Убедитесь что волновому уравнению удовлетворяет плоская волна

Убедитесь что волновому уравнению удовлетворяет плоская волна

уравнение плоской волны

Задано уравнение плоской волны ξ(х,t) = Acos(ωt–kx), где A = 0,5 см, ω = 628c –1 , k = 2 м –1 . Определить: 1) частоту колебаний ν и длину волны λ ; 2) фазовую скорость θ; 3) максимальные значения скорости _max и ускорения _max колебаний частиц среды.

Показать, что выражение ξ(х,t) = Acos(ωt–kx) удовлетворяет волновому уравнению при условии, что ω = kv.

Убедитесь, что волновому уравнению удовлетворяет плоская волна ξ(x, t) = A cos(ω(t–x/υ)+φ₀).

Задано уравнение плоской волны: ξ(х, t) = a cos (ωt–kx+π/2). Изобразить графически смещения точек среды ξ₁(λ/2, t) и ξ₂(x, Т/2). Где dξ₁/dt и dξ₂/dx максимальны?

Плоская волна описывается уравнением: h = 5cos(pt/2–pх) м, где t – время, а x – координата. Найти фазовую скорость волны.

Максвелл ввел понятие полного тока,равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения.Плотность полного тока 4 страница

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что T= 1/n, где n — частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охва­тывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в про­стейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуетсявектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называетсявектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распрост­ранения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то сме­щение x будет зависеть только от x и t, т. е. x = x (x, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0,описываются функцией x(0, t) = A cos wt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

(154.1)

откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) естьуравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случаеуравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(154.2)

где А = const —амплитуда волны,w— циклическая частота, j₀ — начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w (t—x/v)+ j₀] —фаза плоской волны.

Для характеристики волн используетсяволновое число

(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

(154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140). Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

(154.5)

Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим откуда

(154.6)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентричес­ких сфер, записывается как

(154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справед­ливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

(154.8)

Если фазовая скорость воли в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

(154.9)

где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Решением урав­нения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

(154.10)

§ 155. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн.Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dw 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (рас­тяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука (или силой звука) называется величина, определяемая сред­ней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

Единица интенсивности звука в СИ —ватт на метр в квадрате (Вт/м 2 ).

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсив­ностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая(порог слышимости)и наибольшая(порог болевого ощущения)интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, являетсяобластью слышимости.

Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей вол­новой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсив­ностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

где I₀ — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10 –12 Вт/м 2 . Величина L называетсяуровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами (дБ).

Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который вы­ражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует »90 фон, а шепот на расстоянии 1м — »20 фон.

Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутству­ют колебания отделенных друг от друга определенных частот).

Звук характеризуетсяпомимо громкости еще высотой и тембром.Высота зву­ка — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определен­ными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемоетембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустичес­кий спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.

Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).

Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле

(158.1)

где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса, g=С_р/С_V — отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, Т — термодинами­ческая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T=273 К скорость звука в воздухе (M=29×10 –3 кг/моль) v=331 м/с, в водороде (M=2×10 –3 кг/моль) v=1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опытным данным.

При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд фак­торов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).

Для акустики помещений большое значение имеет реверберация звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источ­ника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглоща­ющих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллион раз, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5—1,5 с.

S 159. Эффект Доплере в акустике

Эффектом Доплера* называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых коле­баний.

* X. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном.

Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; v_ист и v_пр — соответственно скорости движе­ния источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v₀.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. v_ист = v_пр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среда, то длина волны l=vT=v/v₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v₀, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. v_пр>0, v_ист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + v_пр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v+v_пр)/v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к преемнику, а приемник покоится, т. е. v_ист >0, v_пр=0.

Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направле­нии к приемнику расстояние vT (равное длине волны l) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v_истT (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной l‘=l—v_истТ=(v—v_ист)T, тогда

т. е. частота n колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v – v_ист) раз. В случаях 2 и 3, если v_ист

Дата добавления: 2015-01-02 ; просмотров: 619 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

2.5. Сферические волны

В предыдущих разделах мы рассматривали специальный тип волн: фаза

зависела только от координаты х.

Волновой фронт — это нестационарная поверхность, во всех точках которой фаза волны имеет одно и то же постоянное во времени значение.

Для изученных нами волн колебания среды одинаковы во всех точках плоскости, ортогональной направлению распространения волны (мы выбрали его в качестве оси х). Иными словами, фронт волны является плоскостью, параллельной плоскости, содержащей оси у, z. Фронт бегущей волны перемещается с течением времени вдоль оси х с фазовой скоростью v. Такие волны называются плоскими.

Трехмерное волновое уравнение

Пусть мы по-прежнему имеем дело с плоской волной. Повернем координатные оси так, чтобы направление распространения волны задавалось каким-то единичным вектором n. Решение, очевидно, имеет вид:

Соотношения между , k и остаются прежними.

Волновой вектор — это вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны:

Фронт волны – плоскость, ортогональная волновому вектору k, – движется со скоростью v, оставаясь параллельным самому себе.

Найдем уравнение, которому удовлетворяет решение (2.65). Дважды дифференцируем выражение (2.65) по координатам х, у, z:

Складывая эти три уравнения, находим:

Вторая производная решения по времени имеет вид:

получаем из (2.67), (2.68):

Выражение в скобках в левой части уравнения является дифференциальным оператором, который называется лапласианом (или оператором Лапласа) и имеет специальное обозначение .

Записываем волновое уравнение для волн в трехмерном пространстве в окончательной форме:

Если волновая функция и зависит только от одной координаты (скажем, х), то лапласиан превращается во вторую производную по x, и мы возвращаемся к прежней форме волнового уравнения.

Подчеркнем, что не есть греческая буква («дельта»), а u не есть приращение величины u, но сумма вторых ее производных по координатам.

Но волновое уравнение (2.70) имеет и другие решения, нежели плоские волны. Простым дифференцированием можно убедиться, что сферическая волна

удовлетворяет волновому уравнению. Фронт волны является сферой с центром в месте расположения источника колебаний (r = 0), причем радиус сферы увеличивается со скоростью v.

Действительно, поверхность постоянной фазы дается уравнением

дифференцируя которое, находим

Амплитуда сферической волны

убывает с увеличением расстояния до точки наблюдения. Интенсивность волны

убывает по закону обратных квадратов. Это, как и закон Кулона, также связано с трехмерностью нашего пространства. Если среда не поглощает излучение, то поток энергии через поверхность сферы одинаков для сфер любых радиусов, окружающих источник излучения. Поскольку площадь сферы равна 4pr 2 , то энергия, проходящая через единицу площади, обратно пропорциональна r 2 .

Стоя у полотна железной дороги, можно наблюдать следующее явление: сигнал приближающейся электрички резко меняет свой тон (частоту) в момент прохождения электрички мимо наблюдателя. Это же явление может заметить наблюдатель, сидящий в поезде и проезжающий мимо сигналящего автомобиля, стоящего на переезде.

На рис. 2.18 демонстрируется аналогичное явление при движении вертолета мимо наблюдателя.

Рис. 2.18. Изменение тона звука при движении вертолета мимо наблюдателя

Эффект Доплера — это изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя.

Эффект назван по имени австрийского физика X. Доплера, предсказавшего его теоретически в 1842 г.

Движущийся наблюдатель, покоящийся источник звука. Пусть имеется источник звука, испускающий сферические звуковые волны. На рис. 2.19 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней (максимумов) звуковых волн. Пусть волна имеет частоту , тогда расстояние между гребнями равно длине волны

Рис. 2.19. Эффект Доплера при движении наблюдателя

Наблюдатель А движется прямо на источник звука со скоростью . Поэтому гребни волн приближаются к нему с увеличенной скоростью . С каждым последовательным гребнем волны наблюдатель встретится через время

после предыдущего. Следовательно, для него изменяется период колебаний. Наблюдаемая частота волны равна

Наблюдатель В удаляется по прямой линии от источника с той же скоростью (предполагаем, что , наблюдатель, удаляющийся от источника со сверхзвуковой скоростью, «убежит» от волны и вообще не услышит звука). Значит, гребни волн приближаются к нему со скоростью , и период колебаний равен

Отсюда получаем для наблюдаемой частоты:

Наконец, пусть наблюдатель Р движется со скоростью v_H, составляющей угол с направлением на источник. На сдвиг частоты влияет только компонента скорости вдоль линии, соединяющей наблюдателя и источник:

Предыдущие формулы (2.72) и (2.73) для частных случаев получаются отсюда при и , соответственно.

На рис. 2.20 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера для случая покоящегося источника звука и движущегося наблюдателя.

Рис. 2.20. Моделирование эффекта Доплера при движении наблюдателя

Движущийся источник звука, покоящийся наблюдатель. Пусть теперь наблюдатель неподвижен, а звуковые волны испускаются источником, движущимся со скоростью . На рис. 3.21 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней звуковой волны, отмеченных цифрами черного цвета 1, 2, 3, 4.

Рис. 2.21. Эффект Доплера при движении источника

Эти гребни были испущены, когда источник звука находился в точках, отмеченных цифрами красного цвета 1, 2, 3, 4, соответственно. Иначе, точка 1 является центром сферы 1, точка 2 — центром сферы 2 и т. д. Видно, что центры соседних сфер смещаются на расстояние, проходимое источником за период колебаний

Это приводит к изменению расстояния между гребнями волн, приходящих к наблюдателю. Следовательно, наблюдатель регистрирует иную длину волны.

Наблюдатель А расположен так, что источник движется прямо на него. Для этого наблюдателя расстояние между гребнями волн уменьшается и равно

Скорость волны не зависит от движения источника, поскольку определяется свойствами среды. Следовательно, имеем обычную связь между длиной волны и ее фазовой скоростью:

Подставляя эти соотношения в (2.75), получаем

откуда находим частоту n звука, воспринимаемого наблюдателем А:

Для наблюдателя В расстояние между гребнями волн увеличивается и равно

Аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для частоты звуковой волны:

Наконец, для наблюдателя Р, направление на которого составляет угол со скоростью источника, выражение для частоты имеет вид:

Предыдущие выражения получаются отсюда при и , соответственно.

Пример 1. Наблюдатель, стоящий на платформе железной дороги, слышит гудок проходящего мимо поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна , а когда поезд удаляется — . Определим скорость поезда V и собственную частоту гудка . Скорость звука v предполагается известной.

При скорости поезда V, скорости звука v и собственной частоте колебаний частота , воспринимаемая при приближении поезда, равна

При удалении поезда воспринимаемая частота звука равна

Разделив первое соотношение на второе, получаем:

Отсюда находим скорость поезда:

Подставляя скорость поезда в выражение (2.79), получаем оттуда:

На рис. 2.22 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера в случае движущегося источника звука и покоящегося наблюдателя.

Рис. 2.22. Моделирование эффекта Доплера при движении источника

Движущийся источник звука, движущийся наблюдатель. Из полученных формул можно сделать общие выводы:

Выражение (2.84) явным образом нарушает принцип относительности Галилея. В самом деле, скорость сближения источника и наблюдателя есть сумма соответствующих проекций скоростей:

Согласно принципу относительности, все наблюдаемые эффекты должны зависеть только от . Формула же (2.84) позволяет отделить движение наблюдателя от движения источника. Для иллюстрации рассмотрим три примера. Спешим успокоить читателя: это кажущееся недоразумение, его разъяснение приведено ниже в конце рассмотрения примера 4. С принципом Галилея всё в порядке.

Пример 2. Сирена полицейской машины, стоящей на обочине дороги, издает сигнал на частоте 1 000 Гц. Определим, какой частоты звук услышит водитель, проезжающий мимо со скоростью 80 км/час.

В данном случае скорость автомобиля V = 80 км/час = 22.2 м/с — это скорость наблюдателя. Скорость звука . При сближении с полицейской машиной водитель воспринимает звук частотой

После того как водитель миновал полицейскую машину, воспринимаемая частота становится равной

Пример 3. Водитель стоящей на обочине дороги машины замечает проезжающий мимо полицейский автомобиль с включенной сиреной. Найдем частоту звука, который слышит водитель, если скорость полицейского автомобиля равна 80 км/час. Полицейская сирена – та же самая, что и в предыдущем примере.

Здесь скорость V = 22.2 м/с — это скорость движения источника. При приближении полиции водитель слышит сигнал частотой

При удалении частота воспринимаемого сигнала равна

Пример 4. Те же машины едут навстречу друг другу с равными скоростями 40 км/час = 11.1 м/с. Найдем частоты звукового сигнала при сближении и при удалении машин.

Применяем формулу (2.84). При сближении воспринимается звук частотой

При удалении машин сирена для водителя звучит на частоте

Во всех трех случаях получились разные результаты, хотя каждый раз скорости сближения (удаления) наблюдателя и источника были теми же самыми. В то же время численные результаты близки друг к другу. Это объясняется тем, что скорости автомобилей в задаче малы по сравнению со скоростью звука. В этом случае в формуле (2.84) можно пренебречь членами

и более высоких степеней. Преобразуем (2.84):

Пренебрегая теперь слагаемыми, содержащими отношения квадратов скоростей, находим приближенное выражение:

В (2.85) частота зависит только от относительной скорости источника и наблюдателя. Если бы формула была точна, во всех трех задачах мы получили бы один и тот же ответ:

Формула (2.85) удовлетворяет принципу относительности Галилея, но она верна, строго говоря, только при бесконечно большой скорости сигнала. Нарушение принципа относительности Галилея связано с наличием среды. Действительно, при движении тел в среде можно отличить состояние покоя от прямолинейного равномерного движения хотя бы по возникающему при движении ветру. Поэтому системы отсчета при наличии среды не равноправны: из них выделена та, в которой среда как целое покоится.

Рассмотрим теперь случай, когда источник звуковых волн движется со скоростью, превышающей скорость звука: . Пусть в момент времени t = 0 источник был в точке S₀, а в момент t он находится в точке S_t (рис. 2.23). Расстояние между этими точками равно .

Рис. 2.23. Образование конуса Маха при сверхзвуковом движении источника

В каждой точке своей траектории (для простоты мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение) источник испускал сферические звуковые волны. Волна, испущенная в момент t = 0, к текущему моменту времени t достигла точки А. Волны, испущенные на пути от S₀ до S_t ,успели пройти меньшие расстояния. Как видно из рис. 2.23, в данный момент времени имеется коническая поверхность (ее называют конусом Маха), касательная к фронтам всех испущенных сферических волн. Эта коническая поверхность начинается от источника звука, а ее ось совпадает с направлением движения источника. Конус Маха отделяет области пространства, куда дошел звук от источника, от тех областей, куда звук не успел еще дойти. В следующий момент времени источник переместится в точку . Соответственно переместится и конус Маха, захватив новые области пространства (показано пунктирной линией).

Синус угла раствора конуса определяется как отношение расстояния , пройденного звуковой волной за время t, к расстоянию , пройденного источником за то же время:

Коническую поверхность можно воспринимать как фронт волны (ее называют ударной). Направление распространения волны — это нормаль к фронту. Следовательно, ударная волна распространяется под углом

к направлению движения источника. Соответственно, (2.86) можно записать в виде:

Число Маха — это отношение , то есть скорости источника к скорости звука в данной среде.

Пример 5. Самолет летит горизонтально на высоте 5 000 м с постоянной скоростью. Наблюдатель заметил его у себя над головой, и засек время. Звук от самолета появился через 11 с после этого. Найдем скорость самолета и определим, на каком расстоянии по горизонтали находится самолет от наблюдателя в момент, когда последний зарегистрировал приход звука от него?

За время t самолет удалился от наблюдателя на расстояние . Так как в этот момент звук достиг наблюдателя, то точка наблюдения оказалась на конусе Маха (рис. 2.24).

Рис. 2.24. К примеру 5. О пролете сверхзвукового самолета. Пунктирная линия – положение конуса Маха
в момент пролета самолета над головой, сплошная – конус Маха в момент,
когда звук дошел до наблюдателя