Цилиндр вращается по закону выражаемому уравнением

Цилиндр вращается по закону выражаемому уравнением

При решении задач по кинематике и динамики поступательного движения необходимо обратить внимание на классические законы Ньютона и границы их применения. Решая задачи, связанные с работой и энергией, повторить определения этих понятий. Необходимо понять сущность различия задач, решаемых с применением закона сохранения энергии и закона сохранения импульса. Рассматривая задачи на вращательное движение, следует обратить внимание на аналогию законов вращательного и поступательного движений, на то, что момент инерции характеризует геометрию распределения масс и не зависит от момента силы, обратить внимание на закон сохранения момента импульса.

Основные законы и формулы

Примеры решения задач

Пример 1. Тело массой 1кг под действием постоянной силы, движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задано уравнением S=2t 2 +4t+1. Определить работу силы за 10с от начала её действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m=1кг; S=2t 2 +4t+1

Работа, совершаемая силой

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна:

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим:

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим:

По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за 10с. С начала её действия:

Кинетическая энергия равна:

Ответ: A = 960 Дж, T = 8m (t + 1) 2

Пример 2. Сплошной цилиндр массой 0,5кг и радиусом 0,02м вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра, по закону φ =12+8t-0,5t 2 . На цилиндр действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

Дано : m=0,5кг; r=0,02 м; φ =12+8t-0,5t 2

Решение: Цилиндр вращается относительно оси, совпадающей c его осью, по закону φ =12+8t-0,5t 2 . Угловое ускорение определяется как вторая производная от угла поворота по времени:

где ω — угловая скорость, равная первой производной от угла по времени: ; т.е. ω =8 — t , тогда

Момент силы относительно оси вращения: , или в скалярном виде: M=Fr· sinα , т.к. сила действует касательно к поверхности, то sinα =1 , тогда M=Fr и

Тормозящий момент можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения:

где I — момент инерции цилиндра, относительно оси вращения, т.к. ось вращения совпадает с осью цилиндра, то момент инерции его равен:

Подставляем (3) в (2) имеем:

Ответ: F = -0,005 Н, M = -10 -4 Hм

Пример 3 . Определить импульс и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью 0,7с ( c — скорость света в вакууме).

Дано: m 0 =9,1· 10 -31 кг; ν =0,7с; с=3· 10 8 м/с

Решение: Импульсом частицы называется произведение массы частицы на скорость её движения:

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле:

где m — масса движущей частицы, m 0 — масса покоящейся частицы.

Подставляем (2) в (1) получим:

Сделаем подстановку числовых значений, входящих в формулу (3):

Кинетическая энергия T в релятивистской механике определяется как разность между полной энергией частицы E=mc 2 и её энергией покоя E 0 =m 0 c 2 , т.е. с учётом (2):

Найдём численное значение Т , подставив числовые данные в формулу (4):

Ответ: P = 2,675· 10 -22 кг· м/c, T = 3,28· 10 -14 Дж

Задачи для самостоятельного решения

1. При прямолинейном движении тела массой 1кг изменение его координаты со временем происходит по закону x=5t-10t 2 . Найти силу, действующую на тело.

2. Тело массой 3кг движется с ускорением, изменяющимся по закону a=10t-10 , v 0 =0. Определить силу, действующую на тело через 3 с после начала её действия и скорость тела в конце третьей секунды.

3. Тело движется под действием постоянной силы 15Н . Зависимость координаты от времени имеет вид: x=10-5t+2t 2 . Найти массу тела.

4. Найти зависимость скорости от времени и силу, действующую на тело массой 0,1кг в конце третьей секунды, если координата со временем изменяется по закону x=2t-t 2 +3t 3 .

5. Тело массой 2кг движется со скоростью, зависимость которой от времени выражается уравнением v=2,5t 2 +10t . Определить путь, пройденный телом за 5с и силу, действующую на тело в конце пятой секунды.

6. Сплошной шарик массой 400г и радиусом 5см вращается вокруг своей оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара имеет вид: φ =4+2t-2t 2 . Определить вращающий момент.

7. Стержень массой 1кг и длиной 1м вращается вокруг своей оси, проходящей через один из его концов, по закону φ =2+t+t 2 . Определить момент силы, действующий на другой его конец.

8. Сплошной диск массой 0,2кг вращается вокруг своей оси, проходящей через центр его масс, под действием момента сил 0,8· 10 -2 Нм . Закон вращения имеет вид: φ =5-t+2t 2 . Определить радиус диска.

9. Полый цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра. Закон вращения имеет вид: φ =10-5t+0,5t 2 . Определить момент инерции и массу цилиндра, если его радиус 0,05м . Момент силы относительно оси вращения, действующий на цилиндр, равен 0,75Нм .

10. Шар и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу 5кг и катятся с одинаковой скоростью 10м/с . Найти кинетические энергии этих тел.

11. Масса движущегося протона 2,25· 10 -27 кг. Найти скорость и кинетическую энергию протона.

12. Электрон прошёл ускоряющую разность потенциала 100 МВ . Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя. Вычислить его полную и кинетическую энергии.

13. Определить скорость протона, если его релятивистская масса в три раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергии.

14. Вычислить скорость, полную и кинетическую энергии протона в тот момент, когда его масса равна массе α — частицы ( m 0α =6,44· 10 -27 кг ).

15. Найти импульс, полную и кинетическую энергии электрона, движущегося со скоростью, равной 0,9с .

16. Протон прошёл ускоряющую разность потенциалов, после чего его масса стала равна половине массы α — частицы ( m 0α =6,44· 10 -27 кг ). Определить разность потенциалов.

17. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия равна 1,78МэВ ? Определить импульс электрона.

18. Кинетическая энергия частицы оказалась равной её энергии покоя. Какова скорость этой частицы?

19. При какой скорости масса любой частицы вещества в 5 раз больше его массы покоя?

20. Во сколько раз масса движущегося электрона, обладающего кинетической энергией 1МэВ больше его массы покоя?

21. Сплошной цилиндр массой 10кг катится без скольжения с постоянной скоростью 10м/с . Определить кинетическую энергию цилиндра и время его остановки, если на него подействует сила 50Н .

22. Стержень массой 2кг и длиной 1м может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10г , летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью 500м/с . Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем.

23. Сплошной шар, скатывается по наклонной плоскости, длина которой 10м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости.

24. Полый цилиндр массой 2кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 20м/с . Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 1,6м .

25. Маховик, имеющий форму диска массой 30кг и радиусом 10см , был раскручен до частоты 300 мин -1 . Под действием силы трения диск остановился через 20с . Найти момент силы трения, считая его постоянным.

26. Автомобиль массой 5т движется равнозамедленно, при этом в течении десяти секунд его скорость уменьшается от 72км/час до 54км/час . Найти силу торможения.

27. Тело массой 1кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени выражается уравнением S=t 2 +2t+2 . Определить работу силы за 5с после начала её действия.

28. В каком случае двигатель автомобиля совершит большую работу (во сколько раз): разгон с места до скорости 36км/час или увеличение скорости от 36км/час до 72км/час ? Силу сопротивления и время движения в обоих случаях считать одинаковыми.

29. Тело массой 2кг под действием постоянной силы движется и зависимость пути, пройденного телом, от времени выражается уравнением: S=t 2 +2t+2 . Найти зависимость кинетической энергии от времени и её значение в конце второй секунды.

30. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1м/с 2 . Уклон горы равен 1м на каждые 25м пути. Масса автомобиля 9,8· 10 2 кг . Коэффициент трения равен 0,1.

Качественные задачи

31. Зависимость пройденного пути от времени s(t) для двух материальных точек, движущихся прямолинейно, представлена кривыми 1 и 2 (рис.1). Спрашивается, какая кривая соответствует возрастанию скорости точки, а какая — убывающей скорости?

32. Поперек реки, скорость течения которой , плывет лодка. Скорость лодки относительно воды направлена под углом к линии, перпендикулярной течению реки. Под каким углом относительно той же линии движется лодка?

33. Материальная точка движется по спирали. При этом нормальное ускорение постоянно: аn=сonst. Как изменяются линейная и угловая скорости?

34. В какую сторону вдоль оси вращения Земли направлен вектор угловой скорости при суточном её вращении?

35. Вектор угловой скорости диска направлен на восток при вращении относительно горизонтальной оси. Указать направление линейной скорости точек обода диска?

36. Пуля массой m , летящая горизонтально, попадает в подвешенный на шнуре предмет массы М . При этом возможны три случая: 1) пуля застревает в предмете, 2) пуля пробивает предмет и сохраняет только часть своей энергии, 3) пуля после удара отскакивает от предмета. В каком из этих случаев предмет поднимется на большую высоту и в каком — на наименьшую?

37. Зависит ли скорость тела у основания наклонной плоскости от угла, который она составляет с горизонтом при наличии трения или без него при скатывании этого тела без начальной скорости?

38. Два шара одинаковой массы сталкиваются (абсолютно упругий удар), испытывая нецентральный удар. Доказать, что угол между направлениями скоростей шаров после удара составляет угол 90 0 ?

39. Зависимость потенциальной энергии тел от их положения изображается параболой W p =bx 2 . По какому закону изменяются силы, действующие на эти тела?

40. У вертолетов, кроме несущего винта, на хвостовой части имеется дополнительный винт. Поясните, зачем нужен этот винт?

41. Как можно найти емкость сосуда, используя только весы и набор гирь?

42. Цилиндрический стакан до краёв наполнен жидкостью. Каким образом содержимое стакана разделить на две равные части, имея меньший сосуд произвольной формы?

43. Определите диаметр мяча линейкой.

44. Автомобиль спускается с горы с выключенным двигателем. За счет какой энергии движется автомобиль при этом?

45. Два шара разной массы, имеющие одинаковые кинетические энергии летят навстречу друг другу. В какую сторону они полетят после абсолютно неупругого столкновения? Удар лобовой.

46. Можно ли по графику зависимости пути от времени найти среднюю скорость движения м.т. по траектории?

47. Изменится ли ускорение машины, если она совершает крутой поворот с постоянной скоростью, по сравнению с ее ускорением на закруглении большего радиуса?

48. Чем отличается кинетическая энергия вращательного движения тела от кинетической энергии его поступательного движения?

49. Почему контактный провод трамвайной линии всегда идет зигзагом, а не параллельно рельсам?

50. Под каким углом разлетятся два одинаковых упругих шара после центрального удара, если один из них до удара покоился?

Контрольные вопросы

1. Дайте характеристику основных физических понятий кинематики.

2. Назовите четыре типа взаимодействий современной физики.

3. Чем характеризуется положение материальной точки в пространстве?

4. В чем различие вектора перемещения и расстояния, пройденного м.т. по траектории при ее движении?

5. Физический смысл мгновенной скорости. Как направлен вектор мгновенной скорости?

6. Физический смысл мгновенного ускорения. Как направлен вектор мгновенного ускорения?

7. Физический смысл нормального, тангенциального, полного ускорения. Как направлено каждое из них?

8. В чем заключается физический смысл угловой скорости?

9. Как связаны линейная и угловая скорости в векторном виде?

10. Что такое сила?

11. Что такое импульс м.т. (тела)?

12. Сформулируйте закон всемирного тяготения и его границы применения.

13. Преобразования Галилея и принцип относительности.

14. Принцип независимости действия сил.

15. Что такое энергия?

16. Что такое кинетическая энергия и как она связана с работой?

17. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

18. Cформулируйте теорему Штейнера-Гюйгенса.

19. Сформулируйте закон сохранения вектора момента импульса.

20. Запишите формулу работы тел при вращательном движении.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Тонкостенный цилиндр массой m = 12 кг, имеющий диаметр основания d = 30 см

Готовое решение: Заказ №8346

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 18.08.2020

Цена: 209 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

Тонкостенный цилиндр массой m = 12 кг, имеющий диаметр основания d = 30 см, вращается согласно уравнению j = A + Bt + Ct3. Здесь A = 4 рад, B = – 2 рад/с, C = 5 рад/с3. Определите действующий на цилиндр момент сил M в момент времени t = 3 с.

Основное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: , где – модуль момента равнодействующей сил, действующих на тело; – момент инерции тела; – угловое ускорение тела. Момент инерции тонкостенного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, равен:

• Маховик радиусом R = 10 см насажен на горизонтальную ось. На обод маховика намотан
• К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили.
• Диск радиусом R = 20 см и массой m = 7 кг вращается согласно уравнению j = A + Bt
• Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = A + Bt + Ct2

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Вращательное движение твердого тела: уравнение, формулы

В природе и технике мы часто сталкиваемся с проявлением вращательного движения твердых тел, например, валов и шестерен. Как в физике описывают этот тип движения, какие формулы и уравнения для этого применяются, эти и другие вопросы освещаются в данной статье.

Что такое вращение?

Каждый из нас интуитивно представляет, о каком движении пойдет речь. Вращение — это процесс, при котором тело или материальная точка движется по круговой траектории вокруг некоторой оси. С геометрической точки зрения ось вращения твердого тела — это прямая, расстояние до которой в процессе перемещения остается неизменным. Это расстояние называют радиусом вращения. Далее будем обозначать его буквой r. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то ее называют собственной осью. Примером вращения вокруг собственной оси является соответствующее движение планет Солнечной системы.

Вам будет интересно: Афронт — это ситуация, в которой не хочется оказаться

Чтобы вращение происходило, должно существовать центростремительное ускорение, которое возникает за счет центростремительной силы. Эта сила направлена от центра масс тела к оси вращения. Природа центростремительной силы может быть самой разной. Так, в космическом масштабе ее роль выполняет гравитация, если тело закреплено нитью, то сила натяжения последней будет центростремительной. Когда тело вращается вокруг собственной оси, роль центростремительной силы играет внутреннее электрохимическое взаимодействие между составляющими тело элементами (молекулами, атомами).

Вам будет интересно: Декабрист Оболенский Евгений Петрович: биография. Декабристские организации

Необходимо понимать, что без присутствия центростремительной силы тело будет двигаться прямолинейно.

Описывающие вращение физические величины

Во-первых, это динамические характеристики. К ним относятся:

• момент импульса L;
• момент инерции I;
• момент силы M.

Во-вторых, это кинематические характеристики. Перечислим их:

• угол поворота θ;
• скорость угловая ω;
• ускорение угловое α.

Кратко опишем каждую из названных величин.

Момент импульса определяется по формуле:

Где p — линейный импульс, m — масса материальной точки, v — ее линейная скорость.

Момент инерции материальной точки рассчитывается с помощью выражения:

Для любого тела сложной формы величина I рассчитывается, как интегральная сумма моментов инерции материальных точек.

Момент силы M вычисляется так:

Здесь F — внешняя сила, d — расстояние от точки ее приложения до оси вращения.

Физический смысл всех величин, в названии которых присутствует слово «момент», аналогично смыслу соответствующих линейных величин. Например, момент силы показывает возможность приложенной силы сообщить угловое ускорение системе вращающихся тел.

Кинематические характеристики математически определяются следующими формулами:

Как видно из этих выражений, угловые характеристики аналогичны по своему смыслу линейным (скорости v и ускорению a), только они применимы для круговой траектории.

Динамика вращения

В физике изучение вращательного движения твердого тела осуществляется с помощью двух разделов механики: динамики и кинематики. Начнем с динамики.

Динамика изучает внешние силы, действующие на систему вращающихся тел. Сразу запишем уравнение вращательного движения твердого тела, а затем, разберем его составные части. Итак, это уравнение имеет вид:

Момент силы, который действует на систему, обладающую моментом инерции I, вызывает появление углового ускорения α. Чем меньше величина I, тем легче с помощью определенного момента M раскрутить систему до больших скоростей за малые промежутки времени. Например, металлический стержень легче вращать вдоль его оси, чем перпендикулярно ей. Однако, тот же стержень легче вращать вокруг оси, перпендикулярной ему, и проходящей через центр масс, чем через его конец.

Закон сохранения величины L

Выше была введена эта величина, она называется моментом импульса. Уравнение вращательного движения твердого тела, представленное в предыдущем пункте, часто записывают в иной форме:

Если момент внешних сил M действует на систему в течение времени dt, то он вызывает изменение момента импульса системы на величину dL. Соответственно, если момент сил равен нулю, тогда L = const. Это и есть закон сохранения величины L. Для нее, используя связь между линейной и угловой скоростью, можно записать:

L = m*v*r = m*ω*r2 = I*ω.

Таким образом, при отсутствии момента сил произведение угловой скорости и момента инерции является постоянной величиной. Этот физический закон используют фигуристы в своих выступлениях или искусственные спутники, которые необходимо повернуть вокруг собственной оси в открытом космосе.

Центростремительное ускорение

Выше, при изучении вращательного движения твердого тела, уже была описана эта величина. Также была отмечена природа центростремительных сил. Здесь лишь дополним эту информацию и приведем соответствующие формулы для расчета этого ускорения. Обозначим его ac.

Поскольку центростремительная сила направлена перпендикулярно оси и проходит через нее, то момента она не создает. То есть эта сила не оказывает совершенно никакого влияния на кинематические характеристики вращения. Тем не менее, она создает центростремительное ускорение. Приведем две формулы для его определения:

Таким образом, чем больше угловая скорость и радиус, тем большую силу следует приложить, чтобы удержать тело на круговой траектории. Ярким примером этого физического процесса является занос автомобиля во время поворота. Занос возникает, если центростремительная сила, роль которой играет сила трения, становится меньше, чем центробежная сила (инерционная характеристика).

Кинематика вращения

Три основные кинематические характеристики были перечислены выше в статье. Кинематика вращательного движения твердого тела формулами следующими описывается:

θ = ω*t => ω = const., α = 0;

θ = ω0*t + α*t2/2 => ω = ω0 + α*t, α = const.

В первой строке приведены формулы для равномерного вращения, которое предполагает отсутствие внешнего момента сил, действующего на систему. Во второй строке записаны формулы для равноускоренного движения по окружности.

Отметим, что вращение может происходить не только с положительным ускорением, но и с отрицательным. В этом случае в формулах второй строки следует перед вторым слагаемым поставить знак минус.

Пример решения задачи

На металлический вал в течение 10 секунд действовал момент силы 1000 Н*м. Зная, что момент инерции вала равен 50 кг*м2, необходимо определить угловую скорость, которую придал валу упомянутый момент силы.

Применяя основное уравнение вращения, вычислим ускорение вала:

Поскольку это угловое ускорение действовало на вал в течение времени t = 10 секунд, то для вычисления угловой скорости применяем формулу равноускоренного движения:

Здесь ω0 = 0 (вал не вращался до действия момента сил M).

Подставляем в равенство численные значения величин, получаем:

ω = 1000/50*10 = 200 рад/с.

Чтобы это число перевести в привычные обороты в секунду, необходимо его поделить на 2*pi. Выполнив это действие, получаем, что вал будет вращаться с частотой 31,8 об./с.