13. Уравнения
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. – задание №13. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
a) Запишем исходное уравнение в виде:
Значит, sinx = 0, откуда x = πk , k ∈ Ζ, или , откуда
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
Ответ: а)
б)
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017, 2018 г. – задание №13. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.
а) Решите уравнение cos2x=1-cos( -x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:
Преобразуем обе части уравнения:
1− 2sin 2 x =1− sin x ; 2sin 2 x − sin x = 0 ; sin x( 2sin x −1) = 0 ,
откуда sin x = 0 или sin x = .
Из уравнения sin x = 0 находим: x = πn , где n∈Ζ.
Из уравнения sin x = находим: , где k∈Ζ.
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку
Ответ: а) , k∈Ζ.
б) .
Досрочный вариант ЕГЭ по математике 2017 профильный уровень задание №13.
а) Решите уравнение
8 x − 9⋅ 2 x +1 + 2 5−x = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log5 2; log5 20].
Решение:
Умножим обе части на t:
Ответ: a)
Ответ: б)
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
Ответ: a)
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку
Ответ: б)
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
Пусть 2 x = t, тогда уравнение приметвид:
Ответ: а) 5;2+log29
5 не принадлежит
log235 Ответ: б) 2+log29
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
x1=-1 (не подходит по ОДЗ) ; x2=2 (подходит по ОДЗ) ; x3=-3 (подходит по ОДЗ)
Ответ: 2;-3
3) x 3 -2x 2 -5x-5>0
-3 -1 = -log34 не принадлежит
-1 Ответ: 2
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [2; 3].
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
(t-3).(t-4)=0 => t=3 или t=4.
Ответ: ;
(\frac<3><2>)^3″ align=»absmiddle» /> => не подходит
Ответ:
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
т.к. степени одинаковые, основания можно опустить:
Ответ: 2;
2 не входит в заданный промежуток
Ответ: б)
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
( только в том случае, если их степени равны 1)
Делаем обратную замену:
(возводим во вторую степень обе части ур-я)
Ответ: а) ;
Ответ: б) 3
Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:
Ответ: а)
б) принадлежащие промежутку
Ответ:
ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 1.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
Ответ:
б) принадлежащие отрезку
Ответ:
ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
Ответ:
б) принадлежащие отрезку
Ответ:
Примеры заданий №13 ЕГЭ 2017 Профиль.
Примеры заданий №13 с решениями ЕГЭ 2016 Профиль.
Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и КДР
Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и КДР по всем предметам с возможностью прохождения онлайн.
Более 100 вариантов и тысячи заданий с решениями.
Видео уроки.
ВАЖНО! Никаких реальных вариантов ЕГЭ ни до экзамена, ни во время его проведения на сайте нет, не было и не будет.
Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике
Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.
Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.
Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.
Что необходимо помнить при решении уравнений?
1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если
2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.
4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.
5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:
6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Упростим левую часть по формуле приведения.
Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок
Видим, что указанному отрезку принадлежат решения
Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.
2. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.
Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.
Это ответ в пункте (а).
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку
Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии
Точки серии не входят в указанный отрезок.
А из серии в указанный отрезок входит точка
Ответ в пункте (б):
3. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Применим формулу косинуса двойного угла:
Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.
Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.
б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.
Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».
Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.
Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.
4. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть
Уравнение равносильно системе:
Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .
Ответ в пункте а)
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок
Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки
5. а) Решите уравнение
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Это значит, что уравнение равносильно системе:
Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых
Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.
Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.
Отбор корней в тригонометрическом уравнение
В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.
а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]
Решим пункт а.
Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)
sqrt(2)cos^2x — cosx = 0
cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0
x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z
sqrt(2)cosx — 1 = 0
x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
Решим пункт б.
1) Отбор корней с помощью неравенств
Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.
-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi
Сразу делим все на Pi
-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2
-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2
-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2
Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2
Аналогично делаем еще два неравенства
-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8
Целых n в этом промежутке нет
-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8
Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.
Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4
2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности
Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.
Обойдем раз против часовой стрелки
Обойдем 2 раза против часовой стрелки
Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)
Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]
Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.
Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.
Сравнение двух методов.
Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-12-profilnogo-ege-po-matematike-uravneniya/
http://reshimvse.com/article.php?id=100