Укажите дифференциальное уравнение электрических колебаний

Свободные электромагнитные колебания в контуре (Порохов Д.А.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Успехи развития электромагнетизма конца XVIII века послужили бурному развитию промышленности и техники, основанной на использовании свойств постоянного и в дальнейшем переменного тока. Прежде всего, это средство передачи информации – телеграф. Однако по мере развития телеграфа инженеры и пользователи начали сталкиваться с весьма любопытными и, казалось, необъяснимыми фактами и явлениями. В начале XX века английский ученый Уильям Томсон заинтересовался неудачами инженеров, прокладывающих трансатлантический телеграф. Он теоретически изучил законы распространения электрических импульсов по кабелям и пришел к выводам, имеющим огромную практическую ценность, и тем самым способствовал прокладке трансатлантического телеграфа между Европой и США. Вместе с тем он разработал теорию электрических колебаний, которая легла в основу современной теории электромагнитных колебаний. Мы с вами начнем рассматривать элементы теории электромагнитных колебаний, разработанных Уильямом Томсоном. Тема сегодняшнего урока: «Свободные электромагнитные колебания и их описание».

Электромагнитные колебания

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной 0)’ alt='(I > 0)’ /> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ alt=’I > 0′ /> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ alt=’\dot > 0′ /> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Электромагнитные колебания — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Электромагнитные колебания:

Мы проживаем в различных городах и селах нашей республики. Они находятся в сотнях и тысячах километров от столицы. Несмотря на большие расстояния между населенными пунктами, мы постоянно поддерживаем связь. Кроме этого, нам известна информация о событиях со всего мира. Эти новости мы узнаем по телевизору, радио, мобильным телефонам. Каким образом информация доходит до нас по телевидению, через радиоприемники, мобильные телефоны?

Передача на большие расстояния речи, музыки, изображений или другой информации в виде электромагнитных сигналов называется телекоммуникацией. Передача информации в виде электрических сигналов с помощью проводников была изобретена в 1837 году английскими учеными У. Куком и Ч. Уитсоном. Американский художник С. Морзе изобрел передачу информации с помощью специального алфавита, состоящего из точек и тире. Этот метод в дальнейшем стал широко применяться во всем мире. В 1876 году А.Г. Белл изобрел телефон. В настоящее время, если телефоны в наших домах и различных ведомствах связаны со станцией через металлические проводники, то междугородные и международные телефонные станции связаны кабелями оптических волокон. Информация по этим кабелям передается с помощью лазерных лучей. По одной паре кабель одновременно может поддерживать связь 6000 телефонных абонентов. Наши радиоприемники и телевизоры могут получать информацию вообще без проводов. Мобильные телефоны также поддерживают беспроводную связь. В этих случаях информация передается с помощью электромагнитных волн.

Как поступает информация по проводам и воздуху в виде речи, изображения и звука в мобильные телефоны, радиоприемники и телевизоры? Ответы на эти вопросы вы, уважаемые ученики, найдете в данной главе.

Свободные электромагнитные колебания

Простые электромагнитные колебания можно создать в электрической цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности. Построим электрическую цепь, состоящую из конденсатора, катушки индуктивности, источника постоянного тока и включателя (рис. 3.1). Для упрощения не будем учитывать сопротивление электрической цепи. При включении включателя с левой стороны батареи пластинки конденсатора С заряжаются. При этом между обкладками конденсатора создается электрическое поле с максимальной энергией

В результате зарядки верхней обкладки конденсатора положительным, а нижней обкладки отрицательным зарядом он становится источником тока (1 случай). В результате с положительной обкладки конденсатора наблюдается перемещение зарядов на отрицательную обкладку через катушку индуктивности, т.е. образуется ток. Вокруг этого тока создается магнитное поле. Этот ток из-за индуктивности катушки постепенно увеличивается и достигает максимального значения (смотрите график на рисунке). Магнитное поле, созданное вокруг тока, протекающего через катушку, будет тоже растущим (2 случай). В этом случае энергия электрического поля между обкладками конденсатора уменьшается до нуля. Энергия магнитного поля вокруг катушки постепенно растет и достигает своего максимального значения Как известно из предыдущих тем, согласно явлению электромагнитной индукции на концах катушки, расположенной в изменяющемся магнитном поле, появляется разность потенциалов. Уменьшая значение тока эта разность потенциалов заряжает обкладки конденсатора противоположными зарядами (3 случай). Заряженный конденсатор через катушку индуктивности снова создает ток (4 случай). Этот ток тоже является растущим, его магнитное поле на концах катушки создает разность потенциалов. Уменьшается ток, и разность потенциалов снова заряжает конденсатор (5 случай). В 5-ом и 1-ом случаях знаки зарядов конденсатора одинаковы. Значит, последующие процессы повторяются, как было описано выше.

Из рассмотренных процессов сделаем следующие выводы:

1. В цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, заряд, переданный конденсатору из источника тока, в замкнутой цепи создаст переменный ток.
2. Энергия, полученная от источника, сначала концентрируется в качестве энергии электрического поля между обкладками конденсатора, а затем превращается в энергию магнитного поля внутри катушки. Далее энергия магнитного поля превращается в энергию электрического поля и т.д., периодически происходят превращения.

Мы узнали, что любые процессы, которые периодически повторяются, называются колебаниями.

Значит, процесс в цепи, состоящей из конденсатора с и катушки, тоже имеет колебательный характер. Это явление называется электромагнитные колебания. Замкнутая цепь, состоящая из катушки (L) и конденсатора (С), в которой создаются электромагнитные колебания, называется колебательным контуром (рис. 3.3).

Формула определения периода (частоты) электромагнитного колебания в колебательном контуре найдена английским физиком У. Томсоном.

Здесь: Т-период колебания в секундах, -частота колебания измеряется в 1 /с = 1 Гц.

Когда происходят электромагнитные колебания в контуре, энергия электрического поля периодически превращается в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном колебательном контуре из-за отсутствия расхода энергии колебания не затухают. Полная энергия сохраняется и ее величина в любой момент времени равна:

Здесь: L- индуктивность катушки, С-емкость конденсатора, -мгновенные и максимальные значения силы тока соответственно: — мгновенные и максимальные значения заряда в конденсаторе соответственно.

Явления, происходящие в колебательном контуре, — это превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот — энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора. Это явление можно сравнить с рассмотренным в 10-м классе примером, где потенциальная энергия растянутой пружины, пружинного маятника, превращается в кинетическую энергию груза и наоборот. Согласно этому в следующей таблице приведем аналогию величин, характеризующих механические и электрические колебания.

• х-координата
• v- скорость
• — масса
• -упругость пружины
• — потенциальная энергия
• -кинетическая энергия

• q- заряд
• -сила тока
• L — индуктивность
• 1/С-обратная величина емкости
• -энергия электрического поля
• — энергия магнитного поля

Следует отметить, что электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но выражаются аналогичными уравнениями.

Пример №1

Емкость конденсатора колебательного контура равна индуктивность катушки — 0,4 Гн. Максимальное напряжение конденсатора -2 В. Найдите период собственного колебания контура и максимальную энергию контура.

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Графическое изображение колебания затухающие электромагнитные колебания

В рассмотренном колебательном контуре для создания возникающих электромагнитных колебаний сначала в момент времени t=0 на конденсатор подается заряд qM, не оказывая других внешних воздействий. Колебания, возникающие при отсутствии внешних воздействий, называются свободными колебаниями.

Учитывая схожесть электромагнитных колебаний с механическими колебаниями, изученными в 10-м классе, изменение заряда конденсатора можно записать следующей формулой:

Если учесть, что для изменения напряжения конденсатора получим

Сила тока в катушке определяется согласно следующей закономерности:

Периодическое изменение физических параметров с течением времени по закону синуса или косинуса называется гармоническими колебаниями.

Модуль наибольшего значения колеблющейся величины называется амплитудой колебания, или амплитудной величиной.

Амплитуда в механических колебаниях равна наибольшему отклонению тела от положения равновесия, а в электромагнитных колебаниях — наибольшему значению электрического заряда на обкладках конденсатора.

Для изображения зависимости величин гармонических колебаний от времени удобен графический метод.

Нарисуем графики зависимости заряда, напряжения и силы тока электромагнитных колебаний от времени. Для этого воспользуемся формулами (3-3), (3-4) и (3-5). Сравнивая эти уравнения, можно увидеть, что колебания отличаются друг от друга по фазовым смещениям, т.е. имеют сдвиг по фазе.

Нарисуем графики вышеназванных уравнений. Ось абсцисс указывает в долях период времени, над ним соответствующие фазы колебания. По оси ординат выставлены величины (рис. 3.4).

Если на этих графиках будет известен масштаб, то по оси абсцисс можно найти период (время), а по оси ординат — амплитуду или мгновенное значение колеблющихся величин. Таким же образом сравнивая графики, можно найти сдвиг по фазе. Например, при максимальном значении заряда и напряжения на обкладках конденсатора сила тока равна нулю.

Колебания силы тока в контуре по фазам опережают колебания заряда на Заряд и напряжение изменяются в одной фазе.

Как было сказано выше, колебания, возникающие в идеальных колебательных контурах, не затухают. В реальных контурах из-за того, что сопротивление R не равняется нулю, электрическая энергия превращается в тепло и амплитуда колебания со временем уменьшается (рис. 3.5).

Такие колебания называются затухающим и колебаниями.

Следует отметить, что согласно формуле чем больше сопротивление контура, тем больше расходуется энергия. С увеличением сопротивления контура увеличится период колебания. Значит, затухающие колебания не являются гармоническими.

Затухающие колебания относятся к непериодичным колебаниям. Их уравнения выражаются через дифференциальные уравнения и являются сложными задачами, поэтому, не приводя их решения, ограничимся приведением их графиков.

Пример №2

На рисунке приведен график изменения тока в колебательном контуре. Объясните изменение энергии в промежутке времени: и

Решение: За приведенный промежуток времени с и с сила тока, протекающего через катушку, растет и достигает своего максимального значения.

Значит, энергия электрического поля конденсатора уменьшается до нуля и растет энергия магнитного поля катушки, достигая максимального значения.

Генераторы электромагнитных колебаний на транзисторах

Мы узнали, что в колебательном контуре возникают высокочастотные электромагнитные колебания. Если наблюдать на экране осциллографа колебания, возникающие в колебательном контуре, то увидим, что с течением времени амплитуда колебания уменьшается (рис. 3.6).

Причиной этого является электрическое сопротивление проводников катушки контура, используемых для соединения. Известно, что, имея сопротивление, проводник нагревается. Электрическая энергия превращается в тепловую энергию. Поэтому возникающие в контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими колебаниями.

Для того чтобы колебания не затухали, израсходованную энергию нужно периодически передавать колебательному контуру с помощью батарейки. Это означает, что включатель в контуре не должен постоянно оставаться включенным, его надо периодически выключать. Вспомните из 10-го класса фазы колебания. Согласно этому, во время перезарядки обкладки конденсатора включатель должен соединиться в тот момент, когда знаки зарядов на обкладках соответствуют полюсам батарейки.

Как при этом должен работать включатель? Представим себе, что частота колебания контура равна 1 МГц. В этом случае потребуется включатель включать-выключать миллион раз в секунду! Эту задачу не смогут выполнить никакие механические или электромеханические устройства.

Такую задачу может выполнить только электронный прибор, т.е. транзистор. Вспомним приведенный в 10-м классе принцип работы транзистора Чтобы через транзистор протекал ток, подключаются отдельные батарейки между базой-эмиттером и коллектором-эмиттером. В случае подсоединения к базе отрицательного полюса батарейки, к эмиттеру положительного полюса через транзистор протекает ток (включатель включен). Если поменять полюсы батарейки, ток не протекает (включатель выключен). Значит, транзистор может выполнять функцию включателя. Поэтому для создания незатухающего колебания в контуре его нужно подсоединить к источнику через транзистор.

На рис. 3.7 приводится схема генератора, в котором создаются высокочастотные незатухающие колебания. Здесь контур, состоящий из L и С, подсоединен к источнику тока через транзистор. В момент включения протекающий через катушку L ток имеет растущий характер. Магнитное поле, возникающее вокруг нее, тоже будет расти. Это магнитное поле, проходящее сквозь катушкусоздает электродвижущую силу взаимной индукции. На рис. 3.7 знаки внутри на концах катушки показаны в кружочках. Здесь на базу транзистора (Б) подастся напряжение с отрицательным знаком, на эмиттер (Э) — с положительным знаком и по транзистору протекает полный ток. В это время конденсатор С в контуре заряжается. Из-за индуктивности катушки (L) протекающий по нему ток перестанет увеличиваться. В не возникает электродвижущей силы и по транзистору ток не протекает. Теперь ключ выключим. Конденсатор С начинает разряжаться через катушку L, и в контуре появляются электромагнитные колебания. Когда в контуре происходят электромагнитные колебания, меняется и величина, и направление тока, протекающего по катушке L. Значит, знак электродвижущей силы, возникающей в , изменяется. Транзистор находится то в открытом, то в закрытом положении.

Таким образом, конденсатор С в контуре периодически заряжается от батарейки. Однако если источник напряжения подсоединяется в колебательный контур периодически, в те интервалы времени, когда обкладки конденсатора, подсоединенные к положительному полюсу, заряжаются положительно, конденсатор непрерывно заряжается. В этом случае колебания не затухнут. В противном случае колебания не возникнут. Значит, включение-выключение транзистора должно управляться колебаниями в контуре. Цепь база-эмиттер в транзисторе называется входной цепью, цепь коллектор-эмиттер — выходной цепью. Обычно напряжение (ток), приложенное во входной части на транзисторе, управляет выходным током. В транзисторных генераторах наоборот, напряжение при выходе (в контуре) управляет входным напряжением . Такие процессы называются обратной связью. Благодаря этой обратной связи контур периодически обеспечивается энергией.

Чтобы обратная связь обеспечила колебания, напряжение входных и выходных цепей по фазе должно отличаться на 180°.

Частота электромагнитных колебаний, вырабатываемых генератором, выражается по формуле Томсона (3-1).

Таким образом, в генераторе образуются незатухающие автоколебания. Автоколебания являются вторым типом незатухающих колебаний. Основная их разница от вынужденных колебаний заключается в том, что им не нужны внешние периодичные действия. В этих системах имеется собственный источник энергии. Система сама обеспечивает и управляет пополнением израсходованной энергии. Любая система автоколебания состоит из следующих частей: источник энергии, колебательная система и электронный ключ.

Частоты автоколебания изменяются в очень широком диапазоне. Они используются для радиосвязи, телевидения, ЭВМ и в других устройствах.

Электромагнитные колебания могут быть как полезными, так и вредными для живых организмов. Каждый орган человеческого организма имеет свойственную ему резонансную частоту. Когда частота внешнего колебания равняется этой резонансной частоте, действия будут сильными. Доказано, что электромагнитные излучения влияют на психику человека.

В современной медицине все шире распространяются методы лечения с помощью высокочастотных электромагнитных колебаний. Кроме того, электромагнитные излучения оптического диапазона (УФ-излучения) используются для лечения и диагностики различных заболеваний.

Активное сопротивление в цепи переменного тока

В предыдущих темах мы познакомились с графическими изображениями изменения некоторых физических величин в зависимости от времени. Для их описания также широко применяется метод векторной диаграммы. Скажем, изменение тока в цепи задается уравнением

Возьмем вектор длиной и приведем в движение по направлению против часовой стрелки. Пусть время для одного вращения равно периоду изменения величины . В этом случае проекция на вертикальной оси вектора м равна мгновенному значению величины
В повседневной жизни, быту и технике к цепи переменного тока подсоединяются различные бытовые приборы. Утюг, электрическая лампочка, вентилятор и т.д — в этих приборах электрическая энергия превращается в тепловую, световую, механическую и другие виды энергии. Когда эти приборы подсоединяются к источнику напряжения, то они оказывают различное сопротивление протеканию тока. Для изучения их природы попробуем подсоединить разные приборы к цепи переменного тока.

Сначала рассмотрим случай, когда к цепи переменного тока подсоединено заранее известное нам сопротивление (рис. 3.9). Пусть это сопротивление будет активным сопротивлением. Такое сопротивление называется активным, потому что когда через него протекает ток, электрическая энергия полностью превращается в другие виды (тепло, свет и др.) энергии. Проводник подсоединен к источнику переменного тока, имеющего сопротивление R и напряжение U. Это напряжение задается уравнением

Используя закон Ома для участка цепи, находим мгновенное значение силы тока, протекающего по сопротивлению R

Здесь амплитудное значение силы тока. Таким образом, изменение силы тока в цепи, состоящей только активного сопротивления, будет иметь вид

Если сопоставить уравнение изменения напряжения (3-6) с полученным уравнением для силы тока (3-7), можно прийти к выводу, что колебания напряжения и силы тока в активном сопротивлении будут происходить в одинаковой фазе. Графики колебания напряжения и силы тока приведены на рис. 3.10.

Зависимость между колебаниями напряжения и силы тока можно показать через векторную диаграмму (рис. 3.11).

На диаграмме амплитуда переменного тока и амплитуда переменного напряжения изображены в виде параллельных векторов, а угол между ними, т.е. разница фазы колебания равна нулю.

Частота потребляемого в быту электрического напряжения равна 50 Гц. Это означает, что в секунду электрическая лампочка накаливания 100 раз включается и выключается. Чувствительность человеческого глаза такова, что он способен уловить изменение процесса только до 16-20 раз в секунду, поэтому мы не чувствуем включение-выключение электрической лампочки с такой частотой. По этой причине важно знать мощность переменного тока.

Мощность цепи с активным сопротивлением

Мгновенная мощность переменного тока определяется как Если выражения (3-7) и (3-6) использовать для определения мгновенных значений силы тока и напряжения, получим,

Здесь: называется максимальным значением мощности переменного тока. Из-за того что выражение имеет постоянно положительный знак, мгновенное значение мощности переменного тока тоже будет иметь положительный знак (рис. 3.12).

Как видно из рис. 3.12, величина мгновенной мощности переменного тока меняется периодически. По какой формуле в этом случае можно определить количество тепла, выделенного при протекании переменного тока в электрической плите? Для этого введем понятие эффективного значения переменного тока.

Эффективным значением переменного тока называется величина, равная количеству тепла, выделяемому при протекании переменного тока через активное сопротивление, равное силе постоянного тока, при котором выделяется такое же количество тепла за единицу времени.

Опыты показывают, что эффективное значение силы тока связано с его максимальным значением и определяется следующей формулой:

Эффективное значение переменного напряжения можно записать формулой (3-9):

Пример №3

При подсоединении резистора в цепь переменного тока с максимальным напряжением 30 В по нему протекает максимальный ток 2 А. Найдите среднюю мощность, выделяемую в резисторе.
Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Конденсатор в цепи переменного тока

Опыты показывают, что, подсоединяя конденсатор к цепи постоянного тока, по ней ток не протекает, так как пространство между обкладками конденсатора разделено диэлектриком. Если конденсатор подсоединить к цепи переменного тока, то по ней ток течет.

Для изучения вопроса, от каких физических параметров зависит сила тока, протекающего через конденсатор, рассмотрим случай, когда к цепи переменного тока подсоединен только конденсатор (рис. 3.13).

Пусть емкость конденсатора равна С и приложенное напряжение изменяется согласно закономерности

сопротивление соединительных проводов R = 0. В этом случае напряжение конденсатора будет: Здесь: q — заряд обкладок конденсатора и его значение Чтобы найти силу тока в цепи, возьмем производную первого порядка формулы заряда:

sinco= Если это сопоставить с мгновенным значением силы тока, получим: Здесь — максимальное значение силы тока. Тогда уравнение силы тока, протекающего через конденсатор, будет иметь вид:

Если сопоставить это уравнение с напряжением, приложенным к конденсатору (3-11), мы увидим, что колебания силы тока в цепи опережают колебания напряжения на (рис. 3.14). На рис. 3.15 приводится векторная диаграмма силы переменного тока и напряжения для случая, когда к цепи подсоединен только конденсатор. Емкостное сопротивление конденсатора в цепи:

В этом случае значение амплитуды силы тока будет следующим:

Это выражение является законом Ома для участка цепи переменного тока с конденсатором. На месте активного сопротивления стоит величина . Поэтому его называют емкостным сопротивлением (реактивным сопротивлением). Емкостное сопротивление тоже измеряется в омах.

Отсюда вытекает, что сила тока, протекающего через конденсатор, зависит от емкости конденсатора и частоты переменного тока. Чем больше емкость и частота, тем меньше сопротивление цепи, и соответственно сила тока будет больше.

Пример №4

К цепи переменного тока с частотой 50 Гц подсоединен конденсатор емкостью 50 мкФ. Чему равно емкостное сопротивление цепи?

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Проведем такой опыт. К источнику постоянного тока последовательно подсоединим электрическую лампочку и катушку индуктивности. Обратим внимание на яркость лампочки. Затем последовательно подсоединим электрическую лампочку и катушку индуктивности к источнику с эффективным напряжением, равным постоянному напряжению обратим внимание на яркость лампочки. Тогда яркость лампочки, соединенная с цепью переменного тока, будет меньше. Для определения этого явления рассмотрим случай, когда подсоединена только катушка индуктивности (рис. 3.16).

Сила тока, протекающего по катушке с индуктивностью L, изменяется согласно закономерности

Сопротивление соединительных проводов и катушки пусть будет

Ток, протекающий по катушке, из-за индуктивности катушки создаст электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции. Ее мгновенное значение определяется выражением

Здесь: — производная первого порядка, взятая от силы тока по времени. Если учесть мгновенное значение ЭДС равно

ЭДС цепи, напряжение на концах катушки и падение потенциала на активном сопротивлении связаны через следующее соотношение

Если учесть, что R = 0, формула (3-16) примет вид

тогда напряжение определяется следующей формулой:

Если сопоставить напряжение с мгновенным значением напряжения, то вытекает — амплитудное значение напряжения. В

таком случае уравнение напряжения, приложенного к концам катушки, будет выглядеть так:

Если сопоставить это уравнение с выражением (3-14) силы тока, протекающего по катушке, можем увидеть, что колебания напряжения, приложенного к концам катушки, по фазе опережают колебания силы тока на (рис.3.17). На рис. 3.18 приводится векторная диаграмма силы тока и напряжения для случая, где в цепь переменного тока подсоединена только катушка индуктивности.

Если амплитудное значение напряжения катушки сопоставимо с законом Ома, написанным для участка цепи, известно, что произведение выражает сопротивление. Введем знак:

Тогда сопротивление катушки будет:

В таком случае амплитудное значение силы тока будет следующим:

Это выражение является законом Ома для участка цепи переменного тока с катушкой. На месте активного сопротивления стоит величина поэтому его называют индуктивным сопротивлением (реактивным сопротивлением). Индуктивное сопротивление тоже измеряется в омах.

Отсюда вытекает, что сила тока, протекающего по катушке, зависит от индуктивности катушки и частоты переменного тока. Чем больше индуктивность и частота, тем больше будет сопротивление цепи, а сила протекающего тока соответственно будет меньше.

Пример №5

К цепи переменного тока с частотой 10 кГц подсоединена катушка с индуктивностью 5 Гн. Чему равно индуктивное сопротивление цепи?

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Закон ома для цепи переменного тока при последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного сопротивления

Составим цепь, последовательно соединяя резистор с сопротивлением R, катушку индуктивности с индуктивностью L и конденсатор с емкостью С (рис. 3.19). На концы подаем переменное напряжение По причине последовательного соединения составных частей цепи сила тока, протекающего по ним, будет одинаковой. Пусть эта сила тока изменяется закономерностью

общее напряжение равно сумме векторов падения напряжения в потребителях:

Здесь: — общее напряжение в цепи, — напряжение на резисторе,

напряжение на конденсаторе и — напряжение на катушке. Их амплитудные значения обозначим как и построим векторную диаграмму.

Амплитуду силы тока возьмем как вектор, направленный по горизонтальной оси (рис. 3.19). Фаза колебания напряжения в активном сопротивлении соответствует фазе колебания силы тока. Колебания напряжения в конденсаторе по фазе отстают на — от колебания силы тока. В катушке колебания напряжения опережают колебания силы тока на . В векторной диаграмме напряжение в конденсаторе и напряжение в катушке направлены противоположно. Итоговое напряжение будет

Чтобы найти общее напряжение (U), вектор сложим с вектором . Из рис. следует Отсюда находим выражение максимального значения общего напряжения:

Подставим в выражение (3-22)

Это выражение называют законом Ома для полной цепи переменного тока.

подставим в выражение (3-23) и получим

сопротивление называется реактивным сопротивлением.

Выражение

называется полным сопротивлением цепи переменного тока.

Разницу фаз между колебаниями тока и колебаниями напряжения в цепи можно определить, используя векторную диаграмму:

Характерные свойства цепи переменного тока заключаются в том, что энергия, получаемая от генератора, выделяется в качестве тепловой энергии только в активном сопротивлении. В реактивном сопротивлении энергия не выделяется.

В реактивном сопротивлении энергия электрического поля периодически превращается в энергию магнитного поля и наоборот. В первой четверти периода, когда конденсатор заряжается, энергия передастся в цепь и накапливается в виде энергии электрического поля. В следующей четверти периода эта энергия снова передается в источник в виде энергии магнитного поля.

Пример №6

К источнику переменного тока с максимальным значением напряжения 120 В и частотой 100 Гц подсоединены активное сопротивление 200 Ом, конденсатор емкостью и катушка с индуктивностью 400 мГн. Найдите максимальное значение силы тока в цепи.

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Явление резонанса в цепи переменного тока

Полное сопротивление электрической цепи в случае последовательного соединения цепи переменного тока, сопротивления R, катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С определяется выражением

Если то разность Тогда сопротивление цепи достигнет своего минимального значения. Амплитуда силы тока цепи будет

Значит, в этих условиях амплитуда силы тока резко возрастет. Это явление называется резонансом в электрической цепи. Для наблюдения резонанса должны выполняться следующие условия

Мы знаем, что частота свободного колебания в контуре колебания, где активное сопротивление равно нулю,определяется из выражения В этом случае получается, что для появления резонанса в цепи частота внешнего периодического напряжения, приложенного к цепи, должна быть равной собственной частоте цепи

На рис. 3.21 приводится график зависимости амплитудного значения силы тока цепи от частоты внешних напряжений, приложенных к нему. График зависимости кривой резонанса.

На рис. 3.21 С увеличением частоты внешнего напряжения растет амплитудное значение тока в цепи и при достигает максимального значения. Затем с увеличением частоты значение тока уменьшается.

Рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжения.

Во время резонанса с увеличением тока напряжение в катушке и конденсаторе быстро растет. Их значение может быть больше, чем величины внешнего напряжения.

Во время резонанса амплитуда колебания напряжения индуктивной катушки и конденсатора будет:

В колебательных контурах выполняются условия Поэтому

напряжение катушки и конденсатора будет больше, чем напряжение,

приложенное к цепи, а с уменьшением R оно будет увеличиваться. Другими словами, при больших значениях активного сопротивления резонанс на практике не наблюдается.

В период резонанса амплитудное значение переменного тока и амплитуда общего напряжения колеблется в одинаковой фазе.

Явление резонанса широко используют в технике. В радиоприемниках принцип выделения нужных сигналов среди множества радиосигналов основан на явлении резонанса. При этом значение емкости или индуктивности в колебательном контуре входной части приемника изменяется и его собственная частота настраивается на частоту сигнала той станции, которую необходимо принять. В контуре происходит резонанс именно для сигнала выбранной частоты, и созданное им напряжение будет самым большим. В электротехнических приборах тоже применяется явление резонанса, так как во время увеличения напряжения в катушке или конденсаторе может возникнуть электрический пробой.

Пример №7

К цепи переменного тока с частотой 50 Гц подсоединена катушка с индуктивностью 100 мГн и конденсатор емкостью С. При каком значении емкости конденсатора происходит явление резонанса?
Дано: Найти:

Формула

Решение:

Сила и мощность переменного тока

Как вам известно, работа, выполненная постоянным током, определяется как произведение напряжения, силы тока и времени прохождения тока:

Для определения работы, выполненной переменным током за короткий промежуток времени, его значение рассматриваем как постоянное. В таком случае мгновенное значение выполненной работы переменного тока тоже находится из похожей формулы:

Если напряжение, приложенное к концам цепи, изменяется согласно закономерности

то сила тока в нем тоже меняется по гармоническому закону со сдвигом по фазе: Тогда для мгновенного значения выполненной работы переменного тока напишем следующее выражение:

Работа, выполненная за единицу времени, называется мощностью. Поэтому мгновенное значение мощности переменного тока можно записать в виде

Здесь мощность с истечением времени меняется и по модулю, и по знаку. В первой половине периода, если мощность передается в цепь (р>0), то во второй половине часть мощности обратно передается в сеть питания (р

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.