Тема урока: «Уравнение с одной переменной». 9-й класс
Класс: 9
Используемая технология: Блочно-модульное обучение.
Для средней общеобразовательной школы.
Автор учебника Макарычев Ю.Н., 3 часа в неделю.
- Информационный блок : выдержка из КТП
Содержание учебного материала
часов
Тип урока
Планируемый результат
базовый
повышенный
1
Формирование понятия уравнение высших степеней, умение решать биквадратные уравнения.
Формирование понятия уравнения высших степеней, их типы; умение
безошибочно находить способ решения уравнения, определяя для этого его тип.
1
2
1
( РНО).
1
Образовательные
Развивающие
Воспитывающие
Сформировать понятие и закрепить знания учащихся по теме “Уравнения с одной переменной”;
Умения составлять алгоритм решения уравнения;
Закрепить умения и навыки решать уравнения высших степеней с использованием разных приемов, в нестандартных ситуациях.
Развивать умения пользоваться опорным конспектом и вспомогательной литературой для постановки задачи и ее выполнения в ходе решения;
Развивать внимательность, собранность и аккуратность;
Развивать умения работать самостоятельно и в микро группах, ставить перед собой цель и делать выводы, выполнять безошибочно необходимые арифметические вычисления
Умение работать в микро группе;
Культура труда, аккуратность.
- Дидактические разработки урока.
1. Урок-лекция. На этом уроке обзорно рассматриваются следующие вопросы:
- Понятие целого уравнения, корни уравнения, повторить способы решения уже известных уравнений;
- Рассмотреть все виды уравнений высших степеней, уметь определять количество корней уравнения;
- Разобрать алгоритмы решения уравнений высших степеней.
- Составить опорный конспект урока. (д\з)
2. Урок-отработка лекции.
На этом уроке разбираются и отрабатываются основные понятия, приемы и способы, о которых говорилось на первом уроке (пошаговая отработка лекции). Привожу пример лучшего опорного конспекта, составленного учащимися.
Опорный конспект урока по теме:
“Целое уравнение. Уравнения высших степеней”.
Основные методы решений уравнений.
Разложение на множители.
Введение новой переменной.
уравнение, корень уравнения, решить уравнение, равносильные уравнение.
Название уравнения
Общий вид
пример
Биквадратное
ах 4 + вх 2 + с = 0
обратная замена переменных
3 t 2 — 5 t +8=0
Уравнение, сводящееся к квадратному с помощью замены выражения.
замена (х 2 — 3х) = а
а 2 + 5а — 2 = 0
Уравнение, решая которое используем метод группировки слагаемых.
3(х-5) –х(х-5)=(х-5)(3-х)
х — 5=0 или 3 — х=0
(возвратное)
а х 4 + в х 3 +сх 2 + в х+ а =0 сгруппируем
а х 4 + а +в х 3 + в х+ с=0
а(х 4 +1) + в(х 3 +х) + с=0
делим все уравнение на х 2
а(х 2 +) + в(х+)+с=0
х += к ; х 2 += к – 2
обратная замена
Уравнение с использованием способа деления углом многочлена на одночлен (т.Безу)
Если не удалось решить перечисленными способами, тогда применяем данный прием.
подробно рассмотреть решение в конспекте.
Далее учащиеся разбиваются на микро группы и выполняют предложенное учителем задание.
Задание 1: Определить вид уравнения.
пример
Вид уравнения
(х-2) 6 — 19(х-2) 3 = 216
3х 3 — 7х 2 -7х +3 =0
2х 4 -х 3 -9х 2 +13х -5=0
х(х+1)(х+2)(х+3)=0,5625
6х 4 -5х 3 -38х 2 -5х + 6 = 0
(х 2 +5) 2 – 36 = 0
х 4 + 2х 2 – 24 = 0
а 2 х 4 — (а 2 + 1)х 2 + 1 = 0
Задание 2: Решить уравнения.
Оценка
Вариант 1
Вариант 2
Проверка решений у учителя. Выставление оценок.
Уровень
Решить уравнение.
“3”
№234(а,б),247а,248а
“4”
“5”
3. Урок-диагностика знаний.
На этом уроке учащимся предлагается самостоятельно выполнить работу с целью определения уровня владения новым материалом. Каждому выдается разработка модуля урока, учащийся сам выбирает темп работы и по окончанию урока (2 часа) получает оценку.
Комментарий: У учителя разработка с ответами, учащимся же выдается без ответов.
Разработка модуля урока по теме: ” Решение уравнений высших степеней”, 9 класс.
Для успешного освоения данной темы:
На ”3” нужно выполнить таблицы №1,№2,№3
На “4” нужно выполнить таблицы №1- 4
На “5” нужно выполнить все задания.
Желаю УДАЧИ всем.
Блок №1. Решить различные уравнения уже известными способами.
Цель: Закрепить знания и умения, полученные ранее.
Таблица №1 служит разминкой для дальнейшего решения уравнений более высокой степени. Следует решить два уравнения из таблицы, проверить результат и если вы успешно справились, то перейти к следующему заданию.
1. (х+5)(3х-6) = 0 |
3. (8х –1) 2 — х(64х + 1) = 12
5. 0.5х 2 — х 2 = 0
Блок №2. Решить уравнения, сделав замену переменных.
Цель: Закрепить способ решения уравнений, используя замену переменных.
Пример- образец №1. Решить уравнение (х 2 +2х) 2 — 2(х 2 + 2х) = 3
Решение: Запишем равносильное данному уравнение (х 2 + 2х) 2 – (х 2 + 2х) –3 =0, сделаем замену переменных, выражения в скобках одинаковые, поэтому можно записать:
Замена: х 2 + 2х =у
Перепишем получившееся уравнение и решим его.
Д= в 2 — 4ас= (-2) 2 — 4·1·(-3)= 16
Вернемся теперь к переменной х, сделаем обратную замену и решим два уранения.
Вариант 1
Вариант 2
2. (х 2 +2) 2 – (х 2 +2) = 12
2. (х 2 –4х) 2 + 9(х 2 -4х) = — 20
Блок №3. Решение биквадратных уравнений.
Цель: Закрепить способ решения биквадратных уравнений.
Уравнение вида ах 4 +вх 2 +с=0, где а,в,с – числа, х – неизвестная переменная называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения с помощью замены переменной сводится к решению квадратного уравнения. |
Пример-образец №2 Решить биквадратное уравнение х 4 – 5х 2 +4 = 0
Решение: х 4 –5х 2 +4 =0, биквадратное уравнение, сделаем замену переменной и решим получившееся квадратное уравнение.
Замена: х 2 = t >= 0
Оба корня положительные, поэтому удовлетворяют условию t >= 0.
Вариант 1
Вариант2
2. 5у 4 – 5у 2 + 2 = 0
3. х 4 –4х 2 + 4 = 0
2. у 4 – 6у 2 + 8 = 0
3. 2х 4 – 9х 2 + 4 = 0
Блок №4. Решить уравнения высшей степени.
Цель: Закрепить разные способы решения уравнений высших степеней.
Если ребята вы добрались до 4 блока, поздравляю вас, вы делаете успехи. Сейчас вам предстоит самостоятельно выбирать способ решения, переменную, которую нужно заменить.
Вариант 1
Вариант 2
2. х 4 – 9х 2 + 18 =0
3. (х 2 –х-16)(х 2 -х+2) =88
2. х 4 – 20х 2 +100 =0
3. (2х 2 +7х –8)(2х 2 +7х – 3) –6 =0
Указания учителя. Молодцы. Вы ребята освоили решение уравнений высших степеней. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
1. (х 2 –1)(х 2 +1) – 4(х 2 – 11) = 0 |
2. х 5 + х 4 – 6х 2 – 6х 2 + 5х +5 = 0
3. При каких с не имеет корней уравнение
х 4 – 12х 2 +с = 0
Указания учителя: В случае затруднений воспользуйтесь подсказками, данными ниже.
1. Воспользуйтесь формулой (а-в)(а+в)=а 2 -в 2 , преобразуйте данное уравнение в биквадратное.
2. Сгруппируйте первое слагаемое со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым, примените способ группировки и разложите на множители.
3. Сделайте замену и запишите условие, при котором уравнение не имеет корней, решите получившееся неравенство.
ОТВЕТЫ: (только у учителя)
ОТВЕТЫ
№ задания
вариант
0, -v6, v6.
— 3±v6; — 3 ± v17
Нет корней
±v2, ± 2
± 0.5; ± 2.
±v3, ± v6.
-4,5; 1; (-7± v65)· 0,25
Нет корней
с > 36
4. Урок-коррекция ЗУН.
На этом уроке разбираются у доски задания, которые вызвали затруднения на самостоятельной работе, вторая часть урока посвящена решению задач повышенного уровня, заданиям с параметрами. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы”,9 класс, издательство “Дрофа”. Л.В.Кузнецова и др.
5. Урок контроля ЗУН.
Проводится проверочная или контрольная работа. Предлагаю провести проверочную работу в форме ЕГЭ с целью подготовки учащихся 9-х классов к выпускным экзаменам в форме ЕГЭ.
Цель проверки: 1. Проверка ЗУН по основным разделам курса алгебры по теме “Уравнения”; 2. Корректировка учебной программы, с целью ликвидации пробелов в ЗУН учащихся.
Время проведения работы – 1 урок (40 минут).
Бланк для ответов: Часть А, часть В.
Ответы к тесту Ф.И. _______________________________________________ класс ______________
№ вопроса
Вариант ответа
Для части С выдается двойной лист или задание выполняется в тетради для контрольных работ, куда обязательно вкладывается черновик и бланк ответов частиА,В.
Алгебра
План урока:
Целое уравнение и его степень
Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:
(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);
А вот примеры нецелых выражений:
Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.
Введем понятие целого уравнения.
Приведем примеры целых ур-ний:
0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18
Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.
Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.
Пример. Преобразуйте целое ур-ние
так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.
Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:
Теперь раскроем скобки:
4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35
Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0
– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.
Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.
Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике
Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.
Пример. Определите степень ур-ния
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9
Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0
7х 3 – 10х – 44 = 0
Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень
Приведем примеры ур-ний первой степени:
5,4568у + 0,0002145 = 0
Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.
Приведем примеры ур-ний второй степени:
6t 2 + 98t – 52 = 0
Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу
Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:
2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0
Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:
5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0
Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.
Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.
Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k1, k2,k3,…kn. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:
Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния
надо каждую скобку приравнять к нулю:
х – k1 = 0 или х – k2 = 0 или х – k3 = 0 или…х – kn = 0
Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:
Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.
Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.
Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0
Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:
(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0
(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0
х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.
Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k1), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.
Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k1, k2,k3,…kn, kn+1 и запишем уравнение:
Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.
Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k1, k2,k3,…kn, то этому ур-нию равносильна запись (х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0
Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.
Решение уравнений методом подбора корня
Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!
Пример. Докажите, что корнями ур-ния
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
являются только числа (– 1), 1 и 2.
Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:
(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0
При х = 1 получаем:
1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0
Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2
2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0
Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.
Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.
Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:
Числа а0, а1, а2,…аnи называют коэффициентами уравнений.
Например, для уравнения
5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0
Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии
нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи
х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0
где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а1 = 0.
Для обозначения первого коэффициента а0 может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента аn – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».
Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:
Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами
Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:
Поделим обе его части на m и получим
Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а0m n –1 , a1m n –2 , аn–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число аn/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа аn.
Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.
Пример. Найдите целые корни уравнения
2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0
Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):
2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0
2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0
2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0
Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.
Пример. Решите ур-ние
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2
Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:
(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0
Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.
Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.
Докажем это. Подставим в ур-ние
значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:
Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.
Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния
499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0
Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:
499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0
Следовательно, единица является его корнем.
Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители
Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:
(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0
Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:
х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0
х 2 = 4 или х 2 = – 4
Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.
Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:
100 – 210 + 134 – 24 = 0
Следовательно, первый корень – это 1.
Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k1, k2и k3. Тогда ему равносильно другое ур-ние
Мы нашли, что первый корень k1 = 1, то есть
Обозначим как P1(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k2 и k3. Очевидно, что корнями ур-ния
Будут числа 1, k2 и k3. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем
(х – 1)•P1(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24
Поделим обе части на (х – 1):
Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р1(х), причем решением уравнения P1(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k2и k3. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:
Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:
Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:
(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2
Далее снесем слагаемое 134х вниз:
На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):
(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х
Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):
При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:
Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:
В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)
Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0
Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:
100х 2 – 110х + 24 = 0
D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500
Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.
В данном случае мы воспользовались следующим правилом:
Пример. Решите уравнение
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:
2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0
Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16
Теперь возможно деление:
Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)
С учетом этого перепишем исходное ур-ние:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0
х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0
Решим квадратное ур-ние
D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80
В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле
где k1 и k2– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k1, k2 и k3, то его можно разложить на множители по формуле
Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.
Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:
2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0
2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0
2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0
Значит, многочлен можно разложить на множители:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:
(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2
Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0
Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:
2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4
Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k1), (х – k2), (х – k3) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).
Графический метод решения уравнений
Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства
где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.
Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.
Пример. Решите графически уравнение
Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:
Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):
Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.
Ответ: х ≈ 1,46557
Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.
Пример. Определите количество корней уравнений
б) х 3 – 2х + 0,5 = 0
Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:
Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:
Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.
Ответ: а) один корень; б) три корня.
Решение дробно-рациональных уравнений
До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.
Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:
С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:
Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.
Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:
1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.
2) Решают полученное целое ур-ние.
3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.
Пример. Решите ур-ние
Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:
2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2
х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0
х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0
У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:
2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):
Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)
Тогда ур-ние примет вид:
(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0
х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0
Решим квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8
Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии
в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:
Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.
Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:
Пример. Найдите все корни ур-ния
Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:
Тогда уравнение примет вид
Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):
Знаменатель должен равняться нулю:
4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0
4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0
у 2 + 10у – 96 = 0
Решаем квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484
Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:
х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6
х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0
Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:
D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63
А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25
Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии
в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.
При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.
Пример. Сколько корней имеет уравнение
Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:
Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.
Конспекты уроков по алгебре в 9 классе по теме «Целое уравнение и его корни»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ УРОК1,2 на конкурс.docx
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №14
села Орловки Буденновского района»
Конспекты уроков по алгебре в 9 классе
по теме «Целое уравнение и его корни»
2012-2013 уч. год
Тема урока: «Целое уравнение и его корни».
обобщить и углубить сведения об уравнениях;
ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней;
рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители;
развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;
воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.
Учебник: Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010
Оборудование: компьютер с проектором, презентация «Целые уравнения»
Сообщение темы урока, цели.
Сегодня мы познакомимся с новым видом уравнений – это целые уравнения. Научимся их решать.
Запишем в тетради число, классная работа и тему урока: «Целое уравнение, его корни».
2.Актуализация опорных знаний.
Ответы: 1)х = -2; 2) х =1/2; 3) х = -4, +4; 4) х = -8; 5) корней нет; 6) х = 0
— определите степень каждого многочлена:
38х 5 +8-3 y 7 y -76х 6 9х-76х 2 +12
3.Формирование новых понятий.
Беседа с учениками:
Что такое уравнение? (равенство, содержащее неизвестное число)
Какие виды уравнений вы знаете? (линейные, квадратные)
Приведите примеры линейных уравнений, квадратных.
-Сколько корней может иметь линейное уравнение?) (один, множество и ни одного корня)
1)5х=0 2) 0 y =3 в)6х-2=4
-Какое из этих уравнений имеет один корень? (не имеет корней, имеет множество решений)
-Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Отчего зависит количество корней? (от дискриминанта)
-В каком случае квадратное уравнение имеет 2 корня?( Д>0)
— В каком случае квадратное уравнение имеет 1 корень? (Д=0)
— В каком случае квадратное уравнение не имеет корней? ( Д 0)
-Дадим определение данному типу уравнений, но для начала вспомним, какие выражения называются целыми? (Целые выражения это такие, которые состоят из умножения, сложения, вычитания выражений содержащих переменную, а также деления на число)
Целое уравнение – это уравнение левая и правая часть, которого является целым выражением. (читают вслух).
Приведем примеры целых уравнений:
Приведите и запишите свой пример целого уравнения (попросить нескольких учеников записать на доске свои уравнения)
-Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений, мы видим, что количество корней не больше его степени.
-Как вы думаете, можно ли не решая уравнения, определить количество его корней? (возможные ответы детей)
-Познакомимся с правилом определения степени целого уравнения?
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида.
Уравнение n ой степени имеет не более n корней.
Например: 1)4х 4 -5х 2 +1=0; 2)(х-2)(х+2)=0
-Являются ли эти уравнения целыми?
-Записаны ли эти уравнения в виде Р(х)=0?
-Степень какого уравнения можно определить сразу? (1)
-Сколько корней может иметь это уравнение?
-Что нужно сделать со вторым уравнением, чтобы определить его степень?
( заменить ему равносильным и записать в виде Р(х)=0)
— Замените это уравнение ему равносильным и запишите в виде Р(х)=0
-Определите степень полученного уравнения
— Сколько корней может иметь 2 уравнение?
Целое уравнение можно решить несколькими способами:
способы решения целых уравнений
разложение на множители графический введение новой
(Записывают схему в тетрадь)
Сегодня мы рассмотрим один из них: разложение на множители на примере следующего уравнения: ( на доске объясняет учитель , ученики записывают в тетрадь решение уравнения)
-Как называется способ разложения на множители, с помощью которого можно левую часть уравнения разложить на множители? (способ группировки). Разложим левую часть уравнения на множители, а для этого сгруппируем слагаемые, стоящие в левой части уравнения.
-Когда произведение множителей равно нулю? (когда хотя бы один из множителей равен нулю). Приравняем к нулю каждый множитель уравнения.
Решим полученные уравнения
-Сколько корней мы получили? (запись в тетради)
4.Формирование умений и навыков. Практическая часть.
работа по учебнику №265( устно а-в, г-д- запись в тетради)
Какова степень уравнения и сколько корней имеет каждое из уравнений:
Ответы: а) 5, б) 6, в) 5, г) 2, д) 1, е) 1
№ 266 (решение у доски с объяснением)
№ 268 (решение у доски с объяснением)
Докажите, что уравнение не имеет корней:
Запишем уравнение в виде 5 x 6 +6 x 4 + x 2 =–4.
В левую часть уравнения х входит только в четной степени, следовательно, число неотрицательное, а в правой части — число отрицательное, значит, уравнение корней не имеет.
Закрепление теоретического материала:
Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.
Как найти степень целого уравнения? Сколько корней имеет уравнение с одной переменной первой, второй степени?
— Дайте оценку своей работе и прикрепите цветной магнит на доске.
1)Отлично, вопросов нет …
2)Хорошо, но могу лучше …
Пока испытываю трудности …
7. Домашнее задание:
Тема урока: «Целое уравнение и его корни».
дать понятие биквадратного уравнения и способа его решения;
развивать умение определять степень целого уравнения, его корни;
рассмотреть способ решения целого уравнения третьей степени с помощью введения новой переменной;
развивать умение самостоятельно выбирать рациональный способ решения целого уравнения;
развитие математического и общего кругозора, логического мышления; умения ставить перед собой цель и делать выводы, выполнять безошибочно необходимые арифметические вычисления; развивать внимательность, собранность и аккуратность.
воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.
развитие способности проявлять себя в различных социальных ролях- исполнителя, эксперта, исследователя, помощника; обучение культуре общения в коллективе .
Учебник: Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010
Оборудование: компьютер с проектором, презентация «Целые уравнения»
Сообщение темы урока, цели.
-Сегодня на уроке мы продолжим работу по теме» Целое уравнение и его корни», познакомимся с новым способом решения целых уравнений. В тетрадях записываем число, классная работа, тему урока
2.Актуализация опорных знаний.
-Какое уравнение называется целым?
-Являются ли эти уравнения целыми? Почему? (т.к их левые и правые части являются целыми выражениями, то эти уравнения-целые)
-Найдите корни данных уравнений и определите их степень.
(х-5)(х+1)(3х-6) =0 ( корни :-1;2;5; 3степень)
х(х 2 -4)=0 (корни:-2;0;2; 3 степень)
(х 2 +49)(х+3)=0 (корень -3; 3 степень)
(2х-4)(х 3 -1)=0 (корни:1;2; 4 степень)
(х 3 +1)(х 2 -25)=0 (корни:-5;-1;5; 5 степень)
-Какими способами можно решать целые уравнения?
-В чём заключается сущность способа разложения на множители?
-Как вы думаете, всегда ли возможно решить целое уравнение этим способом?
3 . Изучение нового материала
1)решим уравнение (х 2 -5х+4)(х 2 -5х+6)=120 (1)
-Как будем решать это уравнение?
(раскроем скобки, перенесём все члены уравнения в левую часть, приведём подобные)
запись в тетрадях и на доске х 4 -10х 3 +6х 2- 5х 3 +25х 2 -30х+4х 2 -20х+24-120=0
х 4 -10х 3 +35х 2 -50х-96=0
-Знаем ли мы способ решения уравнения четвёртой степени? (ответы детей)
— Уравнения, степень которых выше двух, иногда удаётся решить, введя новую переменную
-Что особенного в уравнении (1)?
-В левой части уравнения (1) переменная х входит только в выражение х 2 -5х.
-Сколько раз повторяется это выражение? (дважды)
Это позволяет решить это уравнение с помощью введения новой переменной
(учитель объясняет и записывает решение на доске, а дети в тетради)
(х 2 -5х+4)(х 2 -5х+6)=120
1.Введём новую переменную y =х 2 -5х.
2.Получим уравнение (у+4)(у+6)=120.
3.Решим данное уравнение: у 2 +6у+4у+24-120=0
Д=10 2 -4 1 (-96)=100+384=484 0, 2 корня
у=
у=
4.Вернёмся к замене:
х 2 -5х=6 и х 2 -5х=-16
х 2 -5х-6=0 х 2 -5х+16=0
Д=(-5) 2 -4 1 (-6)=49 0, Д=(-5) 2 -4 1 16=-41 ,
2 корня нет корней
х=
х=
-Составим алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным :
Алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным :
Ввести замену переменной.
Составить квадратное уравнение с новой переменной и решить его
Вернуться к замене переменной.
Решить получившиеся уравнения.
Сделать вывод о количестве корней.
2)рассмотрим уравнение 9х 4 -10х 2 +1=0
-Определите степень этого уравнения
-Можно ли решить это уравнение уже изученными способами?
-Для решения уравнений четвёртой степени, имеющих вид ах 4 + b х 2 +с=0 используют метод введения новой переменной. Дадим определение уравнений этого вида.
Уравнения вида ах 4 + b х 2 +с=0 , где а 0, являющиеся квадратными относительно х 2 , называют биквадратными .
Решим уравнение 9х 4 -10х 2 +1=0
1.Введём новую переменную: у=х 2 .
2. Получим уравнение: 9у 2 -10у+1=0
Далее учащиеся самостоятельно решают полученное уравнение в тетрадях , 1 ученик у доски для последующей проверки)
Д=(-10) 2 -4 9 100-36=64
у =
у=
у 1 = или у 2 =1
Вернёмся к замене: х 2 = или х 2 =1
х 1 = ;х 2 =- х 3 =1; х 4 =-1.
Ответ: — ; -1; ;1.
4.Закрепление изученного материала:
работа по учебнику№277(а),№278(а) (используя индивидуальные карточки и с алгоритмом решения уравнений, приводимых к квадратным)
(х 2 +3) 2 -11(х 2 +3)+28=0. Пусть х 2 +3=у
Д=(-11) 2 -4
у=
Вернёмся к замене: х 2 +3=7 или х 2 +3=4
х 4 -5х 2 -36=0. Пусть х 2 =у.
Тогда у 2 -5у-36=0
Д=(-5) 2 —
у=
у=
Вернёмся к замене: х 2 =9 или х 2 =-4
-Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратные уравнения?
-Уравнения каких степеней мы рассмотрели?
Для курса высшей математики известны формулы для нахождения корней третьей и четвёртой степени, однако они сложны и громоздки и не имеют практического применения. Для уравнений пятой и более высоких степеней формул не существует. Это было доказано в 19 веке Нильсом Абелем и Эваристом Галуа.
анкета для учащихся (смотри приложение)
составить и решить уравнения высших степеней на данные методы решения (по 2 уравнения)
http://100urokov.ru/predmety/2-urok-uravneniya-s-odnoj-peremennoj
http://infourok.ru/konspekti-urokov-po-algebre-v-klasse-po-teme-celoe-uravnenie-i-ego-korni-300829.html