Упражнения
1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .
2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .
3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от декартовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением
.
4. Докажите, что уравнение
задает эллипс, если 0 > 1.
5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?
6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?
7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .
8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.
9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.
10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .
11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .
12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.
1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.
2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.
3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.
4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.
5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.
7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
Уравнения для различных видов кривых.
Лемниската Бернулли, плоская алгебраическая кривая, в прямоугольных координатах описывается уравнением:
(х 2 + у 2 ) 2 = 2с 2 (х 2 — у 2 ),
в полярной:
Причем, 2с — расстояние между фокусами, размещены они на оси 0х, и начало координат пополам разделяет отрезок между ними.
Роза – плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Данная кривая представлена уравнением в полярных координатах:
Причем коэффициент k определяет количество лепестков.
Улитка Паскаля – плоская кривая представленная выражениями:
l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус — вектора.
Полукубическая парабола – плоская алгебраическая кривая, характеризующаяся выражением y 2 = ax 3 в прямоугольной системе координат.
Астроида – уравнение в декартовых координатах имеет вид:
Кардиоида. Если а — радиус окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды принимает вид:
в прямоугольных координатах — (х 2 + у 2 +2аx) 2 – 4a 2 (х 2 + у 2 ) = 0;
Спираль Архимеда – спираль, плоская кривая, траектория точки М, которая равномерно движется вдоль ОV с началом в О, в то время как сам луч ОV равномерно вращается вокруг О.
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат:
где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.
Циклоида — плоская трансцендентная кривая. Характеризуется в декартовых координатах так:
.
Задача 62566 ИДЗ №6 «Кривые второго порядка. Полярная.
Условие
ИДЗ №6 «Кривые второго порядка. Полярная система координат» 1) Постройте кривые в полярной системе координат по точкам, давая значения л через промежуток 3 начиная от ф =0. 2) Найдите уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало. КОТОРОЙ совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — © ПОЛЯРНОЙ осью и по уравнению определите вид КрИВОЙ. S e РЕРУЕ 4 1-5т р
Решение
ρ=4/(1-0)=4
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=4
получаем точку (0;4)
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=4
получаем точку А (π/8;6,45)
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈13,3
получаем точку B (π/4;13,3)
φ =π/2⇒sin(π/2)=1
ρ не существет, знаменатель дроби обращается в 0
φ =3π/4⇒sin(3π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈ 4/(1-0,7)=13,3
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈13,3
получаем точку G (3π/4;13,3)
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2
получаем точку M (π;4)
Переход от полярной системы координат к декартовой
x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)
Подставляем в данное уравнение:
Возводим в квадрат
[m]x^2=16+8y[/m] — парабола
http://www.calc.ru/Uravneniya-Dlya-Razlichnykh-Vidov-Krivykh.html
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=62566