У кого есть лекции дифференциальные уравнения

Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Департамент образования и науки Приморского края

Краевое государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Региональный технический колледж»

Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА

Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины

Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.

Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.

Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.

Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.

— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2)для любого начального условия у(х ₀ ) = у ₀ такого, что (х ₀ ;у ₀ ) , существует единственное значение С=С ₀ , при котором решение у=(х,С ₀ ) удовлетворяет заданному начальному условию.

О: Всякое решение у=(х,С ₀ ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С ₀ , называется частным решением.

О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х ₀ ;у ₀ ).

2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

О: Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющими переменными.

Если f ₂ ( x ) ≠ 0 и ₁ ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде

В результате почленного интегрирования получаем

Пример 1. Решить уравнение у’ = .

Решение. f ₂ ( x ) = x , ₁ ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С ₁ |, С ₁ 0 или = + С ₁ .

Потенцируя, находим | у| = | С ₁ | |х |, что эквивалентно уравнению у = С ₁ х. Полагая С ₁ = С, окончательно получаем у = Сх.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.

Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,

Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.

Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим

y = — x ydy = — xdx.

Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.

Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С

С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных

= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .

Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим

= — 3х + или у = С ₁ е -3х = С е -3х .

Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем

С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С ₂ , где С ₂ – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С ₂ ) е -3х или у = е 2х + С ₂ е -3х .

Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()

Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .

Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;

u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь

x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .

Решим оставшееся уравнение:

x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.

Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .

Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если у ₁ (х) и у ₂ (х) — два линейно независимых частных решения уравнения ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0, то у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂ есть общее решение этого уравнения (С ₁ и С ₂ — произвольные постоянные ).

Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0

может быть найдено в виде у = е kx .

Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим ₀ k 2 e kx + ₁ k e kx + ₂ e kx = 0 e kx ( ₀ k 2 + ₁ k + ₂ ) = 0.

Поскольку е kx 0, то ₀ k 2 + ₁ k + ₂ = 0.

Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx

будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.

Случай 1. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и различны ( k ₁ k ₂ ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у ₁ = ; у ₂ = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С ₁ + С ₂ .

Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k ₁ = 1; k ₂ = 2 y = C ₁ e x + C ₂ e 2 x .

Случай 2. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k ₁ = k ₂ = k = — ( D = 0).

В этом случае общее решение имеет вид:

у = C ₁ e kx + C ₂ х e kx = ( C ₁ + C ₂ x ) e kx .

Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k ₁ = k ₂ = 1 действительные и равные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения

у ₁ = е х , у ₂ = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид

у = С ₁ е х + С ₂ х е х = е х ( С ₁ + С ₂ х ).

Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k ₁ = 2 + 3 i , k ₂ = 2 – 3 i — комплексные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у ₁ = е 2х cos 3 x , y ₂ = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид

у = е 2х ( С ₁ cos 3 x + C ₂ sin 3 x ).

У кого есть лекции дифференциальные уравнения

Лекция 13. Дифференциальные уравнения и методы их решения

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Основные понятия и определения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Линейные уравнения второго порядка.

Изучение данных вопросов необходимо для изучения динамики точки, твердого тела и системы.

Основные понятия и определения.

Дифференциальным называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Обыкновенным называется такое дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит от одного аргумента, например,

x » t +2 b x ‘ t + k 2 x t = B

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в него (уравнение (1) – уравнение второго порядка). Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в это уравнение последнее обращается в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется любое из возможных его решений. Например, подстановкой в уравнение (1) значения x = А легко убедиться, что оно обращается в тождество при x = А = В/ k 2 . Это и есть одно из его частных решений.

Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность всех его частных решений . Если уравнение второго порядка является интегрируемым, т.е. его общее решение можно записать в известных функциях, то оно будет иметь вид: x = φ ( t , C 1 , C 2 ) , где С ₁ и С₂ – некоторые постоянные, x – искомая функция аргумента t . Разные значения С ₁ и С₂ дают разные частные решения . В механике обычно требуется найти частное решение дифференциального уравнения, у которого при t = t 0 , x = x 0 , x ‘ = V 0 . С этой целью данные подставляются в общее решение. В результате для определения постоянных С ₁ и С₂ получается два уравнения

x 0 = φ 0 ( t 0 , C 1 , C 2 ), V 0 = φ ‘ ( t 0 , C 1 , C 2 ).

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Если дифференциальное уравнение может быть представлено в виде Р ( x ) dx = Q ( t ) dt , где функция Р ( x ) зависит только от x , а функция Q ( t ) зависит только от t , то говорят, что переменные разделяются. В этом случае имеем

P x dx = Q t dt + C .

Пример 1. Точка движется прямолинейно со скоростью V = gt ( V в м / c , t в c ). Найти закон ее движения, если при t = 0 x ₀ = 1 м.

V = dx dt , то dx dt = gt

и движение точки описывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: dx = gtdt . В результате интегрирования получаем: x = gt 2 / 2 + C . Подставив в это уравнение начальное условие x ₀ = 1 м при t = 0, получим: С = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид: x = ( gt 2 /2 + 1) м.

Пример 2. Точка движется прямолинейно со скоростью V = 5x ( м/ c ). Найти закон движения точки, если при t = 0 x ₀ = e ( м) .

V = dx dt , то dx dt =5 x и dx x =5 dt .

В результате интегрирования получаем: ln x = 5 t + C . Используя начальные данные, находим постоянную : С = ln e = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид x = e 5 t +1 ( м) .

Линейные уравнения второго порядка.

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение вида

x » t + P ( t ) x ‘ t + Q ( t ) x t = R ( t ) (2)

Если правая часть в этом уравнении равна нулю, т.е. R ( t ) = 0, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения (2) x ( t ) складывается из общего решения x ₁ ( t ) соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения x ₂ ( t ) неоднородного уравнения (2)

Для выполнения индивидуальных заданий необходимо уметь решать дифференциальное уравнение вида

x » t +2 b x ‘ t + k 2 x t = R t (4)

которое является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения дифференциального уравнения (4) необходимо знать общее решение однородного линейного уравнения

которое ищется в виде x = x 1 = e λt . В результате его подстановки в уравнение (5) получается характеристическое уравнение

λ 2 =2 b λ + k 2 =0 . (6)

При решении данного уравнения возможны три случая:

1) k b , когда характеристическое уравнение (6) имеет два неравных действительных корня λ 1,2 =- b ± b 2 — k 2 . В этом случае имеется два линейно независимых решения и общее решение уравнения (5) является их линейной комбинацией

x 1 = C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t ; (7)

2) k = b, когда характеристическое уравнение (6) имеет два равных корня λ 1 = λ 2 =- b . Общее решение тогда имеет вид

x 1 = C 1 e λ 1 t + C 2 t e λ 2 t x ₁ ; (8)

3) k > b , когда характеристическое уравнение (5) имеет два комплексных корня λ 1,2 =- b ± b 2 — k 2 = — b ± i k 1 . Общее решение уравнения (5) снова является линейной комбинацией соответствующих частных

x 1 = C 1 e — bt + i k 1 t + C 2 e — bt — i k 1 t = e — bt ( C 1 e i k 1 t + C 2 e — i k 1 t ) . (9)

Далее, используя формулу Эйлера, e iα = cosα + isinα , можно показать, что решение (9) сводится к следующему

x 1 = e — bt ( D 1 sin k 1 t + D 2 cos k 1 t ) , (9а)

где D ₁ , D ₂ – некоторые постоянные.

В частном случае, когда b = 0 и k ≠0 , общее решение уравнения (5) принимает вид

x 1 = D 1 sin k 1 t + D 2 cos k 1 t . (10)

Для нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения (4) необходимо еще найти какое-либо его частное решение. В индивидуальных заданиях встречаются варианты, в которых R ( t )= A = const и R ( t )= Acos ( pt + α ). В первом случае частное решение уравнения (4) можно искать в виде x 2 = B = const . Действительно, подставив это выражение в уравнение (4), убеждаемся, что при B = A / k 2 оно удовлетворяется при любом t .

В случае, когда R ( t )= Acos ( pt + α ) и p ≠ k , частное ре шение можно искать в виде: x 2 = Kcos ( pt + β ) , где K и β – постоянные . Если же R ( t )= Acos ( pt + α ), но p = k , частное решение следует искать в виде x 2 = Ktcos ( pt + β ) .

Пример 3. Решить уравнение x + ω 2 x =h sinpt . Однородное уравнение здесь имеет решение (см. (10)) x 1 = D 1 sinωt + D 2 cosωt . Частное решение при p ≠ ω ищем в виде: x 2 = Ksin pt . Подставляя это выражение в уравнение и учитывая, что x 2 =- K p 2 sinpt , находим: K =h/( ω 2 — p 2 ) . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид