Линейные уравнения первого порядка
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y’+y=b(x) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Теорема. Пусть a1(x) , a0(x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a1≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x0, y0), x0∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y’+a0(x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме
Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде
Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем
где C1— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.
Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).
Пример . Решить уравнение y’ + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y’ + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y’ = C'(x)e -2 x — 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x — e 2 x + C1 и y(x) = (2xe 2 x — e 2 x + C1)e -2 x = 2x — 1 + C1e -2 x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y1(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y2(x) = C1e -2 x -собственное движение объекта.
Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)
Интегирируя, получаем:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Определения и методы решений
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
По правилу дифференцирования сложной функции:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем в (2):
Интегрируем:
Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015
Линейные уравнения первого порядка
Вы будете перенаправлены на Автор24
Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным. Название «линейное» объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y’$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название «однородное» объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.
Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_ <1>\left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_ <2>\left(y\right)=y$.
Вычислим интеграл $I_ <1>=\int f_ <1>\left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Вычислим интеграл $I_ <2>=\int \frac
Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_ <1>\right|$, где $\ln \left|C_ <1>\right|$ — произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.
\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_ <1>\right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac<\left|y\right|> <\left|C_<1>\right|> =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]
Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_ <1>\right|\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_ <1>\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.
Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_ <1>$, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.
Решив уравнение $f_ <2>\left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.
Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$, положив в нём $C=0$.
Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.
Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:
- Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
- Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^ <-I>$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’+3\cdot x^ <2>\cdot y=0$.
Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^ <2>$.
Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^ <2>\cdot dx =x^ <3>$.
Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^ <-x^<3>> $.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название «неоднородное» объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.
Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.
Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac
Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac
Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac
Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:
- Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac
\cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C$. - Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Готовые работы на аналогичную тему
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’-\frac
Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac<1>
Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac<1>
Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^ <\ln \left|x\right|>$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac
Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C=3\cdot x+C$.
Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 11 2021
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/linejnye/
http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/lineynye_uravneniya_pervogo_poryadka/