У симметрического уравнения корней равных нулю нет

Математика. Симметрические уравнения и примеры их решения.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

— У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

— У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид ах 4 + bx 3 + сх 2 + bх + a = 0.

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х 2 . Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду: а(x 2 + 1/x 2 ) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Если теперь выразить x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение: аt 2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

Пример.

6х 4 – 5х 3 – 38x 2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0.

6(х 2 + 1/х 2 ) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2 ) = t 2 – 2, имеем:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

х 2 – 10/3 х + 1 = 0;

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №3 им. П.А.Столыпина г. Ртищево Саратовской области»

«Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Ракурс: математический объект

Быков Максим, ученик 9А класса

МОУ «Лицей № 3 им. П.А.Столыпина

г. Ртищево Саратовской области»

Мрыхина Маргарита Владимировна, учитель математики 1 категории

2.1 Симметрические многочлены

2.2 Применение симметрических многочленов в решении задач

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

2.4 Симметрические системы уравнений

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.

Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей и еще под словом «симметрия» понимается неизменность при какой либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений. Математики издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Понятие симметрии в школьном курсе математики изучается на уроках геометрии. Мне стало интересно: а есть ли симметрия в алгебре? Захотелось узнать и понять, как это математическая формула или уравнение является симметричными?

При подготовке к ОГЭ по математике при решении заданий второй части мы встречаемся с решением симметрических уравнений и систем уравнений и

чтобы поглубже разобраться в этом материале я и выбрал тему своей исследовательской работы «Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Проблема: выяснить, как проявляется симметрия в алгебраических выражениях, уравнениях и системах уравнений

―Рассмотреть, какие выражения, уравнения и системы уравнений являются симметричными и каковы их способы решения.

―потренироваться в решении симметрических уравнений и систем уравнений

Актуальность моего исследования состоит в том, что те знания, которые я получил, я могу применять для решения более сложных задач в математике при подготовке к ОГЭ

―изучить необходимую литературу по выбранной теме

―ввести понятие симметрических многочленов, уравнений и систем уравнений

―рассмотреть решение практических заданий с симметрическими многочленами, рассмотреть решение симметрических уравнений и систем уравнений

― подготовить презентацию и поделиться ею с одноклассниками

2.1. Симметрические многочлены

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен х 2 у+ху 2 — симметрический. А многочлен x 3 + 3y 2 не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y 3 + 3x 2 , который не совпадает с первоначальным. Приведу важнейшие примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. x + y = y + x для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим. Точно так же из переместительного закона умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Симметрические многочлены

x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y.

Симметрическими являются следующие алгебраические выражения:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a+d) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

(a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 , такназываемыебиномы .

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметриейотносительно вертикальной оси, проходящей через его вершину

2.2. Применение симметрических многочленов в решении задач

Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.

Квадратное уравнение х 2 +рх+ q =0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая этого уравнения, выразить через р и q сумму х₁ 2 +х₂ 2 .

Выражение х₁ 2 +х₂ 2 ― симметрическое относительно х₁ и х_2.

Дано квадратное уравнение x 2 + 6x − 10 = 0; составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней данного уравнения.

Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через x₁ и x₂, корни искомого — через y₁ и y₂, а коэффициенты искомого уравнения — через p и q. По теореме Виета x₁ + x₂ =− 6, х₁х₂= −10 и, также,

По условию задачи, имеем y₁= x₁ 2 , y₂= x₂ 2 , и потому

Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид:

у 2 − 56y + 100 = 0.

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

В алгебре есть множество различных симметрических уравнений, степень которых 3 и выше. Я остановлюсь на некоторых из них.

1) Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+b называется симметрическим, например (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40. Решение такого уравнения заключается в следующем: надо перемножить скобки, для которых выполняется условие а+ d = c + b , т.е. (х+1) умножим на (х+5), а (х+2) умножим на (х+4), тогда уравнение примет вид:

(х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40

Пусть у=х 2 +6х, тогда получим (у+5)(у+8)=40, у 2 +9у+40−40=0,

у(у+9)=0, откуда у=0 и у=−9

Произведя обратную замену, получим два уравнения

х 2 +6х=0 и х 2 +6х=−9, решая которые получим что х₁=0, х₂=−6, х₃=−3.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа: −6; −3; 0.

2) Уравнения вида ах 3 +bх 2 +bх+а=0, где а≠0 также называется симметрическим .

Часто решение таких уравнений сводится к преобразованию левой части этого уравнения в произведение.

Рассмотрим решение уравнения х 3 +2х 2 +2х+1=0

(х 3 +1)+(2х 2 +2х)=0, (х+1)(х 2 −х+1)+2х(х+1)=0, (х+1)(х 2 −х+1+2х)=0

(х+1)(х 2 +х+1)=0, откуда получим, что корнем уравнения является число −1.

При решении симметрических уравнений полезно знать следующее:

У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень равный ―1.

У симметрических уравнений корней, равных нулю нет.

Если степень уравнения выше, чем 3, то способ решения другой .

Уравнение вида ах 4 + b х 3 +сх 2 + b х + а =0, где а≠0 − это симметрическое уравнение

2х 4 +7х 3 +9х 2 +7х+2=0.

Т.к. х=0 не является корнем уравнения, то разделим уравнение на х 2 , получим

2(х 2 + ) + 7 (х+ ) +9=0. Введем замену у= х+ , тогда х 2 + = у 2 −2, получим:

2у 2 +7у+5=0, это квадратное уравнение, его корни будут у₁=−1 и у₂=−2,5

Выполним обратную замену:

Решая эти уравнения, окончательно получим, что х=2 и х=0,5.

2.4. Симметрические системы уравнений

Система называется симметрической, если f(x, y) и g(x, y) — симметрические многочлены. Для решения симметрических систем пользуются заменой u = x + y, v = xy.

Решим систему уравнений:

Введем замену х+у= u , ху= v , получим

2 u =12, u =6, тогда v =5.

Выполним обратную замену:

Х=6―у, тогда ( 6―у )·у=5, решая это уравнение, получим у=5 и у=1, тогда соответственно х=1, у=5.

Рассмотрим решение системы :

Заменим х+у = u , ху = v , получим

Решая первое уравнение системы, получим v = ―4 и v =―3, тогда соответственно u =―1 и u =―2.

Выполняя обратную замену, получим совокупность систем

Рассмотрим следующую систему:

Введем замену х+у= u , ху= v

(х+у) 2 =х 2 +2ху+у 2 х 2 +у 2 = (х+у) 2 −2ху= u 2 −2 v , тогда получим

U 2+ u -72=0, откуда u =8 u = -9, тогда соответственно v=15, u=32.

Делая обратную замену, получим совокупность систем

Ответ: (3 ; 5 ), ( 5; 3 )

Выполняя данную работу, я узнал, что такое симметрические многочлены, уравнения, системы уравнений, остановился на решении некоторых симметрических уравнений и систем уравнений. Укрепил свои знания в решении симметрических уравнений и систем уравнений. Это позволит мне более качественно подготовится к выполнению заданий 2 части ОГЭ по математике.

Практическая значимость данной работы заключается в следующем:

я, изучив данный вопрос, получил дополнительные знания в области математики, укрепил свой интерес к этой науке.

Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. — М.: Наука, 1967.

Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. — М.: Наука, 1971.

Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. — М.: АСТ-Пресс, 2001.

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.

Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].

Если то поделим уравнение на и сделаем замену . В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.

Пример №189.

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:

Решим симметрическое уравнение 4-й степени

Поделим для этого обе части уравнения на :

Обозначим у = x + (1/x), тогда

Выполняя обратную подстановку, получаем

Объединяя полученные решения, приходим к ответу:

Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е.

Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.

Если , то делением обеих частей уравнения на и заменой получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.

Пример №190.

Решить уравнение

Решение:

Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на :

Перепишем последнее уравнение в виде

Положим у = х — (1/x), тогда получим

Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения

Пример №191.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

на промежутке имеет не менее двух корней.

Решение:

Так как , то делением уравнения на , группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение

Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке от до , то исходное уравнение имеет не менее двух корней на тогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня т.е. когда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института