Умножение десятичных дробей уравнения 6 класс

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Урок математики на тему «Умножение десятичных дробей» (6 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Умножение десятичных дробей (Расшифруй слово).doc

Умножение десятичных дробей (Расшифруй слово)

Выбранный для просмотра документ Умножение десятичных дробей (лист контроля).doc

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

Выбранный для просмотра документ Умножение десятичных дробей (самостоятельная работа).doc

Умножение десятичных дробей

5) 17,3 · 0,9 – 0,8015 = (1 балл) 5) 86,2 — 15,24 · 4,2 = (1 балл)

6) Продолжить ряд чисел: 6) Продолжить ряд чисел

а) 0,9; 1,8; 3,6; 7,2;…; (1 балл) а) 0,8; 1,6; 3,2; 6,4;…;

б) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1;… (1 балл) б) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1;…

Выбранный для просмотра документ Умножение десятичных дробей.doc

Умножение десятичных дробей

создание условий для формирования у учащихся навыков умножения десятичных дробей.

обучающая : сформулировать правило умножения десятичных дробей , использовать правило при решении упражнений;

развивающая : содействовать развитию навыков логического мышления, вычислительных навыков учащихся;

воспитательная : способствовать формированию у учащихся чувства ответственности, умений самоконтроля.

Тип урока : урок усвоения новых знаний.

Актуализация опорных знаний.

Задание «Расшифруй слово»

На доске записаны упражнения. Рядом с каждым упражнением – буква-код. Ниже упражнений на доске – таблица. Выполняя упражнения, учащиеся должны соотнести букву-код с числом в таблице.

( Учащиеся самостоятельно выставляют себе отметку в лист контроля: количество баллов соответствует количеству правильных ответов ).

В результате выполнения упражнений, получилось слово «умножение!». Таким образом, учащиеся сами называют тему урока.

В ыход на проблему урока

Учитель предлагает учащимся решить следующую задачу.

Задача . Длина прямоугольника равна 0,5дм, а ширина 0,3дм. Найти площадь прямоугольника.

1 способ . 0,6дм=6см, 0,2дм=2см. S =6∙2=12 (см 2 ) = 0,12дм 2 .

2 способ . 0,6∙ 0,2 ==0,12 (дм 2 ).

Учитель задаёт наводящие вопросы:

Сколько знаков после запятой у каждого из множителей?

Сколько знаков после запятой у обоих множителей?

Сколько цифр после запятой в произведении?

Объяснение нового материала

Правило умножения десятичных дробей :

Чтобы перемножить две десятичные дроби, можно:

не обращая внимания на десятичные запятые, перемножить их как натуральные числа;

в полученном произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их есть в обоих множителях вместе.

Разобрать решение примера на доске .

Закрепление нового материала

1) 1,2 ·3; 6) 0,37·0,01;

5) 1,1·0,9; 10) 0,25·0,4.

Учащиеся выставляют отметку за устный счёт лист контроля

Учитель показывает карточки с произведениями десятичных дробей. Встать должны те учащиеся, которые сидят на ряду с номером, соответствующим количеству знаков, которое необходимо отделить запятой в произведении, указанном на карточке. Например, если показывается карточка с произведением 1,6·2,25, то встают учащиеся, сидящие на ряду с номером 3.

Закрепление нового материала (продолжение)

Решение примеров на доске

а) 12,4 · 4,17; е) 5,8 · 1 · 88,77;

б) 1,091 · 12,7; ж) 9,21 · 0,7659 · 1;

в) 342,19 · 1; з) 12,5·0,4·2,5·8;

г) 1,9 · 13,37; и ) 12,5·4·0,25·0,8;

д) 67,44 · 0 · 23,098 к) 89,65 · 0 · 6,31.

(Учащиеся выставляют отметку за решение примеров в лист контроля).

Первичный контроль усвоения знаний

1) 35 2) 1,53 1) 48 2) 1,26

5) 17,3 · 0,9 – 0,8015 = 5) 86,2 – 15,24 · 4,2 =

6 * ) Продолжить ряд чисел:

б) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1;…

(Учащиеся выставляют отметку за выполненную самостоятельную работу в лист контроля в соответствии с указанными баллами).

1) Придумать 5 примеров на умножение десятичных дробей и решить их.

2) Разгадать кроссворд:

Умножение десятичных дробей (Расшифруй слово)

Умножение десятичных дробей

5) 17,3 · 0,9 – 0,8015 = (1 балл) 5) 86,2 — 15,24 · 4,2 = (1 балл)

6) Продолжить ряд чисел: 6) Продолжить ряд чисел

а) 0,9; 1,8; 3,6; 7,2;…; (1 балл) а) 0,8; 1,6; 3,2; 6,4;…;

б) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1;… (1 балл) б) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1;…

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

учащегося (йся) 6 класса

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 573 236 материалов в базе

Другие материалы

• 21.10.2018
• 703
• 1

• 21.10.2018
• 595
• 6

• 21.10.2018
• 265
• 0

• 21.10.2018
• 585
• 18

• 21.10.2018
• 219
• 1

• 21.10.2018
• 343
• 2

• 21.10.2018
• 603
• 2

• 21.10.2018
• 242
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.10.2018 294
• RAR 22.1 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кривёнок Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2866
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнения с десятичными дробями

Линейные уравнения с десятичными дробями можно решать так же, как и остальные линейные уравнения.

Однако, удобнее сначала уравнение упростить, избавившись от десятичных дробей.

Для начала рассмотрим оба способа решения и сравним их.

Раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках:

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Чтобы перевести десятичные дроби в целые числа, умножим обе части уравнения почленно на 10:

(При умножении произведения 2,4(6-3х) на 10 применяем сочетательное свойство умножения, то есть на 10 мы умножим только первый множитель, 2,4).

Получили линейное уравнение, которое не содержит десятичных дробей. Решаем его:

На мой взгляд, линейные уравнения с десятичными дробями удобнее решать, переводя их в уравнения с целыми числами.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, обе части уравнения умножаем на 10. При этом в произведении 5(0,1х-0,5) на 10 умножаем второй множитель, то есть выражение в скобках, а в произведении 0,4(х-3) — первый, то есть 0,4:

Далее — решаем обычное линейное уравнение:

Обе части уравнения умножаем на 100. При этом в произведении 1,2(2,3х-3,1), надо первый множитель 1,2 умножить на 10 и второй множитель (2,3х-3,1) умножить на 10: