Укажите дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1989. — Гл. 27, § 27.1 — 27.4.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1987. — Т.1. — гл. 7, § 49 — 61.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Какое движение называется колебательным?

2. Какое колебательное движение называется периодическим?

3. Какие колебания называются свободными (или собственными)?

4. Какие колебания называются гармоническими и какими параметрами они характеризуются?

5. Запишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний и его решение в тригонометрическом виде.

6. По каким формулам определяется смещение, скорость, ускорение при механическом гармоническом колебании?

7. Каков физический смысл амплитуды, частоты, периода и фазы колебаний?

8. Как графически изображаются гармонические колебания?

9. Постройте векторную диаграмму при сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, напишите уравнение результирующего колебания.

10. Напишите выражения, определяющие амплитуду и фазу результирующего колебания.

11. Приведите формулу полной энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания.

12. Запишите дифференциальное уравнение затухающего колебания и его решение в тригонометрическом виде.

13. Что такое декремент затухания, логарифмической декремент затухания, время релаксации, добротность?

14. Какие колебания называются вынужденными?

15. Приведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение в тригонометрическом виде. Поясните их.

16. Что такое резонанс? Чему равна при резонансе частота вынужденных колебаний? Амплитуда? Фаза?

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называютсясвободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса:

, (23.1)

где f – значение некоторой колеблющейся величины (смещение х, сила переменного тока i и т. д.) в момент времени t; А – максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебаний; — круговая (циклическая) частота, ; — начальная фаза колебаний в момент времени t = 0, рад; — фаза колебаний в момент времени t.

Наименьший промежуток времени Т, через который повторяются значения всех физических величин, характеризующих периодическое колебание, называется периодом:

. (23.2)

где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины; т – масса маятника;

где — приведенная длина физического маятника, J – момент инерции маятника относительно оси;

где l — длина маятника.

Число полных циклов колебаний, совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний:

. (23.3)

Единица частоты – герц (Гц); 1 Гц – частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается один цикл колебаний.

. (23.4)

Скорость изменения периодической величины

. (23.5)

. (23.6)

Амплитуды скорости и ускорения соответственно:

; (23.7)

. (23.8)

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

. (23.9)

Корнями решения этого уравнения являются выражения (23.1).

Рассмотрим колебания пружинного маятника. Состояние равновесия будем рассматривать как исходное положение пружинного маятника, а все дальнейшие смещения его оценивать координатой х, отсчитываемой от положения равновесия рис.23.1. Предположим, что никакие внешние силы колебаниям маятника не предшествуют. В этом случае на маятник, смещенный из положения равновесия, действует восстанавливающая сила F = — k x. Согласно 2-му закону Ньютона

где — ускорение маятника.

Но F = — k x, следовательно или .

Обозначим , тогда дифференциальное уравнение гармонического колебания примет вид

, (23.10)

а смещение из положения равновесия выразится, например, уравнением

. (23.11)

Скорость и ускорение материальной точки выразятся уравнениями (23.12) и (23.13):

; (23.12)

. (23.13)

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна

. (23.14)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы, равна

. (23.15)

Сложив и , получим формулу полной энергии:

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки 0, выбранной на оси х, под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 23.2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от —А до А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания нужно сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

;

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 23.3).

Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания задаются соотношениями

; (23.16)

. (23.17)

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

. (23.18)

Если начальные фазы и складываемых колебаний одинаковы, то уравнение (23.18) примет вид

. (23.19)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплитудам.

Если , то эллипс (23.19) вырождается в окружность.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальных систем всегда затухают.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

, (23.20)

где f – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс; b — коэффициент затухания; — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы.

Решение уравнения (23.20) в случае малых затуханий :

, (23.21)

где — амплитуда затухающих колебаний, а — начальная амплитуда.

Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = — k x, коэффициент затухания

где r – коэффициент сопротивления.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е = 2,71 раз, называется временем релаксации.

Период затухающих колебаний

. (23.22)

Если и — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

логарифмическим декрементом затухания.

Добротность

где N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Чтобы в реальном осцилляторе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора F (t), изменяющегося по гармоническому закону .

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

(23.23)

где — внешняя вынуждающая сила.

Решением этого уравнения является выражение

, (23.24)

где А – амплитуда вынужденных колебаний; j — разность фаз смещения и внешний вынуждающей силы.

(23.25)

. (23.26)

Формулы для резонансной амплитуды

(23.27)

. (23.28)

Примеры решения задач

Задача 1.Уравнение гармонических колебаний материальной точки м. Определить амплитуду, период и начальную фазу. Построить векторную диаграмму.

Дано: Решение

А — ? Т — ? — ?

смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А — амплитуда колебаний; — циклическая частота; — начальная фаза.

При сравнении находим А = 0,08 м; ; .

Период колебаний с.

Векторная диаграмма имеет вид (рис.23.4).

Ответ: А = 0,08 м; Т = 2 с; = 0,2 p.

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение смещения колеблющейся точки. Определить фазу колебаний для двух моментов времени: 1) когда смещение точки = 6 см; 2) когда скорость точки V = 10 .

Дано:

А = 10 см = 0,1 м

cм = 0,06 м

V = 10 = 0,1

х — ? — ? — ?

Используя условие задачи, получим

м. (1)

1) Зная смещение , запишем уравнение в виде , где — фаза колебаний в данный момент времени.

Тогда и (рад).

2) Скорость материальной точки

Используя условие задачи, получим

sin и рад.

Ответ: м; рад; рад.

Задача 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение смещения которых имеет вид м. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано: Решение

т = 10 г = 0,01 кг

— ? W — ?

Ускорение максимально при , тогда , подставляя в формулу (1) получаем Н.

2) Сила, вызывающая колебания точки по закону Гука F = — k x, тогда максимальная сила , где А — амплитуда колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонического колебания:

где , откуда .

Решение дифференциального уравнения: . Сравнивая с данным в задаче уравнением, находим c -1 .

Н.

Полная энергия колеблющейся точки равна сумме кинетической и потенциальной энергии и является постоянной величиной:

Дж.

Ответ: Н; Дж.

Задача 4. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: см и см. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Дано: Решение

А — ?

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: м и м. Из сравнения уравнений находим для первого колебания: амплитуда = 0,01 м, начальная фаза рад = 30 0 ; для второго колебания: = 0,02 м, рад = 90 0 . Частота колебаний одинакова, следовательно, и циклическая частота результирующего колебания тоже равна p . Для определения амплитуды результирующего колебания построим векторные диаграммы колебаний.

По теореме косинусов:

;

м.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим из рис. 23.5.

;

= 2,88.

Откуда начальная фаза рад.

Уравнение смещения результирующего колебания

м.

Ответ: А = 0,026 м; рад.

Задача 5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

. Найти коэффициент затухания, циклическую частоту, период, время релаксации, логарифмический декремент затухания.

Дано: Решение

Приведем данное уравнение к стандартному

b — ? w — ? Т — ? виду, и сравним с заданным уравнением

и .

Из сравнения находим: b = 0,25 с -1 ; , = 4 .

Частота w затухающих колебаний

с -1 » 4 с -1 ; .

Период затухающих колебаний можно считать равным периоду собственных колебаний

с.

Логарифмический декремент затухания .

с.

Ответ: b = 0,25 с -1 ; w = 3,99 с -1 ; Т = 1,57 с; t = 4 с; l = 0,4.

Задача 6. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6, начальная фаза рад. Смещение колеблющейся точки в момент времени = 1 с равно = 4,5 см. Написать уравнение смещения в тригонометрическом виде.

Дано: Решение

Т = 4 с

рад

= 4,5 см = 0,045 м

Коэффициент затухания b находим через логарифмический декремент затухания l = b Т, откуда ; с -1 .

Циклическая частота колебаний связана с периодом зависимостью ; .

Для нахождения максимальной амплитуды запишем уравнение смещения в момент времени , используя найденные значения величин. Получаем

м.

Ответ: уравнение смещения имеет вид м.

Задача 7. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника длиной l = 1 м, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

Дано: Решение

Логарифмический декремент затухания

l = 1 м , (1)

= 1 мин = 60 с

Гармонические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.

Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.

Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.

Уравнение движения гармонических колебаний

Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:

Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

x″ = − x m a x cos . t = − x

Видно, что в этом случае теряется величина k m . . , служащая постоянной для каждой колебательной системы. Чтобы получить ее во второй производной, нужно усложнить функцию до следующего вида:

x = x m a x cos . √ k m . . t

Тогда первая производная примет

x′ = − √ k m . . x m a x sin . √ k m . . t

Вторая производная примет вид:

x″ = − k m . . x m a x cos . √ k m . . t = − k m . . x

Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:

x = x m a x sin . √ k m . . t

x = x m a x cos . √ k m . . t

Обозначим постоянную величину √ k m . . , зависящую от свойств системы, за ω₀:

x = x m a x sin . ω 0 t

x = x m a x cos . ω 0 t

Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:

Период и частота гармонических колебаний

Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:

Через промежуток времени, равный периоду T и соответствующий изменению аргумента косинуса на ω 0 T , движение тела повторяется, и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно:

ω 0 = 2 π T . . = 2 π ν

Таким образом, величина ω 0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2 π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы

Изначально за величину ω 0 мы принимали постоянную, характеризующую свойства системы:

Теперь мы выяснили, что циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний. Следовательно, период и частота колебаний также зависят от свойств системы:

ω 0 = √ k m . . = 2 π T . . = 2 π ν

Отсюда период и частота колебаний соответственно равны:

T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ m k . .

ν = 1 2 π . . √ k m . .

Вспомним, что свойства колебательной системы математического маятника определяются постоянной величиной g l . . . Следовательно, циклическая частота для него равна:

Отсюда период и частота колебаний математического маятника соответственно равны:

T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ l g . .

ν = 1 2 π . . √ g l . .

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.

Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также легко прослеживается. Чем меньше величина g, тем больше период колебания маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета, который находится на высоте 200 м. И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно легко измерить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно неодинаково, так как плотность земной коры неоднородна. В районах, где залегают более плотные породы, ускорение свободного падения принимает большие значения.

Пример №1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9 м за время 5 минут?

Искомое число колебаний равно отношению времени к периоду колебаний:

Период колебаний для математического маятника определяется формулой:

N = t 2 π . . √ g l . . = 300 2 · 3 , 14 . . √ 9 , 8 4 , 9 . . ≈ 68

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса, который равен ω 0 t . Обозначим его за ϕ и получим:

Величину ϕ, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах (рад).

Фаза определяет значение не только координаты, но и других физических величин (к примеру, скорости и ускорения, которые также изменяются по гармоническому закону). Отсюда можно сделать вывод, что фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.

Колебания с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω 0 = 2 π T . . , фаза определяется формулой:

ϕ = ω 0 t = 2 π t T . .

t T . . — отношение, которое указывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому моменту времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. К примеру:

Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. В этом случае графиком также будет являться косинусоида (или синусоида), но аргументом функции будет не время (период), а фаза, выражающаяся в радианах (см. рис.).

Синус от косинуса отличается только смещением аргумента на π 2 . . (см. рис. ниже). Поэтому для описания гармонических колебаний можно использовать как синусоидальный, так и косинусоидальный закон.

Выбор закона зависит от условий задачи. Если колебания начинаются с того, что тело выводят из положения равновесия и отпускают, удобнее пользоваться косинусоидальным законом, поскольку в начальный момент времени косинусоида показывает, что это тело отклонено максимально, а не находится в положении равновесия. Если для того чтобы начались колебания, совершают толчок, удобнее использовать синусоидальный закон, так как начальному моменту времени на синусоиде соответствует положение равновесия.

Колебания, совершаемые по закону синуса и косинуса, отличаются только фазой, которая смещена на значение, равное π 2 . . . Это значение называют сдвигом фаз, или их разностью. Поэтому косинусоидальная функция также может быть записана как:

x = x m a x cos . ω 0 t = x m a x sin . ( ω 0 t + π 2 . . )

Превращение энергии при гармонических колебаниях

Чтобы описать превращения энергии при гармонических колебаниях, условимся, что силой трения будем пренебрегать. Для описания обратимся к рисунку ниже.

Точке О на рисунке соответствует положение равновесия шарика. Если его оттянуть на расстояние x_max, равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное:

W p m a x = k x 2 m a x 2 . .

Когда шарик отпускают, возникает сила упругости, под действием которой шарик устремляется влево. По мере уменьшения расстояния между точкой максимального отклонения и положением равновесия уменьшается и потенциальная энергия. Но в это время увеличивается кинетическая энергия шарика. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия обретает максимальное значение (скорость в этот момент времени тоже максимальна):

W k m a x = m v 2 m a x 2 . .

После прохождения точки О расстояние между шариком и положением равновесия снова увеличивается, и потенциальная энергия растет. Кинетическая же энергия при этом уменьшается. А в крайнем положении слева она становится равной нулю, в то время как потенциальная энергия снова примет максимальное значение.

Так как мы условились пренебрегать трением, данную колебательную систему можно считать изолированной. Тогда в ней должен соблюдаться закон сохранения энергии. Согласно ему, полная механическая энергия системы равна:

W = W p + W k = k x 2 x 2 . . + m v 2 x 2 . . = k x 2 m a x 2 . . = m v 2 m a x 2 . .

В действительности свободные колебания всегда затухают, так как в колебательной системе действует сила трения. И часть механической энергии рассеивается в виде тепла. Пример графика затухающих колебаний выглядит следующим образом:

Пример №2. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. Найдите отношение кинетической энергии груза к его потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посередине между крайним положением и положением равновесия.

Так как груз находится посередине между крайним положением и положением равновесия, его координата равна половине амплитуды:

В это время потенциальная энергия груза будет равна:

W p = k x 2 2 . . = k ( x m a x 2 . . ) 2 2 . . = k x 2 m a x 8 . .

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в это время равна:

Полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:

W = W p m a x = k x 2 m a x 2 . .

Тогда кинетическая энергия равна:

W k = k x 2 m a x 2 . . − k x 2 m a x 8 . .

Следовательно, отношение кинетической энергии к потенциальной будет выглядеть так:

W k W p . . = k x 2 m a x 2 . . − k x 2 m a x 8 . . k x 2 m a x 8 . . . . = k x 2 m a x 2 . . 8 k x 2 m a x . . − 1 = 4 − 1 = 3

Резонанс

Самый простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему воздействуют внешней периодической силой. Такие колебания называют вынужденными.

Работы силы над такой системой обеспечивает приток энергии к системе извне. Приток энергии не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.

Особый интерес вызывают вынужденные колебаний в системе, способной совершать свободные колебания. Примером такой системы служат качели. Их не получится отклонить на большой угол всего лишь одним толчком. Если их толкать то в одну, то в другую сторону, тоже ничего не получится. Но если подталкивать качели всякий раз, как они сравниваются с нами, можно раскачать их очень сильно. При этом не нужно прикладывать большую силу, но на это понадобится время. Причем после каждого такого толчка амплитуда колебаний качелей будет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения. Такое явление называется резонансом.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Графически явление резонанса можно изобразить как резкий скачок графика вверх (см. рис. выше). Причем высота «зубца», или амплитуда колебаний, будет зависеть от величины сил трения. Чем больше сила трения, тем меньше при резонансе возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Это можно продемонстрировать графиками на рисунке ниже. Графику 1 соответствует минимальное трение, графику 3 — максимальное.

На явлении резонанса основан принцип работы частотомера — устройства, предназначенного для измерения частоты переменного тока. Он состоит из набора упругих пластин, которые закреплены на одной планке. Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, которая зависит от упругих свойств, длины и массы. Собственные колебания пластин известны. Под действием электромагнита планка, а вместе с ней и пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Таким образом, определяется частота переменного тока.

Пример №3. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми равно приблизительно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?

Колебания автомобиля в вертикальной плоскости будут заметны тогда, когда частота наезда на бугры сравняется с частотой свободных колебаний автомобиля на рессорах. Поскольку частота обратно пропорциональна периоду, можно сказать, что резонанс будет достигнут тогда, когда автомобиль будет наезжать на бугры каждые 1,5 секунды. Зная расстояние между буграми и время, можем вычислить скорость:

v = s t . . = 8 1 , 5 . . ≈ 5 , 33 ( м с . . ) ≈ 19 , 2 ( к м ч . . )

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A cos . 2 π T . . t , где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника вернется к своему исходному значению?

источники:

http://lektsii.org/13-21237.html

http://spadilo.ru/garmonicheskie-kolebaniya/

Время, t (с)	0
Фаза, ϕ (рад)	0