Укажите верное утверждение иррациональное уравнение

Тест с ответами: “Иррациональные уравнения”

1. Найдите корень уравнения:

а) 38 +
б) 16
в) 22

2. Найдите корень уравнения:

а) 12
б) 8 +
в) 14

3. Найдите корень уравнения:

а) 12
б) 18
в) 14 +

4. Найдите корень уравнения:

а) 116 +
б) 88
в) 94

5. Решите уравнение:

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней:
а) 3
б) 5
в) -3 +

6. Решите уравнение:

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней:
а) 6
б) -6 +
в) -12

7. Решите уравнение:

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней:
а) -15
б) 5
в) -5 +

8. Решите уравнение:

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
а) 4 +
б) -4
в) 8

9. Решите уравнение:

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней:
а) 4
б) -2
в) 2 +

10. Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, так ли это:
а) да +
б) нет
в) отчасти

11. Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства, так ли это:
а) да +
б) нет
в) зависит от условия задачи

12. Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень, так ли это:
а) да +
б) нет
в) зависит от условия задачи

13. При возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, так ли это:
а) да +
б) нет
в) зависит от условия задачи

14. Один из методов решения иррациональных уравнений:
а) метод введения старых переменных
б) метод введения новых переменных
в) метод введения новых переменных +

15. Один из методов решения иррациональных уравнений:
а) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна) +
б) метод введения старых переменных
в) метод возведения обеих частей уравнения в разные степени

16. Один из методов решения иррациональных уравнений:
а) метод возведения обеих частей уравнения в разные степени
б) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень +
в) метод введения новых переменных

17. Правильно решите:

а) 1
б) 4
в) -1 +

18. Правильно решите:

а) -14
б) 14 +
в) 28

19. Правильно решите:

а) 12
б) -6
в) 6 +

20. Правильно решите:

а) 4
б) +
в) 5

21. Правильно решите:

а) 7 +
б) -7
в) 14

22. Алгебраическое уравнение называется иррациональным, если оно содержит переменные под знаком корня или в основе степени с дробным показателем, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

23. Какое из перечисленных чисел является иррациональным:
а) 1/2
б) 0
в) √5 +

24. Как называется уравнение, содержащее неизвестное в определенной дробной степени:
а) рациональное
б) иррациональное +
в) дробное

25. Уравнение называется алгебраическим, если обе его части – … выражения:
а) математические
б) равнозначные
в) алгебраические +

26. Область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) уравнения есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения имеют смысл, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

27. В большинстве ситуаций специально искать ОДЗ:
а) не нужно искать +
б) нужно искать
в) по желанию

28. Основной метод решения иррациональных уравнений:
а) метод утроения радикала
б) метод удвоения радикала
в) метод уединение радикала +

29. При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может, так ли это:
а) да +
б) нет
в) отчасти

30. Иррациональные числа невозможно представить в виде дроби, так ли это:
а) нет
б) да
в) отчасти

Портал для школьника. Самоподготовка

Тест решение иррациональных уравнений вариант 1. Иррациональные уравнения

Вариант 1
х
9
5

 х
2 2
­х=3.
корни уравнения
1)(­∞;1]; 2)(1;5]; 3)(5;10]; 4); 2)[­1;2); 3)(­2;2]; 4); 3)[­2;3]; 4)(2;3].
3. Укажите промежуток, которому принадлежат
нули функции f(x)=
1)[­1;0]; 2)[­1;1); 3)[­3;1]; 4)[­3;1).
4.Найдите среднее арифметическое корней
уравнения
х45
=0.
­x.
2
 х
2
­
х

1)­1; 2)­
; 3)­2; 4)­
6 .
2
5. Найдите наибольший корень уравнения
­1)=0.
­2)(
х3
3
; 2)
; 3)3; 4)
3
2
.
22 
х
3
2
10 
10
3
xх41
7. Решите уравнение
2 =х­1. Найдите 3∙х0+2.
2 х
5
=|x+3|­2.
1)
2 х
7
2
6. Решите уравнение
7. Решите уравнение
х 4
4 х
Вариант 3
­6=0.
х
17
­3=|x+2|.
1.Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения 1+
1)[­1;2]; 2).
2.Укажите промежуток, которому принадлежат
нули функции f(x)=
2 ­3х.
3 2 х
=2х.
х5
2
;
1
2
1)[­0,7;0,7]; 2)(0;1]; 3)[­1;0); 4)[­
1
2
корни уравнения
+4=х.
1)(2;3); 2)(­8;­7); 3)(0;2); 4)(3;9).
4. Сколько корней имеет уравнение
= 1­х².
2 2
 х
14
21
11

2
4
х
х
x


1) ни одного; 2) один; 3) два; 4) четыре.
5.Решите уравнение х+7=
. Укажите
15 х
верное утверждение о его корнях.
55
корней два, и они разных знаков
корней два, и они положительные
корень только один, и он
корень только один, и он
1)
2)
3)
положительный
4)
отрицательный
6. Найдите наибольший корень уравнения
Вариант 4
1.Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения х+
1)(­5;­1); 2)(­3;­1]; 3)(­2;1]; 4)(1;6).
2.Укажите промежуток, которому принадлежат
нули функции f(x)=
2 ­2х.
5 
х1
=1.
1
х

1) [­
1
2
;
1
2
]; 2) [­0,6;0,6]; 3).
х

).
 х
52
1
2
3.Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения
1); 2)(1;3); 3); 4)(­2;0).
4. Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения
1)(­2;0); 2)(0;2); 3)(2;4); 4)(3;6).
5.Найдите наименьший корень уравнения
=6­2x.
=x+2.
­1)(4­
)=0.
92 
3 х
7
5
5
х
х
2 х
7
3
1)
; 2)­2; 3)8; 4)
6. Найдите сумму корней уравнения
23
3
.

7
3 х
=х+3.
1.Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения
1)(­7;­1,5); 2)(­2,1;­1]; 3); 4)(2;8).
2.Укажите промежуток, которому принадлежат
нули функции f(x)=
1)[­1;0]; 2)(­2;1]; 3)(­2;0]; 4)(1;+∞).
3. Пусть х0 – наименьший корень уравнения:
х23
­х.
2

 68
х 
2 =х+6. Найдите 2­х0.
x
1)0; 2)9; 3)4; 4)уравнение корней не имеет.
4. Найдите среднее арифметическое корней
уравнения
х21 
32
 х
=0.

­
7
х
1)1; 2)­
5
2
; 3)нет корней; 4) 5 .
5. Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения
1)[­6;­5]; 2)[­4;0]; 3); 4).
6. Пусть х0 – наименьший корень уравнения:
=х­5.
х5
 46
х 
x
7.Решите уравнение
2 =х+4. Найдите 2∙х0­1.
|4
|49
xх


­4х=3.
1. Укажите промежуток, которому принадлежат
нули функции f(x)=
1)[­0,4;0,4]; 2)(­0,6;0,6); 3) (­0,7;0,7); 4)[­
1;0,6].
2.Найдите сумму корней уравнения
2 ­3х.
х4
 64
х 
2 =x+4.
х
1)­1; 2)­7; 3)­6; 4)уравнение корней не имеет.
3. Найдите среднее арифметическое корней
уравнения
х57
2
­

1) 7 ; 2)1; 3) ­
; 4) нет корней.
4. Укажите промежуток, которому принадлежат
корни уравнения
1)(­6;­4); 2)(0;2); 3)(2;5); 4)(­4;0).
5.Найдите наименьший корень уравнения
(2­
­2)=0.
+х=3.
2 2
4 х
3 х
1
4
3
7
х
х


х2 =0.
1
5
1)
8
3
; 2)
1
4
; 3)2; 4)
5
4
.
6.Пусть х0 – неположительный корень уравнения:
 24
х 
2 =х­2. Найдите 2∙х0+1.
x
7. Решите уравнение
4 х
13
=|x+1|­3.
№ задания
Вариант 1
Ответы «Иррациональные уравнения»
Вариант 4
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 5
Вариант 6
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
1
Ø
2
4
2
3
3
3
16
­2
3
2
4
1
1
­1
­1;15
2
2
4
3
4
­1
±19
2
2
3
2
4
­3
0
3
1
2
4
1
Ø
9

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

Если , уравнение равносильно уравнению .

Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

Задачи и тесты по теме «Иррациональные уравнения»

• Иррациональные уравнения — Квадратные уравнения 8 класс

Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

Иррациональные уравнения и неравенства — Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

§4 Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений

Уроков: 1 Заданий: 13

§2 Иррациональные уравнения — Раздел 4. Степенная функция 10 класс

Уроков: 1 Заданий: 9

Системы уравнений — Уравнения и неравенства 11 класс

Уроков: 1 Заданий: 19 Тестов: 1

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы:
1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);
2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
3) метод введения новых переменных.

Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание!

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 3) метод введения новых переменных.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х = 6 входит в ОДЗ, значит может быть корнем данного уравнения.

а)=-6. Решений нет, т.к. -6>0, а 0.

б) = 2,
х — 3 = 4,
х = 7 входит в ОДЗ.

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3