Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела
Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.
При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.
Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.
Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.
Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.
Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими at и an.
Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).
Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).
Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φоб.
Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.
Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφоб и φоб = φ/(2π).
Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.
Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.
При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, at и an, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).
Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.
Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.
Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
at = εR.
Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
an = ω 2 R.
При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.
§ 33. Равномерное вращательное движение
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.
Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ0 + ωt.
В частном случае, когда начальный угол поворота φ0=0,
φ = ωt.
Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.
§ 34. Равнопеременное вращательное движение
Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.
Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ0 + ω0t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ0, ω0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.
Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.
Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ0 + (ω + ω0)t/2.
Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ0 + (ω 2 — ω0 2 )/(2ε).
В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ0=0 и ω0=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).
§ 35. Неравномерное вращательное движение
Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.
Угол поворота тела задан уравнением
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
Кинематика вращения тела вокруг неподвижной оси
1. Краткие сведения из теории
Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
. (40)
Отсчет угла ведется от выбранного начала. При этом углам, отложенным в направлении движения часовой стрелки, придается знак “минус”, а углам противоположного направления – знак “плюс”.
Угол поворота выражается в радианах. Иногда угол поворота определяется числом оборотов N. Зависимость между и N следующая .
Угловая скорость тела:
(41)
Знак производной дает возможность установить происходит ли вращение тела в положительном направлении отсчета угла поворота (знак “плюс”) или в обратную сторону (знак “минус”). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (или 1/с).
Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой n . Зависимость между и n имеет вид
Угловое ускорение тела:
(42)
Знак производной дает возможность установить является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки и одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны – замедленно. Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (или 1/с 2 ).
Траекториями точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружности с центрами на оси вращения и радиусами, равными кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения.
Модуль скорости любой точки тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения (рис. 18), определяется по формуле
. (43)
Направлена скорость точки по касательной к описываемой точкой окружности в сторону движения.
Ускорение любой точки тела состоит из двух составляющих – вращательного и осестремительного ускорений:
.
Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле
. (44)
Вращательное ускорение направлено по касательной к описываемой точкой окружности в ту же сторону, что и его скорость, если вращение тела ускоренное (рис. 18, а) и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное (рис.18, б).
Модуль осестремительного ускорения определяется по формуле
. (45)
Осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к центру окружности (рис. 18).
Модуль полного ускорения точки определяется по формуле
(46)
2. Основные типы задач кинематики вращения тела вокруг оси
В зависимости от того, что задано в условии задачи и что требуется определить, различают следующие два основных типа задач.
1. Исследуется движение тела в целом. В этих задачах вначале нужно получить законы (40)–(42) и, используя связь между ними, определить требуемую величину (см. примеры 17 и 18).
2. Требуется определить скорости и ускорения отдельных точек тела. Для решения задач этого типа вначале надо установить кинематические характеристики движения всего тела в целом, т.е. найти , и . После чего по формулам (43), (44), (45), (46) определить скорости и ускорения точек тела (см. пример 19).
Пример 17. Пропеллер самолета, делающий 1200 об / мин , после выключения двигателя останавливается через 8 с. Сколько оборотов сделал пропеллер за это время, если считать его вращение равнозамедленным?
Вначале получим законы вращения пропеллера (40), (41) и (42). По условию задачи пропеллер вращается равнозамедленно , из этого следует, что
.
, (47)
(48)
Начальной угловой скоростью при замедленном вращении будет та, которую пропеллер имел до выключения двигателя. Следовательно, . В момент остановки при t1 = 8 сек. угловая скорость тела . Подставляя эти значения в уравнение (47), получим
Отсюда
Если обозначить число сделанных пропеллером за время t1 оборотов через N1, то угол поворота за то же время будет равен
.
Подставляя найденные значения и в уравнение (48), получим
Отсюда оборотов.
Пример 18. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные: угловая скорость изменяется пропорционально t 2 , начальный угол поворота рад, для заданного момента времени t1 = 3 с угловое ускорение 1/с 2 .
По условию задачи модуль угловой скорости изменяется пропорционально t 2 . Обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k , имеем
. (49)
Найдем , беря производные по времени от обеих частей равенства (49),
Определим коэффициент k из условия, что при t1 = 3 сек. угловое ускорение 1/с 2 : или
Подставляя значение k в уравнение (49), получим
Учитывая, что , будем иметь
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, находим
В начальный момент при t = 0, = 2 рад, следовательно, c = 2.
Таким образом, радиан.
Пример 19. В период разгона ротор электродвигателя вращается по закону , где t в сек, в рад.
Определить в конце 4-й секунды линейную скорость, вращательное, осестремительное и полное ускорения точки, лежащей на ободе ротора, если диаметр ротора D = 40 см .
По заданному уравнению вращения ротора находим его угловую скорость и угловое ускорение , .
Подставляя значение t1 = 4 сек в выражение для и , найдем
1/с,
1/с 2 .
Определим модули линейной скорости, вращательного и осестремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (43), (44) и (45)
Модуль полного ускорения точки обода ротора определим по формуле (46)
3. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся тело входит в состав различных механизмов
Рассмотрим механизмы с поступательным и вращательным движением звеньев. Решение задачи начинают с определения скоростей точек того звена, для которого движение задано. Затем рассматривают звено, которое присоединено к первому звену и т.д. В результате определяют скорости точек всех звеньев механизма. В такой же последовательности определяют и ускорения точек.
Передача вращения от одного вращающегося тела, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым, может осуществляться при помощи фрикционной или зубчатой передачи (рис. 19).
Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы трения в месте контакта соприкасающихся колес, в зубчатой передаче – от зацепления зубьев. Оси вращения ведущего и ведомого колес могут быть параллельными (рис. 19, а, б) или пересекаться (рис. 19, в). В рассмотренных случаях линейные скорости точек А соприкасания колес одинаковы, их модули определяются так:
. (50)
Отсюда . (51)
То есть угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.
При преобразовании вращательного движения в поступательное (или наоборот) часто используют зацепление зубчатого колеса с зубчатой рейкой (рис. 20). Для этой передачи выполняется условие: .
Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача вращения при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 21).
Так как модули скоростей всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхностям шкивов, то соотношения (50) и (51) относятся и к ременной передаче.
Пример 20. В механизме домкрата при вращении рукоятки ОА шестерни 1, 2, 3, 4, 5 приводят в движение зубчатую рейку ВС домкрата (рис. 22).
Определить скорость рейки, если рукоятка ОА делает 30 оборотов в минуту ( n = 30 об /мин). Числа зубцов шестерен: z1 = 6, z2 = 24, z3 = 8, z4 = 32; радиус пятой шестерни r5 = 4 см .
Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже 30 об /мин или
Модули скоростей точек соприкасания зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (50)
Отсюда (см. также (51)).
Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то .
Отсюда
Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому
Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (51) можно записать
Отсюда
Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому
Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому
или
Пример 21. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R 2 и r 2 и колесо 3 радиуса R 3 , скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис.23). Рейка движется по закону
Дано: R 2 =6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, ( S — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t 1 =3 с. Определить: , , , в момент времени t = t1.
Указания. Пример 21 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы, при этом считается, что ремень по ободу колес не скользит.
Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R 1 ), через V1, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r 1 ), через U1.
1. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:
. ( 52 )
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то V 2 = V1 или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или . Из этих равенств находим:
, . (53)
Тогда для момента времени t1 = 3 сек. получим = 6,75 с -1 .
2. Определяем V 4 . Так как , то при t1=3 c ек . V 4 = 20 ,25 см/с.
3. Определяем . Учитывая второе из равенств (53), получим .
Тогда при t1 = 3 сек. = 4,5 с -2 .
4. Определяем . Для точки А , где численно , . Тогда для момента времени t1 = 3 сек. имеем = 36 см/с2, = 364,5 см/с2.
= 366,3 см/с 2 ,
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.2.
Ответ: , см/ с , , .
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Тесты на экзамен по физике (стр. 1 )
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
1. Какая из приведенных ниже формул выражает понятие скорости:
В) ;
2. Какая из приведенных ниже формул выражает модуль скорости:
А) ;
3. Какая из приведенных ниже формул выражает понятие ускорения:
D) ;
4. Какая из приведенных ниже формул выражает тангенциальное ускорение:
D) ;
5. Какая из приведенных ниже формул выражает нормальное ускорение:
А)
6. Определить из графика V(t) путь, пройденный телом за 4с:
7. Определить из графика V(t) ускорение: (м/с2)
8. Скорость точки определяется выражением V=(4t-8) м/с. Чему равно ускорение:
9. Скорость точки определяется выражением V=(4t-8) м/с. Чему равно начальная скорость:
10. Что называется нормальным ускорением:
С) Составляющая полного ускорения, характеризующая изменение вектора скорости по направлению;
11. Что называется тангенциальным ускорением:
Е) Составляющая полного ускорения, характеризующая изменение вектора скорости по величине;
12. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению х=3+4t. Зависимость скорости точки от времени на графике изображается кривой:
13. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению: х=2t+t2-t3. Зависимость скорости точки от времени на графике изображается кривой:
14. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению: х=2t+t3. Зависимость скорости точки от времени на графике изображается кривой:
15. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению: х=4t-t2. Зависимость скорости точки от времени на графике изображается кривой:
16. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению: x=3+t2. Зависимость скорости точки от времени на графике изображается кривой:
17. Точка движется по прямой согласно уравнению: х=4-6t+t2. В какой момент времени ее скорость равна нулю (t, c).
18. Точка движется по прямой согласно уравнению: х=3+6t2-t3. В какой момент времени ее ускорение равно нулю (t, c).
19. Точка движется по прямой согласно уравнению: х=5-2t+t2. В какой момент времени ее ускорение равно 2 м/с2 (t, c).
20. Точка движется по прямой согласно уравнению: х=4-6t+t3. Чему равно ускорение точки в момент времени t=0,5 c (м/с2).
21. Координаты материальной точки массой 2кг, движущейся в плоскости, изменяются согласно уравнениям: х=2+t2, y=3-t3. Чему равна ее скорость в момент времени t=1c: (м/с)
22. Координаты материальной точки массой 2кг, движущейся в плоскости, изменяются согласно уравнениям: х=2+t2, y=3-t3. Чему равен ее импульс (Н. с) в момент времени t=1c: (м/с)
23. Координаты материальной точки массой 2кг, движущейся в плоскости, изменяются согласно уравнениям: х=2+t2, y=3-t3. Чему равна ее кинетическая энергия (Дж) в момент времени t=1c: (м/с)
24. Координаты материальной точки массой 2кг, движущейся в плоскости, изменяются согласно уравнениям: х=2+t2, y=3-t3. Чему равно ее ускорение (м/с2) в момент времени t=1c: (м/с)
25. Координаты материальной точки массой 2кг, движущейся в плоскости, изменяются согласно уравнениям: х=2+t2, y=3-t3. Какая сила действует на это тело в момент времени t=1c:
26. На шайбу массой 500г, имевшую начальную скорость 10 м/с в течение 2 с действует сила трения 1 Н. Какой путь (м) пройдет шайба за это время:
27. Уравнение движения точки, движушейся по прямой х = A+Bt+Ct3. чему равно ускорение в момент времени t=2c, если С = 0,2 м/с:
28. Половину пути поезд прошел со скоростью км/час, вторую половину пути он двигался со скоростьюкм/час. Найдите среднюю скорость поезда.
29. S-модуль перемещения материальной точки, L – путь точки. Какие возможны соотношения между этими величинами:
30. Движение тела описывается уравнением (м). Чему равна средняя скорость тела на второй секунде движения:
31. Угол поворота вращающегося тела задан уравнением . Чему равна угловая скорость тела:
32. Угол поворота вращающегося тела задан уравнением . Чему равна угловое ускорение тела:
33. Угол поворота вращающегося тела задан уравнением . Какому из приведенных условий соответствует движение тела:
А) const;
34. Угол поворота вращающегося тела задан уравнением . Чему равна угловая скорость (рад/с):
35. Угол поворота вращающегося тела задан уравнением . Чему равно угловое ускорение (рад/с2):
36. Скорость материальной точки, движущейся в плоскости XY, изменяется со временем по закону . Какое из выражений определяет модуль скорости:
Е) , м/с.
37. Скорость материальной точки, движущейся в плоскости XY, изменяется со временем по закону . Какое из выражений определяет ускорение:
38. Какое из выражений описывает правильно зависимость ускорения от времени для частицы, движущейся по прямой по закону :
D) ;
39. Какое из выражений описывает правильно зависимость скорости от времени для частицы, движущейся по прямой по закону :
A) ;
40. Какое из выражений описывает правильно зависимость начальной скорости от времени для частицы, движущейся по прямой по закону :
B) ;
41. Какому типу движения точки m соответствует приведенный рисунок:
С) Криволинейному ускоренному;
42. Какому типу движения точки m соответствует приведенный рисунок:
D) Равномерному по окружности;
43. Какому типу движения точки m соответствует приведенный рисунок:
D) Криволинейному замедленному;
44. Какому типу движения точки m соответствует приведенный рисунок:
А) Прямолинейному равноускоренному;
45. Какому типу движения точки m соответствует приведенный рисунок:
С) Прямолинейному равнозамедленному;
46. На рисунке представлена траектория движения камня, брошенного под углом к горизонту. Как направлено ускорение камня в точке А траектории, если сопротивлением воздуха пренебречь:
47. Твердое тело вращается вокруг оси Z. Зависимость угла поворота от времени t описывается законом , где А и В положительные постоянные. В какой момент тело остановится:
http://www.teoretmeh.ru/ukazankinematika2.htm
http://pandia.ru/text/80/181/55496.php