Угол определяемый по уравнению снеллиуса

Закон Снеллиуса (Закон преломления)

На мой взгляд, начало оптического проектирования было положено в 1621 году. В этом году Снеллиус сформулировал закон преломления, который гласит, что если угол между падающим лучом и нормалью поверхности проведенной к точке падения, названный углом падения, обозначить через ; и если угол преломления – угол между преломленным углом и нормалью – обозначить через ; тогда взаимосвязь этих углов будет определяться следующим выражением

Кроме того, закон Снеллиуса полагает, что падающий луч, преломленный луч и нормаль проведенная к точке падения находятся в одной плоскости (рисунок 1). Величины и – коэффициенты преломления двух материалов. В то время как выражение (1.1) может быть принято за определение коэффициента преломления материала, более фундаментально эта величина определяется как

где – скорость света в вакууме, а – скорость света в веществе.

Рисунок 1.2 – Закон Снеллиуса (закон преломления)

Поскольку для любой поверхности отношение коэффициентов преломления определяет угол преломленного луча, то удобно записать

так что закон Снеллиуса упростится до следующего выражения

В случае отражения (рисунок 1.3), угол отраженного луча равен углу падения. Эти два угла имеют противоположный знак, согласно правило знаков для углов при распространении лучей. Следовательно, закон отражения можно представить как

При разработке оптики, отражение обычно принимают за частный случай преломления со следующими условиями

или (1.6)

Этот метод очень полезен при разработке центрированных систем с отражающими поверхностями, т.к. формула для преломления может быть применена к отражающей поверхности практически без изменений при условии, что мы примем на вооружение правило, что коэффициент преломления изменяет свой знак после каждого отражения. После четного числа отражений, когда лучи распространяются в том же направлении, в котором они распространялись первоначально, коэффициент преломления будет положительным; после нечетного числа отражений коэффициенту преломления будет присвоено отрицательное значение.

Рисунок 1.3 – Закон отражения

В случае сложных децентрированных систем – систем с наличием нескольких поворотных зеркал – это соглашение (условие, что после отражения коэффициент преломления остается прежним, но со знаком минус) может сбить с толку. Возможно в этом случае более удобно рассматривать отражения как отдельный случай, оставляя все коэффициенты преломления положительными.

Закон Снеллиуса

Почему соломинка в стакане воды выглядит погнутой? Просто в воздухе и в воде свет распространяется с разными скоростями и световые лучи преломляются. Закон Снеллиуса, описывающий это преломление, объясняет возникновение миражных луж на горячей дороге и то, почему люди, плавающие в бассейне, кажутся коротконожками. Сегодня этот закон помогает создавать хитроумные материалы, которые выглядят невидимыми.

Когда луч света пересекает границу двух сред, в которых он распространяется с разными скоростями, например границу между воздухом и водой, его лучи преломляются. Это явление называется «рефракцией». Закон Снеллиуса описывает величину этого преломления для различных сред, а назван он так в честь голландского математика XVII века Виллеброрда Снеллиуса, хотя сам Снеллиус так его и не опубликовал. Его называют еще «законом Снеллиуса—Декарта», поскольку Рене Декарт опубликовал материалы Снеллиуса в 1637 году. Такое поведение света было хорошо известно и описывалось еще в X веке, однако объяснение оно получило лишь столетия спустя.

В более плотных средах — таких как вода или стекло в сравнении с воздухом — распространение света замедляется. Поэтому солнечный луч, достигая поверхности воды в плавательном бассейне, отклоняется в сторону дна. Отраженные лучи достигают наших глаз под меньшим углом, отклоняясь, в свой черед, в другую сторону, но мы-то предполагаем, что они идут к нам по прямой, поэтому ноги стоящего в бассейне человека выглядят укороченными. Подобным же образом на раскаленном шоссе возникает миражная лужа. Падающий с неба свет преломляется, чтобы скользнуть вдоль поверхности шоссе, потому что скорость его распространения изменяется в слое горячего воздуха. Горячий воздух не так плотен, как прохладный, свет уклоняется от вертикали, а мы видим отражение неба в асфальте, похожее на лужу воды.

Угол, под которым преломляется луч света, зависит от отношения скоростей его распространения в двух средах — строго говоря, отношение скоростей определяется отношением синусов углов падения света (измеренных от вертикали). Поэтому, когда свет переходит из воздуха в воду или в иную более плотную среду, луч его преломляется вовнутрь, а путь становится более крутым.

Коэффициент преломления

В вакууме (например, в пустом космосе) свет распространяется с фантастической скоростью — 300 миллионов метров в секунду. Отношение скорости его распространения в среде более плотной, например в стекле, к скорости распространения в вакууме называется «коэффициентом преломления среды». Вакуум имеет, по определению, коэффициент преломления, равный 1; среда с коэффициентом преломления, равным 2, уменьшает скорость света до половины его скорости в вакууме. Высокий коэффициент преломления среды означает, что луч света, проходя через нее, сильно переламывается.

Коэффициент преломления — это свойство самой среды. Можно создавать вещества (среды), обладающие определенными коэффициентами преломления, что бывает весьма полезно (например, в производстве стекол для очков, позволяющих избавляться от проблем со зрением). Мощность линз и призм зависит от их коэффициента преломления: чем мощнее линзы, тем выше коэффициент преломления.

Преломление происходит с любыми волнами, не только со светом. Скорость океанских волн спадает с увеличением глубины, имитируя изменение коэффициента преломления. Вследствие этого волны движутся под углом к мелководью, изгибаясь по мере приближения к нему, — буруны всегда идут параллельно наклонным отмелям.

Полное внутреннее отражение

Иногда, если луч света, проходя через стеклянную пластину, падает на ее границу с воздухом под слишком большим углом скольжения, луч не выходит в воздух, но отражается от внутренней поверхности стекла. Это явление называется «полным внутренним отражением», поскольку весь свет остается в стекле. Критический угол, при котором это происходит, определяется отношением коэффициентов преломления двух сред. Это явление возникает только при прохождении волн из среды с более высоким коэффициентом преломления в среду с более низким, например из стекла в воздух.

Принцип наименьшего времени Ферма

Из закона Снеллиуса вытекает принцип наименьшего времени Ферма, который постулирует, что луч света выбирает в любой среде путь, который он может пройти за минимальное время. Поэтому, проходя через совокупность сред с различными коэффициентами преломления, световой луч выберет путь самый быстрый, отдав предпочтение среде с малым коэффициентом преломления. По существу, это способ определения того, что представляет собой пучок света, и его можно вывести из принципа Гюйгенса, заметив, что лучи, проходящие по самым быстрым путям, имеют тенденцию усиливать друг друга и создавать световой пучок, тогда как лучи, следующие в самых разных направлениях, в среднем взаимно гасят друг друга. Математик Пьер Ферма выдвинул этот принцип в XVII веке, когда исследования оптики достигли пика своего развития.

Метаматериалы

В настоящее время физики разрабатывают новый класс особых материалов, именуемых «метаматериалами», которые при облучении их светом и другими электромагнитными волнами ведут себя совершенно по-новому. Метаматериалы создаются так, что при освещении их внешний вид диктуется скорее физической структурой этих материалов, чем их химическим составом. Природным метаматериалом является опал, кристаллическая структура которого влияет на то, как его поверхность преломляет и отражает свет, создавая блики различных цветов. В конце 1990-х были созданы метаматериалы с отрицательным коэффициентом преломления, в которых граница двух сред отклоняет луч света в противоположном обычному направлении. Если ваш друг войдет в бассейн, заполненный жидкостью с отрицательным коэффициентом преломления, то вы увидите не лицевую сторону его укороченных ног, а тыльную, да еще и спроецированную на лицевую сторону его тела. Материалы с отрицательным коэффициентом преломления можно использовать для создания «суперлинз», способных давать изображения куда более четкие, чем у самого лучшего стекла. В 2006 году физикам удалось получить метаматериал, получивший название «плаща-невидимки», поскольку он остается полностью невидимым для микроволн.

Сладко-сладко

Коэффициент преломления оказывается полезным инструментом в виноделии и производстве фруктовых соков. Виноделы используют рефрактометр (измеритель коэффициента преломления) для измерения содержания сахара в виноградном соке — прежде, чем обратить его в вино. Растворенный сахар увеличивает коэффициент преломления сока и показывает также, насколько крепким может получиться вино.

Всплеск

Плавательные бассейны — одна из любимых тем британского художника Дэвида Хокни. Он не только с наслаждением изображает, воспроизводя оптические эффекты, скользящие под водой тела людей, которые купаются солнечными днями в бассейне его калифорнийского дома, но и наделал в 2001 году шума в мире искусства, высказав предположение, что некоторые знаменитые художники начиная с XV столетия использовали при создании своих полотен линзы. Простые оптические устройства могут проецировать какую-либо сцену на холст, а художнику останется только обвести контуры и оживить картину красками. Вглядываясь в полотна старых мастеров, в том числе Энгра и Караваджо, Хокни обнаружил наводящую на размышления точность геометрических фигур.

Пьер Ферма, 1601-1665

Пьер Ферма был тулузским юристом, занимавшимся математикой в свободное время. После того как он вступил в переписку со знаменитыми математиками Парижа, репутация его возросла, но опубликовать что-либо он так и не смог. Ферма поссорился с Рене Декартом из-за выдвинутой тем теории преломления, заявив, что Декарт «на ощупь движется в темноте». Декарт рассердился, однако Ферма оказался прав. Позже Ферма придал своей работе форму принципа наименьшего времени.

Трудам Ферма помешала гражданская война во Франции и эпидемия чумы. Ферма продолжал работать над теорией чисел. Его помнят прежде всего за «последнюю теорему Ферма», которая утверждает, что сумма двух кубов сама кубом быть не может (и так далее, для степеней более высоких). Ферма записал на полях книги, что нашел поистине замечательное доказательство своей теоремы, но здесь, на полях, слишком мало места, чтобы привести его. Утраченное доказательство Ферма ставило математиков в тупик на протяжении трех веков, пока британский математик Эндрю Уайлс не доказал ее в 1995 году.

Закон Снеллиуса

Угол преломления луча при прохождении границы между двумя средами зависит от соотношения коэффициентов преломления этих сред.

Теория относительности заставила нас усвоить, что ничто не движется быстрее света, но при этом в такой формулировке имеется одна маленькая хитрость, о которой часто забывают. Теоретики, говоря «скорость света», имеют в виду скорость света в вакууме, которую принято обозначать латинской буквой с, и для них это настолько самоочевидно, что дополнение «в вакууме» они обычно не озвучивают. А ведь при распространении света в прозрачной среде, например, воде или стекле, он движется значительно медленнее скорости с из-за непрерывного взаимодействия с атомами материальной среды.

Так что же происходит с фронтом световой волны при ее прохождении через границу двух прозрачных сред? Ответ на это дает закон Снеллиуса (или «закон Снелля», если следовать не латинскому, а голландскому написанию. — Прим. переводчика), названный по имени голландского естествоиспытателя Виллеброрда Снеллиуса, впервые сформулировавшего эту закономерность. Важнейший пример такого преломления мы наблюдаем при попадании светового луча из воздуха в стекло и затем снова в воздух — а именно это происходит (причем зачастую неоднократно) в любом оптическом приборе, будь то сложнейшее лабораторное оборудование или банальная пара очков. Представьте себе туристов, идущих гуськом по диагонали через квадратное поле, посередине которого, параллельно двум его сторонам, проходит граница, после которой начинается болото. Понятно, что по чистому полю туристы могут идти быстрее, а по болотной жиже — медленнее. И вот, когда первые туристы доходят до края болота и начинают вязнуть в грязи, скорость их продвижения падает, и они, как нормальные люди, отклоняются от курса, чтобы поскорее добраться до противоположного края болота, в то время как идущие следом движутся с прежней скоростью и в прежнем направлении. По мере залезания в болото всё новых туристов они также сбрасывают скорость и начинают срезать угол. В итоге с высоты птичьего полета процессия туристов выглядит преломленной — по полю она идет в одном направлении, а по болоту — в другом. То же и со световым лучом: если при пересечении границы двух сред скорость света во второй среде ниже, чем скорость света в первой среде, луч отклоняется в сторону нормали (линии, перпендикулярной границе). Если же во второй среде скорость распространения света выше (как, например, при переходе света из стекла в воздух), луч, напротив, отклонится от нормали на больший угол (туристы ускорят шаг и спрямят направление).

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется коэффициентом преломления среды. Так, коэффициент преломления стекла равен примерно 1,5 (зависит от сорта стекла), то есть, свет в стекле замедляется примерно на треть по сравнению со скоростью его распространения в вакууме. У каждого прозрачного материала — собственный коэффициент преломления (совпадения, конечно же, возможны, но они ни о чем не говорят).

Закон Снеллиуса устанавливает числовое соотношение между углами падения и преломления луча при переходе из одной среды в другую. Если θ₁ и θ₂ — углы, соответственно, падения и преломления относительно нормали (см. рисунок) при переходе луча из одной среды в другую, а n₁ и n₂ — коэффициенты преломления этих сред, то имеет место соотношение:

Смысл этого закона в том, что если известны коэффициенты преломления света в двух граничащих средах и угол падения луча, можно рассчитать, насколько отклонится луч после пересечения границы между средами.

Доводилось ли вам когда-либо стоять у бортика бассейна и удивляться, отчего это у вашей подруги, стоящей по пояс в воде, ноги кажутся непропорционально короткими? А всё дело в том, что световые лучи, которые вы воспринимаете и которые доносят до вас зрительный образ, выйдя из воды и попав в воздух, преломились — и достигают ваших глаз под более тупым углом, чем если бы бассейн стоял без воды. Мозг же верит глазам, и вам кажется, что ступни вашей подруги ближе, чем они есть на самом деле.

Представьте стеклянный параллелепипед, изнутри которого на одну из его граней падает луч света. При прохождении границы с воздухом луч преломляется и, поскольку коэффициент преломления света в воздухе (около 1) ниже, чем в стекле (около 1,5), луч отклоняется от перпендикуляра (нормали). По закону Снеллиуса, если луч падает на поверхность под углом, например, 30°, по ту сторону границы он выйдет под более тупым углом к нормали (около 49°). По мере увеличения отклонения угла падения от нормали угол преломления будет увеличиваться ‘опережающими темпами’, пока, наконец, при угле падения примерно в 42° расчетный угол преломления не станет равен 90° к перпендикуляру — то есть, попав на поверхность, луч в этом случае не пройдет сквозь нее, а преломится строго вдоль границы между стеклом и воздухом.

Что же случится при дальнейшем увеличении угла падения луча? Угол преломления более 90° по сути означает, что луч не выйдет за пределы стекла и останется внутри стеклянного бруса, — то есть, он не преломится, а отразится от границы стекла с воздухом. Это явление называется полным внутренним отражением. Критический угол определяется из уравнения:

При значениях θ больше критического угла луч света изнутри стекла больше не проникает в воздух, а отражается обратно внутрь стекла, как от зеркала.

Явление полного внутреннего отражения вы легко можете пронаблюдать и сами. В следующий раз, ужиная при свечах, возьмите бокал вина и поднимите его высоко над головой, и, рассматривая огонек свечи сквозь поверхность вина, начните его постепенно опускать. Сначала, пока бокал поднят достаточно высоко, пламя свечи будет проблескивать сквозь поверхность вина. Однако в какой-то момент, по мере того как вы опускаете бокал, вы достигнете точки, когда поверхность вина вдруг сделается абсолютно темной. А всё дело в том, что вы достигли критического угла падения луча, и свет свечи теперь претерпевает полное внутреннее отражение, в результате чего никакой свет наружу не просачивается.

Однако полное внутреннее отражение — это не просто любопытный фокус, а основа для целого ряда важных современных технологий; прежде всего — этот эффект лежит в основе оптоволоконной связи. Свет, поступая с одного конца в тончайшее стекловолокно под очень большим углом, в дальнейшем вынужден распространяться вдоль этого волокна, не покидая его пределов, раз за разом отражаясь от его стенок, поскольку угол его падения не достаточен, чтобы вырваться за его пределы, благодаря чему на противоположном конце выход оптического сигнала практически не теряет в интенсивности. Если связать множество таких оптических волокон в пучок, чередование импульсов света и затемненных промежутков на выходе из такого оптоволоконного кабеля будет строго соответствовать сигналу, поступившему в него на входе. Этот принцип сегодня широко используется в современных медицинских технологиях (в частности, в артроскопии), когда тонкий пучок оптических волокон вводится в организм пациента сквозь крохотный надрез или естественное устье и доставляется буквально к самому органу, на котором производится микрохирургическая операция, позволяя хирургу в буквальном смысле видеть на экране монитора, что и как именно он оперирует.

Не менее широкое применение нашло полное внутреннее отражение и в области высокоскоростной передачи информации по оптоволоконным телефонным линиям связи. Посылая модулированные оптические сигналы вместо электромагнитных, мы получаем возможность на несколько порядков ускорить передачу информации по телекоммуникационным сетям. На самом деле, во всех по-настоящему индустриально развитых странах мира вся телефония уже переведена на оптоволоконную связь.

Голландский математик и физик. Родился в Лейдене в семье профессора математики местного университета. Изучал математику и юриспруденцию в различных университетах Европы, много путешествовал, познакомился со многими видными учеными своего времени, включая Иоганна Кеплера. В 1613 году стал преемником отца на должности профессора Лейденского университета. Стоял у истоков новой науки геодезии, первым усмотрев важность использования метода подобия треугольников при проведении геодезических измерений. В 1621 году, после многочисленных экспериментов по оптике, открыл закон преломления лучей, позже названный его именем. Своих результатов Снеллиус не публиковал, — они пылились в архивах, пока не были обнаружены Рене Декартом (René Descartes), который включил их в свой фундаментальный труд «Начала философии».