Универсальное уравнение прогибов балки с жесткой заделкой

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

• Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

• Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

• Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

\[ M\cdot \frac < < x >^ < 2 >>< 2 >\]

• Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

\[ F\cdot \frac < < x >^ < 3 >>< 6 >\]

• Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

комментариев 8

• Комментарии 8
• Пингбэки 0

Статья была обновлена. Переработаны формулы и изображения. И также добавлено несколько новых иллюстраций.

Спасибо! Годный контент! Наконец-то понял этот метод определения прогибов, буду дальше изучать ваш сайт и учить сопромат…

iSopromat.ru

Метод начальных параметров (сокр. — МНП) позволяет определять прогибы и углы наклона сечений в прямых балках с постоянной жесткостью поперечного сечения EI_x.

МНП является одним из относительно простых способов расчета угловых и линейных перемещений при изгибе в балках с любым количеством силовых участков.

Пример расчета перемещений сечений балки смотрите в нашем видеоуроке:

Для применения метода начальных параметров есть ограничения: рассчитываемая балка должна быть выполнена из однородного материала, иметь прямую ось и постоянные форму и размеры поперечного сечения.

Универсальные уравнения МНП

Для балок с типичным набором нагрузок универсальные уравнения метода начальных параметров имеют вид:

где
θ_z, y_z – соответственно угловое и линейное перемещения рассматриваемого сечения балки;
θ₀, y₀ – угол наклона и прогиб сечения балки в выбранном начале координат (НК). Это и есть начальные параметры (являются постоянными интегрирования) по которым назван сам метод. Определяются из соответствующих опорных условий;
m, F и q – все сосредоточенные моменты (пары сил), силы (включая опорные реакции) и распределенные нагрузки (в т.ч. компенсирующие) приложенные к рассматриваемой балке;
z – расстояние от выбранного начала координат до рассматриваемого сечения балки (положение сечения);
a и b – расстояния от начала координат до соответствующих моментов и сосредоточенных сил;
c – расстояние от НК до начала действия распределенной нагрузки;
E – модуль продольной упругости материала балки;
I_x — момент инерции сечения относительно оси x.

Данные уравнения МНП являются лишь шаблонами, по которым записываются уравнения для конкретных расчетных схем (пример рассмотрен ниже).

Примечания к методу

Перед записью уравнений метода начальных параметров выбирается начало координат балки.

Начало координат выбирается в крайнем левом или правом конце балки (лучше в том, который расположен на опоре).

Слагаемые в уравнениях записываются последовательно по силовым участкам от начала координат.

Знаки отдельных слагаемых в универсальных уравнениях МНП принимаются по правилу знаков для изгибающего момента, т.е. слагаемые с нагрузками, которые на рассматриваемом участке стремятся сжать верхние слои балки, записываются положительными.

Если распределенная нагрузка q действует в пределах части длины балки (обрывается, не доходя до конца), то ее действие продлевается в сторону, противоположную от начала координат, до конца балки и добавляется компенсирующая нагрузка той же интенсивности но обратного направления.

Начальные параметры универсальных уравнений МНП определяются из условий закрепления балки в опорах.
На шарнирных опорах вертикальные линейные перемещения (прогибы) равны нулю, т.е. y_A=0 и y_B=0.

В жесткой заделке отсутствуют (равны нулю) и угловые и линейные перемещения (θ_A=0, y_A=0).

Положительное значение рассчитанного прогиба y_z соответствует перемещениям сечения вверх по отношению к продольной оси балки.

Знак угла поворота θ_z зависит от выбора начала координат: при выборе НК в крайнем левом сечении балки угол θ_z будет считаться положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки

Соответственно, если начало координат выбрано справа – положительным считается угол при повороте по часовой стрелке.

Пример составления уравнений МНП

Порядок составления уравнений МНП и расчета перемещений рассмотрим на примере двухопорной балки

Выбор начала координат

Начало координат в данной расчетной схеме выбираем в самой правой точке D балки, так как она расположена на опоре, и, следовательно, прогиб в этой точке будет отсутствовать.
Ось z направляем соответственно влево.

Теперь для данной балки правый торец будем считать ее началом, левый – соответственно концом.

Действия с распределенной нагрузкой

Как видно по схеме, действие распределенной нагрузки обрывается в точке B, не доходя до конца балки.

Поэтому ее действие необходимо продлить

при этом схема нагружения балки изменилась. Теперь, чтобы вернуться к начальной системе нагрузок, добавляем компенсирующую распределенную нагрузку обратного направления.

Это действие выполняется, потому что в уравнениях МНП параметр «c» учитывает только начало действия нагрузки.

Составление уравнений МНП

Универсальные уравнения МНП для заданной балки записываются последовательно по участкам со стороны начала координат.

При этом желательно отделять части уравнения для каждого из участков.

Запишем уравнение угловых перемещений θ_z метода начальных параметров.
Участок CD
Мысленно закрепив балку между сечениями C и D,

в стороне начала балки видим только опорную реакцию R_D которая по правилу знаков записывается положительной, так как сжимает верхние слои балки.

Участок BC
На этом участке, как и на всех остальных, закрепив балку в произвольном месте, смотрим в сторону НК.

Видим момент m и распределенную нагрузку q.

Момент положителен т.к. сжимает верхние слои балки, нагрузка q отрицательна т.к. сжимает ее нижние слои.

Заметим, что здесь мы записали сразу всю «верхнюю» распределенную нагрузку q. В данном уравнении для других участков ее записывать больше не надо.
Участок AB
При рассмотрении данного участка к уравнению добавляются реакция в опоре B и «нижняя» компенсирующая нагрузка q.

Записываем их положительными, т.к. они стремятся сжать верхние слои балки.

Силы и моменты, приложенные в самом конце балки, в уравнения не входят.
На вопрос «Разве сила F не влияет на перемещение сечений?» ответ следующий: В уравнениях метода начальных параметров поперечная сила и момент, приложенные к концу балки оказывают влияние на перемещения опосредованно, через опорные реакции R.

Уравнение метода начальных параметров для прогибов составляется аналогично.

Определение начальных параметров

В правой части полученных уравнений известны все параметры кроме начальных θ₀ и y₀ (переменная z задается при решении).

Прогиб и угол наклона сечения в начале координат определим из опорных условий.

Балка закреплена на двух шарнирных опорах (точки B и D), в которых прогибы всегда равны нулю.

Граничные условия метода начальных параметров:

Так как точка D была принята за начало координат, то прогиб в этой точке и есть y₀, т.е. правильно выбрав НК, мы сразу определили один из двух начальных параметров.

Угловое перемещение в начале координат θ₀ рассчитаем из оставшегося (первого) опорного условия.

Для этого запишем уравнение прогибов для точки B, которое равно нулю

От НК до сечения B два участка, поэтому берется не все уравнение, а только его части, включающие нагрузки на соответствующих участках (CD и BC).
Из него выражаем и находим значение θ₀.

Теперь можно рассчитывать перемещения любого сечения балки.

Расчет перемещений

Для определения перемещений сечения расположенного на i-м участке от начала координат в расчете участвуют только части уравнений от НК до i-го участка включительно.

Выбирая нужное уравнение и задавая положение z сечений от начала координат определяются их угловые и линейные перемещения.

Например, для расчета угла наклона и прогиба сечения K расположенного на расстоянии z_K от НК

уравнения метода начальных параметров будут иметь вид:

Остается только подставить значения и провести расчеты.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• V_k – прогиб сечения K;
• V_O – прогиб сечения O;
• θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, V O и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах .

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10 5 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см 4 ). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.