Учи ру как решить уравнение ax b

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

b» rel=»bookmark»>ax>b

Как решать линейные неравенства вида ax>b и ax

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (> — на ; ≥ — на ≤ ; ≤ — на ≥).

С помощью схемы ход решения неравенств вида ax>b можно изобразить так:

При a=0 — частный случай. В частных случаях неравенство либо не имеет решений, либо его решением является любое число. Частные случаи решения линейных неравенств разберём в отдельном посте.

14\_\_\_\left| <:2 >0> \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Два больше нуля, поэтому знак неравенства не изменяется:

7\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как неравенство строгое, на числовой прямой отмечаем выколотую точку 7. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство строгое, в ответ 7 записываем с круглой скобкой.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двух до бесконечности».

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как минус пять меньше нуля, знак неравенства изменяется на противоположный:

Так как неравенство нестрогое, -2,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство нестрогое, -2,4 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус двух целых четырёх десятых, включая минус две целые четыре десятые».

0> \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

Сократим дробь на 4

Так как неравенство нестрогое, точку -1 2/3 на числовой прямой закрашиваем. Штриховка — влево, на минус бесконечность:

Поскольку неравенство нестрогое и точка закрашенная, точка -1 2/3 в ответ записывается с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одной целой двух третьих, включая минус одну целую две третьих».

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Деление на дробь заменяем умножением на обратное ей число, то есть обе части неравенства умножаем на минус семь. Так как -7 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

21\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Поскольку неравенство строгое, x=21 на числовой прямой отмечается выколотой точкой. Штриховка — вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство — строгое, точка — выколотая, соответствующая точке скобка — круглая.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двадцати одного до бесконечности».