Целые уравнения 9 класс примеры для решения

Урок-зачет в 9-м классе «Целые уравнения»

Разделы: Математика

Цели урока:

1) Воспитывать трудолюбие, терпение, прилежание, внимательность, настойчивость в преодолении трудностей;

2) Учиться принимать и оказывать помощь и поддержку товарищей;

3) Отработать навык решения целых уравнений, начиная с линейного вида и заканчивая уравнениями олимпиадного текста;

4) Учиться уважать труд младших и старших учеников твоего учителя

При подготовке к уроку проведена следующая работа:

• Подобран материал четырех вариантов заданий, аналогичных экзаменационным разного уровня сложности: линейных уравнений, квадратных, биквадратных, уравнений с заменой переменных, уравнений с применением в решении теоремы Безу и следствий из нее.
• Приглашены гости: родители и учителя математики.
• Выполнена презентация наиболее сложных типов целых уравнений.
• Ученикам 10 а класса получены ответы к вариантам, приготовлены индивидуальные карточки с заданиями для всех 27 учеников 9 а класса. Для проверки работ ответы вариантов внесены в таблицу, за каждый вариант отвечает один старшеклассник, он вводит сводную ведомость оценки (нормы оценок обговорены с учителем заранее). Еще потребуются два старшеклассника для сбора заданий у ребят.
• Учениками 7 в и 7 г классов приготовлена веселая песня на мотив песни «Коммунальная квартира». (Приложение 1)
• Перед исполнением песни ученик 7 г класса читает стихотворение «Баллада о математике».

Этот небольшой концерт для девятиклассников прозвучит после сдачи зачета; во время подведения общих итоговых оценок урока.

Начало урока.

На экране высвечивается тема урока и его цели. Проводится устная разминка всех учеников по заготовленному тексту на доске. В это же время трое учеников решают квадратные уравнения.

Подобрать корни по формулам Виета:

Решения ученики проводят (1) и (2) подробно, применяя формулы Д, Д₁ и формулу корней. Третий ученик напоминает формулы Виета, особо отмечая что Д > 0, иначе нет корней (г).

Вместе с учителем (за время подготовки) решения тремя учениками на доске) другие ребята устно проверяют себя в решении таких уравнений:

г)

После проверки решения с доски ребята в рабочих тетрадях отмечают тему урока и записывают решения целых уравнений с помощью теорем Безу и следствий из нее.

а) 2х 3 +3х 2 -23х-12 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

б) -3х 3 +10х 2 +27х-10 = 0

3х 3 -10х 2 -27х+10 = 0

Решение у доски ведет сильный ученик.

При решении применялись теоремы:

Остаток при делении многочлена на двучлен (х-а) равен значению делимого многочлена при х = а.

Многочлен делится на двучлен (х-а) тогда, и только тогда, если а является корнем данного многочлена.

Если а — корень многочлена f(х), то f(а) = 0, следовательно f(х) = (х-а) * q(х), где q(х) — многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена f(х).

Навыки решения целых уравнений с применением теоремы Безу и ее следствий ребята приобрели на занятиях элективного курса «Избранные вопросы математики».

Поскольку самым сложным для учеников является деление многочленов, пробуем еще раз делить многочлен на многочлен.

в) х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 = 0

По следствию из теоремы Безу если f(х) = х 4 + 2х 3 -2х 2 -5х-2 (коэффициент при «старшем» одночлене равен 1), тогда все рациональные корни многочлена являются целыми числами и являются делителями свободного члена, т.е. числа -2.

F(-2) = 0=> -2 — корень; f(-1) = 0=> -1 — корень.

Тогда f(х) делится на (х+2)(х+1) = х 2 +3х+2

Записи в тетрадях на этом заканчиваются.

Далее идет презентация решения целых уравнений.

1-й ученик. Применение теорем о корне многочлена и о целых корнях целого уравнения.

Целые корни уравнения являются делителями числа -2.

3-й ученик. Введение новой переменной.

(х 2 — 2х — 5) 2 — 2 * (х 2 — 2х — 5) — 3 = 0

Пусть х 2 — 2х — 5 = а, тогда

а = 3 или а = -1 (по формулам Виета)

х 2 — 2х — 5 = 3 или х 2 — 2х — 5 = -1

х 2 — 2х — 8 = 0 или х 2 — 2х — 4 = 0

х = 4 или х = -2 Д = 5

(по формулам Виета) х = 1

Ответ: 4;-2; 1

2) (2х 2 + 7х — 8) * (2х 2 + 7х — 3) — 6 = 0

Пусть 2х 2 + 7х = t, тогда

(t — 8) * ( t — 3) — 6 = 0

t 2 — 11t + 18 = 0(по формулам Виета)

2х 2 + 7х = 9 или 2х 2 + 7х = 2

2х 2 + 7х — 9 = 0 2х 2 + 7х — 2 = 0

х = -4,5 или х = 1 х=

Ответ: -4,5; 1;

4-й ученик. Применение разложения на множители.

1) 5х 3 — 19х 2 — 38х + 40 = 0

(5х 3 + 40) — (19х 2 + 38х) = 0

5 · (х 3 + 8) — 19х * (х + 2) = 0

5· (х + 2) * (х 2 — 2х +4) — 19х * (х + 2) = 0

(х + 2) * (5 * (х 2 — 2х +4) — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 10х + 20 — 19х) = 0

(х + 2) * (5х 2 — 29х + 20) = 0

х + 2 = 0 или 5х 2 — 29х + 20 = 0

х = -2 Д = 841 — 4 * 5 * 20 = 441

2) 9х 3 — 18х 2 — х + 2 = 0

9х 2 * (х — 2) — (х — 2) = 0

(х — 2) (9х 2 — 1) = 0

х₁ = 2 х₂ = х₃ =

Ответ: 2;

Во время презентации подключались к работе ученики к обсуждению по вопросам: типичные ошибки при введении новой переменной, метод группировки и формулы сокращенного умножения при разложении на множители, подбор корней по формулам Виета.

5. На втором уроке ученики включены в работу по решению целых уравнений. Каждое уравнение уже записано на отдельном листе, на этом же листе ученик выполняет решение. Как только решение одно из заданий — поднимает руку, «курьер» — десятиклассник забирает решение на проверку в комиссию десятиклассников. Оценка оглашается и заносится в ведомость. За консультацией можно обратиться к учителю, если решение зашло в тупик, оценка при этом снижается (на полях делается замечание).

Работа рассчитана на 30минут. Приложение 2

Дополнительно на доске:

Ответ: -5;1;-1;

6. Ученики 10 класса проверяли по ходу решения варианты заданий. Если часть работы не выполнена, то оценка за отсутствующие задания 0. Итоговая оценка идет как среднее арифметическое, заносится в ведомость, если есть возможность, высвечивается на экране в конце урока.

Пока подводятся итоги, ученики 7 классов выступают с концертом 5-6 минут. При наличии времени слово можно дать родителям, либо детям.

Урок заканчивается озвучиванием итоговых оценок.

Тема: «Примеры решения целых уравнений»

учитель математики, СОШ №68 г. Оренбург

Тема: «Примеры решения целых уравнений»

Класс 9 кл (углубленное изучение математики).

Изучение нового материала.

Целое уравнение третий или более высокой степени в отдельных случаях удается решить, используя специальные приемы.

Рассмотрим некоторые из них.

Один из приемов решения уравнения вида P(x)=0, где Р(х) – многочлен, степень которого выше двух, состоит в разложении многочлена на множители. С помощью разложения многочлена на множители удается иногда решить уравнения n-й степени, где n≥3, свести к решению уравнений более низких степеней.

Пример 1. Решим уравнение 4х3 – 11х + 3 = 0

Разложим многочлен 4х3 – 11х + 3 = 0 на множители. Для

этого одночлен – 11х представим в виде суммы – 9х – 2х. Получим

4х3 – 9х – 2х + 3 = 0

(4х3 – 9х) – (2х – 3) = 0

х·(2х – 3) · (2х + 3) –(2х – 3) =0

(2х – 3) ·(2х2 +3 – 1)=0

Из условия равенства нулю произведения вытекает, что полученное равенство верно, когда 2х – 3 = 0 или когда 2х2 +3 – 1=0. Говорят, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений

2х – 3 = 0 или 2х2 +3 – 1=0.

В записи для обозначения совокупности используют иногда квадратную скобку, например, пишут:

2х – 3 = 0

Множеством корней исходного уравнения является объеди­нение множеств корней уравнений, входящих в эту совокуп­ность. Решив каждое из уравнений, найдем, что исходное урав­нение имеет три корня:

Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD

Для разложения на многочлена P(x) третей или более высокой степени бывает удобно иногда воспользоваться теоремой о корне многочлена.

Пример 2. Решим уравнение х3 – x2 – 3·x – 1 = 0

Если данное уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Проверка убеждает нас, что число -1— корень уравнения. Значит, в силу доказан­ной теоремы, его левую часть можно представить в виде произ­ведения (x+1)· P(x), где P(x) — многочлен второй степени.

Для того чтобы найти многочлен P(x), разделим

х3 – x2 – 3·x – 1 на (x+1).

Деление многочленов выполним «уголком»:

Итак, х3 – x2 – 3·x – 1 = (x+1)· (х2 – 2·x – 1).

Из уравнения (x+1)· (х2 – 2·x – 1) = 0 получаем x+1 =0 или х2 – 2·x – 1 = 0

Решив эти уравнения, найдем, что данное уравнение третей степени имеет три корня.

Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD

Для решения целых уравнений третий и более высокой степени используется иногда метод введения новой переменной.

Пример 3. Решим уравнение 16х4 – 65×2 + 4 = 0

В это уравнение переменная х входит только во второй и в четвертой степени. Так как х4 = (х2)2, то уравнение можно свести к квадратному, обозначив х2 буквой y. Получим 16у2 – 65у + 4 = 0.

Решив это уравнение, найдем, что у1 = 1/16, у2 = 4.

Из уравнения х2 = 1/16 находим, что х1 = 1/4, х1 = -1/4. Из уравнения х2 = 4 находим, что х3 = 2, х4 = -2

Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD

Мастер-класс «Решение целых уравнений в 9 классе»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок математики в 9 классе

Тема урока: « Решение целых уравнений»

Организационный момент. (1 слайд)

-О каких уравнениях мы вели речь на предыдущих уроках? ( О целых уравнениях)

-Какие уравнения называются целыми? (Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.)

Внимание на экран (2 слайд) Какие из уравнений не являются целыми? Почему ?

х 2 =0

— =5

+ 3х = 18

= 0

— Как определяется степень уравнения? (Если уравнение с одной переменной, записано в виде Р(х) = о , где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0 , где Р(х) – многочлен стандартного вида.)

Внимание на экран (3 слайд) Определите степень уравнения. Дайте ответ и прокомментируйте его.

7х 5 – 5х 4 +2 = х (5)

6х 7 + 6х 4 -3х 2 +1 = х + 2 (7)

-11х + 79х 2 = 17 (2)

х 5 + 3х 6 – х 3 + 1 = 0 (6)

(х + 4)(х – 7)(х + 8) = 0 (3)

(5 – х)(х + 5) + х(х – 10) (1)

х 2 (х + 4) –(х – 2)(х 2 +1) = 3 (2)

(х 3 – 2)(3х 2 + 1) – 3(х 5 – 2) = 4 (3)

— Сколько корней может иметь каждое целое уравнение п- й степени? (Уравнение п- й степени имеет не более п корней.)

3. Основная часть урока.

Рассмотрим известные вам способы решения целых уравнений. Какие способы вы знаете? 1)уравнения, приводимые к линейным и квадратным

2) разложение на множители

3) Введение новой переменной

4) биквадратные уравнения)

Внимание на экран: (4 слайд) Каждый из вас решит одно уравнение и затем объяснит остальным ход его решения. При решении можете пользоваться учебниками, записями предыдущих уроков.

Способы решения целых уравнений

Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

Разложение на множители

Введение новой переменной (х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0

Биквадратные уравнения х 4 -13х 2 + 36 = 0

Внимание на экран, проверим решение ваших уравнений.

(5 слайд) Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2) 2 = 10

36х 2 – 12х + 3х – 1 – 36х 2 – 24х – 4 = 10

х =

Ответ: х =

(6 слайд) Разложение на множители

х 3 – 3х — 3,5х 2 = 0

Х ₁ = 0 и х 2 -3,5х -3 – 0

Д = (-3,5) 2 — 4*1*(-3) = 12,25 — 12 = 0,25

Х ₂ = = 2

Х ₃ = = 1,5

(7 слайд) Введение новой переменной

(х 2 +2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0 Пусть (х 2 + 2х) = у, тогда

Д = (-2) 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

У ₁ = = 3

У ₂ = = -1

(х 2 + 2х) = 3 (х 2 + 2х) = -1

х 2 + 2х- 3 = 0 х 2 + 2х +1 = 0

Д = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 Д = 2 2 – 4*1*1 = 4 – 4 = 0

х ₁ = = 1 х ₃ = = -1

х ₂ = = -3

(8 слайд) Биквадратные уравнения

х 4 -13х 2 + 36 = 0 Пусть х 2 = у, тогда

Д = (-13) 2 – 4*1*36 = 169-144 = 25

У ₁ = = 9

У ₁ = = 4

4. Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: обязательного минимума и дополнительных заданий, так же она предполагает два уровня сложности. Подумайте, какой вам уровень выбрать и приступаем к решению. (9 слайд)

а) (5 – х)(5 + х) + х(х – 10) = 25

б) 9х 3 – 27х 2 = 0

в) (х – 7) 2 – 4(х – 7) – 45 = 0

г) х 4 — 5х 2 + 4 = 0

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) + = 1

б) х 3 – 4х 2 – 9х + 36 = 0

в) (х 2 – х + 1)(х 2 – х -7) = 65

г) х 4 + 9х 2 + 8 = 0

Найди координаты точек пересечения функции у = х 2 – 26х + 25 с осью ОХ

Найди координаты точек пересечения функции у = 12 – 23х – 9х 2 с осями координат

— Закончили выполнение задания, поменяйтесь с учащимися с тем же вариантом и проверим друг у друга решения, сверяясь с ответами на доске. (10 слайд)

Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) х =

Функция у = х 2 – 26х + 25 пересекается с осью ОХ в точках с координатами (25;0) и (1;0)

Функция у = 12 – 23х – 9х 2 пересекается с осью ОУ в точке с координатами (0;12)

с осью ОХ в точках с координатами ( ; о) и (-3; 0)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 013 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

12. Целое уравнение и его корни

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.01.2018
• 582
• 1

• 22.01.2018
• 238
• 0

• 22.01.2018
• 270
• 0

• 22.01.2018
• 311
• 0

• 22.01.2018
• 280
• 0

• 22.01.2018
• 551
• 1

• 22.01.2018
• 370
• 0

• 22.01.2018
• 2159
• 67

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2018 2189
• DOCX 46.3 кбайт
• 61 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Усачева Марина Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2450
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.