах4 + bх2 + с = 0 (т. е. уравнения, квадратные относительно х2). Для их решения вводят новую переменную у = х2.

Решим биквадратное уравнение 4х4 — 5х2 + 1 = 0.

Введем новую переменную у = х2 и получим квадратное уравнение 4y2 – 5y + 1 = 0, корни которого y = 1 и у = 1/4. Вернемся к старой переменной х и получим два простейших квадратных уравнения: х2 = 1 (корни x1 = 1 и х2 = -1) и х2 = 1/4 (корни х3 = 1/2 и х4 = -1/2).

Решим уравнение (х2 — 2x)2 — 4(х2 — 2х) + 3 = 0.

Так как и в это уравнение неизвестная jc входит только в виде комбинации x2 — 2х, то удобно ввести замену у = х2 — 2х. Тогда приходим к квадратному уравнению у2 — 4у + 3 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = 3. Возвращаясь к неизвестной х, для у1 получаем: x2 — 2х = 1 (корни ); для у2: х2 — 2х = 3 (корни х3 = -1, х4 = 3). Так найдены все четыре корня исходного уравнения.

Решим уравнение (х2 + 4х + 3)(x2 + 4x + 1) = 48.

Легко сообразить, что уравнение может быть решено так же, как и предыдущее, если ввести замену у = х2 + 4х + 1. Тогда получим уравнение (у + 2)у = 48, или у2 + 2у — 48 = 0, корни которого у1 = -8, у2 = 6. Приходим к совокупности двух уравнений: x2 + 4x + 1 = 6 (корни x1 = -5, x2 = 1) и x2 + 4x + 1 = -8 (корней нет).

Решим уравнение (х — 1)(х + 1)(х + 3)(х + 5) = 105.

При решении этой задачи важно сообразить, что (х — 1)(х + 5) = х2 + 4х — 5, (х + 1)(х + 3) = х2 + 4х + 3. Поэтому, изменив порядок умножения сомножителей в исходном уравнении, получим: [(х – 1)(x + 5)][(х + 1)(x + 3)] = 105, или (х2 + 4х – 5)(x2 + 4х + 3) = 105. Далее эта задача решается аналогично предыдущей. Введем замену у = х2 + 4х – 5 и получим уравнение у(у + 8) = 105, корни которого y1 = -15 и y2 = 7. Решим уравнения х2 + 4х — 5 = -15 (корней не имеет) и х2 + 4х — 5 = 7 (корни х1 = -6 и х2 = 2).

Решим уравнение (х2 + 3х — 8)2 + 2х(х2 + 3х — 8) — 3х2 = 0.

Многочлен, который стоит в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести замену у = х2 + 3х — 8. Тогда уравнение примет вид: у2 + 2ху — 3х2 = 0. Решив его как квадратное уравнение по переменной у, получим: у = -х ± 2х, т. е. у = -3х и у = х. Возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения: х2 + 3х — 8 = -3х (корни ) и х2 + 3х – 8 = х (корни х3 = -4 и х4 = 2).

Достаточно часто встречаются целые уравнения, требующие исследования корней.

Докажите, что уравнение (х2 + 2х + 2)(х2 — 4х + 5) = 1 не имеет корней.

Рассмотрим функции y1 = х2 + 2х + 2 = (х + 1)2 + 1 и у2 = х2 — 4х + 5 = (х — 2)2 + 1. Очевидно, что у1 ≥ 1 и у2 ≥ 1. Поэтому произведение у1у2 ≥ 1. Уточним это неравенство. Функция у1 имеет наименьшее значение (равное 1) при х = -1. Но тогда у2(-1) = (-3)2 + 1 = 10 и произведение у1у2 > 1. Аналогично функция у2 имеет наименьшее значение (равное 1) при х = 2. Тогда y1(1) = 22 + 1 = 5 и вновь произведение у1у2 > 1. Поэтому при всех значениях х произведение у1у2 > 1 и данное уравнение корней не имеет.

При каких значениях а корни уравнения х2 — 2ах + (а + 1)(а — 1) = 0 принадлежат промежутку [-2; 1]?

Прежде всего решим это квадратное уравнение: По условию задачи получаем систему двойных линейных неравенств или откуда -1 ≤ а ≤ 0.

В ряде случаев корни уравнения могут иметь достаточно громоздкий вид и для решения задачи приходится использовать графическое представление уравнения.

При каких значениях а один из корней уравнения х2 + 3х + a — 2 = 0 больше 4, а другой меньше 4?

Найдем дискриминант уравнения D = 9 — 4(а — 2) = 17 — 4а и корни Понятно, что аналитическое решение задачи вызывает трудности, т. к. сводится к решению иррациональных неравенств. Поэтому рассмотрим функцию у = х2 + 3х + а — 2. При всех значениях параметра а ее графиком является парабола, направленная ветвями вверх. Обсудим такие параболы, пересекающие ось абсцисс. При этом точки пересечения являются корнями уравнения х2 — 3х + а — 2 = 0.

На рисунке представлены парабола 1, у которой обе точки пересечения х меньше 4; парабола 2, у которой одна из точек меньше 4, а другая больше 4; парабола 3, у которой обе точки больше 4.

Условию задачи удовлетворяет парабола 2, для которой (в отличие от парабол 1 и 3) у(4) 2). Очевидно, что если график у2 находится не ниже прямой б (параллельной участку АВ), то уравнение также имеет один корень (т. е. при а ≤ -2). Кроме того, уравнение имеет единственное решение, если прямая у2 проходит через точку В(-2; 3). Получаем уравнение а(-2) + 1 = 3, откуда а = -1.

Итак, при a > 2, a ≤ -2 и а = -1 данное уравнение имеет единственный корень.

III. Контрольные вопросы

1. Определение целого уравнения.

2. Биквадратное уравнение и его решение.

IV. Задание на уроке

№ 265 (а, в, д); 266 (а, б); 268; 270; 272 (а, в, д); 274 (б); 276 (а, в); 278 (а, г); 281 (б); 282 (а); 283 (б); 284 (а).

V. Задание на дом

№ 265 (б, г, е); 266 (в, г); 269; 271; 272 (б, е); 274 (а); 276 (б, г); 278 (б, д); 281 (а); 282 (б); 283 (а); 284 (б).

VI. Творческие задания

1. Линейные уравнения

Решите линейное уравнение.

Определите количество корней уравнения.

При каких значениях а уравнение имеет не менее трех корней?

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 5.

Ответы:

2. Квадратные уравнения

Решите квадратное уравнение.

Найдите все значения а, при которых уравнение имеет два корня.

При каких значениях а уравнение имеет корни?

Найдите пары (х; у) целых чисел х и у, для которых выполнено равенство.

31) Уравнение 3х2 + ax -1 = 0 имеет корни х1 и х2. Найдите:

32) Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (х — 6а)2 + (х — 2а)2 = 128 симметричны относительно точки х = 12.

33) Найдите значения параметра а, при которых больший корень уравнения х2 — (20а — 3)х + 100а2 — 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.

34) Корни уравнения х2 — (а + 3)х + а + 5 = 0 отличаются в 2 раза. Найдите значение параметра а и корни уравнения х2 — (а + 3)х + а + 5 = 0.

35) При каждом значении параметра а найдите число решений уравнения 9(3х — 1)а2 — (21х — 19)а + 2(х — 1) = 0.

36) Найдите значения параметра а, при которых уравнения х2 + 3х + 7а — 21 = 0 и х2 + 6х + 5а — 6 = 0 имеют хотя бы один общий корень.

37) При каких значениях а корни уравнения х2 — 2ах + (а + 1)(а — 1) = 0 принадлежат промежутку [-5; 5]?

38) При каких значениях а один корень уравнения х2 — (а + 1)х + 2а2 = 0 больше 0,5, а другой меньше 0,5?

39) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 + (2 — а)х — а — 3 = 0 минимальная?

Ответы:

3. Уравнения высоких степеней

При каком значении а уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.

31) Докажите, что уравнение (х2 + 2х + 2)(х2 — 4х + 5) = 1 не имеет корней.

32) Докажите, что уравнение (2х2 — 4х + 3)(х2 — 2х + 2) = 1 имеет единственный корень х = 1.

Ответы:

VII. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.