Укажите каноническое уравнение гиперболы фокусы которой

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Задача 32235 Фокусы гиперболы лежат в точках .

Условие

Фокусы гиперболы лежат в точках [b]F1(-5;6) , F2(5;6)[/b], а её эксцентриситет [b]E=1,25[/b] .Составьте [b] каноническое уравнение гиперболы[/b].

Решение

Так как фокусы гиперболы лежат в точках F_(1)(–5;6) , F_(2)(5;6)

прямая y=6 — ось симметрии гиперболы

Параметры a; b и c связаны соотношением

О т в е т. (x^2/16) — ((y-6)^2/9)=1

Каноническое уравнение гиперболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид: $\frac — \frac = 1$, где $a, b$ — положительные действительные числа.

Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.

Вывод канонического уравнения гиперболы

Рисунок 1. Рис. 1.Вывод канонического уравнения гиперболы

Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$, находящимися на оси $OX$, причём точка $O$ лежит в центе между фокусами.

Следовательно координаты $F_1(-c; 0)$, а $F_2(c; 0)$, где $c$ — расстояние до фокуса гиперболы.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую гиперболе.

Отрезки $r_1 =|F_1M|$ и $r_2 =|F_2M|$ называются фокальными радиусами точки $M$ гиперболы.

Из определения гиперболы следует, что $|r_1 -r_2| =2a$, следовательно $r_1 – r_2=±2a$, причём $r_1 = \sqrt<(x + c)^2 + y^2>$, а $r_2 = \sqrt<(x - c)^2 + y^2>$.

Соответственно, уравнение $r_1 – r_2=±2a$ иначе можно записать как $\sqrt <(x + c)^2 + y^2>— \sqrt <(x - c)^2 + y^2>= ±2a$ (1).

Умножим выражение (1) на $\frac <$\sqrt<(x + c)^2 + y^2>+ \sqrt<(x - c)^2 + y^2>><±2a>$, получается:, получается:

Сложим уравнения (1) и (2), получим:

Возведём (3) в квадрат:

$\frac + 2xc + a^2 = (x^2 +2x c + c^2 + y^2)$

$\frac \cdot x^2 – y^2 = c^2 – a^2$

Пусть $b^2 = c^2 – a^2$, так как $c > 0$ и, следовательно $\fracx^2 – y^2 = b^2$

Готовые работы на аналогичную тему

Получаем уравнение: $\frac — \frac = 1$ (4), являющееся каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат.

Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.

Уравнение параболы выглядит следующим образом:

$y^2 = px$, где число $p$ должно быть больше нуля; это число называется фокальным параметром.

Каноническое уравнение гиперболы примеры решения

Ниже небольшая инструкция о том, как найти каноническое уравнение гиперболы.

Приведём уравнение $5x^2 — 4y^2 = 20$ к каноническому виду гиперболического уравнения, для этого разделим всё уравнение на $20$:

Запишем знаменатели в виде степеней:

Теперь вы знаете, как написать каноническое уравнение гиперболы. Дальше мы расскажем о том, как строить гиперболу по каноническому уравнению.

Построение гиперболы по каноническому уравнению

Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.

Рисунок 2. Рис. 2. Построение гиперболы по каноническому уравнению

Для начала необходимо построить асимптоты для данной гиперболы, их формулы определяются из уравнения $y = ±\frac$. Для нашего канонического уравнения гиперболы они будут выглядеть так: $y = ±\frac<\sqrt<5>> <2>\cdot x$

Теперь найдём вершины гиперболы, они расположены на оси абсисс в точках $(0; a)$ и $(0; -a)$, назовём их точками $A_1, A_2$. Вершины нашей гиперболы находятся в точках $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Далее необходимо найти две-три точки, принадлежащие любой из двух ветвей гиперболы, если гипербола без смещения – точки на второй ветви будут симметричны им относительно осей гиперболы. Выразим $y$ из канонического уравнения нашей гиперболы:

Найдём точки для положительной части гиперболы:

при $x = 3, y =2.5$, а при $x = 3, y ≈3,87$.

Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021