Цепь второго порядка неустойчива если корни характеристического уравнения

Цепь второго порядка неустойчива если корни характеристического уравнения

23.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В устойчивой электрической цепи при ограниченном возмущении переходный процесс, возникающий в цепи, с течением времени затухает, и токи и напряжения в цепи f ( t ) переходят к новому установившемуся режиму &#151 положению равновесия f ‘ (рис. 23.1, а , б ). В неустойчивой цепи процесс отклонения от равновесия с течением времени нарастает (рис. 23.1, в , г ) .

Напомним, что аналитические решения для токов и напряжений переходного процесса в линейной цепи при простых корнях характеристического уравнения l k имеют вид ( f ‘ &#151 установившееся значение). Поэтому в устойчивой цепи, в которой свободная составляющая f « стремится с течением времени к нулю, все вещественные корни характеристического уравнения должны быть отрицательными (рис. 23.1, а ), а комплексные &#151 иметь отрицательную вещественную часть (рис. 23.1, б ). Это же относится к кратным корням, и в устойчивой цепи все корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции) удовлетворяют общему условию

,

т. е. на комплексной плоскости s + j w они лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один из корней располагается в правой полуплоскости (рис. 23.1, в , г ), цепь является неустойчивой.

Устойчивыми являются пассивные цепи, составленные из R -, L- , С -элементов. Цепи без потерь (включающие только L и С ) находятся на границе устойчивости, поскольку их характеристические уравнения имеют чисто мнимые корни, отвечающие собственным частотам цепи w 0 . Такое положение корней обусловливает незатухающий переходный процесс при произвольном возбуждении (рис. 23.1, д ). Однако в случае синусоидального возбуждения цепи без потерь на собственной частоте w = w 0 ограниченное по амплитуде входное воздействие приводит к неограниченной реакции — в общем решении для f(t) в этом случае появляются слагаемые вида te l k t , неограниченно нарастающие во времени при l _k = ± j w 0 . Поэтому цепи, имеющие полюсы на мнимой оси, являются неустойчивыми в том смысле, что их выходная величина может быть неограниченной при подаче на вход вполне определенного сигнала с ограниченной амплитудой.

Неустойчивость может наблюдаться в активных цепях с обратными связями, в которых энергия, накапливаемая пассивными элементами при переходном процессе, восполняется управляемыми источниками, что может привести к неограниченному росту токов и напряжений при ограниченном входном воздействии.

Потеря устойчивости ведет к нарушению заданного режима работы цепи, и поэтому для обеспечения устойчивого режима работы цепи необходимо провести исследование ее устойчивости. Однако работа на границе устойчивости при чисто мнимой паре корней — автоколебательный режим — на практике используется для построения генераторов. Как следует из названия, автоколебания — это незатухающие колебания в цепи с потерями при отсутствии внешних периодических воздействий, обусловленные внутренними свойствами цепи.

При анализе устойчивости определяют расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. При этом нет необходимости непосредственно находить значения корней, а достаточно убедиться в их отсутствии в правой полуплоскости.

Для характеристического уравнения второго порядка a 0 l 2 + a 1 l + a 2 = 0 условия устойчивости формулируются наиболее просто. Так как, согласно теореме Виета, l 1 + l 2 = – a 1 / a 0 , а l 1 l 2 = a 2 / a 0 , то при a 0 > 0 l 1 и l 2 располагаются в левой полуплоскости при выполнении условий a 1 > 0, a 2 > 0. Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости цепи 2-го (а также и 1-го) порядка является положительность значений всех коэффициентов характеристического уравнения.

Обратим внимание, что при a 1 = 0 цепь находится на границе устойчивости, Так как в этом случае корни характеристического уравнения чисто мнимые , где , при a 1 = 0 в цепи наблюдается синусоидальный колебательный режим с круговой частотой w 0 .

Для характеристического уравнения более высокого порядка положительность коэффициентов a k > 0 является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Поэтому для проверки условия Re l k ³ 0 применяют способы, использующие так называемые критерии устойчивости , не требующие непосредственного определения корней.

Одним из таких критериев, позволяющих оценивать устойчивость по алгебраическим признакам (по коэффициентам характеристического уравнения), является критерий Гурвица . При его использовании для исследования расположения корней характеристического уравнения n -го порядка

составляют так называемый определитель Гурвица

На главной диагонали определителя п -го порядка в возрастающем порядке стоят коэффициенты характеристического уравнения от a 0 до a n . Далее в строках располагают подряд в порядке убывания индексов остальные коэффициенты; позиции в строке справа от a 0 и слева от a n дополняются нулями. Так, в нулевой строке стоит только элемент a 0 , в первой строке — лишь три ненулевых элемента a 2 , a 1 , a 0 , а в последней — только один элемент a n .

Гурвиц доказал, что положительность определителя D n и всех его диагональных миноров D k , отчеркнутых в приведенном выражении D n , является необходимой и достаточной для того, чтобы все корни характеристического уравнения l k лежали в левой полуплоскости. Таким образом, для исследования устойчивости системы, описываемой характеристическим уравнением п -го порядка, необходимо проверить выполнение условий:

, , …, , .

Применение критерия Гурвица к уравнению 2-го порядка требует анализа положительности определителя = a 0 a 1 a 2 и его миноров D 0 = a 0 , D 1 = a 0 a 1 , что приводит к уже ранее установленным условиям a 0 > 0; a 1 > 0; a 2 > 0.

Определитель Гурвица 3-го порядка имеет вид .

Его миноры ; D 1 = a 1 a 0 ; D 0 = a 0 . Поэтому расположение корней в левой полуплоскости обеспечивается при a 0 > 0, a 1 > 0, a 1 a 2 – a 0 a 3 > 0, D 3 = a 3 D 2 . Таким образом, кроме необходимой положительности коэффициентов а 2 > 0, а 3 > 0 имеем дополнительное условие a 1 a 2 – a 0 a 3 > 0. Отсюда следует, что для уравнений 3-го положительность коэффициентов не гарантирует расположения корней в левой полуплоскости. То же справедливо и в отношении уравнений более высоких порядков.

Другие критерии основаны на анализе частотных свойств цепей и описывающих их функций. Для выяснения устойчивости согласно критерию Михайлова , на комплексной плоскости изображают годограф характеристического полинома H ( s ) при s = j w — его амплитудно-фазовую частотную характеристику H ( j w ) = a 0 ( j w ) n + a 1 ( j w ) n –1 + . + a n , соответствующую изменению частоты от нуля до бесконечности. Если эта характеристика последовательно проходит в направлении против часовой стрелки п квадрантов плоскости комплексного переменного Н , полином соответствует устойчивой цепи. В этом случае при движении по характеристике от w = 0 к w = ¥ начало координат — точка Н = 0 — остается все время слева от характеристики (рис. 23.2, кривая 1).

Так как АФЧХ H ( j w ) является конформным отображением мнимой оси плоскости s = s + j w , осуществляемым функцией Н ( s ), то эта функция отображает в начало координат лишь точки плоскости s , находящиеся слева от мнимой оси, т. е. имеющие отрицательные вещественные части Re s H ( j w ) через начало координат (кривая 2) отвечает наличию пары чисто мнимых корней. Нарушение последовательности обхода квадрантов, при котором начало координат обходится справа (кривые 3, 4, 5), отвечает неустойчивости цепи — наличию корней в правой полуплоскости. Из рассмотренного критерия следует также, что у характеристического полинома H ( j w ) = H ₁( w ) + jH ₂( w ) устойчивой цепи нули вещественной и мнимой частей H ₁( w ) и H ₂( w ) чередуются между собой подобно нулям и полюсам (нулям знаменателя) входной функции цепи без потерь. Именно это свойство характеристического полинома положено в основу вывода критерия Гурвица.

Примеры анализа устойчивости по характеристическим уравнениям рассмотрены в задаче 21.1.

Оценка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения

При оценке устойчивости необходимо рассмотреть три возможных случая.

1. Корни вещественны.

2. Пары комплексно-сопряженных корней.

3. Корни чисто мнимые.

Если все корни вещественные и отрицательные, то есть

хсв(t) . (3.6)

Если все корни вещественные и отрицательные, то каждое слагаемое хсв в формуле (3.6) стремится к нулю при t®¥ и, следовательно, хсв(t) ® 0, то есть необходимое и достаточное условие устойчивости (3.2) выполнено и САУ устойчива.

Если все корни вещественные, но среди них имеется хотя бы один положительный корень р _к = a _к > 0 , то соответствующее ему слагаемое в (3.6) будет иметь вид с_к exp(a_кt) и будет стремиться к ¥ при t®¥.

При этом, хотя все слагаемые в хсв(t) , кроме одного, будут затухать, переходный процесс САУ в целом будет расходящимся, а САУ — неустойчивой.

Если все корни вещественные, отрицательные и есть пара комплексно- сопряженных корней р _k =-a+jb . р _k+1=-a-jb. Тогда комплексным корням в Хсв(t) соответствуют слагаемые А= с_к exp[-(a-jb)t] и B= с_к exp[-(a+jb)t]. C учётом формул Эйлера можно записать

А+В= De -a t sin(bt+j). (3.7)

Сумма слагаемых, соответствующих комплексно-сопряжённым корням, представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой b и амплитудой De -a t .

Параметр a — это параметр затухания огибающей k – кривой переходного процесса.

при a 0

Таким образом, если действительная часть комплексного корня a

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица детально рассмотрен в [1] на с. 47-48. Назначение, описание и особенности применения частотных критериев устойчивости линейных САУ приведены на с. 48-54 [1].

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит задача линеаризации уравнения системы автоматического регулирования (САР)?

2. Дайте понятия “устойчивой” и “неустойчивой” САР.

3. Что такое “принцип аргумента”?

4. Сформулируйте и поясните критерий устойчивости Найквиста-Михайлова для замкнутых систем.

5. Какие точки на годографе САР считаются “характерными”? Как они определяются?

6. Как влияет на устойчивость САР звено задержки?

7.Как влияет на устойчивость САР форсирующее звено?

8. Как влияет на устойчивость САР интегрирующее звено?

9. Для чего может использоваться в САР дополнительное интегрирующее звено?

Цепь второго порядка неустойчива если корни характеристического уравнения

3.3 Переходные процессы в цепях второго порядка

Цепи второго порядка содержат два реактивных элемента; это могут быть две индуктивности, две емкости или емкость с индуктивностью. Кроме того, цепь включает некоторое количество резистивных элементов и независимых источников энергии, которые для простоты анализа будем считать стационарными. В зависимости от наличия тех или иных реактивных элементов, решение задачи следует искать или для переменной состояния i _L ( t) , или для u _C ( t). Форма записи решения определена общей теорией:

где p₁ и p₂ — корни характеристического уравнения.

Поиск решения выполняется в той же последовательности, что и для цепей первого порядка:

1. Находят корни характеристического уравнения. Они могут быть вещественными разными и отрицательными или вещественными кратными и отрицательными или комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью;

2. Из анализа цепи после коммутации определяют принужденную составляющую режима или , что можно сделать, если в цепи продолжают действовать стационарные источники питания;

3. Исследуя основные и неосновные начальные условия, находят постоянные интегрирования , или , .

Рассмотрим подробнее каждый шаг решения.

1. Определение корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение может быть получено классическим методом путем составления системы уравнений по законам Кирхгофа с последующим сведением этой системы к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Этот способ подробно описан в учебной литературе и здесь не рассматривается. Как показывают примеры, рассмотренные ранее, этот путь сопровождается достаточно громоздкими преобразованиями.

Было замечено, что характеристическое уравнение содержится внутри

функции входного сопротивления как некоторый инвариант, присущий данной цепи. Рассмотрим этот способ получения характеристического уравнения путем исследования входного сопротивления на примере цепи, представленной на рис.3.13а. Будем считать, что цепь питается от источника постоянного тока и содержит два резистивных сопротивления, индуктивность и емкость. После коммутации ( t>0) (ключ S замыкается) переходный процесс в цепи, изображенной на рис.3.13б, развивается за счет независимого источника тока, а также за счет энергии, запасенной в реактивных элементах цепи. Свободная составляющая режима, определяемая корнями характеристического уравнения, не зависит от внешнего источника питания, а определяется только параметрами элементов ветвей и способом их соединения. Точно так же не зависит от внешних источников питания и функция входного сопротивления [1]. Поэтому возникает идея поискать корни характеристического уравнения внутри функции входного сопротивления.

На рис.3.13в и рис.3.13г представлены комплексные схемы замещения цепи, которые следует составить для определения входного сопротивления со стороны

первой и третьей ветви, где .

Рис. 3.13. Схема RLC -цепи второго порядка:

а) исходная цепь

б) схема после коммутации

в) входное сопротивление со стороны третьей ветви

г) входное сопротивление со стороны первой ветви

Объединяя параллельно и последовательно соединенные ветви, найдем входные сопротивления со стороны обозначенных зажимов

Числители полученных выражений совпадают, а знаменатели различны. Аналогичный результат получим, если найдем входное сопротивление со стороны второй ветви. Следовательно, числитель входного сопротивления со стороны любой ветви является некоторым расчетным инвариантом, определяемым топологией цепи. Числитель этого инварианта при замене комплексной переменной jω на p совпадает с характеристическим полиномом. Используя эту замену и, приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение:

После замены в числителе переменной jω на p и деления на коэффициент при старшем члене получим уравнение второй степенин.Найдем корни этого уравнения

На основании этого анализа сформулируем порядок получения характеристического уравнения цепи:

а. Для времени t>0 следует изобразить комплексную расчетную цепь;

б. Исключить из схемы все независимые источники энергии: источники тока разомкнуть, источники напряжения замкнуть накоротко. Найти входное сопротивление со стороны любой ветви и записать это выражение в виде дробно-рациональной функции, где в числителе и в знаменателе образуются полиномы по степеням jω

в. Числитель полученного выражения, совпадающий с характеристи-ческим полиномом, приравнять к нулю, предварительно заменив переменную jω на p. Найти корни характеристического уравнения и записать решение для искомой переменной состояния в виде (3.17) или (3.18).

Рис. 3.14. Схема для определения принужденных составляющих режима

2. Определение принужденной составляющей режима при стационарном воздействии находят для момента времени t = ∞, когда переходный процесс в цепи уже закончен. Для рассматриваемого в примере режима постоянного тока исследуемая схема приведена на рис.3.14, где индуктивность заменена короткозамкнутой перемычкой, а емкость разрывом. Используя правило деления тока на части, найдем

3. Постоянные интегрирования A₁ и A₂ (или B₁ и B₂) можно найти на основании основных и неосновных начальных условий. Основные начальные условия определяются законами коммутации по схеме докоммутационного состояния цепи. Для рассматриваемого примера такая схема приведена на рис.3.15а, из анализа которой следует

что дает одно уравнение для определения постоянных интегрирования: