Учебник 5 класса по математике виленкин уравнения

Учебник Математика 5 класс Виленкин Жохов

(титло), который писали над буквой. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв — десятки, а последние девять букв — сотни, число десять тысяч называли словом «тьма» (мы и теперь говорим «народу — тьма тьмущая»). Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли её у индусов. Поэтому цифры, которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы — «индийскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году онглийским учёным-иутешественником Аделардом. К 1600 году она была принята в большинстве стран мира. Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать означает «семь на десять», семьдесят — «семь десятков», а семьсот — «семь сотен». До сих пор используются и римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже около 2500 лет тому назад. I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, С — 100, D — 500, М — 1000. 32 Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как10 + 10 + 5 + + 1 + 1 = 27. Если меньшая по значению цифра (I, X, С) стоит перед большей, то её значение вычитается. Например, IV означает 4 (5 — 1 = 4), IX означает 9 (10 — 1 = 9), хс означает 90. Таким образом, число MC/viLXXXix означает 1989, так как 1000 + (1000 — 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 — 1) = 1989. В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книги, месяцев гоба, бля обозначений дат значительных событий, годовщин. Для вычислений запись чисел с помо^цью римских цифр неубобна. В этом вы можете убедиться сами, если попробуете выполнить, например, сложение чисел CCXCVII U XLIX или беление числа CCXCVll на число IX. § 2. Сложение и вычитание натуральных чисел 6. Сложение натуральных чисел и его свойства Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число. Например, 6 + 1 = 7; 99 + 1 = 100. • Сложить числа 5 и 3 — значит прибавить к числу 5 три раза единицу. Получим: 5 + 3 = 5+1 + 1 + 1= 6+1 + 1= 7+1=8. Пишут короче: 5 + 3 = 8. Числа, которые складывают, называют слагаемыми-, число, получающееся при сложении этих чисел, называют их суммой. В записи 5 + 3 = 8 числа 5 и 3 — слагаемые, а число 8 — сумма. Сложение чисел можно изобразить на координатном луче (рис. 31). + 3 Рис. 31 2-Виленкйн. 5 кл. 33 + 4 Мы знаем следующие свойства сложения; I 1. Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых. Например; 5 + 4 = 9и4 + 5 = 9. Это свойство сложения называют переместительным (рис. 32). У I 2. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить ! первое слагаемое, а потом к полученной сумме — второе слагаемое. Например, 3 +(8 + 6) = 3+14 =17и (3 + 8)+ 6=11+6=17. Это свойство сложения называют сочетательным (рис. 33). У I 3. От прибавления нуля число не изменяется. Например, 9 + 0 = 9 (рис. 34). Так как 9 + 0 = 0 + 9, то и 0 + 9 = 9. Значит, ; если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное ; число. Вместо (5 + 9) + 7 пишут короче; 5 + 9 + 7. Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо. + (8 + 6) 0 12 3 6 7 8 9 10 11 12 1з7ГГ5’16 17 18 19 1_1 О J ^ 1 ■ ■ » « « у А- 1 1 X — 8 Рис. 33 + 6 0 1 12 3 4 —1 1 1 1 5 6 1 1 7 8 1 1_ 9 10 1 О Рис. 34 f о ; Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина всего отрезка АВ равна сумме ; длин его частей АС и СВ. Пишут; АВ = АС + СВ. У I Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого много-I угольника. Если в треугольнике АВС АВ = 3 см, ВС = 4 см и СЛ = 5 см, то периметр треугольника АВС равен 3 + 4 + 5, то есть 12 см. 34 Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы получилось следующее за ним число? Какие числа называют слагаемыми? > ф ф Л Что называют суммой двух чисел? • ^ в Сформулируйте переместительное свойство сложения. * в * Сформулируйте сочетательное свойство сложения. *в ^ Изменяется ли число, если к нему прибавить нуль? Чему равна сумма нуля и числа? Что такое периметр треугольника? 182. Найдите суммы: 999 + 1; 78 099 + 1; 999 999 + 1. 183. Найдите сумму 76 + 24. Сколько единиц надо прибавить к числу 76, чтобы получить 100? 184. Купили 3 кг картофеля, 3 кг свёклы, 4 кг моркови, 5 кг яблок, 6 кг капусты, 2 кг груш и 4 кг слив. Сколько было куплено килограммов овощей и сколько килограммов фруктов? 185. Две девочки собирали в лесу малину. Первая девочка собрала 1 кг 250 г малины, а вторая — на 300 г больше. Сколько граммов малины собрали две девочки вместе? 186. В одной пачке 23 книги и в ней на 8 книг меньше, чем во второй, а в третьей пачке на 6 книг больше, чем во второй. Сколько всего книг в трёх пачках? 187. В первый день собрали 127 т картофеля, что на 32 т меньше, чем во второй день. В третий день собрано на 40 т больше, чем в первый день. Сколько всего тонн картофеля было собрано за эти три дня? 188. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку С(6), отложите от этой точки вправо 5 единичных отрезков и отметьте точку D. Чему равна координата точки D? 189. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки М(7) и 7’(15). Сколько единичных отрезков надо отложить от точки М и в какую сторону, чтобы попасть в точку Т? 190. Изобразите на координатном луче сложение: 4 ч- 3; 4 Ч- 6; 4 ч- 8; 8 ч- 4. 191. Выполните действия: а) (457 ч- 705) ч- 295; б) 554 ч- (46 ч- 1425). 192. Вычислите сумму, выбирая удобный порядок выполнения действий: а) 385 -ь 548 -ь 615; б) 221 + 427 Ч- 373. 193. Вычислите: а) 458 ч- 333 Ч- 42 -Ь 67; б) 635 -ь 308 Ч- 1365 4- 392; © © © 2* 35 в) 411 + 419 + 145 + 725 + 87; г) 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19. 194. Представление числа 8903 в виде суммы 8000 + 900 + 3 называют разложением этого числа по разрядам. 8 9 0 3 8 0 0 0| + [9

0У| + [з1 Разложите по разрядам числа: 48; 304; 57 608; 735 882; 4 308 001; 54 985 019 247. 195. Какое число разложили по разрядам: а) 7 000 000 + 600 000 + 40 000 + 5000 + 300 + 20 + 7; б) 4 000 000 000 + 5 000 000 + 4? 196. Выполните сложение: а) 3 419 845 099 + 11 087 609 311; б) 94 029 547 608 + 8 997 684 513; в) 63 000 768 676 + 51 673 008; г) 3 245 983 754 + 188 976 233 467. 197. Замените звёздочки цифрами так, чтобы получились правильно выполненные примеры на сложение: а) 7*9*5 54*76 б) 68*43 + *195* в) **718* *0*0*0 84*6 + *59* *3*47 г) 71*28 + 2*9** **1200 198. В таблице указана стоимость (в млн рублей) продукции мебельной фабрики за январь, февраль и март. Заполните пустые клетки таблицы: Продукция Январь Февраль Март Всего Стулья 15 678 14 791 15 949 Столы 29 105 28 016 29 991 Тумбочки 14 528 13 752 14 710 Всего 199. Заполните пустые клетки таблицы: Фигуры Белые Серые Чёрные Всего Треугольники 25 17 51 Четырёхугольники 2 23 Всего 64 36 200. Какая из сумм — 18 + 24 или 18 + 35 — больше? Какая из сумм 18 + 24 или 21+35 — больше? Что происходит с суммой при увеличении слагаемых? А при их уменьшении? 201. Какая из сумм больше: 509 + 971 или 453 + 872? Ответьте, не выполняя вычислений. 202. Не вычисляя, расположите суммы в порядке возрастания: а) 78 + 65; г) 37 + 42; б) 78 + 42; д) 144 + 83. в) 144 + 65; 203. Докажите, что: а) 5000 + 7000 ^ч:>^-сяю-ч 90 -^12.0-^нЗК-^ЧГ)^ 215. Из чисел, оканчивающихся цифрой 5, выпишите такие, которые больше 160, но меньше 200. Л 216. Город был основан 8 веков назад. Строительство крепости в городе ^ продолжалось пятую часть времени его существования. Сколько лет строилась крепость? 217. Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел? 218. Как изменится двузначное число, если к нему приписать: а) два нуля; б) такое же число? 219. Составьте условие задачи, которая решается с помощью выражения: а) 120 + 35; 6)80 + 25 + 60; в) 140 — 50; г) 90 — 20 — 45. 220. Сравните числа, поставив вместо звёздочки знак : 375 * 383; 123 * 103; 3789 * 3798. 38 221. Выразите в килограммах; 3000 г; 15 000 г; 4 т; 17 ц. 222. Выразите в граммах: 5 кг 421 г; 6 ц 14 кг; 2 т 765 кг 123 г. 223. Начертите отрезок АВ длиной 7 см и отрезок CD, равный отрезку АВ. 224. На шкале времени деления обозначают один век: 1 II Ш IV V VI VII \Ш IX X о I II III IV \’ 1)1111 XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI I I I ( I I I ■■■»)) ) Покажите на шкале: а) начало и конец второго века; б) конец шестого века; в) седьмой век; г) середину двенадцатого века; д) первую половину семнадцатого века. 225. Сколько лет составляют два века? Полвека? Четверть века? Сколько веков составляют 300 лет? 500 лет? 1000 лет? 226. Сравните числа и запишите результат с помощью знака : 1) 800 106 и 98 004; 3) 4 603 172 и 4 603 181; 2) 706 051 и 3 300 011; 4) 707 837 и 707 829. 227. Выполните действия: 1) 256 + 44 • (135 — 86); 3) (1239 + 601) • (1521 — 1481); 2) 344 + 56 • (153 — 95); 4) (1203 — 1143) • (1176 + 394). 228. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются? Решение. Первой цифрой числа может быть любая из четырёх данных цифр, второй — любая из трёх других, а третьей — любая из двух оставшихся. Получается: Ж] первая цифра вторая цифра третья цифра |6||8||4||8||4||6| Всего из данных цифр можно составить 4 • 3 • 2 = 24 трёхзначных числа. 229. Школьники трёх классов помогали в уборке картофеля. Один ‘Л класс собрал 230 кг картофеля, другой — на 20 кг больше, чем первый, ^ но оба класса собрали вместе на 40 кг меньше, чем третий класс. Сколько килограммов картофеля было собрано тремя классами? SSS 39 230. Квартира состоит из трёх комнат. Первая комната на 5 м^ меньше второй, а вторая на 8 м^ меньше третьей. Найдите общую площадь трёх комнат, если площадь самой маленькой из них равна 10 м^. 231. Выполните действия, применяя сочетательное свойство сложения: в) 19 999 + (4801 + 15 200); г) 18 356 + (1644 + 2135). а) (7357 + 2848) + 5152; б) (54 271 + 39 999) + 10001; 232. Разложите по разрядам число: а) 7 008 001; б) 33 333. 233. Выполните сложение: а) 5 387 284 367 + 21 542 357 285 + 3 070 358 347; б) 278 504 247 961 — 33 869 029 453 + 87 696 632 596. 234. Вычислите стоимость товаров (в тыс. рублей), поступивших в отделы магазина за неделю. Такой же расчёт сделайте по всему магазину. Дни недели Отделы Всего по магазину Одежда Обувь Трикотаж Понедельник 650 450 330 Вторник 860 511 440 Среда 1320 802 510 Четверг 870 360 710 Пятница 1086 987 652 Суббота 980 564 382 Итого 235. Найдите число, оканчивающееся цифрой 7, если оно: а) больше 131 и меньше 141; б) меньше 457 и больше 437. 236. Найдите периметр треугольника КМР, если длина стороны КМ равна 5 см 8 мм, сторона МР на 1 см 5 мм длиннее стороны КМ, но короче на 2 см 3 мм стороны РК. 237. Длина прямоугольника 1 м 25 см, а ширина в 5 раз меньше. Найдите длину стороны квадрата, периметр которого равен периметру этого прямоугольника. 238. За неделю собрали 6500 кг винограда, из которых 650 кг передали в детский сад, а оста.1ьной виноград отправили в город в ящиках. Сколько ящиков с виноградом отправили в город, если в каждом ящике было 13 кг винограда? 40 239. Отметьте на координатном луче все точки, координаты которых — натуральные числа: а) меньшие, чем 8; б) меньшие, чем 15, но большие, чем 10. 240. Выполните действия: а) (2928 — 88) : 142; г) 15 732 : 57 : (156 : 13); б) (64 + 37) • 91; д) (880 + 230) • 54 : 37; в) 1032 : (5472 : 19 : 12); е) (3211 + 103 • 23) : 124. В старину в России применялись меры массы не такие, как в настоящее время, с например, для взвешивания мелких, но дорогих товаров применялся золотнйк (около 4 г). В торговле использовались фунт (1 фунт = 96 золотныкйм), пуд (1 пуд = = 40 фонтам), бёрковец (1 берковец = ю иубйм). (J-f 241. Составьте задачу с использованием старых русских мер массы. 7. Вычитание Задача. Пешеход за два часа прошёл 9 км. Сколько он прошёл за первый час, если его путь за второй час равен 4 км? В этой задаче число 9 является суммой двух чисел, одно из которых равно 4, а другое неизвестно. ; Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят ; другое слагаемое, называют вычитанием. Так как 5 + 4 = 9, то искомое слагаемое равно 5. Значит, за первый час пешеход прошёл 5 км. Пишут: 9-4 = 5. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. При вычитании 9-4 = 5 число 9 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 5 — разность. При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого, у/ ; Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго, иными словами, на сколько второе число меньше первого. На рисунке 35 вычитание 4 из 9 показано на координатном луче. о 2 \ 4 I 8 9 I 10 I О Рис. 35 — 4 41 ^ в следующих примерах результаты вычислений одинаковы: 12 — (3 + 2) = 12 — 5 = 7; (12-3)-2 = 9-2 = 7. 1. Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности — второе слагаемое. Это свойство называют свойством вычитания суммы из числа (рис. 36). Рис. 36 В следующих примерах результаты вычисления тоже одинаковы: (6 + 3) — 2 = 9 — 2 = 7; 6 + (3 — 2) = 6 + 1 = 7; (6 — 2) + 3 = 4 + 3 = 7. 2. Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое. Конечно, вычитаемое число должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему. Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы (рис. 37). -ь 3 (3 2) Рис. 37 Так как 6 + О = 6, то по смыслу вычитания имеем: 6-0 = 6 (рис. 38) и 6-6 = 0 (рис. 39). ! 3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится. ! 4. Если из числа вычесть это число, получится нуль. 8 _|_ о О — о Рис. 38 Рис. 39 42 в * в «в« Какое действие называют вычитанием? Какое число называют уменьшаемым, а какое — вычитаемым? Как называют результат вычитания? Как узнать, на сколько одно число больше другого? Изобразите на координатном луче вычитание числа 3 из 8. Сформулируйте свойство вычитания суммы из числа. Сформулируйте свойство вычитания числа из суммы. Поясните эти свойства вычитания на координатном луче. 242. Назовите число, предшествующее числу 27. Найдите разности: 97 — 1; 247 — 1; 1000 — 1. Сделайте вывод. 243. Найдите разность 67 — 19. Сколько раз надо вычесть 1 из числа 67, чтобы получить 48? ^ При чтении разностей следите за верным сочетанием глаголов и предлогов: глагол ВЫЧЕСТЬ требует предлога ИЗ; глагол ОТНЯТЬ требует предлога ОТ. Например: из ста шестидесяти вычесть восемьдесят девять или от ста шестидесяти отнять восемьдесят девять. 244. Объясните, что значит вычесть: а) число 240 из числа 870; в) число 2200 из числа 2200; б) из числа 61 число 38; г) число 0 из числа 9841. 245. Если возможно, выполните вычитание: а) 320 — 67; г) 0 — 56; б) 986 — 986; д) 714 — 0; в) 9 875 110 — 9 875 124; е) 14 890 564 — 14 890 563. Почему нельзя выполнить вычитание в некоторых случаях? 246. Автомобиль должен пройти 863 км. В первый день он прошёл 487 км. Сколько километров ему осталось пройти? 247. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 38 см, а СВ = 29 см. 248. Масса 1 л воды равна 1 кг, а 1 л бензина — на 270 г меньше. Найдите массу 1 л бензина. 249. Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй — 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый? 250. С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. С первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого? % 43 % 251. От рулона проволоки отрезали 39 м, после чего в нём осталось 79 м. Сколько метров проволоки было в рулоне? 252. Кит длиннее, чем акула, на 20 м. Какова длина акулы, если длина кита 33 м? 253. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку М(12). Отсчитайте от этой точки влево 7 единичных отрезков и отметьте точку Г. Найдите координату точки Г. 254. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки В(3) и С(10). Сколько единичных отрезков надо отсчитать от точки Сив какую сторону, чтобы получить точку В? 255. Изобразите на координатном луче вычитание: а) 8 — 5; б) 8 — 7; в) 8 — 8. 256. Выполните вычитание: а) 1237 — 159; г) 43 156 — 8976; б) 3000 — 981; д) 19 543 891 — 9 865 123; в) 54 273 — 37 884; е) 100 000 000 — 12 345 678. В задании в) выполните проверку сложением, а в задании г) выполните проверку вычитанием. 257. Замените звёздочки цифрами: а) _4*8* б) _*3*46 в) *5*8* г) ***35 *5*1 *7*8 *397 28* 1423 1651* 82*3 378*6 258. Выполните действия: а) 5387 — 4879 + 3697; в) 5307 + 3001 — 1892; б) 2534 -Ь 3897 — 2529; г) 7301 — 2514 3829. 259. В первом вагоне трамвая ехали 46 пассажиров, а во втором — 39 пассажиров. На остановке из второго вагона вышли 15 пассажиров. Сколько всего пассажиров осталось в трамвае? Решите задачу двумя способами. 260. На первой остановке из автобуса вышли 5 человек, а на второй — 11 человек. Сколько человек осталось в автобусе, если вначале в нём было 49 человек? Решите задачу двумя способами. 261. В троллейбусе ехали 47 пассажиров. На остановке 12 пассажиров вышли и 15 вошли. Сколько стало пассажиров в троллейбусе? Решите задачу двумя способами. 262. Найдите значение выражения, применяя для упрощения вычислений свойства вычитания: а) 3189 — (1189 + 1250); в) 2478 -ь 8265 — 4265; б) 9862 — (1000 -Ь 3541); г) 1275 -Ь (3325 — 2980). 44 263. Длина отрезка АВ равна 37 см. Точки С и D лежат на отрезке АВ, причём точка D лежит между точками С и В. Найдите длину отрезка CD, если: а) АС — 12 см, DB = 17 см; б) AD = 26 см, СВ = 18 см. 264. Длина прямоугольного участка земли 294 м, а ширина на 113 м меньше длины. Найдите периметр этого участка. 265. Периметр четырёхугольника ABCD равен 100 см. Сторона АВ равна 41 см, сторона ВС короче стороны АВ на 18 см, но длиннее стороны CD на б см. Найдите длину стороны AD. 266. Школьники помогали в уборке моркови и работали 4 дня. В первый день они собрали на 230 кг больше, чем во второй день, и на 150 кг больше, чем в третий день. В третий день они собрали на 259 кг меньше, чем в четвёртый. Сколько килограммов моркови собрали школьники за все 4 дня, если в первый день они собрали 650 кг? 267. В велогонке Дима, Саша, Андрей и Вася заняли со второго по пятое места. Саша обогнал Диму на 39 с, но отстал от Васи на 41 с. Андрей был впереди Васи на 12 с, но отстал от победителя на 13 с. В каком порядке финишировали мальчики и с каким отставанием от победителя? Решение. Проиллюстрируем условие задачи с помощью рисунка. В соревнованиях участвовали Дима, Саша, Андрей и Вася. Кроме них в задаче говорится о «победителе». Отметим точками каждого из участников: д В А П Если один из участников отстал от другого, будем на рисунке ставить стрелку от одного к другому: отстал и указывать время отставания. В задаче сказано, что «Саша обогнал Диму на 39 с». Это значит, что Дима отстал от Саши на 39 с: Д 39 с В П Саша отстал от Васи на 41 с: 39 с П 45 Андрей был впереди Васи на 12 с, значит, Вася отстал от Андрея на 12 с, и Андрей отстал от победителя на 13 с; Д 39 с П Л По рисунку видно, что первым финишировал Андрей, отстав от победителя на 13 с, за ним — Вася, отстав от победителя на (13 с -Ь 12 с) = 25 с. Затем финишировал Саша с отставанием 25с + 41с = 66с = 1 мин 6 с. И последним был Дима, отставший от победителя на 1 мин 6 с -I- 39 с = = 1 мин 45 с. 268. В соревнованиях по плаванию Света, Валя, Настя, Катя и Галя заняли со второго по шестое места. Катя на 3 с отстала от победительницы и на 2 с — от Насти, но обогнала Галю на 2 с. Валя на 3 с отстала от Гали, но обогнала Свету на 1 с, В каком порядке финишировали девочки и с каким отставанием от победительницы? 269. Сложите: а) два десятка и семь десятков; б) пять сотен и девять десятков; в) одну тысячу, пять десятков и шесть сотен. 270. Вычтите: а) из семи десятков четыре десятка; б) из трёх сотен пять десятков. 271. Умножьте: а) три десятка на два десятка; б) две сотни на три десятка. 272. Какое число стоит в конце цепочки? а) б) в) г) 30 60 100 80 273. Среди чисел 2683; 58 643; 2482; 132 752 найдите значение каждой из сумм: 1693 + 789; 57 854 + 789; 131 963 + 789; 1894 + 789. 46 274. Составьте условие задачи, решением которой служит выражение: а) 26 + 15 — 7; б) 53 — 4 — 11 + 5. 275. На координатном луче отмечены точки 0(0), 4(12), В(7). На сколько единичных отрезков отрезок ОА длиннее отрезка 06? 276. Проверьте, помните ли вы, что означают слова «отрезок», «прямая», «луч», «дополнительные лучи». Объясните значения этих слов. 277. Установите правило нахождения числа, стоящего в средней клетке || первой строки, и по этому правилу вставьте в пустую клетку пропущенное • ^ число: а)[^|^[^ б)[^[^[^ в)[5Г||Т][Т7| ИЗОН [illDS 0П0 278. Как найти периметр прямоугольника; квадрата? Предложите разные способы. Какие из этих способов лучше? 279. На железнодорожной станции стояли 3 товарных состава. В первом составе было 30 вагонов, во втором — на 5 вагонов больше, чем в первом. Сколько всего вагонов было в этих трёх составах, если в первом из них было на 10 вагонов меньше, чем в третьем? 280. Выполните сложение: а) 28 999 000 145 + 39 001 789 259; б) 1 234 567 890 + 8 765 432 108. 281. Что больше: а) 7508 + 8534 или 17 000; б) 24 645 + 39 815 или 35 678 + 40 961? 282. Сравните числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочками: а) 7**** и 69***; в) ***** и ***; б) 85*** и 13***; г) *8** и 99**. 283. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если Л цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа. ^ 284. Решите задачу: 1) Периметр треугольника 28 см, а периметр прямоугольника в 4 раза больше. На сколько сантиметров периметр треугольника меньше периметра прямоугольника? 2) Периметр треугольника 36 см, а периметр прямоугольника в 3 раза меньше. На сколько сантиметров периметр треугольника больше периметра прямоугольника? 285. Выполните действия: 1) 44 — 24 • 18 : 36; 3) (83 • 250 — 14 918) : 54; 2) 1863 : 23 • 11 — 2; 4) (3885 : 37 + 245) • 78. 47 ■ V Д ■в А [22] ill т 286. От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем её осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески? 287. Проверьте с помощью сложения, правильно ли выполнено вычитание: б) 3001 — 833 = 2168. а) 2379 — 1837 = 542; 288. Выполните вычитание: а) 187 — 149; б) 589 — 399; в) 78 005 — 69906; г) 49 087 — 8391; д) 2 222 222 222 — 123 456 789; е) 1 234 567 890 — 98 765 432. 289. Точка В лежит между точками А и С, а точка А — между точками D и В. Найдите длину отрезка CD, если AD = 45 см, АВ на 3 см больше AD, а ВС на 17 см больше АВ. 290. Вычислите, выбирая удобный порядок действий: а) (6112 + 1596) — 496; в) 95 837 — (95 137 + 198); б) (1823 + 846) — 1723; г) (8593 + 1407) — 999. 291. Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров? 292. Зрительный зал имеет 360 мест. Сколько осталось свободных мест после того, как 8 групп по 42 человека в каждой заняли свои места? 293. Отметьте на координатном луче все точки, координаты которых — натуральные числа, меньшие 12 и большие 8. 294. Запишите названия животных в порядке возрастания их массы: курица — 1800 г, овца — 60 кг, индюк — 15 кг, слон — 4 т 5 ц, голубь — 400 г, верблюд — 7 ц. 295. Две бригады сшили 441 детский костюм, работая вместе. Первая бригада изготавливала 28 костюмов в час, а вторая — 21 костюм в час. Сколько часов бригады шили костюмы? 296. Выполните действия: а) 48 -ь 42 • 18 : 63 — 56; в) (3539 -н 5016 — 12 • 203) : 211; б) 36 + 95 — 205 • 48 : 164; г) (2356 + 809 — 2841) • 106 : 159. 8. Числовые и буквенные выражения J При решении задач иногда только записывают действия, а выполняют их ; потом. Полученные записи называют числовыми выражениями. Задача 1. Поезд шёл двое суток. В первые сутки он прошёл 980 км, а во вторые — на 50 км больше. Сколько километров прошёл поезд за двое суток? Решение. Во второй день поезд прошёл 980 + 50 километров. Значит, за два дня он прошёл 980 + (980 + 50) километров. 48 Для решения задачи мы составили числовое выражение 980 + (980 + 50). Выполнив действия, получим число 2010 — значение этого выражения. Итак, за 2 дня поезд прошёл 2010 км. J Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий 2 в числовом выражении, называют значением этого выражения. Задача 2. Поезд шёл двое суток. В первые сутки он прошёл 980 км, а во вторые — на 65 км больше. Сколько километров прошёл поезд за двое суток? Выражением для решения этой задачи будет 980 + (980 + 65). Его значение равно 2025. За два дня поезд прошёл 2025 км. Задачи 1 и 2 отличаются лишь тем, что в задаче 2 число 50 заменено числом 65. ; Обозначим буквой т число, которое меняется от задачи к задаче. Получаем ; новую задачу. Задача 3. Поезд шёл двое суток. В первые сутки он прошёл 980 км, а во вторые — на m км больше. Сколько километров прошёл поезд за двое суток? Выражением для решения этой задачи будет 980 + (980 + т) слагаемое слагаемое Если вместо буквы т подставить число 50, то получится числовое выражение для решения первой задачи. Если же вместо той же буквы подставить число 65, то получится числовое выражение для решения второй задачи. Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением. В этом выражении буквы могут обозначать различные числа. Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы. Приведите пример числового выражения. Как найти значение числового выражения? Какое выражение называют буквенным? Приведите пример буквенного выражения. в в ••• ;9 297. Найдите значение выражения: а) (18 -Ь 15) -Н (34 + 22); г) 56 • 3 — 132 : 11; б) (36 + 27) — (34 — 15); д) (596 — 453) • 2; в) 36 : 12 + 13 • 2; е) (218 + 237) : 7. 298. Запишите выражение: а) сумма 7 и а; б) разность л: и 8; в) сумма у и а — 4; г) разность 16 и 3 + р. 49 ii6 и г) разность д; + 8 и Ь — 9; д) разность 45 и а + X — 37; е) сумма 67 и ft — у + 12. 299. Запишите выражение: а) сумма 19 + 5 и 18 — 3; б) разность 495 + 37 и 212 — 154; в) сумма а + 3 и 11; 300. Назовите слагаемые в сумме: а) (18-7)+14; в) (а — 13) + (ft — 86); б) (х — 75) + 16; г) (х — у) + <т - п). 301. Назовите уменьшаемое и вычитаемое в разности: а) (о+ 56)- 32; в) (86 + 53) - (А + 7); б) (т + 99) - (38 + 5); г) (с + 3) - (d + 8). 302. Выражение (а + 3) - (с - 2) можно прочитать так: «разность выражения а плюс 3 и выражения с минус 2*. По этому образцу прочитайте выражения: а) (а - ft) + 5; в) 3 - (х + 5); б) (у + 2) - 4; г) (а - 8) + (с - 5). 303. Найдите значение выражения: а) (135 + п) - 23, если п = 73; 65; 0; б) а - (ft + 12), если а = 80, ft = 58. 304. Заполните таблицу: Значение а 0 1 2 3 4 5 Значение а + 12 Значение 16 - а При каких значениях а: а) 16 - а меньше, чем а + 12; б) 16 - а больше, чем а + 12; в) значения 16-аиа + 12 равны? 305. Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение: а) В одном мешке было 46 кг зерна, что на 18 кг меньше, чем во втором мешке. Сколько килограммов зерна было в обоих мешках вместе? б) Площадь одной теплицы 234 м^, что на 108 м^ больше площади другой. Какова площадь двух теплиц вместе? 306. Одному брату х лет, а другой брат старше его на 5 лет. Сколько лет другому брату? Составьте выражение и найдите его значение при X = 8; 10; 12. 307. Одному брату а лет, а другой брат старше его на ft лет. Сколько лет другому брату? Составьте выражение и найдите его значение при: а) а = 14, ft = 3; б) а = 6, ft = 8. 50 к в 3 см X см 308. В полдень термометр показал температуру t°C, а к полуночи температура опустилась на р°С. Какую температуру показывал термометр в полночь? Составьте выражение и найдите его значение: а) при t = 25, р = 7; б) при t = 34, р = 14. 309. Брату X лет, а его сестра на а лет моложе. Сколько лет сестре? При любых ли значениях х и а задача имеет смысл? Имеет ли она смысл, если л: = 6, а = 8? 310. Пусть цена футболки а рублей, а цена трусов Ь рублей. Какой смысл имеет выражение; а) а + Ь; б) а - в) 2000 - (а -Ь Ь)? 311. Точка К лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АК, если АВ = х см, КВ = 3 см. Составьте выражение и найдите его значение при х = 12; 9; 6. 312. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ = 13 см, ВС = с см. и АС = d см. Составьте выражение и найдите его значение при: а) с = 10 и d = 8; б) с = 5 и d = 12. 313. На координатном луче отмечены точки А(1) и В<а) (рис. 40). Отметьте на этом луче точку М(а -I- 3) и точку Р(а - 2). 0 1 а О А В X Рис. 40 314. На координатном луче отмечены точки Аф) и В(4) (рис. 41). Отметьте на этом луче точки С(Ь Ч- 4) и D[email protected] 62 382. Вычислите устно: а) б) 15 • 6 в) 100 — 19 д) 60-11 : 18 : 3 : 7 • 19 + 23 • 15 + 6 • 4 — 25 ? ? ? 88 — 19 г) 80 — 16 : 23 : 8 • 15 • 11 + 55 + 22 383. На координатном луче даны точки -4(18), В<7), С(31), D(27), Е(23), 0(0). Какие из этих точек: а) левее точки Е и на сколько единичных отрезков; б) правее точки ,4 и на сколько единичных отрезков; в) расположены между точками S и D? 384. Что больше и во сколько раз: а) два часа или сорок минут; б) десять центнеров или две тонны; в) шесть сантиметров или двадцать миллиметров? 385. В бидоне 24 л молока. Для приготовления завтраков израсходовали четвёртую часть молока, а для приготовления обедов — половину оставшегося молока. Сколько литров молока осталось в бидоне? 386. Найдите пропущенное число: а) 13 60 16 И и б) 4» 0ПИ 387. Вместо некоторых цифр поставлены звёздочки. Можно ли сравнить числа: а) 32** и 31**; б) *1** и 8**; в) **** и ***; г) *5* и 1**? 388. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградово — три дороги. Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово? 63 Решение. Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа: * Б -6--7- •В Ж Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 • 3 = = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове. Немецкого учёного Кйрла Гйусса называли королём математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трёхлетием возрасте он удивил окружаю1цих, поправив расчёты своего отца с камен1циками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101 • 50 = 5050. 389. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100. 390. Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча? 8 обручей? 391. Вычислите, выбирая удобный порядок выполнения действий: ав а) 937 - (137 + 793) б) (654 + 289) - 254 в) 854 + (249 - 154) г) (747 + 896) - 236; д) (348 + 252) - 299; е) (227 + 358) - (127 + 258). 392. На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на другой k кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов клубники осталось на грядках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при k = 26; 35. 393. Найдите значение выражения, предварительно упростив его: а) (Ъ + 179) - 89 при Ь = 56; 75; б) (839 + с) - 239 при с = 37; 98; в) (256 - л:) - 156 при х = 44; 87; г) 238 - (38 + а) при а = 78; 0. 394. Найдите значение выражения: 1) 34 • 27 + 1638 : 39; 3) (321 - 267) 2) 32-37 - 3293:37; 4) (123 + 375) (361 - 215) : 219; 24 : (212 - 129). д 395. Решите уравнение: а) 395 ч- х = 864; в) 300 - г/ = 206; б) 2 + 213 = 584; г) i - 307 = 308; 396. Решите уравнение и выполните проверку: а)

л л^лонл А ^ 2-я яЛлоня X кг 6?. 624. Из 523 цыплят, выведенных в инкубаторе, петушков оказалось на 25 меньше, чем курочек. Сколько курочек и сколько петушков было выведено в инкубаторе? 625. Найдите значение выражения: а) 5007 • (11 815 : 85 — (4806 — 4715)); б) 6003 • (24 396 : 76 — 319 -ь 26); в) 213 213 : (403 -36 — 14 469); г) 7866 : 38 — 16 146 : 78. 626. Разгадайте чайнворд, помещённый на форзаце в конце учебника. 92 15. Порядок выполнения действий J Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а ; умножение и деление чисел — действиями второй ступени. Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами: 1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо. 2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нём нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом — действия первой ступени. 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2). Пример 1. Найдём значение выражения 800 — 625 + 331 + 87 — 119. Это выражение не имеет скобок и содержит действия только первой ступени, поэтому следует выполнять действия по порядку слева направо: 800 — 625 = 175, 175 + 331 = 506, 506 + 87 = 593, 593 — 119 = 474. Итак, значение выражения равно 474. Пример 2. Найдём значение выражения 780 : 39 • 212 : 106 ■ 13. Это выражение не содержит скобок, и в нём имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо: 780 : 39 = 20. 20 • 212 = 4240, 4240 : 106 = 40, 40 • 13 = 520. Итак, значение выражения равно 520. Пример 3. Найдём значение выражения 5781 — 28 • 75 : 25 + 156 : 12. Это выражение не содержит скобок, и в нём есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени: 28 • 75 = = 2100, 2100 : 25 = 84, 156 : 12 = 13, а потом действия первой ступени: 5781 — 84 = 5697, 5697 + 13 = 5710. Значение выражения равно 5710. Пример 4. Найдём значение выражения 36000 : (62 + 14 ■ 2) — 23 • 5. Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках: 62 + 14 • 2 = 62 + 28 = 90. Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 — 23 • 5. Вычислив значение последнего выражения, получим 285. 93 ; в выражениях, содержащих скобки, можно эти скобки не писать, если при ; этом порядок действий не изменяется. Пример 5. Вместо (53 — 12) + 14 можно написать 53 — 12 + 14, так как в обоих случаях порядок действий одинаков: 53 — 12 = 41, 41 + 14 = 55. ; Изменять порядок действий можно на основе свойств сложения, вычита-J ния и умножения. ^ Каждое выражение задаёт программу своего вычисления. Она состоит из команд. Например, программа вычисления выражения (814 + 36 • 27) : (101 — 2052 : 38) состоит из следующих команд; 1. Перемножить числа 36 и 27. 2. Сложить 814 с результатом выполнения команды 1. 3. Разделить 2052 на 38. 4. Вычесть из 101 результат выполнения команды 3. 5. Разделить результат команды 2 на результат команды 4. Эту программу вычислений можно изобразить в виде схемы (рис. 58). Последовательно выполнив действия и заполнив при этом пустые клетки, получим в нижней клетке ответ. Рис. 58 ^ Какие действия относятся к действиям первой ступени и какие — к действиям ** ** второй ступени? « 7 • В каком порядке выполняют действия в выражении без скобок, если в него ” ф* входят действия одной и той же ступени; все арифметические действия? В каком порядке выполняют действия в выражениях со скобками? а 627. Найдите значение выражения: а) 48 — 29 -h 37 — 19; б) 156 + 228 — 193 — 66; в) 39 • 45 : 65 • 2; 94 г) 1024 : 128 • 15 : 10; д) 245 : 7 — 224 : 16 + 35 • 11; е) 322 : 23 • 70 — 161 • 9 : 69; ж) 315 : (162 + 12 • 24 — 11 • 39) + 558 : 31; з) (24 • 7 — 377 : 29) • (2378 : 58 — 38); и) (120 + 16 • 7) • 240 : (300 — 5 • 44); к) (372 + 118 • 6) : (38 ■ 35 — 34 • 37) — 12; л) 3124 : (3 • 504 — 4 • 307) + 10 403 : 101; м) 15 + (12 322 : (24 + 37) — 12 • 15) : (35 • 2 — 59). 628. Измените порядок действий на основании свойств сложения, вычитания и умножения для удобства вычислений: а) 348 + 54 + 46; г) 54 • 2 • 50; б) 543 -Ь 89 — 43; д) 34 • 8 -Н 66 • 8; в) 427 — 33 — 67; е) 135 ■ 12 — 35 • 12. 629. Запишите выражение по следующей программе вычислений: 1. Сложить числа 215 и 748. 2. Вычесть из 591 число 318. 3. Перемножить результаты команд 1 и 2. Найдите значение этого выражения. 630. Составьте программу вычисления выражения 381 • 29 — 7248 : 24 и найдите значение этого выражения. 631. Выполните действия по схеме (рис. 59). Рис. 59 632. Составьте схему вычисления и найдите значение выражения: а) 86 • 12 : 8 -Ь 1414 : 14; б) (32 • 15 — 250) : 46 (180 : 12 — 8) • 9. 1^6 95 л 633. Восстановите цепочку вычислений; 634. Вычислите устно: а) 25 • 3 б) 15 • 4 в)100 : 25 Г) 16 • 3 д)54 : 18 : 15 + 16 • 17 — 12 + 27 + 29 ; 19 : 2 : 12 : 15 : 17 — 4 + 26 • 23 • 29 9 9 9 9 9 т 635. Решите уравнение: а) д: + 20 = 37; в) а — 37 = 20; б) у+ 21 = 20; г) 20 — /п = 37; д) 37 — с = 20; е) 20 + fe = 0. 636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления. 637. Даны три числа: первое — трёхзначное, второе — значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье — 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел? 638. Упростите выражение: а) 2а + 612 + 7а + 324; б) ^2y + 29у + 781 + 219; 639. Решите уравнение: а) 8дг — 7л: + 10 = 12; б) ^3y + 15у — 24 = 60; в) 32 — 2г + 15 = 32; г) 6t + 5t -33 = 0; д) 60 ‘t = /О. ‘ ! OxUad: за Юн., Задача 3. С какой скоростью должен идти человек, чтобы пройти 24 км за 4 ч? Решение. Заменим в формуле s = vt буквы s и f их значениями: s = 24, t = 4. Получим уравнение: 24 = и • 4, то есть 24 = 4v. Решив уравнение, получим: V = 6. Значит, человек должен идти со скоростью 6 км/ч. Запишите формулу пути и расскажите, что означают входящие в неё буквы. • * • • А в • Г • ••• 674. Найдите по формуле s = vt путь, пройденный: а) со скоростью 96 м/мин за 25 мин; б) со скоростью 7 км/ч за 6 ч. 675. Найдите по формуле пути значение скорости V, если: а) f = 12 ч, S = 240 км; б) . * 122 801. Какова длина стороны квадрата, если его площадь: а) 4 дм^: б) 25 см^: в) 81 м^; г) 400 см^? 802. Площадь прямоугольного участка 1 га. Приведите примеры, какими могут быть длина и ширина участка. 803. Какое число возвели в куб, если получили: 27; 1: 64? 804. Во многих западных странах использовалась единица площади акр. Акр примерно равен 4047 м^. Сравните 1 акр и 1 га. 805. Вычислите площадь фигуры на рисунке 80. 806. Равны ли фигуры, изображённые на рисунке 81? Равны ли площади этих фигур? Равны ли их периметры? В Рис. 81 807. Лена, Света, Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь? ^ 808. Чебурашка и Крокодил Гена идут навстречу друг другу. Сейчас между ними 1 км 950 м. Через сколько минут они встретятся, если Чебурашка идёт со скоростью 70 м/мин, а Крокодил Гена — со скоростью 60 м/мин? 809. Решите задачу: 1) По шоссе едут навстречу друг другу два велосипедиста. Сейчас между ними 2 км 700 м. Через 6 мин они встретятся. Найдите скорости этих велосипедистов, если известно, что скорость первого на 50 м/мин больше скорости второго. 2) Навстречу друг другу скачут два всадника, причём скорость одного из них на 300 м/мин больше скорости другого. Сейчас расстояние между ними 6 км 500 м. Найдите скорость каждого всадника, если известно, что они встретятся через 5 мин. % 123 sir д SBib-i №ЯВё] ■ ВНШ ■ ВВП ЯШ» иВВи ■ ВКВ IMBSB 810. Найдите значение выражения: 1) (11 437 + 128 • 31) : (1131 — 894); 2) (41 • 134 + 11 978) : (1211 — 899). 811. Напишите формулу для площади поверхности S куба, длина ребра которого равна а. 812. Напишите формулу для суммы длин рёбер L прямоугольного параллелепипеда, если длина прямоугольного параллелепипеда равна а, ширина Ь и высота с. 813. Найдите площадь поверхности и сумму длин рёбер куба, ребро которого 11 см. 814. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить поверхность бруса, изображённого на рисунке 82, если для покраски 1 дм^ поверхности нужно 2 г краски? 815. Прямоугольный участок земли имеет длину 95 м, а ширину 67 м. Найдите площадь и периметр участка. 816. Незнайка стал догонять Шпунтика, когда расстояние между ними было равно 1 км 80 м. Незнайка бежал со скоростью 170 м/мин, а Шпунтик шёл со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут Незнайка догонит Шпунтика? 817. Найдите значение выражения, предварительно составив схему вычислений: а) (55 -1- 14 445 : 321) • (319 — 283); [ВВ б) (48-Ь 1160 : 145) • 27 — 12. Д1 818. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел, и найдите три * следующих числа: а) 20, 22, 24, . ; г) 1, 4, 9, 16, . ; б) 2, 4, 8, 16, . ; д) 2, 5, 4, 8, 6, 11, . ; в) 1, 3, 9, . ; е) 1, 8, 27. 21. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка. Рис. 83 Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго. Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм^), кубический сантиметр (см^), кубический дециметр (дм^), кубический метр (м^), кубический километр (км^). ,/ ; Например: кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см (рис. 84). Кубический дециметр называют также литром. 1 л = 1 дм® Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см®. Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см 1 см 1 см® Рис. 84 1 см® Рис. 85 125 ✓ Рис. 86 (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик — из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см^, каждого слоя — 4 • 3 ( см^), а всего прямоугольного параллелепипеда — (4 ■ 3) • 2, то есть 24 см®. Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид V = аЬс. где V — объём; а, Ь, с — измерения. Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 • 4 • 4 = 4® (см®), то есть 64 см®. Если ребро куба равно а, то объём V куба равен а • а • а = а^. Значит, формула объёма куба имеет вид У = а®. Именно поэтому запись а® называют кубом числа а. Объём куба с ребром 1 м равен 1 м®. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м® = 10® дм®, то есть 1 м® = 1000 дм® = 1000 л. Таким же образом находим, что 1 л = 1 дм® = 1000 см®: 1 см® = 1000 мм®; 1 км® = 1 000 000 000 м® (см. форзац). Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры? Что такое кубический сантиметр; кубический метр? Ф* 0 Как ещё называют кубический дециметр? * А * Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр? ш Ф Скольким литрам равен кубический метр? • • • Сколько кубических метров в кубическом километре? Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с? Напишите формулу объёма куба. 126 /// У А ) В 7| А 7 / 7 / / R M a Рис. 87 819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур. 820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если: а) а = 6 см, 6 = 10 см, с = 5 см; б) а = 30 дм, & = 20 дм, с = 30 дм; в) а = 8 дм, ft = 6 м, с = 12 м; г) а = 2 дм 1 см, ft = 1 дм 7 см, с = 8 см; д) а = 3 м, ft = 2 дм, с = 15 см. 821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см^. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см®. 822. Объём комнаты равен 60 м®. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен. 823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см. 824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см®. 825. Выразите: а) в кубических сантиметрах: 5 дм® 635 см®; 2 дм® 80 см®; б) в кубических дециметрах: 6 м® 580 дм®; 7 м® 15 дм®; в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм®; 12 540 000 см®. % 127 т ал. 826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате? 827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см? 828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему. 6 см 10 см см 7 см 6 см Л 829. Вычислите устно: а) 4 16 + 11 : 15 • 12 : 20 б) 19-3 — 9 : 12 • 25 : 50 в) 32-3 : 48 • 15 • 3 : 45 4 • 14 + 40 : 48 • 35 : 5 Д) 2 -26 — 7 : 3 • 6 : 5 830. Восстановите цепочку вычислений: а) 100 б) ЧУЧУЧУЧЧ 90 i.e. 831. Найдите значение выражения: а)2= + 3*: б)3=’ + 5=; в) 4^ + 6; г) 10^ — 10. 832. Сколько десятков получится в частном: а) 1652: 7; в) 1632 : 12; б) 774 : 6; г) 2105 : 5? 128 в 833. Согласны ли вы с утверждением: а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом; б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом; в) каждая грань куба — квадрат? 834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек? 835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)? 836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89): а) две грани, имеющие общее ребро; б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани; в) вертикальные рёбра. 837. Решите задачу: 1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого. 2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго. 838. Выполните действия: 1) 668 • (3076 + 5081); 2) 783 • (66 161 — 65 752); 3) 2 111 022 : (5960 — 5646); 4) 2 045 639 : (6700 — 6279). 4» Рис. 89 % 839. На Русы в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведрб (около 12 л), штоф (десятая часть ведра). В США, Англии и других странах используются бйррель (около 159 л), галлбн (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м^? 840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см®. 841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91). 842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения — 48 дм, 16 дм и 12 дм. 843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м® сена равна б ц. д 5-Виленкин, 5 кл. 129 Рис. 90 844. Выразите в кубических дециметрах: 2 м® 350 дм®; 18 000 см®; 3 м® 7 дм®; 210 000 см®. 4 м® 30 дм®; 845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см®. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда. 846. С помощью формулы V = аЬс вычислите: а) V, если а = 3 дм, 5 = 4 дм, с = 5 дм; б) а, если V = 2184 см®, 5 = 12 см, с = 13 см; в) 5, если V = 9200 см®, а = 23 см, с = 25 см; г) аЬ, если V = 1088 дм®, с = 17 см. Каков смысл произведения аЬ7 847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую — возраст отца — через Ь — возраст сына. Найдите по этой формуле: а) а, если Ъ = 10; б) а, если Ь = 18; в) 5, если а = 48. 848. Найдите значение выражения: а) 700 700 — 6054 • (47 923 — 47 884) — 65 548; б) 66 509 -(- 141 400 : (39 839 — 39 739) -ь 1985; в) (851 + 2331) : 74 — 34; г) (14 084 : 28 — 23) -27 — 12 060; д) (10® + 11® -Ь 12®) : 73 + 895; е) 2555 : (13® + 14®) + 35. 130 849. Подсчитайте по таблице (рис. 92): а) сколько раз встречается цифра 9; б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности); в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности). Ж1 7 9 4 6 2 9 3 8 6 7 9 3 6 9 5 8 7 9 6 8 4 6 8 3 9 4 6 4 9 6 8 4 5 6 3 7 8 2 5 4 5 2 7 9 4 6 3 9 8 5 6 9 4 5 8 3 3 7 6 9 2 8 6 4 9 7 3 8 5 6 7 3 9 5 2 8 6 9 5 9 5 7 5 9 7 3 3 4 8 8 9 6 8 7 2 9 4 6 9 5 Рис. 92 • I ^ Формулу V = аЬс можно читать разными способами. 1. Если нужно напомнить правило, то говорят так: «Объём вэ прямоугольного параллелепипеда равен произведению а, бэ и цэ (трёх его измерений)». 2. Если нужно только прочитать запись формулы, то говорят: «Вэ равно произведению а, бэ и цэ» или «вэ равно а, бэ, цэ». Названия единиц объёма читают полностью. Например: 15 см^ — пятнадцать кубических сантиметров; 1 м® = 1000 дм® — один кубический метр равен одной тысяче кубических дециметров. 200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения. 5* 131 Например, u до cux пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 ы в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами. Поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами. Такая система — её назвали метрической системой мер — была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» — мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм — как массу 1 дм’ чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 U т. д. Метрическая система мер принята большинством стран мира. В России ее введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу /Иенделёеву, великому русскому химику. Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. Моряки измеряют расстояния мйлями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость — узлйми (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в карйтах (200 мг, то есть пятая часть грамма — масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА § 5. Обыкновенные дроби 22. Окружность и круг Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку циркуля с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую линию. Её называют окружностью (рис. 93). Окружность делит плоскость на две части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью), называют кругом. Точку О называют центром и круга, и окружности. При построении окружности расстояние между концами ножек циркуля не изменяется. Поэтому все точки окружности одинаково удалены от её центра. Отрезок ОА на рисунке 94 соединяет центр окружности с точкой А этой окружности. Его называют радиусом окружности (и круга). Все радиусы окружности равны друг другу. Отрезок АВ на рисунке 94 соединяет две точки окружности А и Б и проходит через центр. Его называют диаметром окружности (и круга). Диаметр АВ состоит из двух радиусов: ОА и ОБ. Поэтому диаметр окружности вдвое длиннее её радиуса. Рис. 95 Рис. 96 Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность — на две полуокружности. Точки А и В на рисунке 95 делят окружность на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности, а точки А и В — концами этих дуг. 133 в некоторых приборах шкалы располагаются на окружностях или дугах окружностей. На циферблате часов вся окружность разделена на 60 делений. Каждое деление соответствует одной минуте. Кроме того, циферблат часов разделён на 12 больших делений, каждое из которых соответствует одному часу (рис. 96). • • • Опишите, как строят окружность с помощью циркуля. Какой отрезок называют радиусом окружности? Какой отрезок называют диаметром окружности? Во сколько раз диаметр длиннее радиуса? Есть ли у окружности два радиуса различной длины? А два диаметра различной длины? Что называют кругом? Что такое дуга окружности? 850. Какие из точек, отмеченных на рисунке 97: а) лежат на окружности; б) лежат внутри круга; в) не лежат на окружности; г) лежат вне круга? 851. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке. Измерьте радиус окружности. Чему равен её диаметр? 852. Начертите окружность и отметьте на ней три точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти точки делят окружность. т Рис. 97 853. Изобразите круг, радиус которого 3 см. Отметьте точку А внутри круга и точку В вне круга. Измерьте расстояние от центра круга до точки А и до точки В. Сравните эти расстояния с радиусом круга. Соедините точки А VI В отрезком. Пересекается ли он с окружностью? 854. Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм. Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К. На каком расстоянии от центра окружности находятся эти точки? 855. Начертите отрезок CD, равный 5 см. Проведите окружность с центром С и радиусом 3 см, а также другую окружность с центром D и радиусом 4 см. Обозначьте точки пересечения окружностей буквами А и В. Чему равны длины отрезков АС, СВ, DA и BD1 856. Начертите отрезок МР, равный б см. Найдите две точки А и В, которые находились бы на расстоянии 4 см от точки М и 5 см от точки Р. 134 857. Автомобиль приближается к городу, по улицам которого разрешается ехать со скоростью не более чем 60 км/ч. В кабине автомобиля установлен спидометр — прибор, показывающий скорость движения. Посмотрите на спидометр (рис. 98). Нарушит ли шофёр правила уличного движения, если не снизит скорость? На сколько и в какую сторону передвинется стрелка, когда скорость снизится до 50 км/ч? Каким будет показание спидометра, когда автомобиль остановится? 858. На рисунке 99 изображена шкала прибора, показывающего, сколько литров бензина осталось в баке автомобиля. Сколько литров бензина сейчас в баке? На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка прибора, если: а) в бензобак нальют ещё 20 л бензина; б) при движении будет израсходовано 30 л бензина? 859. Какое время показывают часы на рисунке 96? Какое время будут показывать часы, если минутную стрелку передвинуть: а) назад на 3 больших деления; б) вперёд на 20 малых делений? 860. Вычислите устно: а) 60 • 6 — 120 : 80 • 30 б) 200 : 50 • 25 + 140 : 60 в) 125 • 2 : 10 • 40 — 300 490 ; 7 • 20 -и 210 : 50 д) 40 • 10 ; 50 • 125 — 160 Л 861. Миллион уменьшили в 100 раз и результат уменьшили на тысячу. |^— Сколько получили? 862. Укажите координаты точек А, В, С и D, если M(^0) (рис. 100). Сравните координаты точек 6 и С; С и D. С -4- Рис. 100 135 e !?M b) в десятой доле метра; г) в двадцать пятой доле метра? в) в двадцатой доле центнера; г) в двадцатой доле тонны? % 863. Сколько сантиметров; а) в четверти метра; б) в десятой доле дециметра; 864. Сколько килограммов: а) в десятой доле центнера; б) в сотой доле тонны; 865. Представьте себе, что один куб с ребром 1 дм разрезали на кубики с ребром 1 см и из этих маленьких кубиков сложили башню, поставив их один на другой. Второй куб с ребром 1 дм разрезали на кубики с ребром 1 мм и из этих кубиков так же сложили башню. Какая из этих башен выше? Во сколько раз? 866. Проверьте, справедливы ли равенства: 13 + 2» = (1 + 2)2; 1® + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + if. 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)3; Попробуйте рассказать, какова в этих равенствах зависимость между квадратами и кубами чисел. Проверьте, выполняется ли это свойство для пяти, шести чисел. 867. Найдите объём и площадь наружной поверхности бака без крышки, изображённого на рисунке 101. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить этот бак снаружи и изнутри, если на покраску 1 дмз нужно 2 г краски? Сколько литров бензина можно влить в этот бак? 868. Сторона одного куба 9 см, а другого 5 CMt На сколько объём первого куба больше объёма второго? На сколько площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго? 869. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке 102. Площадь одной клетки 25 ммз. о О 00 90 см I 1 \? 1 |! i V j J Рис. 101 Рис. 102 136 870. На одной чашке весов стоит банка с вареньем, а на другой — гиря в 1 кг. Весы находятся в равновесии. Сколько граммов варенья находится в банке, если пустая банка легче варенья в 4 раза? 871. Решите задачу: 1) На крыше дома сидели голуби. Когда к ним прилетели ещё 15 голубей, а 18 голубей улетели, то на крыше оказалось 16 голубей. Сколько голубей сидело на крыше первоначально? 2) Когда от товарного состава отцепили 6 вагонов, а прицепили к нему 19 вагонов, в нём стало 50 вагонов. Сколько вагонов было в составе первоначально? 872. Выполните действия: 1) (1 445 561 : 3587 — 208) • 356 — 3580; 2) (1 420 288 : 4672 + 259) • 234 — 1742. 873. В старину часто пользовались солнечными часами, они известны более 3000 лет. В солнечных часах время определяется по положению тени от наклонного стержня на циферблате (циферблат и стержень располагали так, чтобы в полдень тень от стержня была направлена на отметку 12 ч). Подумайте, что общего у солнечных часов (рис. ЮЗ) с современными, в чём их достоинства и недостатки. Pj,,^ юз 874. Начертите круг с центром А и радиусом 2 см. Отметьте две точки: а) лежащие на окружности; б) лежащие внутри круга; в) лежащие вне круга. 875. Отметьте две точки А и В так, чтобы АВ = 3 см. С помощью циркуля постройте ещё три точки С, D и Е, которые находились бы от точки А на расстоянии 3 см. 876. Отметьте две точки К и Р так, чтобы КР = 6 см. Постройте окружность с центром К и радиусом 5 см и окружность с центром Р и радиусом 4 см. Пересекаются ли эти окружности? 877. Отметьте точки О и Е так, чтобы ОЕ = 8 см. Постройте окружность с центром О и радиусом 2 см и окружность с центром Е и радиусом 4 см. Пересекаются ли эти окружности? % д 878. Решите уравнение: а) (х — 152) • 59 = 6018; б) 975 • <у - 361) = 14 625; в) (30 142 -Ь 2) : 876 = 49; г) 51 815 : (р - 975) = 1205; д) 13л: + 15л: - 24 = 60; е) 18у -7у- 10 = 12. 879. Выполните деление с остатком числа 987 654 на 391. 137 IBSHK liBSSB ie«3S iseas ^бваа mmmta шааа ■«■■в jaaap шак^ saa»a паажа шпии 880. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 104. Объём каждого кубика 1 см^. 881. Масса 1 л бензина 650 г. В бензобак автомобиля входит 95 л бензина. Какова масса бензина в полном баке этой автомашины? 882. По формуле а = bq + г найдите число а, если делитель Ь равен 81, неполное частное q равно 561 и остаток г равен 23. 883. Найдите значение выражения: а) 507 ■ 664 - 296 085; в) 12* -Н 5* • 4; б) 485 979 + 691 • 308; г) (10* + 8*) : 18. 23. Доли. Обыкновенные дроби Мама купила арбуз и разрезала его на 6 равных частей (рис. 105): бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе. Эти равные части называют долями. Так как арбуз разделили на 6 долей, то каждый получил «одну шестую долю арбуза», или, короче, «одну шестую арбуза». Пишут: ^ арбуза. Рис. 105 Длина отрезка АВ (рис. 106) равна 5 см. Значит, 1 см составляет — отрезка АВ. 138 Рис. 106 Рис. 107 • Долю ^ называют половиной, — третью, а ^ — четвертью. Пирог разрезали на 8 долей (рис. 107). За обедом съели 3 доли. Осталось 5 на блюде 5 долей пирога. Эти пять долей обозначают: g пирога. 5 5 ; Записи вида -г- называют обыкновенными дробями. В дроби - число 5 Ф О О • называют числителем дроби, а число 8 — знаменателем дроби. ! Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель — сколько таких долей взято. Числитель дроби пишут над чертой, а знаменатель — под чертой. Так как 1 м = 10 дм = 100 см, то 1 см = м, 1 дм = м. 10 Так как 1 кг = 1000 г, то 1 г = кг (одной тысячной килограмма). Так как 1 т = 1 000000 г, то 1 г = ^ qqq т (одной миллионной тонны). Дроби можно изображать на координатном луче. На рисунке 108 изображе- ны дроби 1 |. 1 "I- Отрезок ОА равен единичного отрезка ОЕ. 6 1 2 3 4 5 0 6 6 6 6 6 1 О А Е Рис. 108 Кусок материала разрезали на 12 равных частей. Какую долю всего куска составляет каждая часть? Какую часть куска составят 5 таких долей? Что показывает знаменатель дроби? Что показывает числитель дроби? Какой доле килограмма равен 1 грамм? • « е 139 884. Какая часть фигуры закрашена (рис. 109)? о) А CD б) ш в з) и) м) о) Рис. 109 885. Начертите в тетради квадрат со стороной в 6 клеток. Разделите его на три доли. Начертите отдельно треть квадрата. 886. Разделите тремя способами квадрат со стороной 4 см на 4 доли. Начертите четверть квадрата, половину квадрата. 887. Как называется: а) одна сотая доля метра; б) одна тысячная доля тонны; в) одна двадцать четвёртая доля суток; г) одна шестидесятая доля часа; д) одна миллионная доля квадратного метра; е) одна миллионная доля кубического метра? 888. Прочитайте записи: у отрезка, кг, суток. - дороги. дыни, — яблока. 1 889. Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из - куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье? 140 1 890. Купили дыню массой 2 кг 400 г. Ване отрезали - дыни, а Маше — 5 — дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни осталось? 891. Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на историю — j оставшегося времени. Сколько минут D 4 Петя готовил уроки по математике и сколько по истории? 892. Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли 2 и закрасьте — квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной? О 893. Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом 5 — отрезка. Какая часть отрезка осталась неотмеченной? ^При чтении дробей надо помнить: числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.). 83 152 12 7 Например: - — одна пятая; - — две шестых; — о о 10 восемьдесят три сто пятьдесят вторых. — семь десятых; 894. Прочитайте дроби: -, —, —, —, ——, ——-—, 7’ 4’ 10’ 12’ 1000’ 247’ 90 000 Назовите числитель и знаменатель каждой дроби. 895. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) три шестых; д) семь десятых; б) одна треть; е) одиннадцать сотых; в) половина; ж)одиннадцать г) три четверти; сорок восьмых. 896. Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км (рис. 110). Лена прошла по этой дороге 3 км. Какую часть дороги она прошла? Решение. Длина всей дороги равна 8 км. Поэто- 1 3 му 1 км составляет — всей дороги, а 3 км — — до- О О О роги. Значит, Лена прошла ^ дороги. 897. В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь? апрель? февраль? ИДЬИНСКОЕ Фабричное Рис. 110 % 141 @ % 898. В январе 1995 года с 1 января по 10 января были зимние каникулы. 15, 22 и 29 января были воскресными днями, а остальные — учебными. Какую часть января составили свободные от учёбы дни? Какую часть составили учебные дни? 899. Площадь поля 16 км^. Пшеницей засеяли 11 км^, рожью — 5 км^. Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью? 900. Дорога от Фабричного до Отдыха составляет 3 — дороги от Фабричного до Ильинского. Чему равно расстояние от Фабричного до Отдыха, если от Фабричного до Ильинского 8 км? Решение. Разделим всю дорогу на 4 доли (рис. 111). Тогда длина одной доли дороги равна 8 : 4, то есть 2 км. Фабричное Рис. 111 А длина 4 дороги, то есть трёх таких долей, равна 2 • 3, то есть 6 км. 4 Значит, от Фабричного до Отдыха б км. 2 901. Длина дороги 20 км. Заасфальтировали - дороги. Сколько кило- 5 метров дороги заасфальтировали? Сколько осталось заасфальтировать? 902. На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку? % 903. Купили 5 кг 600 г сахара и израсходовали на варенье — всего О сахара. Сколько сахара пошло на варенье? Сколько сахара осталось? 904. Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л? 905. Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 5 км, что составляет — дороги от Фабричного до О Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского. Решение. Так как пять восьмых дороги составляют 5 км, то одна восьмая этой дороги равна 5 : 5, то есть 1 км. А тогда вся дорога в 8 раз длиннее, чем 1 км, то есть имеет длину 1 • 8, или 8 км. Итак, от Фабричного до Ильинского 8 км (рис. 112). Иаьимокос КРАтаво/ РАбРИЧНОЕ Рис. 112 142 906. Человек прошёл — дороги. Какова длина всей дороги, если он прошёл 4 км? 2 907. Велосипедист проехал — дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км? К 908. Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет — всей тетради. Сколько страниц в тетради? 909. В куске материи 96 м. Для детского сада взяли — этого куска, О 5 а для детских яслей — куска. Для кого взяли больше материи — для детского сада или для яслей? На сколько метров? 910. Вычислите устно: а) 500 + 310 ; 90 • 50 + 150 б) 1000 : 100 • 30 + 250 : 50 в) 200 + 430 : 70 • 40 + 140 г) 720 : 90 • 125 : 200 • 120 П 911. Десятую часть миллиона уменьшили на 10 000 и результат уменьшили в тысячу раз. Сколько получили? 912. Имеется круг, диаметр которого 10 см. Найдутся ли две точки этого круга, расстояние между которыми: 5 см; 1 см; 10 см; 12 см? Ответьте на те же вопросы для окружности радиусом 5 см. 913. Приведите примеры предметов, имеющих форму окружности; круга; дуги окружности; полукруга. 914. Поставьте вместо многоточия необходимые слова: «Отрезок называ-ется диаметром, если он . и он . » 915. Сколько минут: а) в трети часа; б) в четверти часа; в) в половине часа; г) в десятой доле часа; д) в двенадцатой доле часа; е) в шестой доле половины часа? 916. Сколько секунд: а) в 5 минутах; г) в четверти минуты; б) в четверти часа; д) в трети минуты; в) в одном часе; е) в половине минуты? 143 % т Рис. 113 917. Сколько в действительности времени, если часы, отражённые в зеркале (рис. 113), показывают 9 ч; 8 ч; 6 ч 15 мин; 10 ч 40 мин? Когда часы и их отражение покажут одинаковое время? 918. Отметьте точки А и В так, что АВ = = 5 см. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами >4 и В так, чтобы они: а) пересекались в двух точках; б) не имели общих точек. 919. Начертите отрезок 4S = 6 см. Найдите точки, которые удалены от 4 и от Б на 6 см. 920. Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 2 см 6 мм (рис. 114). Отметьте такую точку К, чтобы ОК = 4 см. Найдите с помощью циркуля на окружности точки, удалённые от точки / в записях: Л б) — * ^8 8’ в1 А * 13. ^16 16’ г) 5*3 ) 7 7 947. Какая из дробей больше: а) I или |; в) 23 1000 или б)-^ ’ 19 или 13. 19’ г)^ ^ 100 или 21 . 1000’ 78 о 100 948. Какая из точек лежит левее на координатном луче: «)а(| ИЛИ В \ — б) М| ^1 или I? 949. Вычислите устно: а) 27 + 33 б) 15 ■ 5 + 180 : 80 • 15 10 + 50 : 40 • 70 : 50 13 в) 17 + 28 • 2 — 15 : 25 • 90 13 10 • 18 + 70 : 5 ■ 8 : 25 д) 40-4 + 520 — 200 ; 60 ■ 125 950. Прочитайте дроби: 1. 1. 10. 12. 20. 1 11. 17 . 111. 100. 15 5’ 8’ 1Г 23’ 57’ 61’ 90’ 100’ 120’ 277’ 582′ Назовите числитель и знаменатель. 148 D В Рис. 120 Рис. 121 951. На координатном луче отмечены следующие точки: 41) Кт) ^(j) °(^) 4s) ‘^(s) Есть ли среди них совпадающие? 952. Какую часть на рисунке 120 составляет: а) треугольник АВО от четырёхугольника АВСО: б) треугольник АВО от четырёхугольника АВСО\ в) четырёхугольник АВСО от четырёхугольника ABCD\ г) четырёхугольник АВСО от шестиугольника ABCDEK? 953. Попробуйте найти самый короткий путь по поверхности куба от точки А к точке В (рис. 121). Сколько таких путей можно указать? 954. Выполните деление с остатком: а) 5 на 2; б) 100 на 30; в) 29 на 9; г) 100 на 11. 955. Какую долю составляют: а) сутки от года: в) дециметр от метра; б) сутки от недели; г) 1 см^ от литра? Подумайте, почему 1 см® называют ещё и миллилитром (1 мл). 956. Объём кувшина 5 л. В него налили а л воды. Какая часть объёма кувшина занята водой? Дайте ответ при а = 1; 2; 3; 4. 957. Какую часть периметра квадрата составляет длина одной стороны? длина трёх сторон? 958. Продолжительность урока 45 мин. На решение задачи ушло 7 мин. Какая часть урока ушла на решение задачи? 959. От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую часть доски отпилили? 4 960. Андрей гулял 2 ч. В хоккей он играл этого времени. Сколько времени Андрей играл в хоккей? 961. Около дома стояло 7 машин. Из них 2 были серыми, а остальные — синими. Какую часть всех машин составляли синие машины? е 962. В аквариум налили 6 л воды, заполнив у его объёма. Сколько литров воды вмещает аквариум? 4* М 149 е 2s Д 963. Можно ли из прямоугольного листа фанеры длиной 6 дм и шириной 4 дм вырезать круг радиусом: а) 3 дм; б) 2 дм; в) 1 дм? 964. Выполните действия: 1) 229 372 : 286 • 506; 3) 195 840 : (32 • 18); 2) 282 370 : 302 : 85; 4) 538 ■ (301 608 : 426). 965. Примите за единичный отрезок длину 10 клеток тетради и отметьте на координатном луче числа: J_. _2_. _3_. _4_. 7_. _8_. 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10 ■ 966. Поставьте вместо звёздочек знаки так, чтобы получилось верное неравенство: 14 B)0*ii; ^9 9’ ■’ 105 105’ ‘ 15’ г) 67 430 087 * 67 430 093. 967. Какую часть недели составляют: а) пять суток; б) шесть суток? 968. Масса тыквы 2 кг 800 г. Найдите массу: ч 1 йч 3 ,2 ,5 а) ^ тыквы; б) — тыквы; в) у тыквы; г) у тыквы. 969. Дом занимает всего садового участка. Найдите площадь участ- 15 ка, если площадь земли под домом 40 м^. 970. Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного мотоциклиста 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся, если сейчас между ними 348 км? 971. Масса пачки печенья 125 г, а масса пачки сухарей 380 г. Что тяжелее: а) 9 пачек печенья или 4 пачки сухарей; б) 22 пачки печенья или 7 пачек сухарей? 972. В литровой банке помещается 910 г пшена или 780 г гороха. Какая масса меньше: а) 3 банок пшена или 4 банок гороха; б) 7 банок пшена или 8 банок гороха? 973. От куска проволоки длиной о м в первый раз отрезали Ь м, а во второй раз — см. Какой смысл имеют следующие выражения: а) Ь + С», б) а — (ft -f с); в) а — Ь; г) а — Ь — с7 Какие из этих выражений принимают одинаковые значения при любых значениях букв а, Ь, с? Проверьте ваш ответ при а = 45, Ь = 7 и с = 12. 150 25. Правильные и неправильные дроби Разрезали пирог на 8 равных частей (рис. 122, а) и 3 части положили на тарелку. 3 На ней оказалось ^ пирога (рис. 122, б). Если положить все 8 частей, то о на тарелке будет — пирога, то есть весь пирог (рис. 122, в). О Значит, -| = 1- Возьмём ещё один такой же пирог и разрежем его тоже на 8 равных частей (рис. 123, а). Если на тарелку положить, например, 11 частей, то там будет ^ пирога (рис. 123, б). О а) б) Рис. 123 В дроби числитель меньше знаменателя. Такие дроби называют правиль- О i -I ными. в дроби — числитель равен знаменателю, а в дроби — числитель О О больше знаменателя. Такие дроби называют неправильными. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью. 151 о о 3 8 11 8 Е В Рис. 124 I Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или ! равна единице (рис. 124). Например, | 1. ^ Какую дробь называют правильной? Какую дробь называют неправильной? i у 9 Может ли правильная дробь быть больше, чем 1? £ 9^ Всегда ли неправильная дробь больше, чем 1? Какая дробь больше, если одна из них правильная, а другая неправильная? ЖЛ 974. Длина отрезка АВ равна 8 см. Начертите отрезок, длина которого равна; 3 5 а) — длины отрезка AS; б) — длины отрезка АВ. 975. Отметьте на луче точки с координатами: 1. 2. 3, 4. 5. 6. 7. 8 4’ 4’ 4’ 4’ 4’ 4’ 4’ 4‘ За единичный отрезок примите длину 12 клеток тетради. 976. Напишите: а) все правильные дроби со знаменателем 6; б) все неправильные дроби с числителем 5. 977. При каких значениях а дробь: а) ^ будет правильной; б) ^ будет неправильной? 978. Машина за 6 мин может вырыть кгшаву длиной в 1 м. Какой длины канаву выроет машина за 1 мин; 5 мин; 7 мин; 11 мин? 979. Одним килограммом краски можно покрасить 5 м^ поверхности. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить 3 м^; 6 м^; 13 м^ поверхности? 980. Бригада строителей построила ферму за 48 дней. По плану тре-бовалось — этого времени. Сколько дней отводилось на постройку фермы по плану? 152 981. Токарь за 3 ч выточил на токарном станке 135 деталей, выполнив 3 — дневной нормы. Сколько деталей он должен был выточить за рабочий 5 день (8 часов) по норме? Сколько деталей он выточит за рабочий день, если будет работать с той же производительностью? 982. Токарь выточил на токарном станке 135 деталей, выполнив 27 — дневной нормы. Какова его дневная норма? 983. Концерт юных музыкантов вместо запланированных 3 ч продол-13 жался — этого времени, так как зрители просили повторить некоторые понравившиеся выступления. Сколько времени продолжался концерт? Сколько минут продолжались выступления на бис? Мб ав 984. Вычислите устно: а) 400 : 25 • 5 + 40 : 12 + 190 Л б) 700 — 20 : 4 • 2 : 17 + 480 в) 420 ; 14 • 6 + 120 : 25 • 8 г) 320 + 240 : 80 • 50 — 60 : 29 985. Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 1 мин; 7 мин; 15 мин? 986. Во сколько раз центнер больше килограмма? Какую часть центнера составляет килограмм? На сколько центнер больше килограмма? ЛОГТ ^ 1 1 1 2 3 _ 987. Сколько минут в ч; в ч; в ^ ч; в ^ ч; в ч? 2 2 5 2 988. Сложите — числа 40 и — числа 60. Из — числа 72 вычтите -г -.5 3 о У числа 81. 989. Половина числа равна 18. Найдите это число. Треть числа равна 27. Найдите это число. Три четверти числа равны 60. Найдите это число. 990. Какая часть четырёхугольника/4SCD (рис. 125) закрашена? Какая часть осталась незакрашенной? 991. Выразите в граммах: а) 3 кг 400 г; б) 2 кг 30 г; в) 15 кг. 992. Расположите в порядке возрастания дроби: 4_. _2 . 10. J.. А- Z » 11’ 11’ 1Г 11’ 11’ 11‘ Расположите эти же дроби в порядке убывания. 4» ав 153 f* 993. Назовите четыре дроби, которые меньше, чем ‘i qq^ qqq • 994. Назовите 5 дробей, которые больше, чем 0 995. Начертите квадрат со стороной 4 см. Покажите на чертеже: тё квад-3 рата, g квадрата. Найдите площади этих частей квадрата и объясните полученный результат. 996. В первый день бригада собрала 5 т 400 кг картофеля, а во второй — на 1 т 200 кг меньше, чем в первый. В третий день бригада собрала в 2 раза больше картофеля, чем во второй. Сколько картофеля собрано бригадой за эти три дня? 997. Составьте задачу по уравнению: а) (у+ 6)-2 = 15; б) 2 <а - 5) = 24; в) 3(25 + Ь) + 15 = 135. 998. В первом вагоне ехали а человек, а во втором — Ь человек. На остановке из первого вагона вышли с человек, а из второго — d человек. Какой смысл имеют следующие выражения: а + Ь] с + d\ <а + Ь) - (с + d)\ а - с; Ь - d\ (а - с) + (Ь - d)? Объясните, почему <а + Ь) - <с + d) = (а - с) + <Ь - d) при а >с, Ь > d. Проверьте это равенство при а = 45, Ь = 39, с = 14, d = 12. Используя полученное равенство, вычислите значение выражения: а) (548 + 897) — (148 + 227); б) (391 + 199) — (181 + 79). д 999. Придумайте пять дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя. О 1000. При каких значениях х дробь — будет неправильной? 7 1001. Фермер наметил собрать с поля 12 т овощей, а собрал — этого количества. Сколько тонн овощей собрал фермер? 1002. Турист прошёл за первый день 18 км, что составляет — пути, 5 который он должен пройти во второй день. Сколько километров должен пройти турист за эти два дня? 154 1003. Из Санкт-Петербурга в Москву вышел товарный поезд со скоростью 48 км/ч, а через час после этого из Москвы в Санкт-Петербург вышел скорый поезд со скоростью 82 км/ч. Найдите расстояние между поездами: а) через 1 ч после выхода скорого поезда; б) через 3 ч после выхода товарного поезда; в) через 5 ч после выхода скорого поезда. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга 650 км. 1004. Найдите значение выражения: а) 8060 -45 — 45 150 : 75 • 105; в) (12® — 9″) : (12 — 9); б) (2 254 175 + 94 447) : 414 — 1329; г) (6^ + 3^)2. 26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Буханку хлеба разделили на 8 равных частей (долей) (рис. 126, а). Сначала на тарелку положили 2 доли, а потом ещё 5 долей (рис. 126, б). На тарелке оказалось 7 долей, то есть ^ буханки: |- -н -| = — ^ ^ 8 8 8 8 8 а) б) Рис. 126 S При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители скла-S дывают, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило сложения можно записать так: 1L ^ !l — д ^ ^ с с с ‘ Буханку хлеба разрезали на 8 равных частей (рис. 127, а). На тарелку положили 7 долей, а потом 4 доли съели (рис. 127, б). Осталось 3 доли, то есть ^ буханки: Z — 4 = ZjlI = 1, 8 8 8 8 8 155 Рис. 127 ■/ S При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя ! уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют ! тот же. С помощью букв правило вычитания записывают так: о_ _ h _ а Ь с с с е* 4 Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями? ^ ^ Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями? £ ■ • Запишите правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знамена-^ * телями с помощью букв. 5 9 dK 1005. Из помидоров массой — кг и огурцов массой — кг сделали салат. Какова масса салата? 73 23 1006. Масса станка равна т, а масса его упаковки т. Найдите массу станка вместе с упаковкой. 2 1007. В первый день картофель посадили на j участка, а во второй О день — на Y участка. Какая часть участка была засажена картофелем за эти два дня? fie 1008. Одна бригада получила — т гвоздей, а вторая — на — т меньше. Сколько гвоздей получила вторая бригада? 10 4 1009. За два дня засеяли поля. В первый день засеяли — поля. Какую часть поля засеяли во второй день? О 1 1010. Цистерна на — наполнена бензином. — цистерны перелили в боч- 5 5 ку. Какая часть цистерны осталась заполненной бензином? 156 Выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, можно прочитать по тем же правилам, что и соответствующие выражения и уравнения с натуральными числами. Например: 2_ 53 12 53 р. п. — сумма семи пятьдесят третьих р. п. и двенадцати пятьдесят третьих; д. п. — к семи пятьдесят третьим прибавить в. п. двенадцать пятьдесят третьих; 27 100 9 100 р. п. р. п. — разность двадцати семи сотых и девяти сотых; р. п. в. п. — от двадцати семи сотых отнять девять сотых; р. п. в. п. — из двадцати семи сотых вычесть девять сотых; X + 12 19 15 19 р. п. сумма икс и двенадцати девятнадцатых равна д. п. пятнадцати девятнадцатым. 1011. Выполните действие: 1+2-7 7’ в1 + А. ^ 19 19’ 2. 9’ ж) 1 + ^-9 9’ г) Ж+26_. ’ 100 100 ’ 3. 5’ з) 1012. Найдите значение выражения: а) А + а. если а = 1 11’ 3 11’ 5 . 11’ б)Ь-А, если Ь = 7 10’ 5 10’ 3 . 10’ в) А + А ‘ 14 14 + с, если с = 1 14’ 2 . 14’ г)12_А ’ 17 17 -d. если d = 4 17’ 5 17’ 13 17 ‘ 37 100 ±. 17’ 16 ‘ 100′ So 1013. Из 11 теплиц овощеводческого хозяйства 4 засажены помидорами, а 2 — огурцами. Какая часть теплиц занята огурцами и помидорами? Решите задачу двумя способами. 157 1014. Для посадки леса выделили участок площадью 300 га. Ель высадили на участка, а сосну — ^ участка. Сколько гектаров занято елью и сосной вместе? 1015. Бригада решила изготовить 175 изделий сверх плана. В первый 9 „ 13 день она изготовила ^ этого количества, во второй день — этого количества. Сколько изделий изготовила бригада за эти два дня? Сколько изделий ей осталось изготовить? 1016. Картофелем засажено ^ поля овощеводческого хозяйства. Огур- 1 й 8 цами засеяно на jy поля больше, чем морковью, и на jy поля меньше, чем картофелем. Какая часть поля засеяна огурцами и какая морковью? Какая часть поля занята картофелем, огурцами и морковью вместе? 1017. Выполните действия: б)| 1 7 3. i 19 19’ в) -1-А_ А. ^ 11 11 11’ ч 11 и* Тб» А ll5 + 4 _ 5. 7 7’ г) — + А + А; 12 12 12’ е) ^ 16 fl3 lie 3 16 Вб 1018. Решите уравнение: 5 2 . а) л: — 12 12’ 6) 15 — J, = -1; 16 ^ 16 1019. В палатке было 2 ц 70 кг фруктов. Яблоки составляли — всех фруктов, а груши — ^ всех фруктов. На сколько масса яблок больше массы груш? Решите задачу двумя способами. Вб 1020. В первый день турист прошёл yj всего пути, а во второй день — уу всего пути. Известно, что за эти два дня турист прошёл 36 км. Сколько километров составляет весь путь туриста? 5 2 1021. Первый рассказ занимал у^ книги, а второй рассказ — у^ книги. Известно, что первый рассказ занимал на 12 страниц больше, чем второй. Сколько страниц во всей книге? 158 А 19 1Л 1022. Воспользовавшись равенством найдите значения мд АО выражении и решите уравнения: а) ^25 25’ 6)16-12. ■^25 25’ 1023. Вычислите устно: а) 24 — 19 • 8 + 12 — 17 : 9 в) 57-49 • 7 + 14 — 28 : 7 в) X + 12 25 16. 25’ д) 66 — 59 • 7 + 17 — 38 : 4 П б) 42-33 • 6 + 27 — 9 : 8 г) 72-67 • 6 + 24 — 20 : 17 1024. На экскурсию отправляются 260 человек. Сколько нужно заказать автобусов, если в каждом автобусе должно быть не более 30 пассажиров? * 1025. Начертите отрезок. Затем начертите отрезок, длина которого равна: ,1 ,5 а) 2 длины данного отрезка; в) длины данного отрезка; 3 7 б) — длины данного отрезка; г) — длины данного отрезка. 4 О 1026. Найдите координаты точек 4, Б, С, D, £, М, К (рис. 128) и сравните эти координаты с 1. 1027. Вычислите периметр и площадь треугольника АВС (рис. 129). % О D М -1- > В н- 10 Рис. 128 Е Н- к -н 159 йб 9^ 9^ 1028. Сравните: 6)1 1 ци 5 _\_ 50 ц и ®) 100 1029. Верно ли, что: т; г) ■ т; Д) 1 10 J_ 10 д) кг и 250 г. а) ‘ 289 меньше 289. 157’ б) Щ больше 11^? 11 751 1030. Найдите все значения х, при которых дробь — будет правильной, 10 а дробь — неправильной. 1031. Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200. 1032. Сравните: а) и 13. 15’ в) 1 и Д) f и 0; и 1; е) 1 1 000 000 и 0. 1033. Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда. 1034. Для изготовления 750 м вискозной ткани требуется 10 кг целлюлозы. Из 1 м^ древесины можно получить 200 кг целлюлозы. Сколько метров вискозной ткани можно получить из 20 м^ древесины? 1035. Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определённой последовательности (набрать код). Сколько существует вариантов кода для этого замка? 1036. Решите уравнение: а) (д: — 111) ■ 59 = 11 918; в) (30 901 — а) : 605 = 51; б) 975(1/ — 615) = 12 675; г) 39 765 : (Ь — 893) = 1205. 1037. Решите задачу: 1) Из 30 высаженных семян взошли 23. Какая часть высаженных семян взошла? 2) На пруду плавали 40 лебедей. Из них 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди? 1038. Найдите значение выражения: 1) 76 • (3569 + 2795) — (24 078 + 30 785); 2) (43 512 — 43 006) • 805 — (48 987 + 297 305). 160 1039. За первый час было расчищено от снега всей дороги, а за вто- ^ 9 рой час — — всей дороги. Какая часть дороги была расчищена от снега за эти два часа? На какую часть дороги было расчищено меньше в первый час, чем во второй? g 1040. На платье для первой куклы было израсходовано ^ м ткани, а 9 на платье для второй куклы — ттг м ткани. Сколько ткани было израс- 25 ходовано на оба платья? На сколько больше ткани было израсходовано на платье второй куклы, чем на платье первой куклы? 1041. Выполните , действия: а) 2 г) 11- 3 ж) 12 1 5 . 11 1Г ‘ 25 25 19 19 19’ б) 1 + 1: д) 1 + 2 4 . з) 25 . 10 . _з_ 8 8 ‘ 9 9 9’ 23 23 23 в) 6 4 . el А+12 9 . 15 15’ ‘ 18 18 18’ 1042. Решите уравнение: 17 14 3 . 8 7 14 20 20 20’ 15 15 -h у 15” 1043. Геологи прошли маршрут длиной 75 км. В первый день они 3 ЭШЛИ — всего маршрута, а во вт( путь прошли геологи за эти два дня? 3 „4 I/. — прошли — всего маршрута, а во второй — ^ всего маршрута. Какой 1044. От деревни Никольское до города 24 км. Дорога лесом составляет — пути, а остальная часть проходит полем. Сколько километров дороги проходит полем? 1045. Из 12 дней зимних каникул Лена была 7 дней у бабушки. Какую часть каникул Лена была у бабушки? 1046. Из сливок получили 18 кг масла, что составляет массы сливок. Сколько было взято сливок? 1047. Автомашина за 3 дня прошла 980 км. За первые 2 дня она прошла 725 км. Сколько прошла автомашина в каждый из этих дней, если во второй день она прошла больше, чем в третий день, на 123 км? ГОРОД НИКОЛЬСКОЕ 6-Впленкнв, 5 кл. 161 K U, m 1048. Турист проехал 378 км. Поездом он ехал 4 ч, а на мотоцикле 3 ч. С какой скоростью турист ехал на мотоцикле, если поезд шёл со скоростью 60 км/ч? 1049. Выполните действия: а) 2 035 303 998 -ь 63 008 007 665; б) 23 268 841 675 + 6 777 888. 1050. Четвёртый лишний. В каждом ряду три числа обладают общим свойством, а одно число этим свойством не обладает. Укажите, что это за свойство и какое число лишнее. а) 25 49 121 45 в) б) 1 9 27 64 г) 14 35 39 42 18 102 33 44 27. Деление и дроби Разделим 2 одинаковых яблока между тремя детьми. Число 2 не делится нацело на 3. Поэтому разделим каждое яблоко на 3 равные части и дадим каждому ребёнку по одной части от каждого яблока. 1 2 Каждая часть — это ^ яблока, а две такие части — это ^ яблока. Значит, каждый ребёнок получит -I яблока. 2 Дробь — получилась при делении 2 яблок на 3 равные части. Поэтому О 2 черту дроби можно понимать как знак деления: — = 2 : 3. С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом. Если же разделить нацело нельзя, то частное является дробным числом. Например, 27:3=^=9;3:1 = ^=3;5:6=|;9:4=f. 3 1 6 4 Запишем число 3 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого надо найти такое число, при делении которого на 5 получилось бы 3. Таким числом является 3 • 5, то есть 15. Значит, 3 = 15 Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числитель этой дроби равен произведению числа и этого знаменателя. 162 так: / • V • Мы знаем, что = £ + ^. По-другому это равенство можно записать с с с (а + Ь) : с = а : с + Ь : с. Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные. Например: 9603 : 3 = (9000 + 600 + 3) : 3 = 9000 : 3 + 600 : 3 + 3 : 3 = = 3000 + 200 + 1 = 3201. Каким числом является частное, если деление выполняется нацело? « Каким числом является частное, если деление не выполняется нацело? * * Как записать число 12 в виде дроби со знаменателем 7? о ^ Сформулируйте свойство деления суммы на число. * « 1051. Запишите в виде дроби частные: 2:5; 1 : 10; 15 : 8; 7:1; 20 : 4; 77 : 10. ООО *ч07 1052. Запишите каждую из дробей в виде частного и найдите Zu о 1 его значение. 1053. Заполните пустые клетки таблицы: 4^ Частное Дробь Делимое Делитель Числитель Знаменатель 5 : 8 7 3 3 14 5 14 se. 1054. За неделю израсходовано 3 кг сахара. Сколько килограммов сахара в среднем расходовали за один день? 1055. Изделие на конвейере за 5 мин продвигается на 4 м. Найдите скорость движения конвейера. 1057. Верёвку длиной в 7 м разрезали на 12 равных кусков. Найдите длину каждого куска. 1056. Из 4 м ткани сшили 7 юбок. Сколько ткани пошло на каждую юбку? 6* 163 1058. Решите уравнение: а) ^ = 13; б) ^ =11; в) § = 28; 528 г) — = 66; Д) -76“ — 7. Л 1059. Найдите значение выражения, применяя свойство деления суммы на число: а) (48 + 80) : 16; в) 405 : 27 + 135 : 27; б) (3393 + 999) : 3; г) 2926 ; 19 + 874 : 19. 1060. Расскажите, как на координатном луче отметить точки: Ч?> 41> В) г) U00 100; V100 100. 19 23 _8_ 23 JI6 23 JM 23 1068. Сколько: а) граммов в ^ кг; в j кг; в ^ кг; as. б) минут в :г ч; в 4 6 ч; в) квадратных метров в ^ га; в га; в ^ га; г) кубических сантиметров в м-’ 1 ^ 5 2 ® 5 м®? 1069. В классе 40 человек. Из них 13 человек ещё не научились плавать. Какая часть учащихся класса умеет плавать? 1070. Кусок джинсовой ткани разрезали на равные части. Из 3 частей сшили брюки, а из 7 остальных частей — куртки. Какую часть материи израсходовали на брюки и какую на куртки? 165 е 2LM 1071. К полднику в детском саду на четырёхместный стол поставили сок, молоко, какао и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе один из напитков? 1072. По формуле а = bq + г найдите: а) а, если Ь = 19, ? = 64 и г = 18; б) Ь, если а = 567, qf = 37 и г = 12; в) q, если а = 361, й = 25 и г = 11. 1073. Решите задачу: 1) Время движения подводной лодки на поверхности воды в 20 раз меньше, чем время движения под водой. Сколько времени подводная лодка находилась под водой, если это время на 57 ч больше, чем время движения на поверхности воды? 2) Подводная лодка прошла под водой путь, в 17 раз больший, чем путь на поверхности воды. Сколько километров прошла лодка под водой, если на поверхности воды она прошла на 320 км меньше, чем под водой? 1074. Выполните деление с остатком: 1)2738 на 125; 2) 3049 на 134. 1075. В углах квадратной площадки установлены одинаковые столбы с четырьмя изоляторами для крепления проводов (рис. 130). Надо протянуть по два провода от столба А к столбу С и от столба В к столбу D так, чтобы провода не касались друг друга. Найдите несколько способов, как это можно сделать. Д :г 1 л «jswai гг i» -Й ^ V’ f. ,—s ■: t» . ‘ t 1076. Запишите в виде дроби частное: а) 4 : 7; б) 8 : 11; в) 1 ; 6; 1077. Запишите дробь в виде частного: 13’ ч 11. г) 9 : 1. , 139 0. Q. а 0. 5 3 Q. 0. Ч Q. Р Р IP Рис. 130 166 1078. 7 м проволоки разрезали на 8 равных кусков. Сколько метров проволоки в одном куске? 1079. 4 кг варенья разложили в 5 банок поровну. Сколько килограммов варенья в каждой банке? 1080. Две тракторные бригады вспахали вместе 762 га поля. Первая бригада работала 8 дней и вспахивала за день 48 га. Сколько гектаров поля вспахивала за день вторая бригада, если она работала 9 дней? Какая бригада вспахала больше и на сколько? 1081. Расстояние между двумя станциями 784 км. С этих станций одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Они встретились через 8 ч. Найдите скорость каждого поезда, если скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго. 1082. Выполните деление с остатком: а) 874 267 на 301; б) 765 420 на 523. 1083. Найдите делимое, если делитель равен 78, неполное частное 96 и остаток 17. 28. Смешанные числа Разделить поровну 5 одинаковых апельсинов между тремя детьми можно двумя способами. Во-первых, можно разделить между ними поровну каждый апельсин (рис. 131, а). Тогда один ребёнок получит по 5 частей, а каждая из этих частей равна ^ целого апельсина (рис. 131, б). Поэтому каждый ребёнок получит 5 2 апельсина. Во-вторых, можно сначала дать каждому из детей по целому апельсину, а оставшиеся 2 апельсина разделить между ними поровну (рис. 132, а). Тогда 2 каждый из детей получит 1 + g апельсина (рис. 132, б). а) б) Рис. 131 167 а) Рис. 132 б) Сумму 1 + ^ принято записывать короче: 1^. Запись 1^ читают так; «Одна целая две третьих». 2 2 Число 1 называют целой частью числа 1^, а число ^ — его дробной частью. Так как в обоих случаях каждый ребёнок получает одно и то же количество со S ? апельсинов, то числа ^ и 1-=- равны: ^ = 1^. 3 3 3 3 5 2 Чтобы перейти от записи — к записи 1-, надо разделить 5 на 3. Получим W О неполное частное 1 и остаток 2. Число 1 даёт целую часть, а остаток 2 — числитель дробной части. Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо; 1) разделить с остатком числитель на знаменатель; 2) неполное частное будет целой частью’, 3) остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель — знаменатель дробной части. Пример 1. Выделим целую часть из неправильной дроби Решение. Делим 47 на 9. Неполное частное равно 5, а остаток равен 2. Значит, .^ = 5§. ^ 9 9 Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Для краткости вместо «число в смешанной записи» говорят смешанное число. Смешанное число можно представить и в виде неправильной дроби. знаменсине.1Ь 47 45 целая насАь числитель 168 Пример 2. Представим в виде неправильной дроби число 5^. 2 2 Решение. Мы знаем, что 5- = 5 + -. Но5 можно записать в виде дроби со знаменателем 9, а именно: 5 = Значит, 52 = 5 + 2 ^ 45 ^ 2 ^ ^ 9 9 9 9 9 Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно: 1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части; 2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части; 3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения. Что называют целой частью числа и что — его дробной частью? Как найти целую и дробную части неправильной дроби? Как записать смешанное число в виде неправильной дроби? л***. 1084. Представьте число в виде суммы его целой и дробной частей: а)3|; 6)8^; в) 25if; г) if. 1085. Запишите в виде смешанного числа сумму: а)4+^; ш- 1086. Выделите целую часть из дробей: 5. 18. 69, 83. 98. 37. 503. 2073, 9. 18. 77, 4’ 7 ’ 14’ 25’ 11’ 10’ 100’ 1000’ З’ 6 ’ 77′ 77 7 ‘ 1087. Запишите в виде смешанного числа частные: 7:3; 15 : 4; 20 : 7; 87 : 10; 247 : 23; 377 : 18; 249 : 100. 1088. Примите за единичный отрезок длину 6 клеток тетради и отметьте 1 К О 1 на координатном луче точки с координатами: 3-^; 2^; 2^; 1-^. 3 6 3 2 1089. За неделю семья израсходовала 8 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля расходовали в среднем в один день? 1090. Турист прошёл 25 км за 4 ч. Найдите его скорость. 1091. Ученик решил 12 уравнений за 40 мин. Сколько минут в среднем он решгш каждое уравнение? Сколько секунд он потратил на решение каждого уравнения? 169 1092. Запишите в виде неправильной дроби числа: б) 2; 4; 5; 27 со знаменателями 7 и 11. я) Я — ’ ‘S —• 4 — — 2 — » ^ ^2’ ^3’ ^7’ ^10’ % 1093. Выразите: а) в часах: 1 ч 31 мин, 5 ч 19 мин, 34 мин, 1 сутки 9 ч 16 мин; б) в километрах: 2 км 260 м, 15 км 876 м. О 1094. Площадь фигуры равна 2— см^. Выразите площадь фигуры в 4 виде неправильной дроби. Скольким квадратным миллиметрам равна эта площадь? 1095. У Винни-Пуха несколько банок, вмещающих по кг мёда. Сколько ему понадобится таких банок, чтобы разлить в них 6^ кг мёда? 2 1 1096. Бревно, длина которого 9— м, распилили на части, по :г м в О « каждой. Сколько получилось таких частей? П 1097. Вычислите устно: 53 — 46 в) 63 — 57 Д) 81 — 73 • 7 • 6 ■ 8 + 31 + 34 + 26 — 45 — 30 — 58 : 7 : 8 : 8 ? ? ? 520 + 280 г) 600 — 120 : 20 : 4 • 5 • 2 : 25 : 5 • 125 • 20 4» 1098. Представьте числа 2, 2 в виде суммы их половин, четвертей и восьмых по образцу: .0.□ = ноиобимы ——V—— Hetdeeftniu V восьмые 170 1099. Восстановите цепочку вычислений: 1100. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина каждого отрезка на рисунке 133? ав. AL АР .D, \ , М ‘ Ч—Г — г ‘ -——г- ill I -» о -I — Рис. 133 1101. Как изменится правильная дробь и как изменится неправильная дробь, если у каждой из них поменять местами числитель и знаменатель? 171 ■к ■ ■ В старину на Руси использовались монеты достоинством меньи^е одной копейки: грош — к. U полушка — ^ к. Другие монеты тоже имели названия: 3 к. — алтын, 5 к. — пятак, 15 к. — пятиалтынный, 10 к. — гривенник, 20 к. — двугривенный, 25 к. — четвертак, 50 к. — полтинник. ‘Ж ■ ■1’Ш 1102. Подумайте, сколько полушек в алтыне. Сколько грошей в пятаке? Как гривенник можно разменять на алтыны и гроши? Сколько сдачи с пятиалтынного надо получить при покупке стоимостью в гривенник и три гроша? Сколько пятаков в четвертаке? Почему 25 к. называли четвертаком, а 50 к. — полтинником? 1103. Запишите в виде дроби частные 7 : 4, 21 : 11, 2 : 1 и в виде частного 19 11 5 28 дроби -. 1104. Длина прямоугольника 8 см, а ширина 3 см. Чему равна площади прямоугольника? 1105. Купили 2 кг 100 г крупы и высыпали её в три банки. В первую банку крупы вошло в 3 раза больше, чем во вторую, а в третью банку насыпали 500 г крупы. Сколько крупы насыпали в первую и сколько во вторую банки? 1106. Два автобуса вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 480 км. Скорость первого автобуса 52 км/ч, а скорость второго 42 км/ч. Пройдя 312 км, первый автобус встретился со вторым. На сколько часов первый автобус вышел раньше второго? 1107. Решите уравнение: 1) (327х — 5295) : 57 = 389; 2) (27х + 11) • 315 = 11 970. 1108. Найдите значение выражения: 1) 10 351 — (12 617 : 31 + 208 • 43); 2) 35-309 + 11 638 : 23 — 9321. д 1109. Выделите целую часть числа: 31. 43. 78. 8 ’ 10’ ^7’ а) г) 917 11 • У 1110. Запишите в виде неправильной дроби числа: а) 7, 9 и 10 со знаменателем 4; б) 2, 3 и 8 со знаменателем 5. 172 1111. Запишите в виде неправильной дроби: Ч — ‘ Я — ’ 1—* Q —• б — ^8’ *^5’ ^10’ ^15’ ^16’ /s S 1112. В первой канистре было в 5 раз больше бензина, чем во второй. Весь бензин из этих канистр вылили в пустой бензобак автомашины. Если в этот бак долить ещё 7 л бензина, то он окажется полным. Сколько литров бензина было в каждой канистре, если ёмкость бензобака 55 л? 1113. С аэродрома вылетел вертолёт со скоростью 210 км/ч. Через 2 ч с этого же аэродрома вылетел вслед за вертолётом самолёт, который через 3 ч после своего вылета перегнал вертолёт на 840 км. Найдите скорость самолёта. 1114. Составьте программу вычисления выражения 883 336 : 218 + 2967 • 305 и найдите его значение. 29. Сложение и вычитание смешанных чисел Сложение и вычитание смешанных чисел выполняется на основе свойств этих действий. р Задача 1. На столе лежали 3§ плитки шоколада. Сколько плиток шоколада 5 будет лежать на столе, если на него положить ещё плитки (рис. 134)? 5 Решение. Чтобы решить задачу, надо сложить числа 3— и 1-. 5 5 Так как з| = 3 + |, а 1-^ = 1 + .1, то 5 5 5 5 з| + 1^ = 3 + 1 + 14-1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 4 + 1 = 4|. OD О 5 55 55 Пишут короче: 3— + 1-1 = 4I. 5 5 5 о Значит, на столе будут лежать 4- плитки шоколада. 5 Рис. 134 173 Рис. 135 О Задача 2. На тарелке лежали 2^ плитки шоколада. Сколько останется 5 р плиток шоколада на тарелке, если 1-| плитки съедят (рис. 135)? 5 о р Решение. Чтобы решить задачу, надо из 2|- вычесть 1|-. Имеем; ^1-1 = = Пишут короче: — if = if. 5 5 5 J При сложении (и вычитании) чисел в смешанной записи целые части ; складывают (вычитают) отдельно, а дробные — отдельно. Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже имеющейся целой части. Например: sf + 2-f = sf!- = 5 + 9 9 9 9 = 5.l| = 6|. Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поступают так: б|-2| = (б + |)-2| = [5 + 1 + |]-2| = [5 + l|]-2| = = |5 + 2| = — 2| з|. Обычно пишут короче: 6у — 2у = 5^ — 2j = Зу. Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа. например: 4 — I = 3| — I = 3|; 8 — 3| = 7| — 3| = 4l 174 Как складывают и как вычитают смешанные числа? « • в • Л • • f Q • * О в ••э О л 1115. В одной коробке 2— кг конфет, а в другой коробке 2-^ кг. Сколько О 8 килограммов конфет в этих двух коробках? О 1116. Чему равна длина белой ленты, если длина красной ленты 3-м, 1 ^ а белая лента на 2- короче красной? 5 1117. Выполните действия: а) 5+ 2|; б) lOf — 7; 4 в) 4| + 10; г) 12± — 12: Д) 4i + 3|; е) 7|-4|; 1118. Найдите значение выражения: ж) 3^ + 5^-, м) 4 А_2А 11 11 11 11 з) «А — 7 —• 12’ н) 4 5. 9’ и) +- 2 — ‘ о) 8 7 . 12’ к) п) 5 л) -4 р) 4 -4 а) 4— — 1— + 2 — ; ^ 12 12 12’ б) 6— — 3— — 1 —. ‘ 15 15 15 1119. На базу привезли яблоки на двух грузовиках. На первом было 3 1 4— т яблок, а на втором — на 1^^ т меньше. Сколько тонн яблок привезли на базу? Выразите ответы в центнерах. 1120. Два шахматиста сыграли две партии: первая партия продолжа- 1 3 лась 1— ч, а вторая — на — ч больше. Сколько часов продолжалась игра? Выразите продолжительность игры в минутах. 1121. Вычислите устно: кб. а) 8^; 4 б) 33 . 2 в) 1Q3 • 3 г) 43 : 8 Д) 53 • 8 + 56 : 6 : 150 • 9 : 40 ; 18 • 7 • 48 + 19 • 60 ■ 25 -н 7 + 44 : 13 — 120 — 61 + 230 : 7 • 120 : 30 ? ? ? ? ? 175 П 1122. Восстановите цепочку вычислений: + 4 ^ +1 а) б) в) г) + ^ 5 17 / 17 Л сячж> 2 га 5дм= 50 м2 % 1123. Каковы координаты точек, отмеченных на рисунке 136? Чему равно расстояние (в единичных отрезках) между точками: О и Е, О и К, О и С, D и С, Д и Е, М и Е? Сравните координаты точек С и\ D, С Е, М \л К, N \л А, А \л В. I I I ; I 1 1 1 ! 1 1 : : \ 1 t i 1 1 ^ 1 1 ■ 1 . 1 1 > DC Е А I с м лг в 1 Рис. 136 1124. Между какими натуральными числами на координатном луче расположены смешанные числа: Зт1г. 15|. 1200:^7?? 7 10 9 100 1125. При каких значениях а частное 12 : а будет: а) натуральным числом; б) неправильной дробью: в) правильной дробью? Ответьте на те же вопросы для частного а : 6. 1126. Составьте задачу по уравнению: а) X + I = а) 3| -. = 2, 176 а) 10 11 -*-‘-^—‘-‘„А ‘— б) т_ 11 lA 10 7_ 10 Рис. 137 1127. По рисунку 137 составьте уравнение и решите его. 1128. В старинных книгох можно встретить такие названия дробей; — — иол, полтина, j — пятина, у — седьмйна, — десятйна. Подумайте, 11 1 как появились следующие названия: — — четь, — — полчёти, — — полполчёти, — полиолполчёти (малая четь). Дробь называли «треть». Попробуйте догадаться, как называли дроби -, —, —. Подумайте, почему смешанные числа называли: 1— полвтбра, — полтрётья, полчётверта, — полпйты, 5-j — пол1иёсты и т. д. Сохранился ли такой способ чтения в наше время? 1129. Из дробей выделите целую часть, а смешанные числа if; 5^; 7^; эЦ; 6.^ Правильных дробей. ИЗО. Выполните действия: запишите в виде не- а) 6 3 15. 19 19 Т 19’ б) 19 17 9 . 21 21 2Г в) 25 6 19 32 32 32 1131. Лесник прошёл 3 км и 4 ч ехал на лошади. С какой скоростью он ехал на лошади, если весь путь равен 34 км? N 177 е fi.lL Д 1132. Пошёл дождь. Под водосточную трубу поставили пустую бочку. В неё вливалось каждую минуту 8 л воды, а через щель в бочке выливалось 3 л воды в минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин; 2 мин; 3 мин? Успеет ли бочка наполниться, если её объём 400 л, а дождь шёл 1 ч 10 мин? 1133. Легковой автомобиль движется со скоростью 70 км/ч, а грузовой — со скоростью 40 км/ч. Сейчас легковой автомобиль находится сзади грузовика на расстоянии 60 км. Оба автомобиля движутся в одном направлении. Какое расстояние будет между ними через 1 ч, через 2 ч, через 3 ч? 1134. Решите задачу: 5 1) В третьем классе 35 учеников. Из них у умеют играть в шахматы. Сколько ребят в этом классе ещё не научились играть в шахматы? 2 2) В бригаде 15 человек. Из них ^ владеют только одной специальностью, а остальные — двумя. Сколько человек в бригаде владеют двумя специальностями? 1135. Найдите значение выражения: 1) (38 • 35 — 35) : 259; 2) (43 • 21 + 1671) : 429. 1136. Выполните действия: а)3.8А; 6) 10| — 3; »)7-|; 3) 10 — 3^. 15 А Q 1137. Длина прямоугольника ® ширина на — м меньше длины. Найдите периметр прямоугольника. О 1138. В один из дней зимних каникул мальчик 2— ч катался на лы- 5 жах, а на коньках на 1-| ч меньше. Сколько всего времени он катался на лыжах и коньках? 1139. Верёвку длиной 256 м разрезали на две части, одна из которых в 7 раз длиннее второй. На сколько метров одна часть верёвки длиннее второй? 1140. В археологических раскопках древнего города участвовали две экспедиции. В первой было в три раза больше сотрудников, чем во вто- 178 рой. Когда во вторую экспедицию прибыли ещё 18 человек, то в двух экспедициях вместе стало 66 сотрудников. Сколько стало сотрудников во второй экспедиции? 1141. В куске 112 м материи. Из куска сшили детские костюмы. Сколько метров материи осталось? 1142. Площадь прямоугольника 616 м^, а его длина 28 м. Найдите площадь такого квадрата, у которого периметр равен периметру прямоугольника. 1143. Выполните действия: а) (936 : 24 + 32- 14) : 487; б) (43 • 56 -Ь 43 • 44) : 215 — 15. С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчёты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби. В русском языке слово «дробь» появилось в Vlll веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломоть на части. В первых учебниках математики (в XVII веке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять». Современное обозначение дробей берёт своё начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII—XIV веках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта; напри- 2 мер, числа -, 2- записывались так; 1. Черта дроби стала постоянно исполь- ^ 3 зоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец U путешественник, сын городского писаря Фибонйччи (Леонардо Пизйнский). В 1202 году он ввёл слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввёл в XIII веке Максим Плануд — греческий монах, учёный-математик. 179 § 6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей 30. Десятичная запись дробных чисел Выразим расстояние 6 дм 3 см в сантиметрах: 6 дм 3 см = 63 см. Чтобы выразить то же расстояние в дециметрах, придётся использовать I 3 дроби. Так как 1 см = дм, то 3 см = дм, и потому 6 дм 3 см = 6— дм. 10 10 10 Таким же образом находим, что 4 ц 17 кг = ц. Знаменатель дробной О -\у части числа равен 10, а у числа он равен 100. Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой. 3 Например, вместо 6— пишут 6,3 (читают: «6 целых 3 десятых»). Вместо 4:^^ пишут 4,17 (читают: «4 целых 17 сотых»). Таким образом, 3 17 6 дм 3 см = 6jq дм = 6,3 дм; 4 ц 17 кг = ц = 4,17 ц. Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби. Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0. 57 Например, вместо пишут 0,57 (читают: «0 целых 57 сотых»). Значит, 57 57 см = м = 0,57 м. После запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр. 21 1000 сначала сколько нулей в знаменателе. Поэтому, например, число 7 ПР1 надо записать так: 7 (в знаменателе 3 нуля, в числителе 2 цифры, поэтому в числителе добавляем впереди один нуль). Потом это число записываем так: 7,021 (читают: «7 целых 21 тысячная»). 180 Значит, 6 кг 24 г = кг = 6,024 кг. Как короче записывают дроби, знаменатель которых единица с несколькими нулями? Как называют такую запись дроби? Сколько цифр будет стоять после запятой в десятичной записи дроби g ^ ‘g лч .• 5 iS J V* 18 7 10 000 Какое число будет в этой записи после запятой и какое до запятой? 1144. Запишите в виде десятичной дроби: 2 — ; 4-^; 24 — ; 98 — ; 1Л-; 10’ 10’ 100’ 100 100 10 75 8 . г. 565 10 000’ 10 000 ■ 333 8 45 1000 ’ 1000’ 1145. Прочитайте десятичные дроби: а) 2,7; 11,4; 401,1; 666,6; 0,8; 9,9; 99,9; 909,9; б) 5,64; 21,87; 381,77; 54,60; 2,80; 0,55; 0,09; 0,77; в) 1,579; 12,882; 326,703; 145,008; 21,094; 0,049; 0,001; г) 203,6; 20,36; 0,02036; 0,20506; 0,010101. 1146. Запишите в виде десятичных дробей числа: а) 7 целых 8 десятых; 5 целых 45 сотых; 0 целых 59 сотых; 78 целых 1 сотая; 4 целых 601 тысячная; 76 целых 32 тысячных; б) 6 целых 6 тысячных; 0 целых 2 сотых; 9 целых 3 тысячных; 785 целых 5 тысячных; 33 целых 8 десятитысячных. 1147. Запишите в виде дроби или смешанного числа: 2,7; 31,4; 567,39; 6,005; 42,78; 0,64; 0,60; 0,07; 0,99. 1148. Выразите: а) в дециметрах: 5 дм 6 см; 3 дм 1 см; 9 см; б) в центнерах: 24 ц 6 кг; 72 кг; 30 ц 65 кг; в) в килограммах; 6 кг 339 г; 5 кг 58 г; 6 т 14 кг 8 г; г) в тоннах и килограммах: 1,785 т; 24,300 т; 4,076 т; 5,050 т; д) в метрах и сантиметрах: 3,78 м; 2,09 м; е) в квадратных метрах и квадратных дециметрах 3,15 м^; 4,08 м^. 1149. Запишите в виде десятичных дробей частные: 182 : 10; 5405 : 100; 631 : 10 000; 74 : 1000; 849 : 1000; 3 : 100 000. 1150. Начертите отрезки: АВ =1,3 см; CD = 2,1 см; МР = 0,8 см. т 181 л 1151. Вычислите устно: а) 6^ + 24 б) : 12 • 20 + 60 : 32 23 • 9 — 34 + 18 : 14 • 25 в) 6 м 20 см : 31 + 30 см • 4 — 1 м 60 см 2 кг 50 г : 5 + 190 г • 8 — 3 кг 300 г т ре 1152. Назовите целую и дробную части числа: а)3|; 6)2^; в) ,7; г) lA; д) 1153. Сравните числа: 23, 2300, 023, 230, 00 023. 1154. Замените дробью или смешанным числом частные: 9:2; 5:11; 8 : 10; 15 : 10. 1155. Укажите координаты точек Л, Б, С, D (рис. 138). Каково расстояние в единичных отрезках между точками: О и С, О и D, Л и Б, С и D? . .. J 1 i 1 1 ‘ 1 LI с ‘ 1 л , f , о’ ‘ ‘ i ! I I I Рис. 138 т 1156. Какое число записывается: а) единицей с четырьмя последующими нулями; б) единицей с шестью последующими нулями; в) единицей с семью последующими нулями? 1157. Определите координаты точек, отмеченных на рисунке 139. Назовите эти координаты в порядке убывания. Назовите два числа, которые больше любой из этих координат. А -Ь Е Р > 1 I В м и— D О Рис. 139 182 1158. Выполните действия: а) 2| + 3| — 1^ + l|; 9 9 9 9 б) 8|-5| + з| + 1|. 1159. Запишите все числа, у которых целая часть 2, а знаменатель дробной части 6. 1160. Из чисел выделите целую часть, а числа 1^; 7 3 7 1 2 — : 12-^: 8^: 9:^ запишите в виде неправильной дроби. 1161. Сравните: а) 4-| и 4^: е> 4 ^ 4^ 8) 9| И f ; г) 2— м и 265 см. 4 1162. На рисунке 140 показан план квартала города. Ширина каждого дома 25 м, длина 50 м, ширина дорог 25 м. Расскажите, как ближайшим * «■ путём пройти от точки А до входа в школу; на почту; в ателье; в дом № 9. Как бы вы объяснили дорогу от дома № 5 до дома № 11; до дома № 6? Рис. 140 1163. Длина прямоугольного параллелепипеда 14 см, ширина 8 см и высота 7 см. Найдите высоту другого прямоугольного параллелепипеда, если его длина 28 см, ширина 7 см, а объём равен объёму первого параллелепипеда. 183 N д 1164. Решите задачу; 1) Масса арбуза и трёх одинаковых дынь 10 кг. Дыня в 2 раза легче арбуза. Какова масса арбуза? 2) Масса тыквы и трёх одинаковых кабачков 20 кг. Тыква в 2 раза тяжелее кабачка. Какова масса тыквы? 3) За три прыжка кенгуру преодолел расстояние 20 м 70 см. Первые два прыжка оказались одинаковыми, а третий — на 1 м 20 см длиннее. Какова длина второго прыжка кенгуру? 4) Расстояние до норы в 6 м заяц преодолел в четыре прыжка. Первые три прыжка оказались одинаковыми, а последний на 40 см короче остальных. Найдите длину второго прыжка зайца. 1165. Решите уравнение: 1) д: : 16 = 4759 + 1441; 3) 13 600 : z = 3876 — 3851; 2) у : 21 = 2467 — 1867; 4) (2865 + А) • 125 = 542 875. 1166. Запишите в виде десятичной дроби числа: б) 124 10’ 11 1000 8 11 . 100’ 12 . 18 27 . „_9_. 100’ 100’ 103 10 1 , 100′ 547 10 000 ’ 100 000 ’ 1167. Сравните: 160 1000 1 . _3_. 10 000 ’ 10 ’ 13 23 1000’ JL. 1 100 ’ 10 000 а) и| и 12i; оЧ «17 «16 ®25- б)8| И 3 ’ 1168. Выразите: а) в километрах: 8 км 907 м; 35 м; 250 м; 1 м; б) в центнерах и килограммах: 4,2 ц; 7,33 ц; 0,24 ц; 0,05 ц. 1169. Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м, одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 мин. 1170. С трёх лугов собрали 197 ц сена. С первого и второго лугов собрали поровну, а с третьего — на 11ц больше, чем с первого. Сколько сена собрали с каждого луга? 1171. Выполните действия: а) ((22 962 : 534 + 9936 : 48) : 25 + 37) • 43; б) 38 • 203 + 75 • (514 — 476) -Ь (15 -Ь 23) • 22. 184 31. Сравнение десятичных дробей Пусть длина отрезка АВ равна 6 см, то есть 60 мм. Так как 1 см = 1 „ 6 _ . 1 = ДМ, ТО 6 СМ = 7л ДМ. Значит, АВ = 0,6 дм. Так как 1 мм = 10 100 ДМ, то 60 60 мм = дм. Значит, АВ = 0,60 дм. Таким образом, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значит, десятичные дроби 0,6 и 0,60 выражают длину одного и того же отрезка в дециметрах. Эти дроби paenbf друг другу: 0,6 = 0,60. ; Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то по-; лучится дробь, равная данной. Например, 0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000; 26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60; 0,900 = 0,90 = 0,9. Сравним две десятичные дроби 5,345 и 5,36. Уравняем число десятичных знаков, приписав к числу 5,36 справа нуль. Получаем дроби 5,345 и 5,360. Запишем их в виде неправильных дробей: 5360 5,345 = 5:^ = 5,360 = 5:^ 1000 1000 1000 1000’ У этих дробей одинаковые знаменатели. Значит, та из них больше, у которой больше числитель. Так как 5345 так, чтобы получилось верное неравенство: 21 * 18,75; 8,006 * 9,0001; 7,2 * 7,2005; 4,009 * 3,999. 1181. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство: а) 2,*1 > 2,01; б) 1,34 17 при а = А; 1187. Можно ли сказать, сколько цифр после запятой в записи десятичной дроби, если её название заканчивается словом: а) сотых; б) десятитысячных; в) десятых; г) миллионных? 1188. Какую часть килограмма составляют: 1 г; 10 г; 100 г; 300 г? 1189. Найдите число, если его равна: 20; 15; 3; 1. 1190. Используя рисунок 142, попробуйте догадаться, какое число стоит вместо звёздочки: а) I = 6)1 = ^; в) J = А; г) | = 1 10 Рис. 142 ISM 1191. Все шесть граней куба — квадраты. Подумайте, какие из фигур, изображённых на рисунке 143, являются развёрткой поверхности куба. IBBAP 11 II ‘Tt: ]j] ‘it:. -.тай. L (5!?7‘л ‘ j . .»З Xiti? б) а) в) г) д) Рис. 143 1192. Выразите в тоннах и килограммах: а) 3,236 т; в) 0,006 т; д) 8,009 т; б) 11,800 т; г) 7,001 т; е) 10,001 т. 1193. Выразите: а) в миллионах: 8 984 000; 91,78 млрд; б) в тысячах: 1306; 8,065 млн; 17,8 млрд. 188 Рис. 144 1194. Какую массу показывают каждые весы (рис. 144)? Запишите результат в килограммах. 1195. Запишите в виде десятичных дробей частные: 7206 : 100; 61 ; 1000; 7 : 100; 1849 : 1000. 1196. Решите задачу: а) Теплоход идёт вниз по реке. Какова скорость движения теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч, а собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) равна 21 км/ч? б) Моторная лодка идёт вверх по реке. Какова скорость движения лодки, если скорость течения 3 км/ч, а собственная скорость лодки 14 км/ч? 1197. Разложите по разрядам числа: 5089; 6 781 802; 8000; 98 000 560. 1198. Выполните действие: а1 9 + 3. Д) 3 3 б) в) г) И 50 2 + ^: 17 -н и) к) л) м) 3J_____-|.3. “^5 ^5’ 2l-l7 9’ if.f; + 4 29. 50’ 1199. Решите задачу: 1) Со станции вышел товарный поезд со скоростью 50 км/ч. Через 3 ч с той же станции вслед за ним вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд? 2) Самолёт вылетел с аэродрома со скоростью 500 км/ч. Через 2 ч с этого же аэродрома в том же направлении вылетел другой самолёт со скоростью 700 км/ч. Через сколько часов после вылета второй самолёт догонит первый? 1200. Сравните числа: а) 3,573 и 3,581; в) 7,299 и 7,3; д) 3,29 и 3,3; б) 8,605 и 8,59; г) 6,504 и 6,505; е) 4,85 и 0,1. д 189 1201. Напишите все цифры, которые можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство: а) 0,*3 > 0,13; в) 5,64 > 5,*8; д) 12,*4 > 12,53; б) 0,1* -Ч-( f -t — I— <—t—h- ь- |—t--A В С D К Рис. 146 1236. Зная, что 11,87 - 7,39 = 4,48, найдите значение выражения или решите уравнение: г) 7,39 + у = 11,87; д) 4,48 + г = 11,87; е) 11,87-р = 7,39. а) 7,39 -ь 4,48; б) 11,87 - 4,48; в) л: - 7,39 = 4,48; 194 1237. Прочитайте показания термометров (рис. 147). Сколько градусов будет показывать каждый из них, если его столбик: а) поднимется на 4 малых деления; на 2 больших деления; на 0,5°С; на 1,3 °С; б) опустится на 7 малых делений; на одно большое деление; на 0,3°С; на 1,4 °С? 1238. Решите уравнение: а) г + 3,8 = 8; б) у- 6,5 = 12; в) 13,5 - X = 1,8; г) 15,4 + k = 15,4; д) 2,8 + 1 + 3,7 = 12,5; е) (5,6 - г) -I- 3,8 = 4,4. 1239. Вычислите устно: л гл I а) 60 - 36 • 3 : 4 + 27 : 3 в) 75 25 • 15 : 9 • 12 -и 240 Рис. 147 ? ? б) 55 + 25 г) 15-6 д) 45 + 30 : 5 - 39 : 15 + 7 : 17 • 20 • 3 • 18 - 34 + 31 + 46 : 11 ? ? ? Восстановите цепочку вычислений + 3 — 1 ^^'^11 Н ппм V = 6 14 4 3 1 7 ^ 11’ 1Г 11’ 11’ ^11' >1 ■ , = или 2,8*; в) 0,*7 7 Разделим 96,1 на 10. Если частное умножить на 10, должно получиться снова 96,1. Но при умножении десятичной дроби на 10 запятую переносят на одну цифру вправо. Значит, при делении на 10 запятую надо переносить на одну цифру влево: 96,1 : 10 = 9,61. Проверка: 9,61 • 10 = 96,1. При делении на 100 запятую переносят на две цифры влево. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, . , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе. При этом иногда приходится написать перед целой частью нуль или несколько нулей. Например: 8,765 : 100 = 008,765 : 100 = 0,08765. С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби. Другими словами, с помощью деления обращают обыкновенную дробь в десятичную. 3 Пример. Обратим дробь ^ в десятичную. 3 Решение. Дробь является частным от деления 3 на 4. Деля 3 на 4, 3 получаем десятичную дробь 0,75. Значит, ^ = 0,75. Что значит разделить десятичную дробь на натуральное число? Как делят десятичную дробь на натуральное число? Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000? Как обратить обыкновенную дробь в десятичную? • •• 7 1/4 -Виленкин. 5 кл. 209 1340. Выполните деление: а) 20,7 : 9; ж) 1 : 80; б) 243,2 : 8; в) 88,298 : 7; г) 772,8 : 12; д) 93,15 : 23; е) 0,644 : 92; и) 3 = 3, 00000 з) 0,909 : 45; и) 3 : 32; к) 0,01242 : 69; л) 1,016 : 8; м) 7,368 ; 24. 1341. В самолёт для полярной экспедиции загрузили 3 трактора, массой 1,2 т каждый, и 7 аэросаней. Масса всех аэросаней на 2 т больше массы тракторов. Какова масса одних аэросаней? 1342. Стороны одного прямоугольника 12 см и 6,6 см. Площадь второго прямоугольника в 11 раз меньше площади первого. Найдите ширину второго прямоугольника, если его длина 8 см. 1343. Турист должен был пройти за два дня 25,2 км. В первый день О он прошёл — пути. Сколько километров прошёл турист во второй день? 7 1344. Собрали 36,9 т клубники. На консервный завод отправили — собранной клубники, а остальную клубнику передали для продажи населению. Сколько тонн клубники было продано населению? 1345. Для посева было приготовлено 25,2 т семян. В первый день на 4 о 4 посев израсходовали — всех семян, а во второй — — остатка. Сколько 9 7 семян осталось после двух дней посева? 1346. На соревнованиях по бегу Вася пробежал дистанцию за 1,2 мин, 5 что составило — времени, затраченного Колей на эту же дистанцию. За о какое время Коля пробежал дистанцию? 7 1347. Электрифицировано 16,1 км железной дороги, что составляет — всей дороги между двумя станциями. Какова длина дороги между этими станциями? 1348. Решите уравнение: а) 4х — JC = 8,7; в) а + а -f 8,154 = 32; б) Зу-1- 5t/= 9,6; г) 7А — 4А — 55,2 = 63,12. 1349. В двух корзинах 16,8 кг помидоров. Масса помидоров в одной корзине в 2 раза больше, чем в другой. Сколько килограммов помидоров в каждой корзине? 1350. Площадь первого поля в 5 раз больше площади второго. Чему равна площадь каждого поля, если площадь второго на 23,2 га меньше площади первого? 210 1351. Для приготовления компота составили смесь из 8 частей (по массе) сухих яблок, 4 частей урюка и 3 частей изюма. Сколько килограммов каждого из сухофруктов понадобилось для 2,7 кг тгжой смеси? 1352. В двух мешках 1,28 ц муки. В первом мешке на 0,12 ц муки больше, чем во втором. Сколько центнеров муки в каждом мешке? 1353. В двух корзинах 18,6 кг яблок. В первой корзине яблок на 2,4 кг меньше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине? 1354. Представьте в виде десятичной дроби: 3. 5. 7. 83. .1. rj(s3 .21 4’ 8’ 4’ 25’ 2’ 75 84’ 1355. Чтобы собрать 100 г мёда, пчела доставляет в улей 16 тыс. нош нектара. Какова масса одной ноши нектара? 1356. В пузырьке 30 г лекарства. Найдите массу одной капли лекарства, если в пузырьке 1500 капель. 1357. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните действия: 15; а) 2 + 0,8; 3 «^1 д) I J + 0,7 I : 11; б) 1,34 — г) ® 25’ ’60 1358. Решите уравнение: а) (д: — 5,46) -2-9; 1359. Найдите значение выражения: а) 91,8 : (10,56 — 1,56) -1 0,704; б) (61,5 — 5,16) : 30 5,05; в) 66,24 — 16,24 : (3,7 + 4,3); г) 28,6 4- 11,4 : (6,595 + 3,405); 1360. Вычислите устно: а) 2,5-1,6; б) 1,8 + 2,5; 3,2-1,4; 2,7-(-1,6: (0,6 -f 3,4); е) — 0,; б) (у + 0,5) : 2 = 1,57. 25-27. д) 15,3 -4:9-»- 3,2; е) (4,3 + 2,4 : 8) • 3; ж) 280,8 : 12 — 0,3 • 24; з) (17,6 • 13 — 41,6) : 12. 0,47 — 0,27 0,64 — 0,15 0,71 — 0,28 0,63 -(- 0,17 0,38 -+- 0,29 0,55 -(- 0,45 в) 3,4 — 0,2; 2,6 — 0,05; 4,52 — 1,2; 4 — 0,8; 1 — 0,45; г) 5 ■(■ 0,35; 3,7 -I- 0,24; 0,46 -(- 1,8; 0,57 -I- 3; 1,64 -(- 0,36. 1361. Выполните умножение: а) 0,3-2; г) 2,3 — 3; ж) 3,7 • 10; и) 0,18 • 5; б) 0,8 • 3; д) 0,21 • 4; з) 0,09 ■ 6; к) 0,87 • 0. в) 1,2-2; е)1,6 -5; 1362. Догадайтесь, каковы корни уравнения: а) 2,9х = 2,9; в) 3,7х = 37; д) а» = а; б) 5,25д: = 0; г) = х; е) = т^. % Л 7 1/4* 211 е ж 1363. Как изменится значение выражения 2,5а, если а: увеличить на 1? увеличить на 2? увеличить в 2 раза? 1 3 1364. Расскажите, как на координатном луче отметить число: —; 0,25; 0,5; 0,75. Подумайте, какие из данных чисел равны. Какой дроби со знамена- 3 1 телем 4 равны 0,5? Сложите: — и 0,25; — и 0,15. 1365. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел, и запишите ещё два числа этого ряда: в) 0,9; 1,8; 3,6; 7,2; . г) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1; . а) 1,2; 1,8; 2,4; 3; . б) 9,6; 8,9; 8,2; 7,5; . 1366. Выполните действия: а) (37,8 — 19,1)• 4; б) (14,23 + 13,97) • 31; в) (64,37 + 33,21 — 21,56) • 14; г) (33,56 — 18,29) • (13,2 + 24,9 — 38,1). 1367. Увеличьте каждое из чисел: а) 3,705; 62,8; 0,5 в 10 раз; б) 2,3578; 0,0068; 0,3 в 100 раз. 1368. Округлите число 82 719,364: а) до единиц; в) до десятых; д) до тысяч. б) до сотен; г) до сотых; 1369. Выполните действие; Г) 1 + jl 9 9 4» fts. 1370. Сравните; _8_ _ _9_ _ _4_ 13 13 13 13’ 1371. Коля, Петя, Женя и Сеня взвесились на весах. Получились результаты: 37,7 кг; 42,5 кг; 39,2 кг; 40,8 кг. Найдите массу каждого мальчика, если известно, что Коля тяжелее Сени и легче Пети, а Женя легче Сени. 1372. Упростите выражение и найдите его значение: а) 23,9 — 18,55 — т, если т = 1,64; б) 16,4 + k + 3,8, если k = 2,7. 1373. Решите уравнение: а) 16,1 — (X — 3,8) = 11,3; б) 25,34 — (2,7 + у) = ^ 5,34. 1374. Найдите значение выражения: 1) (1070 — 104 040 : 2312) • 74 + 6489; 2) (38 529 + 205 • 87) : 427 — 119. д 1375. Выполните деление: а) 53,5 : 5; Д) 0,7 : 25; и) 9,607 : 10; б) 1,75 : 7; е) 7,9 : 316; к) 14,706 : 1000; ■■ в) 0,48 : 6; ж) 543,4 : 143; л) 0,0142 : 100; ■■ г) 13,2 : 24; з) 40,005 : 127; м) 0,75 : 10000. 212 1376. Автомашина шла по шоссе 3 ч со скоростью 65,8 км/ч, а затем 5 ч она шла по грунтовой дороге. С какой скоростью она шла по грунтовой дороге, если весь её путь равен 324,9 км? ^ 1377. На складе было 180,4 т угля. Для отопления школ отпущено этого угля. Сколько тонн угля осталось на складе? 5 1378. Вспахали у поля. Найдите площадь этого поля, если вспахали 32.5 га. 1379. Решите уравнение: а) 15х = 0,15; е) 8р — 2р — 14,21 = 75,19; б) 3,08:1/= 4; ж) 295,1 : (п — 3) = 13; в) За + 8а = 1,87; з) 34 • (яг + 1,2) = 61,2; г) 7г — 32 = 5,12; и) 15 • (А: — 0,2) = 21. д) 2t + Ы + 3,18 = 25,3; 1380. Найдите значение выражения: а) 0,24 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 30; б) (1,24 + 3,56) : 16; в) 2,28 + 3,72 : 12; г) 3,6 + 2,4 : (11,7 — 3,7). 1381. С трёх лугов собрали 19,7 т сена. С первого и второго лугов собрали сена поровну, а с третьего собрали на 1,1 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько сена собрали с каждого луга? 1382. Магазин за 3 дня продал 1240,8 кг сахара. В первый день было продано 543 кг, во второй — в 2 раза больше, чем в третий. Сколько килограммов сахара продано в третий день? 1383. Машина прошла первый участок пути за 3 ч, а второй участок — за 2 ч. Длина обоих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8.5 км/ч больше, чем на первом? 1384. Обратите в десятичные дроби: 1385. Постройте фигуру, равную фигуре, изображённой на рисунке 151. 1386. Из города выехал велосипедист со скоростью 13,4 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал другой велосипедист, скорость которого 17,4 км/ч. Через сколько часов после своего выезда второй велосипедист догонит первого? 1387. Катер, двигаясь против течения, за 6 ч про- шёл 177,6 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2,8 км/ч. Рис. 151 8-Виленкин. 5 кл. 213 1388. Кран, который подаёт в минуту 30 л воды, за 5 мин наполнил ванну. Потом кран закрыли и открыли сливное отверстие, через которое вся вода вылилась за 6 мин. Сколько литров воды выливалось за 1 мин? 1389. Решите уравнение: а) 26 • (X + 427) = 15 756; в) 22 374 б) 101 • (351 + у) = 65 549; г) 38 007 (к — 125) = 1243; (4223 — 0 = 9. 36. Умножение десятичных дробей Задача. Человек идёт со скоростью 4,6 км/ч. Какое расстояние он пройдёт: а) за 3 ч; б) за 0,1 ч; в) за 0,3 ч? Решение, а) За Зч человек пройдёт 4,6 ■ 3, то есть 13,8 км. б) За 0,1 ч, то есть за ч, человек пройдёт в 10 раз меньше, чем за 1 ч, то есть он пройдёт (4,6 : 10) км, или 0,46 км. 3 в) Так как 0,3 = . то путь, пройденный за 0,3 ч, втрое больше пути, прой- денного за 0,1 ч. Он равен (0,46 • 3) км, то есть 1,38 км. Так как путь равен произведению скорости движения и времени, то надо считать, что 4,6 • 0,1 = 0,46. Тот же результат получается при делении 4,6 на 10, то есть 4,6 : 10 = 0,46. Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 — то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе. Похожим способом получаем, что 4,6 • 0,3 = 1,38. Чтобы умножить 4,6 на 0,3, надо сначала умножить 4,6 на 3, а потом разделить на 10. Тот же результат получится, если умножить 4,6 на 0,3, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой две цифры справа, то есть столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. у’ ш Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо: 1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые; 2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей. Например: (- 3 + 2 1 J тб : 214 При умножении числа на неправильную десятичную дробь оно увеличивается или не изменяется: 4,2 • 3,5 = 14,7, 14,7 > 4,2; 4,2 • 1 = 4,2. При умножении числа на правильную десятичную дробь оно уменьшается: 4,2 • 0,35 = 1,47, 1,47 1- ж) 0,64 : 4; к) б) 5,55 : 5; \ 1.2 д) 3) 0,28 : 7; л) в) 4 : 5; и) 46,2 : 10; м) Л % л) 23 : 100; м) 19,2 : 1000. 1417. Вычислите площадь прямоугольника, если его стороны равны: а) 3,5 см и 4 см; б) 1,8 дм и 5 дм; в) 8 м и 1,25 м. 1418. Какую цифру (одну и ту же) можно подставить вместо звёздочки, чтобы было верно: а) 0,5* = 0,*5; б) 0,*3 > 0,5*; в) 6,8*1 5,4, а 4,5 ‘1 и -“I tiv fiJ :«аЕй v:T j- ’fe;’-‘- ^ : \i- ^ MT.r ,.■■ ■’■ : QA ■ _’ ‘Л1* OE ! ^4 J t r.Y . .V V ■ . тичной системе). Сравните представление числа, запись которого состоит из четырёх цифр 1, в виде суммы разрядных единиц в десятичной и двоичной системах: 1111 = 1 • 1000 + 1 • 100 + 1 • 10 + 1 = 1 • 10* + 1 • 102 + 1 • 10 + 1; ИИз =1-8 + 1- 4 + 1- 2 + 1 = 1-2*+1-22 + 1- 2 + 1 = 15. Попробуйте записать в десятичной системе счисления числа, которые в двоичной системе пишутся так: 10^; lOOj; lOlg; ИО^; lllO^. Запишите в двоичной системе все натуральные числа от 1 до 15 включительно. Подумайте, почему двоичная система широко используется в вычислительной технике, но она неудобна в повседневной практике. 1524. Найдите среднее арифметическое чисел: а) 32,15; 31,28; 29,16; 34,54 и округлите ответ до сотых; б) 3,234; 3,452; 4,185; 2,892 и округлите ответ до тысячных. 1525. Измерьте длину десяти своих шагов и найдите среднюю длину шага. 1526. Автомашина шла 3 ч со скоростью 53,5 км/ч, 2 ч со скоростью 62,3 км/ч и 4 ч со скоростью 48,2 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомашины на всём пути. 1527. Турист шёл 3,8 ч со скоростью 1,2 м/с, а затем 2,2 ч со скоростью 0,9 м/с. Какова средняя скорость движения туриста на всём пути? 1528. Среднее арифметическое двух чисел 4,6. Одно число 5,4. Найдите другое число. 1529. Среднее арифметическое двух чисел 4,4. Найдите эти числа, если одно из них на 1,4 больше другого. 1530. Среднее арифметическое трёх чисел 6. Найдите эти числа, если первое число в 2,5 раза больше, а второе в 1,5 раза больше третьего. 1531. За 7 ч тракторист вспахал 4,9 га. С какой скоростью двигался трактор, если ширина полосы, вспахиваемая плугами, равна 1,75 м? 1532. Для приготовления салата из зелёного лука берут 150 г зелёного лука и 30 г сметаны. Сколько сметаны потребуется повару, чтобы приготовить салат из 27 кг зелёного лука? 1533. Каждый год растительный мир даёт 117 млрд т прироста массы. Каждые 3 т этой массы дают столько же энергии, сколько 1 т нефти. Сколько тонн нефти может заменить прирост массы растений за 4 года? 1534. Найдите значение выражения: а) 3,4д: -Ь 5,7х -ь 6,6х — 4,7х при х = 3,6; 0,8; 10; б) 3,8т — (2,8т -ь 0,7т) при т = 2,4; 8,57; в) 16,75«/ — (4,75i/ -Ь 10,8) при у = 0,9; 3,01. 230 Рис. 154 1535. Выполните действия: а) 42,165 — 22,165 : (0,61 + 3,42); б) 243,08 + 256,32 : (28 — 25,5). Первымы «вычыслительнымы устройствами», которыми пользовались в древности люди, были пальцы рук U камешки, позднее появились бирки с зарубками U верёвки с узелками. В Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры использовали абйк — доску с полосками, по которым передвигались камешки. Это было первое устройство, специально предназначенное для вычислений. Со временем абак совершенствовали — в римском абйке (рис. 154) камешки или шарики передвигались по желобкам (от римлян к нам перешло слово «калькуляция», означаюьцее буквально «счёт камешками»); в китайских счётах «суан-пан» (рис. 155, а) и японских «соробан» (рис. 155, б) шарики были нанизаны на прутики. Абак иросуьцествовал до XVII века, когда его заменили письменные вычисления. Русский абак — счёты (рис. 155, в) появились в XVI веке, ими пользуются и в наши дни. Большое преимущество русских счётов в том, что они основаны на десятичной системе счисления, а не на пятеричной, как все остальные абйки. Первый арифмометр, выполнявший все четыре арифметических действия, создал в 1673 году немецкий физик, изобретатель и математик Гбтфрид Вильгёльм Лёйбниц. Наиболее совершенный для того времени арифмометр изобрёл в 1878 году великий русский математик Пафн^тий Львбвыч Чебышев. Создание миниатюрных ЭВМ — микрокалькуляторов — стало возможным после того, как были разработаны способы изготовления электронных схем, содержащих тысячи транзисторов и других элементов на пластинке размером с ноготь человека. С использованием микрокалькуляторов для вычислений мы познакомимся в следующем пункте учебника. а) f# _/# ^ ^ ^ ^ -а — DM СС М СИ ВИЮ—С 1е—СО* -И -И и- м и- м б) — -жиа/ iS!!’/ Рис. 155 231 § 8. Инструменты для вычислений и измерений 39. Микрокалькулятор Для удобства и быстрого выполнения вычислений в настоящее время используют микрокалькуляторы (рис. 156). С их помощью можно выполнять арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Чтобы микрокалькулятор работал, надо перевести переключатель питания в положение «ВКЛ». При этом активизируется индикатор (говорят также «экран», «табло»). Ниже индикатора расположена клавиатура, на которой есть клавиши с изображением цифр и клавиши с обозначением действий. ; Если нажать клавишу с цифрой 6, то эта ; цифра высветится на индикаторе. Чтобы I ввести в микрокалькулятор натуральное ! число, надо нажимать клавиши с цифра-• ми этого числа по порядку, начиная со ! старших разрядов. Например, чтобы ввести число 8403, надо по порядку нажимать клавиши с цифрами 8, 4, о, 3. Тогда на индикаторе вы- М«|» Mil* МИ+ МС MR М- М4- лГ ми 0(М) ^ % +4 4‘tTt6

X — Ч i D 1 о 1^>-г.СГТи ■ Т *2 “З о 00 + = 8403 Рис. 156 светится число Чтобы ввести десятичную дробь, надо сначала ввести целую часть этой дроби, потом нажать клавишу с точкой (она заменяет запятую) и, наконец, ввести дробную часть, начиная с разряда десятых. Например, чтобы ввести число 78,309, надо по порядку нажать клавиши с цифрами 7, 8, потом клавишу с точкой, а затем клавиши с цифрами 3, 0, 9. На индикаторе получим 78.309 • Чтобы сбросить число с индикатора, нажимают клавишу с буквой С ; (сброс). Чтобы сложить, например, числа 941,3 и 714,9, надо выполнить следующую программу действий: 1) Ввести в калькулятор число 941,3. 2) Нажать клавишу [

+]. 232 1656.2 3) Ввести число 714,9. 4) Нажать клавишу Q. На индикаторе высветится ответ Эту программу коротко записывают так: 941,3 714,9 Вычитание из числа 941,3 числа 714,9 делается почти так же, только в команде 2 надо нажать не клавишу [^, а клавишу [^. После выполнения программы получаем ответ 226.4 Чтобы найти произведение чисел 941,3 и 714,9, надо в команде 2 нажать клавишу [^, а для нахождения частного 941,3 : 714,9 в той же команде надо нажать клавишу рГ|. Если результат вычисления содержит больше цифр, чем помещается на индикаторе, то высвечиваются лишь старшие разряды, а остальные цифры ответа пропадают, округление не производится. Замечание. Вместо клавиши на последнем шаге программы можно нажимать любую из клавиш [^, [^, [^, [^. На индикаторе высвечивается тот же ответ, а микрокалькулятор настраивается на выполнение соответствующей операции над числом, высвеченным на экране. Пример 1. Выполним действия: (30,78 + 25,38) • 54,21. Решение. Выполняем программу: 30,78 25,38 0 54,21 Q. На индикаторе высвечивается ответ 3044.4336 Объясните, как вводят в микрокалькулятор натуральное число. Как ввести десятичную дробь? Как сложить с помощью микрокалькулятора два числа? Как вычитают с его помощью? Как умножают? Как делят? •«6 1536. Прочитайте показание на индикаторе (рис. 157): 3 с П и I “| !• и I____I и 1.1 I _1 I Рис. 157 233 % т 1537. Введите в микрокалькулятор числа: 20 000; 45 897; 3,9045; 0,000761. После введения каждого числа не забывайте сбрасывать предыдущее число. 1538. Выполните с помощью микрокалькулятора действия: а) 39,614 + 89,213; 560,98 + 1039,71; 0,0876 + 0,0876; 0,0876 + 0,91469; 24 714 395 + 39 623 008; б) 98,542 — 67,413; 714,932 — 521,081; 0,09854 — 0,05421; 76 539 086 — 22 612 007; в) 24,15 • 39,52; 1,987 • 2,608; 0,5637 • 0,451; 0,0567 • 2,371; г) 18,324169 : 3,427; 621,83538 : 24,501; 673 074,72 : 941,1. 1539. Выполните письменно, а потом проверьте ответ с помощью микрокалькулятора: а) 45,614 -Ь 20,542; в) 76,2 • 2,45; б) 510,78 — 248,81; г) 821,1 : 34,5. 1540. С помощью микрокалькулятора найдите значение выражения: Л а) 412,89 -ь 306,24 — 678,59; б) 8,508 -ь 9,439 — 2,524; в) 0,769 • 5,142 • 3,71; г) 9,725 • 1,06 : 3,89; 1541. Вычислите устно: д) 24,78 • 51,8 -t- 248,713; е) 871,017 : 5,05 — 11,376; ж) (280,65 + 317,25) • 4,24; з) (953,54 — 396,41): 75,8-4,12. а) 7 + 0,2 б) 10,9 — 1 В) 6-2,4 Г) 40 • 0,4 : 9 : 3 : 6 : 10 • 3 + 2,7 + 0,4 -1- 0,5 + 0,6 : 4 : 2 : 7 9 9 9 9 т 1542. Выполните деление; 18. б) J_. 20’ 10’ е) 1 : 2: ж) 3 : 15; з) 5 : 0,2; 1543. Найдите; а) 0,01 числа 50; б) 0,07 числа 300; и) 1 : 0,01; к) 0,8 : 0,04; л) 1 : 0,25; м) 2 ; 1,25. в) 0,6 числа 40; г) 0,25 числа 36. f, да -I—I- /.- т 00 ^0 о 234 1544. Каким одним действием можно: а) уменьшить число в 10 раз; в 100 раз? б) увеличить число в 100 раз; в 1000 раз? Приведите примеры. 1545. На первом участке пути автомобиль двигался 3 ч со скоростью 40 км/ч, а на втором — 1 ч со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на всём пути? 1546. Составьте задачу по числовому выражению: а) (2,6 + 2,8) : 2; б) (3,8 + 3,7 + 3,6) : 3. 1547. Найдите четвёртое число в последовательности: а) 2; 4; 16; ?; в) 6; 3; 1,5; ?; б) 3; 9; 81;?; г) 0,1; 0,5; 2,5; ?. 1548. Найдите среднее арифметическое чисел: а) 81,242; 65,312; 412,54; 94,376; б) 71,3; 25,7; 39,8; 12,9; 56,4. 1549. Теплоход прошёл 70 км по реке за 2 ч и 90 км по озеру за 3 ч. С какой средней скоростью прошёл теплоход весь путь? 1550. Овощевод-опытник снял с одного куста помидоров 12 плодов по 250 г, 10 плодов по 330 г и 8 плодов по 210 г. Найдите среднюю массу одного помидора. 1551. Среднее арифметическое четырёх чисел 6,7. Первое равно 2, второе в 1,2 раза больше первого, а третье меньше четвёртого в 1,5 раза. Найдите третье и четвёртое числа. 1552. Пассажирский поезд прошёл путь от одной станции до другой со средней скоростью 67 км/ч. Вначале он шёл 4 ч со скоростью 59,5 км/ч, а затем увеличил скорость и прибыл на вторую станцию через 3 ч. Найдите скорость поезда на втором участке пути. 1553. Серёжа стал на велосипеде догонять Наташу, идущую пешком, когда между ними было 600 м, и догнал её через 4 мин. Найдите скорость, с которой шла Наташа, если её скорость в 4 раза меньше скорости Серёжи. 1554. С двух грядок, общая площадь которых 40,5 м^, получили 137,7 кг моркови. Сколько килограммов моркови собрали с каждой грядки, если площадь одной из них на 4,5 м^ меньше, чем площадь другой, а урожайность одинакова? 1555. Запишите в виде равенства предложение: а) 5п на 8,11 больше п; б) утроенное а на 5,18 больше о; в) разность m и 9,11 в 4 раза меньше их суммы. 1556. С помощью микрокалькулятора вычислите значение выражения: а) 78,627 + 3,081; г) 62,14 : 9,241; б) 735,24 — 261,87; д) 508,3 + 891,4 : 35,4; в) 41,65 • 85,38; е) 92,5 • 11,6 — 429,15. % м т 235 1557. Найдите с помощью микрокалькулятора объём прямоугольного параллелепипеда по формуле V = аЬс, если а = 2,81 дм; Ъ = 1,76 дм; с = 4,9 дм; ответ округлите до сотых. 1558. Два поезда одновременно вышли навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 495 км. Через 3 ч они встретились. Какова скорость каждого поезда, если известно, что скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого? 1559. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого? 1560. Выполните действия и проверьте ответ с помощью микрокалькулятора: ((4 : 0,128 + 14 628,25) : 1,011 • 0,00008 + 6,84) : 12,5. 40. Проценты Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром или соткой. Принято называть сотую часть любой величины или числа процёнтом. Значит, 1 кг — один процент центнера, 1 см — один процент метра, 1 а — один процент гектара, 0,02 — один процент от 2. Процёнтом называют одну сотую часть. • Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %. Предложение «В поход ушли 1,5% учащихся нашей школы» читают так: «В поход ушли полтора процента учащихся нашей школы», а предложение «В этом месяце заработная плата выросла на 8%» читают так: «В этом месяце заработная плата выросла на восемь процентов». S Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%. Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика? Решение. Так как 1200 костюмов — это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200 : 100 12, значит, выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12 • 32 = 384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона. Задача 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 пятиклассников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе? 236 Решение. Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12 ■ 30 — 0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% учащихся, надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4 • 100 = 40, то в классе 40 учеников. Задача 3. Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем? 558 Число 1ученико€ Г2 — 307о ?- /007о Решение. Картофелем засажено всего поля. Обратим дробь 558 1800 . . 1800 в десятичную. Для этого разделим 558 на 1800. Получаем 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля. Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100. Например, 0,971 — 0,971 • 100% = 97,1%; 39% = 39 : 100 = 0,39. Что называют процентом? Как называют 1% от центнера, метра, гектара? Как обратить десятичную дробь в проценты? Как перевести проценты в десятичную дробь? в • ■ * в с « W — W 1561. Запишите в виде десятичной дроби: 1%; 6%; 45%; 123%; 2,5%; 0,4%. 1562. Запишите в процентах десятичные дроби: 0,87; 0,07; 1,45; 0,035; 2,672; 0,907. 1 1 3 2 17 1563. Запишите обыкновенные дроби -г; —; т! т? тх- ® виде десятич- 2 4 4 о 50 ных, а потом в виде процентов. 1564. Заполните таблицу: Дробь 1 2 1 10 1 50 Десятичная дробь 0,25 0,05 Проценты 20% 100% 1% 1565. В школьной библиотеке 7000 книг. Маша прочитала одну сотую всех этих книг. Сколько библиотечных книг прочитала Маша? Серёжа прочитал 1% всех книг школьной библиотеки. Сравните число библиотечных книг, прочитанных Машей и Серёжей. % % 237 1566. В палатку завезли 850 кг огурцов. Первый покупатель взял для соления 1% всех огурцов, а второй — 3% всех огурцов. Сколько килограммов огурцов купил каждый из них? ^ 1. Ударение в слове процёнт в единственном и множественном числе во всех падежах сохраняется на втором слоге. Например: сто один процёнт; не более восемнадцати процёнтов. 2. а) Сочетание «несколько процентов (от чего?). » используется, если зависимое слово — числительное. Например, «десять процентов от шестидесяти». б) Сочетание «несколько процентов (чего?). » используется, если зависимое слово — существительное, не имеющее количественного значения. Например, «тридцать процентов населения». в) Если зависимое слово по смыслу связано с количеством, допустимы обе конструкции. Например, «шесть процентов зарплаты» и «шесть процентов от зарплаты». 3. Слова «процент», «проценты» читаются в большинстве случаев в том же падеже, что и числительное. Например: ^ д. п. д. п. ^ = 20% — одна пятая равна двадцати процентам. 0,6 > 50% — ноль целых шесть десятых р. п. р. п. больше пятидесяти процёнтов. После любого падежа числительных, оканчивающихся словом «тысяча» или «миллион», слово «проценты» ставится в родительном падеже. Ha- д. п. р. п. пример, «прирост производительности труда равен тысяче процентов». ^0 1567. На поле, площадь которого 620 га, работали хлопкоуборочные машины. За сутки они убрали 15% всего поля. Сколько гектаров хлопка убрали за сутки? 1568. Бригаде поручили отремонтировать участок дороги длиной 760 м. Сколько метров дороги бригада отремонтирует, когда выполнит: 30% задания; 50% задания; 10% задания? 1569. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие? 238 Рис. 158 Рис. 159 1570. В плодовом саду собирали яблоки. За день было собрано 4840 кг. 25% собранных яблок отправили в магазин, а остальные — на склад. Сколько килограммов яблок отправили на склад? 1571. Себестоимость изготовления одной детали равна 650 р. Внедрение новой технологии позволило снизить себестоимость детали на 2%. Какова стала себестоимость такой детали? 1572. Поле на рисунке 158 разбито на 100 долей. Закрашенная на рисунке часть засеяна горохом. Найдите площадь всего поля, если горохом засеяно 24,8 га. 1573. Сколько человек было в кино, если 1% всех зрителей составляет 7 человек? 1574. Мотоциклист за день проехал некоторое расстояние. 1% пути он ехал по просёлочной дороге, что составило 3,2 км. Какое расстояние проехал мотоциклист за день? 1575. Двор разбит на 100 равных частей. Часть площади двора, закрашенная на рисунке 159, отведена под стоянку машин. Найдите площадь двора, если стоянка занимает 146,4 м^. 1576. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге? 1577. Масса медвежонка составляет 15% массы белого медведя. Найдите массу белого медведя, если масса медвежонка 120 кг. 1578. Сливочное мороженое содержит 14% сахара. На приготовление мороженого израсходовали 35 кг сахара. Сколько сделали порций мороженого, если в каждой порции 100 г? 1579. Применяя интенсивную технологию, бригада изготовила сверх плана 250 деталей, перевыполнив тем самым план на 5%. Сколько деталей изготовила бригада? ааяй sane Е 95 % 239 1580. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют мальчики? 1581. Фрекен Бок испекла 80 пирожков, и Карлсон тут же съел 10 пирожков. Сколько процентов всех пирожков съел Карлсон? 1582. В механическом цехе установлено 350 станков, из которых 35 находятся в ремонте. Сколько процентов станков находятся в действующем состоянии? 1583. При плане 35 деталей в день рабочий сделал 42 детали. На сколько процентов он выполнил норму? На сколько процентов он перевыполнил норму? 1584. Сколько процентов соли содержит раствор, приготовленный из 35 г соли и 165 г воды? 1585. В 4 А классе 40 учеников. С задачей справились 32 ученика. В 4 Б классе 35 учеников, а с задачей справились 28 учеников. Какой класс лучше справился с задачей? 41 1586. Найдите 0,3 числа: а) 150; 1587. Вычислите устно: б) 600; в) 100; г) 5. а) 1,45 -н 0,15 • 4 + 0,8 : 0,8 в) 30 • 0,01 + 2,4 : 0,9 : 0,1 Д) 8 0,2 : 0,8 — 0,6 • 5 б) 9,8 — 5,9 : 1,3 + 1.8 • 2 г) 0,2 • 50 : 2,5 + 0,8 • 5 1588. Представьте в виде десятичной дроби числа З-^; 1-1; 2-1; 9—. 25 2’ 4′ 20’ (Л 1589. Восстановите цепочки вычислений и попробуйте объяснить, почему они приводят к одному ответу; ‘ х -0,2 . : 100 ^ • 10 : 5 0,01 : 0,1 240 1590. Собственная скорость катера 18 км/ч. Отметьте её на координатном луче. Вычислите и отметьте на этом луче скорости катера против течения и по течению, если скорость течения 1,5 км/ч. Используя чертёж, подумайте: а) как найти собственную скорость катера, если известны его скорости по течению и против течения; б) как найти скорость катера против течения, если известны скорость течения и скорость катера по течению; в) на сколько скорость катера по течению больше его скорости против течения? 1591. Попробуйте представить правило нахождения среднего арифметического нескольких чисел и средней скорости в виде последовательности команд по схемам: Чтобы найти ► 1). среднее ариф- Чтобы найти метическое i- 2) . среднюю нескольких скорость. чисел, нужно: 3) . нужно: 1) 2) 3) 1592. Найдите значение выражения: а) 2,0928 + 47,9072 : (7 — 0,195); б) 100,5876 — 88,5856 : (6,0811 + 8,4889); в) 687,8 + (88,0802 — 85,3712) : 0,045. Проверьте ответ с помощью микрокалькулятора. 1593. Автобус шёл 3 ч по шоссе, 1,5 ч по грунтовой дороге и 0,5 ч по просёлочной дороге. Известно, что скорость автобуса по грунтовой дороге была в 2 раза больше скорости по просёлочной дороге, а скорость по шоссе в 3,5 раза больше скорости по просёлочной дороге. Найдите скорость движения автобуса по просёлочной дороге, если средняя скорость автобуса на всём пути 33,6 км/ч. % 1594. Марина сварила варенье, истратив — имевшегося у неё сахара. О Сколько сахара осталось у Марины, если на варенье она израсходовала 0,8 кг сахара? 3 1595. В куске было 112,2 м материи. В первый раз отрезали куска, а во второй раз куска. Сколько метров материи было отрезано за оба раза? 1596. Выполните действия: 1) (3,1 ■ 5,3 — 14,39) : 1,7 + 0,8; 2) (21,98 — 4,2 • 4,6) : 1,9 + 0,6. 241 1597. Решите задачу: 1) Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2,4. 2) Второе число на 0,8 больше первого, а третье число в 3,2 раза больше первого. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 4,6. 1598. Запишите в виде процентов десятичные дроби 6,51; 2,3; 0,095. 1599. Запишите в виде десятичной дроби 42%; 8%; 7,25%; 568%. 1600. Слесарь и его ученик изготовили 1200 деталей. Ученик сделал 30% всех деталей. Сколько деталей сделал ученик? 1601. На водопой пригнали 220 лошадей и жеребят. Жеребята составляли 15% всего табуна. Сколько жеребят было в табуне? 1602. Геологи проделали путь длиной 2450 км. 10% пути они пролетели на самолёте, 60% пути проплыли в лодках, а остальную часть прошли пешком. Сколько километров геологи прошли пешком? 1603. Из молока получается 10% творога. Сколько творога получится из 32,8 кг молока? Из 58,7 кг молока? 1604. Площадь одной комнаты 12 м^, и она составляет 25% площади всей квартиры. Найдите площадь всей квартиры. 1605. Автотурист проехал в первый день 120 км, что составляет 15% всего намеченного пути. Какой длины намеченный путь? 1606. Засеяли 24% поля. Осталось засеять 45,6 га этого поля. Найдите площадь всего поля. 1607. Из пшеницы получается 80% муки. Сколько смололи пшеницы, если получили 2,4 т муки? Сколько муки получится из 2,5 т пшеницы? 1608. Масса сушёных яблок составляет 16% массы свежих яблок. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 4 т сушёных? Сколько сушёных яблок получится из 4,5 т свежих яблок? 1609. Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы? 1610. В классе 17 мальчиков, а девочек на 6 больше. Сколько процентов класса составляют девочки и сколько процентов класса составляют мальчики? 1611. В санатории отдыхали мужчины и женщины. Мужчины составляли 40% всех отдыхающих. Какой процент всех отдыхающих составляли женщины? 242 1612. Выполните действия: а) (3,8 • 1,75 : 0,95 — 1,02) : 2,3 + 0,4; б) (11,28 + 3,4 : 0,85 ■ 1,55) : 4,6 — 0,8. Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «со ста». Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены. Широко начали использовать проценты в Древнем Риме, но идея процентов возникла много раньше — вавилонские ростовщики уже умели находить проценты (но они считали не «со ста», а «с шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями). Знак % произошёл, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращённо — cto. В 1685 году в Пориже была напечатана книга — руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого — тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промйлле (от латинского «с тысячи») и обозначают %0. 41. Угол. Прямой и развёрнутый угол. Чертёжный треугольник Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла. На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины. Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О». Вместо слова «угол» пишут знак Z. Например, ZAOB, ZO. На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки М и Н — на сторонах угла. N К Рис. 163 Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения. ■У I Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти I углы равны. Например, на рисунке 162 АВС — MNK. Из вершины угла СОК (рис. 163) проведён луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК. Пишут: ZCOP /4* 247 т Д 1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года? 1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? 1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка. 1635. Найдите с помощью микрокалькулятора: а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8; б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800. 1636. Решите задачу: 1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось ещё вскопать? 2) У Серёжи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него ещё осталось? 1637. Выполните действия: 1) ((23,79 : 7,8 — 6,8 : 17) • 3,04 — 2,04) • 0,85; 2) (3,42 ; 0,57 • 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) • (3,1 + 0,05)). 1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла. 1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК1 Какая точка лежит внутри угла AM В, но вне угла АМК7 Какие точки лежат на сторонах угла АМК? 1640. Найдите с помощью чертёжного треугольника прямые углы на рисунке 173. 1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь. D Рис. 173 248 1642. Найдите значение выражения: а) 14,791 : а + 160,961 : Ь, если а = 100, Ь = 10; б) 361,62с + 1848 : d, если с = 100, d =100. 1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий во второй день? 1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке? 1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики? 1646. Найдите, сколько составляют; а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т; б) 1% от литра; г) 6% от 80 км. 1647. Масса детёныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детёнышем их масса равна 0,9 т? 1648. Во время манёвров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат? 42. Измерение углов. Транспортир Для измерения углов применяют транспортир (рис. 174). Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире чёрточкой. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 долей. Лучи, проведённые из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен доле развёрнутого угла. Такие углы называют градусами. 1 у I Градусом называют • 1 оО ; нутого угла. 9-Ви.’1енкнн. & кл. ДОЛЮ развёр- 249 Градусы обозначают знаком Каждое деление шкалы транспортира равно 1®. Кроме делений по 1°, на транспортире есть ещё деления по 5° и по 10°. Вершина О угла АОВ на рисунке 174 находится в центре полуокружности: луч ОА проходит через нулевую отметку (начало отсчёта), а луч ОВ проходит через отметку 110. Поэтому угол АОВ равен 110°. Пишут: ZAOB = 110°. Так как прямой угол составляет половину развёрнутого угла, то он содержит 180 : 2, то есть 90°. Прямой угол равен 90°. Равные углы имеют равные градусные меры, больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру. Транспортир применяют и для построения углов. Пример. Построим угол 50°, одной стороной которого служит луч ОВ. Решение. Наложим транспортир так, чтобы центр полуокружности совпал с точкой О — началом луча ОВ, а луч ОВ пошёл через начало отсчёта (рис. 175). Поставим точку А против штриха с отметкой 50 и проведём луч ОА. Получаем угол АОВ, содержащий 50°. Такой же угол можно построить по другую сторону от луча ОВ (рис. 176). Если угол меньше 90°, то его называют острым углом. Если угол больше 90°, но меньше 180°, то его называют тупым углом. На рисунке 177 угол АОС острый, а угол АОВ тупой. Рис. 177 250 Для чего служит транспортир? На сколько делений разделена шкала транспортира? Что такое градус? Как его обозначают? Сколько градусов содержит развёрнутый угол? Сколько градусов содержит прямой угол? Какой угол называют острым? Какой угол называют тупым? Расскажите, как измеряют углы транспортиром. • •• О • • ^ е • « • 1649. По рисунку 178 определите гра- дусные меры углов: * а) AKD, АКЕ, AXF; б) BKF, ВКЕ, ВКС, BKD-, в) DKC, DKE, DKF, СКЕ, CKF и EKF. 1650. Начертите луч ОА. С помощью транспортира по одну сторону от луча ОА постройте: ZAOB = 45°, ZAOC = 30°, ZAOD = 135°, ZAOE = 90°. 1651. Измерьте углы, изображённые на рисунке 179, и запишите ре- [о зультаты измерений. Чб. 1652. Луч ОС лежит внутри угла АОВ, причём ZAOC = 37°, ZBOC = 19°. Чему равен угол АОВ? ж. р. Z MNK = 50° — градусная мера угла MNK ж. р. д. п. д, п. равна пятидесяти градусам, или: — угол MNK равен пятидесяти градусам. 9* 251 ZA- ZB = 8= ZC + ZD= 120° ZAOB > ZCOD разность градусных мер углов А и В равна восьми градусам. — сумма углов С и D равна ста двадцати градусам. — угол АОВ больше угла COD, или: — градусная мера угла АОВ больше градусной меры угла COD. 1653. Какую часть развёрнутого угла составляют углы в 30°; 45°; 60°? Какую долю прямого угла составляют углы в 30°; 15°; 60°; 75°? 1654. Сколько градусов содержит угол, если он составляет: а) развёрнутого угла; б) — развернутого угла; U К в) — прямого угла; 6 г) — прямого угла; 5 д) 0,1 прямого угла; е) 0,2 развёрнутого угла? % i.5. 1655. Сколько градусов содержит угол, если он составляет: а) 20% от 360°; в) 45% развёрнутого угла; б) 25% от 60°; г) 80% прямого угла? 1656. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов: а) в 3 ч; в) в 10 ч; д) в 2 ч 30 мин; б) в 5 ч; г) в 11 ч; е) в 5 ч 30 мин? 1657. Постройте с помощью транспортира угол в 70° и проведите луч, который делит этот угол пополам. J Такой луч называется биссектрисой угла. 1658. С помощью транспортира проведите луч, который делит пополам прямой угол. 1659. Постройте угол АОВ в 120° и разделите его на 3 равных угла. 1660. Какие из углов острые и какие тупые, если ZA = 67°; ZB = = 175°; ZC = 92°; ZD = 3°? 1661. С помощью чертёжного треугольника найдите на рисунке 180 острые, прямые и тупые углы. С помощью транспортира найдите их градусную меру. 1662. Начертите круг радиусом 3 см. Обозначьте его центр буквой О. Проведите через точку О прямую АВ. С помощью транспортира разделите развёрнутые углы АОВ с обеих сторон прямой на 3 равных угла. На сколько равных частей разделился круг? 252 м Рис. 180 1663. Угол АОВ развёрнутый, а ОС — луч. Найдите градусные меры углов АОС и СОВ, если: а) градусная мера угла АОС втрое больше, чем градусная мера угла СОВ; б) градусная мера угла АОС на 60° больше градусной меры угла СОВ; в) градусная мера угла АОС в 4 раза меньше, чем градусная мера угла СОВ. 1664. Внутри прямого угла АОВ проведён луч ОС. Найдите градусные меры углов АОС и СОВ, если: а) угол АОС в 5 раз больше угла СОВ; б) разность градусных мер углов СОВ и АОС равна 46°; в) угол АОС в 4 раза меньше угла СОВ. 1665. Чему равна градусная мера каждого угла прямоугольника? Чему равна сумма этих градусных мер? Чему равна сумма градусных мер углов каждого из треугольников АВС и CDA (рис. 181)? 1666. Измерьте каждый угол треугольника ACD, изображённого на рисунке 182. Найдите сумму градусных мер этих углов. 1667. Начертите какой-нибудь треугольник и измерьте каждый его угол. Проверьте, что сумма градусных мер углов треугольника равна 180°. I Запомните это свойство углов треугольника. D л 1668. В треугольнике один из углов равен 75°, а другой — 80°. Чему равен третий угол этого треугольника? 1669. В треугольнике АВС градусная мера угла АВС равна 40°, а градусная мера угла САВ в 3 раза больше. Найдите градусную меру угла АСВ. 1670. Вычислите устно: а)2,8 + 0,7 : 5 • 90 — 3,5 6)6 — 1.2 : 8 ■ 9 + 1.9 в)8,7 : 3 + 2,6 — 1,5 • 0.6 г)0,4 • 5 • 0,01 + 0,28 : 0,15 д) 14 : 70 • 1.5 + 3,7 • 0,25 1671. Назовите каждый из углов, изображённых на рисунке 183, а и б. Найдите среди этих углов прямые и развёрнутые углы. т % т 1672. Найдите 5%, 15%, 25%, 45% числа 360. Попробуйте предложить разные способы решения этой задачи. 1673. 5% некоторого числа равны 11. Найдите 15%, 20%, 35%, 50%, 100% этого числа. 1674. В зале кинотеатра 600 зрителей. а) Сколько человек составляют 1%, 5%, 10%, 40% всех зрителей? б) Сколько процентов зрителей составляют 12 человек, 90 человек, 300 человек? 1675. а) Число 60 увеличили на 15. На сколько процентов увеличилось число? б) Число 75 уменьшили на 15. На сколько процентов уменьшилось число? в) Некоторое число увеличили в 2 раза. На сколько процентов увеличилось число? г) Некоторое число уменьшили в 2 раза. На сколько процентов уменьшилось число? 254 1676. Найдите пропущенные числа: а) 1.2 0,4 М 1,2 0,9 ? 2,8 ? б) 0,8 1,2 0,2 0,3 7 2,4 0,4 0,6 0,1 9 MjS MSB 1677. Стреляя в тире, Дима в 76% случаев попал в мишень. Сколько промахов допустил Дима, если всего он произвёл 50 выстрелов? 1678. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день — 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу двумя способами. Какой из этих способов проще? 1679. Объясните смысл предложения: а) «Из молока получается 25% сливок»; б) «В свёкле содержится 20% сахара». 1680. При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько керосина можно получить из 12 т; из 28 т; из 36,5 т нефти? 1681. Решите задачу: 3 1) Площадь поля 560 га. В первый день засеяли у поля, а остальное — во второй день. Сколько гектаров засеяли во второй день? 2) Площадь поля 450 га. Овсом засеяли ^ поля, а пшеницей — остальную часть. Сколько гектаров засеяли пшеницей? 1682. Начертите два угла — в 60° и в 100° — с общей вершиной так, чтобы они имели общую сторону и лежали по разные стороны от неё. Найдите градусную меру угла, образованного двумя другими сторонами этих углов. 1683. Начертите произвольный четырёхугольник ABCD, измерьте транспортиром его углы и сложите результаты измерений. 1684. Начертите произвольный четырёхугольник ABCD и проведите прямые АС и BD. Измерьте транспортиром углы АОВ, ВОС, COD и DOA, где О — точка пересечения прямых АС и BD. Какие из этих углов имеют одинаковую градусную меру? Сумма градусных мер каких углов равна 180°? 1685. Найдите градусные меры углов треугольника MNK, если угол М меньше угла N на 40° и больше угла К на 10°. 1686. Найдите градусные меры углов треугольника CDE, если угол С вдвое больше угла D и втрое меньше угла Е. 1687. В механическом цехе установлено 400 станков. В первую смену работало 380 станков, а во вторую — 350 станков. Какой процент станков работал в первую смену и какой во вторую? 1688. Никелевая руда содержит 1,3% никеля. Сколько тонн никеля получится из 24 860 т руды? Сколько тонн этой руды надо переработать, чтобы добыть 2405 т никеля? д к-# . : . . . П г : кв ■ч ^ 255 1689. Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько тонн чистого железа содержится в 4,6 т магнитного железняка? 1690. Из чайного листа после сушки получается 4,2% чая. Сколько получится чая из 225 кг чайного листа? 1691. Привезли 500 т руды с содержанием меди 6,5% и 700 т руды с содержанием меди 4,5%. Из какой руды получится больше меди? 1692. С помощью микрокалькулятора найдите значение выражения: а) 284,3 • 159,6 + 51 189,1 : 32,1 — 651,2 • 34,8; б) 376,64 : 4,4 : 3,2 + 0,479 • 0,37 • 44,5. Слово «градус» — латынское, означает «шаг», «ступень». Измерение углов в градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне, в расчётах там использовались шестидесятеричная система счисления, шестидесятеричные дроби. По этой причине вавилонские математики и астрономы, а вслед за ними греческие и индийские, полный оборот (окружность) делили на 360 частей — градусов (шесть раз по шестьдесят), каждый градус — на 60 минут, а минуту — на 60 секунд: Г = 60’, г = 60″. в конце XVIII века при разработке метрической системы мер французские учёные предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 частей. Такой угол в прямого угла называют «град»: 90° = 100 град. В градах измеряют углы в геодезии, этой единицей пользуются в некоторых строительных расчётах, но широкого распространения она не получила. Для точного измерения углов созданы различные инструменты. Основная часть этих приборов — шкала, похожая на шкалу транспортира. 43. Круговые диаграммы Магнитный железняк содержит 70% чистого железа, а остальная часть руды — пустая порода. Чтобы наглядно изобразить это положение, начертим круг и закрасим 70% его площади, а 30% площади оставим незакрашенными. Так как в круге 180 + 180®, то есть 360 , то надо найти 30% от 360°. Для этого делим 360 на 100 и частное умножаем на 30. Получаем: 360 : 100 • 30 = 108. Значит, надо провести два радиуса под углом 108° и закрасить часть круга вне этого угла. Получаем рисунок 184. Его называют круговой диаграммой. Иногда для построения круговой диаграммы приходится разбивать круг на много частей. Составим круговую диаграмму площадей океанов. Тихий океан имеет площадь около 151 млн км^. Атлантический — около 92 млн км^. Индийский — 56 млн км^. Северный Ледовитый — около 15 млн км^ и Южный — 86 млн км^. 256 Тихий Южный Рис. 184 Так как 151 + 92 + 56 + 15 + 86 = 400, то 1 млн км* изображается на диаграмме девятью десятыми градуса. Значит, в круге проводим радиусы ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕтак, чтобы ZAOB = 136°, ZBOC = 83°, ZCOD = 50°, ZDOE = 14°, ZEOA = 77° (градусную меру углов округлили до целых). Получаем круговую диаграмму, изображённую на рисунке 185. Что называют круговой диаграммой? • • • 1693. Известно, что — массы льняного семени составляет масло. По- О стройте круговую диаграмму содержания масла в льняном семени. 1694. Вода занимает 0,7 всей поверхности земного шара. Постройте круговую диаграмму распределения воды и суши на земной поверхности. 1695. Врачи рекомендуют дневную норму питания распределить на 4 приёма: утренний завтрак — 25%, второй завтрак — 15%, обед — 45% и ужин — 15%. Постройте круговую диаграмму распределения дневной нормы питания. 1696. Постройте круговую диаграмму площадей частей света Земли, предварительно заполнив таблицу (используйте микрокалькулятор): Часть света Площадь, млн кв. км Сектор диаграммы, градусы Европа 11,5 Азия 43,4 Африка 30,3 Америка 42 Австралия 8,7 Антарктида 14,1 Всего 360° 257 п 1697. Вычислите устно: а) 1 — 0.2 в) 0,4 • 20 д) 15 : 2,5 •10 :0,2 -1-2.1 : 40 : 100 : 2,7 3,8 -и 2,6 — 0,6 т б) 4,9 + 1,4 : 3 + 3,9 : 12 г) 63 : 90 -t- 0.5 • 4 — 0,9 1698. Найдите: а) 50% от 6 т; 1 ч; 1 дм; 90°; б) 10% от 1 кг; 2000 р.; 1 а; 1 л; 180°. 1699. Сколько процентов составляют: а) 8 кг от 1 ц; в) 35 см от 1 м; б) 15 с от 1 мин; г) 100 л от 1 м^? 1700. Найдите число, если: а) 1% этого числа равен 1; 6; 0,7; 1,8; б) 10% этого числа равны 0,3; 1; 15; 2,4; в) 25% этого числа равны 2; 10; 25; 0,5; 1,2. о) Рис. 186 т 1701. Вычислите градусную меру угла АОВ, используя рисунок 186. 1702. ABCD — прямоугольник, ZACB = 30° (рис. 187). Найдите градусную меру углов: ACD, ВАС, CAD. 1703. Начертите угол/4SC, равный 120°. На стороне ВА отложите отрезок ВМ, равный 3 см, а на стороне ВС — отрезок BN, равный 4 см. Соедините D 258 отрезком точки М и N. Измерьте стороны и углы получившегося треугольника и найдите периметр и сумму градусных мер углов этого треугольника. 1704. В треугольнике АВС ZA = 50°, а ZB = 30°. Вычислите градусную меру угла С. 1705. Молоко даёт 25% сливок, сливки дают 20% масла. Сколько масла получится из молока, надоенного за 15 дней от 360 коров, если каждая корова в среднем даёт 15 кг молока в день? 1706. В классе 36 учеников. По математике за четверть отметку «5» имеют 8 человек, отметку «4» — 12 человек, а остальные — отметку «3». Постройте круговую диаграмму. 1707. Постройте круговую диаграмму распределения суши на Земле по следующим данным: Вид суши Занимаемая площадь, млн кв. км Сектор диаграммы, градусы Леса 57 Степи 24 Тундры, пустыни и болота 54 Пашня 15 Всего 360° fts. д 1708. Экипаж экскаватора работал 480 мин. Из них основная работа заняла 330 мин, вспомогательная работа — 90 мин, простой по техническим причинам — 30 мин и подготовительные работы — 30 мин. Постройте круговую диаграмму распределения рабочего времени этого экипажа. 1709. Велосипедист стал догонять пешехода, когда между ними было 2,1 км, и догнал его через 0,25 ч. Найдите скорость велосипедиста и скорость пешехода, если скорость пешехода была в 3,4 раза меньше скорости велосипедиста. 1710. Сколько градусов содержит угол между часовой и минутной стрелками часов: а) в 9 ч; б) в 6 ч; в) в 2 ч; г) в 8 ч? Вы научились измерять йлины отрезков и величины углов, площади некоторых многоугольников и объёмы прямоугольных параллелепипедов. Все эти фигуры называются геомешрмческммм. С геометрическими фигурами имели дело с древних времён U крестьяне, и ремесленники, и строители храмов, дворцов и пирамид. Надо было уметь измерять площади земельных участков, подсчитывать объём корзин, в которые собирали урожай, определять, сколько камня потребуется для 259 к здания. А чтобы здание не рушилось, стены надо было возводить под прямым углом к поверхности земли. Астрономам древности необходимо было измерять углы для определения положения небесных светил. Особенно быстро знания о свойствах фигур развивались в Древнем Египте. в этом государстве всё земледелие было сосредоточено на очень узкой полосе земли — в долине реки Нил. Земли было мало, за участок крестьянин ежегодно платил соответствующий налог фараону. каждую весну Нил разливался и удобрял землю плодородным илом, но при разливе смывались границы участков, менялись их площади. Тогда пострадавшие обращались к фараону, а фараон посылал землемеров, чтобы восстановить границы участков, выяснить, как изменилась их пло1цадь, U установить размер налога. В Древнем Египте развивались и строительное искусство, торговля, знания постепенно накапливались, систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур. Так как в основном речь шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» — земля, а «метрео» — измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие»). Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название — «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»). 44. Вопросы и задачи на повторение 1711. Приведите примеры; а) натуральных чисел; б) обыкновенных дробей; в) чисел, не являющихся натуральными; г) десятичных дробей. 1712. Среди следующих чисел укажите натуральные: 18; |; 1; 0,6; 0; 105; 12,4. 1713. Пятизначное число оканчивается цифрой 6. В этом числе переставили две последние цифры, но оно не изменилось. Какая цифра стояла в числе перед цифрой 6? 1714. На сколько изменится семизначное число, оканчивающееся на 40, если эти две цифры поменять местами? 1715. Верно ли, что если цифры, из которых составлено шестизначное число, записать в обратном порядке, то получится опять шестизначное число? 1716. В каком порядке выполняются действия в выражении без скобок, если в нём встречаются только сложение и деление? 260 1717. Вычислите устно: а) 10 : 4 в) 3 : 300 Д) 9,8 : 7 ж) 3,9 -Ь 2,7 — 1,3 + 0,37 • 3 ; 11 • 0,4 : 1,9 — 0,3 • 13 + 0,32 • 8 + 2,1 — 2,75 ? ? ? ? 4 — 3,4 г) 70 : 20 е) 49 : 70 з) 4,6 -1- 2,2 • 1,4 : 10 -(- 9,8 : 0,2 -1- 0,06 • 4 : 5 — 30,5 : 1,8 -ь 1,04 : 0,3 •0,1 ? ? ? ? 1718. Выполните действия: 1) 5555 + (82 320 : 84 — 693) • 66; 2) 32 087 — 87 • (67 + 62 524 : 308); 3) 467 915 + 137 865 : (31 353 — 48 • 609); 4) 51 003 — (4968 + 709 • 52) + 203; 5) 612 228 + (53 007 — 52 275 : 615); 6) 343 • (324 378 : 54 — 4862) + 777; 7) 18 408 : (268 -75 — 19 746) + 959; 8) (86 • 217 + 275 116) : 859 + 279 569. 1719. Сформулируйте и запишите с помощью букв: а) свойства сложения чисел; б) свойства вычитания чисел; в) свойства умножения чисел. Приведите примеры, когда использование свойств арифметических действий упрощает вычисления. 1720. При каком условии: а) сумма двух чисел равна одному из них; б) разность равна уменьшаемому, нулю; в) произведение равно одному из множителей, нулю; г) частное равно делимому, нулю, единице? Как найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток? 1721. Выполните деление с остатком: а) 27 450 на 89; б) 30 394 на 307. 1722. При делении числа с на 12 получили в частном 7 и в остатке 5. Чему будут равны частное и остаток при делении числа с на 7? 1723. Найдите значение выражения: а) 85 -Ь 203л; + 102х -I- 91, если х = 76; 201; б) 79(/ — (23|/ — 15г/), если у = 15; 309. т 261 1724. Какая дробь называется правильной; неправильной? Как представить в виде неправильной дроби число 2^; 4? Как выделить целую 1Q часть числа —? 6 1725. Запишите в виде неправильной дроби число: а) 3 12. 13’ б) 203 15 в) 4 П. 12’ г) 704 14 т. 1726. Выполните действия: а) 4| — [з| — l| 8 I 7 7 4* 1727. В коробку положили 15 конфет «Маска», 20 конфет «Ромашка» и 40 ирисок. Какую часть всех конфет составляют конфеты каждого сорта? 1728. Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном купе поезда? 1729. Мастерская за месяц должна сшить 38 костюмов. В первую неделю было сшито 7 костюмов, во вторую — 11 костюмов. Какую часть всех костюмов осталось сшить? 1730. За месяц завод должен отгрузить 42 вагона продукции. В первую неделю отгрузили 12 вагонов, во вторую неделю — 8 вагонов. Какую часть всех вагонов осталось отгрузить заводу? g 1731. Длина одной стороны четырёхугольника составляет пери- о 4 метра, длина другой периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника. 2 1732. Число лет сына составляет — числа лет отца, а число лет дочери § YY числа лет отца. Сколько лет отцу, если сыну и дочери вместе 28 лет? 1733. В палатку привезли 1260 кг картофеля. В первый день было продано ^ всего картофеля, во второй день — у остатка. Сколько килограммов картофеля осталось после двух дней продажи? 1734. Приняв за единичный отрезок длину 10 клеток тетради, отметьте на луче точки, координаты которых равны: а) 0; 1; 0,3; |; 0,6; l|; 1,2; 5 5 б) 0; 1; 0,2; |; 0,8; l|; 1,4. 262 1735. Назовите какое-нибудь значение координаты точки С, лежащей на координатном луче между точками Ап В, если: а) А(2) и В(5); в) >1(2,8) и В(3,5); д) А j и В(1). б) Л(2) и В(3); г) А(2,9) и В(3); 1736. Как на координатном луче расположены точки А <х) и В(у), если: а) х>у; б) X = у; в) х или = так, чтобы для длин отрезков получилось верное равенство или неравенство: а) ВА * DC; в) АС * BD; б) АС * СВ; r)AD* ВС. 1769. На отрезке MN отмечены две точки С и D так, что точка С лежит между точками N и D. Найдите длину отрезка МЛГ, если DC = 2 см, DN = 6 см, МС = 5 см. 1770. Стороны многоугольника ABCDE равны: АВ = 6,4 см, ВС = 5 см, CD = 6,3 см, DE = 5,8 см и АЕ = 3 см. Найдите периметр этого многоугольника. Как называется такой многоугольник? Что такое периметр многоугольника? 1771. С помощью какого инструмента можно найти: а) длину отрезка; б) градусную меру угла? В каких единицах измеряются эти величины? 1772. Начертите острый угол ВСЕ и тупой угол DAK и определите их градусные меры. Начертите прямой угол Р и развёрнутый угол М. Какова градусная мера прямого угла? развёрнутого угла? Какую часть развёрнутого угла составляет угол в 1°? 1773. Начертите угол МОК в 160°. Проведите луч ОВ так, чтобы он разделил угол МОК пополам. Как называется такой луч? 1774. Начертите четырёхугольник ABCD, у которого ZA = 40°, ZB = 140°, ZC = 50°. Измерьте величину угла D. 1775. Угол АОВ на рисунке 191 разделён на 5 равных углов. Назовите углы, которые составляют 3 — угла АОВ. Найдите величину угла СОР, если угол 5 в с D АОВ равен 100°. 1776. На рисунке 192 угол АОС равен углу DOB. Докажите, что угол АОВ равен углу COD. 1777. Прямые АВ и CD (рис. 193) пересекаются в точке О. Докажите, что углы АОС и BOD равны. D т 1778. Не пользуясь транспортиром, определите угол между стрелками часов на рисунке 194. Рис. 194 1779. Вычислите устно: 0,5 • 4 в) 7,2 : 0,1 Д) 57 • 0,1 ж) 4,4 : 11 : 0,1 : 7.2 : 3 : 0,1 — 0,8 • 0,36 -f 4,4 • 0,25 : 30 + 0,7 : 0,9 : 20 ? ? ? ? 2 — 0,6 г) 7,5 • 10 е) 0,82 — 0,4 з) 0,25 • 2 • 0,3 : 50 : 0,6 • 0,6 : 6 : 5 • 5 -f 3,7 -ь 0,23 •0,4 — 2,5 : 10 ? ? ? ? 1780. Паша пустился догонять Борю, когда тот отбежал от него на 360 м, и догнал через 9 мин. С какой скоростью бежал Паша, если скорость Бори была 0,2 км/мин? 1781. Серёжа стал догонять Колю, когда тот находился от него на расстоянии 840 м, и догнал через 6 мин. Найдите скорость Коли, если его скорость была в 2 раза меньше скорости Серёжи. 1782. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость грузовой автомашины в 2 раза меньше скорости легковой. Найдите скорость каждой автомашины, если известно, что расстояние между пунктами 480 км и машины встретились через 4 ч. 1783. Два поезда вышли навстречу друг другу одновременно из двух городов, расстояние между которыми 592 км. Через 4 ч они встретились. Какова скорость каждого поезда, если известно, что скорость одного из них на 8 км/ч больше скорости другого? 1784. Из города А в город В выехал велосипедист. Через 3 ч после его выезда навстречу ему из города В выехал мотоциклист со скоростью 42 км/ч. Через 2 ч после выезда мотоциклиста они встретились. Найдите скорость велосипедиста, если расстояние между городами А и В равно 144 км. 268 1785. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 3 ч расстояние между ними стало 21 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого 4 км/ч. 1786. Из одной и той же точки шоссе в противоположных направлениях выехали два велосипедиста, один со скоростью 12 км/ч, а другой со скоростью 14 км/ч. Первый велосипедист выехал на час раньше второго. Через сколько времени после выезда первого велосипедиста расстояние между велосипедистами будет равно 64 км? 1787. Скорость течения 2,2 км/ч. Собственная скорость катера 15,3 км/ч. Какой путь прошёл катер, если по течению он шёл 3 ч, а против течения 4 ч? 1788. Теплоход прошёл по течению 145 км за 5 ч. Сколько времени ему потребовалось на обратный путь, если скорость течения 4,5 км/ч? 1789. Назовите известные вам единицы измерения длины, площади, объёма. 1790. Сколько аров в гектаре? квадратных метров в аре? квадратных сантиметров в квадратном дециметре? квадратных сантиметров в квадратном метре? 1791. Какую часть квадратного сантиметра составляет квадратный миллиметр? Какую часть квадратного метра составляет квадратный сантиметр? Какую часть гектара составляет квадратный метр? Какую часть квадратного километра составляет гектар? 1792. Выразите: а) в метрах: 6 дм, 23 см, 29 дм, 129 см, 2 м 3 дм; б) в квадратных метрах: 3 дм^, 27 дм^, 288 дм^; в) в часах: 11 мин, 35 мин, 73 мин, 1 ч 24 мин; г) в тоннах: 4 кг, 15 кг, 240 кг, 1250 кг. 1793. Самый длинный день в Москве длится 1057 мин. Выразите в часах продолжительность этого дня. Какова продолжительность самой короткой ночи? 1794. Как найти: а) площадь прямоугольника; б) площадь квадрата; в) объём прямоугольного параллелепипеда; г) объём куба? Запишите эти правила в виде формул. 1795. Сколько кубических сантиметров в кубическом дециметре? Сколько кубических дециметров в кубическом метре? Чему равен литр? Какую долю кубического дециметра составляет кубический сантиметр? Какую долю кубического метра составляет кубический сантиметр? 269 т % т 1796. Из скольких прямоугольников состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда? Сколько граней, рёбер, вершин имеет прямоугольный параллелепипед? Какой прямоугольный параллелепипед называют кубом? Из каких фигур состоит поверхность куба? Каковы рёбра куба? 1797. Как формулируется: а) свойство площадей равных фигур; б) свойство площадей фигуры и её частей; в) свойство объёмов равных фигур; г) свойство объёмов фигуры и её частей? 1798. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 24,6 см и 18,5 см. Выразите площадь в квадратных дециметрах. 1799. а) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 28,2 см, 30 см и 25,5 см и выразите его в кубических дециметрах. б) Найдите объём куба с ребром 8 дм и выразите его в кубических метрах. 1800. Два прямоугольника имеют одну и ту же площадь. Длина первого прямоугольника равна 0,6 м, а ширина — 4 дм. Чему равна длина второго прямоугольника, если его ширина 30 см? Найдите и сравните периметры этих прямоугольников. 1801. Периметр прямоугольника 0,36 м. Его длина в 2 раза больше ширины. Чему равна площадь прямоугольника? 1802. Найдите площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 12 см, ширина — 7,5 см, а высота — 10 см. 1803. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна а см, длина на 5 см больше ширины, а высота равна 4 см. Составьте выражение для нахождения объёма параллелепипеда. 1804. Из деревянного бруска, длина которого 8 см, ширина 0,6 дм и высота 4 см, вырезали куб с ребром 0,04 м. Чему равен объём оставшейся части бруска? 1805. Какой объём занимает вода, налитая в мензурку (рис. 195)? Числа на шкале мензурки означают кубические сантиметры (миллилитры). 1806. Какие из квадратов на рисунке 196 равны? 1807. Среди фигур, обозначенных буквами, найдите Рис. 196 равные фигуры (рис. 197). 270 С F В К ‘^Х 1808. На рисунке 198 изображён куб. Назовите рёбра верхней и нижней граней, переднюю грань, вершины правой грани, равные рёбра. 1809. Пятиугольное поле ABCDM, план которого изображён на рисунке 199, разбито на четыре части отрезками АС и ВМ. Назовите эти части и найдите площадь поля, если площади треугольных частей равны 50 тыс. м^, 60 тыс. м^, 170 тыс. м^, а четырёхугольной — 380 тыс. м^. 1810. Дополните каждый треугольник, изображённый на рисунке 200, до прямоугольника и найдите площади треугольников. 1811. Каким свойством обладают точки окружности? Какой отрезок называют радиусом окружности? Диаметром окружности? Начертите окружность и проведите три радиуса этой окружности и её диаметр. Рис. 197 Рис. 198 т D М 1812. Начертите окружность и проведите два её радиуса, образующие прямой угол. 1813. Начертите окружность с центром О и радиусом 4,7 см. Постройте два отрезка АВ и АС длиной 3 см так, чтобы точки А, В к С лежали на окружности. 1814. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры 3 и 0. 1815. Выполните действия: а) (246 535 — 85 897) : 1306; б) 157 464 : (14 904 : 23); в) 1 600 731 : (5163 — 356); г) 515 453 : (261 924 : 156); д) (97 548 -I- 69 432) : (16 400 — 15 388); е) 1 067 154 : 4807 — 189 -Ь 707 • 390. д 271 1816. Составьте выражение и найдите его значение: а) сумму 369 и 471 разделите на разность 872 и 842; б) произведение чисел 38 и 48 разделите на сумму 39 и 57. 1817. Решите уравнение: а) 13л: + 12л: + 15 = 240; б) (14х — 2х) : 17 = 312. 1818. Верно ли неравенство 398 + 24 ■ 87 (больше) 28 знак L MM^ CM^ □ ДМ® 1 KM^ = 1 000 000 000 M^ Ш 10 <®100 vs Квадраты натуральных чисел 6 = 6 ■ 6 = 36 12 1441169119б|225[|256 Кубы натуральных чисел 6 = 6- 6'6 = 216 Ш1|2|3|4|5|б|7|8 1 I 8 I 27| 64 |125|21б|з43§512 СКЛОНЕНИЕ ЧИСЛИТЕЛЬНЫХ Количественные числительные по Ttmy склотнмя мотю рладмипь не пять групп: 1—4 5—20, 30 50—80 40,00 100 И. четыре шестнадцать восемьдесят сорок сто Р. четырех шестнадцати восьмидесяти сорока ста Д. четырем шестнадцати восьмидесяти сорока ста В. как И. или Р. шестнадцать восемьдесят сорок сто Т. четырьмя шестнадцатью восьмьюдесятью сорока ста П. 0 четырех О шестнадцати О восьмидесяти О сорока О ста 200—900 В составных колпчяствянных числительных склоняются все части; И.триста девятьсот пятьсот семьдесят три Р.трехсот девятисот пятисот семидесяти трех Д. тремстам девятистам пятистам семидесяти трем В.триста девятьсот пятьсот семьдесят три Т. тремястами девятьюстами пятьюстами семьюдесятью тремя П. О трехстах О девятистах О пятистах семидесяти трех Порядковые числительные В составных порядковых чнспмтопьных склоняется только последнее слово: И. двадцать пятый Р. двадцать пятого Д. двадцать пятому В. как И. или Р. Т. двадцать пятым П. о двадцать пятом четыреста тридцать шестой четыреста тридцать шестого четыреста тридцать шестому как И. или Р. четыреста тридцать шестым о четыреста тридцать шестом Дробные числительные В состав дробных числительных входят количественные и порядковые числительные. Прнсклоненнн дробных числительных на меняются все их части; И. две целых тридцать семь сто семьдесят девятых Р. двух целых тридцати семи сто семьдесят девятых Д. двум целым тридцати семи сто семьдесят девятым В.как И. Т. двумя целыми тридцатью семью сто семьдесят девятыми П. о двух целых тридцати семи сто семьдесят девятых И. ноль (нуль) целых двести девяносто семь тысячных Р. нуля целых двухсот девяноста семи тысячных Д. нулю целых двумстам девяноста семи тысячным В.как И. Т. нулем целых двумястами девяноста семью тьюячными П. о нуле целых двухстах девяноста семи тысячных Ж. 179 0,297 GE) По горизонтали: 2. Знак математического действия. 4. Понятие, для записи которого используется одна или несколько цифр. 5. Часть прямой, соединяющей две точки. 7. Многоугольник. 8. Математическое действие. 9. Старинная мера длины. По вертикали: 1. Часть прямой. 2. Геометрическая фигура. 3. Математическое действие. 6. Упражнения, выполняемые с помощью рассуждений и вычислений. 7. Число разрядов в классе. (б26^' 4 н 5 6 SX3 1. Многоугольник. 2. Четырёхугольник. 3. Четырёхзначное число. 4. Старинная русская мера длины. 5. Соотношение между числами. 6. Геометрическая фигура. 7. Группа цифр в записи числа. 8. Математическое действие. 9. Отрезок координатного луча.

10. Уравнение

Задача. На левой чашке весов лежат арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке — гиря в 5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нам надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания, таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Например, корнем уравнения х + 2 = 5 является число 3.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Пример 1. Решим уравнение х + 12 = 78.

Решение. По смыслу вычитания, неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.

Поэтому х = 78 — 12, то есть х = 66.

Число 66 является корнем уравнения х + 12 = 78, потому что 66 + 12 = 78.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (рис. 44, а).

Пример 2. Решим уравнение у — 8 = 11.

Решение. По смыслу вычитания, у является суммой чисел 11 и 8. Значит, у = 11 + 8, то есть у = 19.

Число 19 является корнем уравнения у — 8 = 11, так как верно равенство 19 — 8 = 11.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (рис. 44, б).

Пример 3. Решим уравнение 15 — z = 9.

Решение. По смыслу вычитания, число 15 является суммой z и 9, то есть z + 9 = 15. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 15 — 9, то есть z = 6.

Число 6 является корнем уравнения 15 — z = 9, так как верно равенство 15 — 6 = 9.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (рис. 44, в).

Вопросы для самопроверки

• Какое равенство называют уравнением?
• Какое число называют корнем уравнения?
• Что значит решить уравнение?
• Как проверить, верно ли решено уравнение?
• Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?

Выполните упражнения

372. Решите уравнение:

• а) x + 37 = 85;
• б) 156 + у = 218;
• в) 85 — 2 = 36;
• г) m — 94 = 18;
• д) 2041 — n = 786;
• е) р — 7698 = 2302.

При чтении уравнений и буквенных выражений помните, что названия букв х, у, z — мужского рода, а названия остальных латинских букв — среднего рода.

Склонять названия букв в математике не принято.

х + 25 = 50 — сумма икс и двадцати пяти равна пятидесяти;

х = 25 — икс равен двадцати пяти;

р — 18 = 20 — разность пэ и восемнадцати равна двадцати;

р = 38 — пэ равно тридцати восьми.

373. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) В корзине было несколько грибов. После того как в неё положили ещё 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?
• б) В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
• в) Электропоезд был в пути 1 ч 15 мин. Некоторое время он затратил на остановки, а двигался 46 мин. Сколько времени затрачено на остановки?
• г) В спортивном лагере 322 человека. Когда несколько человек ушли в поход, в лагере осталось 275 человек. Сколько человек ушли в поход?
• д) Скорость автомашины уменьшили на 45 км/ч, и она стала равной 35 км/ч. Какова была скорость машины раньше?
• е) Через 9 лет Вите исполнится 20 лет. Сколько лет ему сейчас?

374. Составьте уравнение по рисунку 45 и решите его.

375. Решить уравнение (у + 64) — 38 = 48 можно двумя способами:

сначала найти неизвестное уменьшаемое у 4- 64:

у + 64 = 48 + 38, у + 64 = 86,

а потом найти неизвестное слагаемое у:

у = 86 — 64, у = 22

или
сначала упростить выражение, стоящее в левой части уравнения, использовав свойства вычитания:

у + 64 — 38 = 48, у + 26 = 48,

а затем найти неизвестное слагаемое у:

у = 48 — 26, у = 22.

Подобным образом решите двумя способами уравнение:

• а) (л: + 98) + 14 = 169;
• б) (35 + у) — 15 = 31.

376. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) (х + 15) — 8 = 17;
• б) (24 + х) — 21 = 10;
• в) (45 — у) + 18 = 58;
• г) (у — 35) + 12 = 32;
• д) 56 — (х + 12) = 24;
• е) 55 — (х — 15) = 30.

377. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то будет 52. Какое число задумал Витя?
• б) Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 14 и от полученной суммы отнять 12, то будет 75. Какое число задумала Маша?
• в) В бензобак, где был бензин, перед поездкой долили ещё 39 л. Во время поездки израсходовали 43 л бензина, после чего в бензобаке осталось 27 л. Сколько литров бензина было в бензобаке первоначально?
• г) В ателье было 60 м ткани. Из неё сшили платья, ещё 16 м израсходовали на детские костюмы, после чего осталось 20 м этой ткани. Сколько метров ткани пошло на платья?

378. Запишите в виде равенства:

• а) У Вани было х яблок, у Пети — на 8 яблок больше, а у Нины — на 3 яблока меньше, чем у Вани. Вместе у них было 41 яблоко.

• б) Один токарь выточил у деталей, другой — на 7 деталей больше, чем первый, а третий — на 8 деталей меньше, чем второй. Вместе они сделали 81 деталь.
• в) У Кости n открыток, у Игоря — на 8 открыток меньше, чем у Кости, а у Наташи — на 15 открыток больше, чем у Кости. У Наташи столько же открыток, сколько у Кости и Игоря вместе.
• г) В первый сосуд налили m л жидкости, во второй — на 7 л меньше, чем в первый, а в третий сосуд — на 10 л больше, чем во второй. В третьем сосуде оказалось столько жидкости, сколько в первом и втором сосудах вместе.

379. Сумма 3986 + 5718 равна 9704. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или корень уравнения:

• а) 9704 — 3986;
• б) 9704 — 5718;
• в) х + 5718 = 9704;
• г) 3986 + у = 9704;
• д) 9704 — х = 3986;
• е) 9704 — v = 5718.

380. Разность 6877 — 2984 равна 3893. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или решите уравнение:

• а) 2984 + 3893;
• б) 6877 — 3893;
• в) х — 3893 = 2984;
• г) 6877 — х = 2984.

381. Вместо звёздочек в записи вычислений цепочкой поставьте необходимые числа.

382. Вычислите устно:

383. На координатном луче даны точки A(18), В(7), С(31), D(27), Е(23), O(0). Какие из этих точек:

• а) левее точки Е и на сколько единичных отрезков;
• б) правее точки А и на сколько единичных отрезков;
• в) расположены между точками В и D?

384. Что больше и во сколько раз:

• а) два часа или сорок минут;
• б) десять центнеров или две тонны;
• в) шесть сантиметров или двадцать миллиметров?

385. В бидоне 24 л молока. Для приготовления завтраков израсходовали четвёртую часть молока, а для приготовления обедов — половину оставшегося молока. Сколько литров молока осталось в бидоне?

386. Найдите пропущенное число:

387. Вместо некоторых цифр поставлены звёздочки. Можно ли сравнить числа:

• а) 32** и 31**;
• б) *1** и 8**;
• в) **** и ***;
• г) *5* и 1**?

388. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградово — три дороги. Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградово через село Большово?

Решение. Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа:

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 • 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградово.

389. Немецкого учёного Карла Гаусся называли королём математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трёхлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчёты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ, на его грифельной доске было написано: 101 • 50 = 5050.

Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

390. Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча? 8 обручей?

391. Вычислите, выбирая удобный порядок выполнения действий:

• а) 937 — (137 + 793)
• б) (654 + 289) — 254
• в) 854 + (249 — 154)
• г) (747 + 896) — 236;
• д)(348 + 252) — 299;
• е) (227 + 358) — (127 + 258).

392. На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на другой k кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов клубники осталось на грядках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при k = 26; 35.

393. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:

• а) (b + 179) — 89 при b = 56; 75;
• б) (839 + с) — 239 при с = 37; 98;
• в) (256 — х) — 156 при х = 44; 87;
• г) 238 — (38 + а) при а = 78; 0.

394. Найдите значение выражения:

1. 34 • 27 + 1638 : 39;
2. 32 • 37 — 3293 : 37;
3. (321 — 267) • (361 — 215) : 219;
4. (123 + 375) ¦ 24 : (212 — 129).

395. Решите уравнение:

• а) 395 + х = 864;
• б) z + 213 = 584;
• в) 300 — у = 206;
• г) t — 307 = 308;
• д) 166 = m — 34;
• е) 59 = 81 — k.

396. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) (х — 87) — 27 = 36;
• б) 87 — (41 + у) = 22.

397. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября?
• б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили ещё сахара, в нём стало 900 г. Сколько граммов сахара добавили в пакет?
• в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей — вышли 12 человек, после чего в автобусе осталось 17 человек. Сколько человек вошли в автобус на первой остановке?

398. Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 120 км. Сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал а км? Составьте выражение и найдите его значение при а = 40; 60; 80.

399. Купили дюжину (дюжина — 12) бутылок фруктовой воды, а в обмен сдали 8 пустых бутылок. Сколько денег доплатили? Узнайте, сколько стоит бутылка фруктовой воды и сколько пустая бутылка, и решите задачу.

400. Имелось 65 л фруктового сока. Из них 20 л дали детям во время завтрака, а остальной сок разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок для этого потребовалось?

401. Запишите все трёхзначные числа, которые можно записать только с помощью цифр 5, 3 и 0.

402. Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш?

403. Найдите значение выражения:

• а) (37 296 : 37 — 17 780 : 35) : 250;
• б) (504 • 370 — 158 092) : 47 + 1612.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

В наше время почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления.

В ней, как вы уже знаете, значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Раньше некоторые народы применяли другие системы счёта. В тёплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счёта применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног. Получался счёт двадцатками.

А пять тысяч лет назад в некоторых странах востока пользовались шести-десятеричной системой счисления, то есть системой счисления с основанием 60. Эта система была первой позиционной системой.

На рисунке показано, как в этой системе выглядела запись некоторых чисел.

Следы шестидесятеричной системы счисления сохранились до сих пор: мы и сейчас делим час на 60 минут, а минуту — на 60 секунд.

Использование числа 10 как основания системы счисления связано с тем, что у людей на руках 10 пальцев, которые удобнее всего было использовать при счёте. Но основание системы счисления, конечно, может быть любым числом, например, современные ЭВМ (электронные вычислительные машины) считают в двоичной системе (основание 2), так как при этом используются только два состояния: «есть сигнал» и «нет сигнала».

ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И. часть 1, 2 ФГОС

авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И..

Издательство: Мнемозина 2018 год.

Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. часть 1, 2. Ответы сделаны к книге 2018 года от Мнемозина ФГОС

ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Виленкин Н.Я. (синий) можно посмотреть тут.

ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Виленкин 1, 2 часть (Просвещение 2021) можно посмотреть тут.

ГДЗ к тестам по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть тут.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть тут.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Попов М.А. можно посмотреть тут.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Чесноков А.С. можно посмотреть тут.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть тут.

ГДЗ к рабочей тетради Универсальные учебные действия по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть тут.

ГДЗ к контрольным работам по математике за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть тут.

ГДЗ к математическому тренажёру за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть тут.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Лебединцева Е.А. можно посмотреть тут.