Упражнения по теме показательные уравнения и неравенства

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Подборка заданий по теме » Показательные уравнения и неравенства» Совместная разработка учителей Зайцевой Е.Б. ( ГБОУ гимназия № 526 )и Мальчиковой Н.М.(ГБОУ СОШ № 355)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ гимназия №526 Зайцева Е.Б. ГОУ СОШ №355 Мальчикова Н.М.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Основные типы задач Часть А

1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-2; -1) 2) (-1; 0) 3) (0; 1) 4) [-1; 2]

2. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2 2) 3) 4) 0,5

3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов: 1) (0; 8) 2) (-8; 0) 3) (-15; -8) 4) (8; 10)

4. Решите уравнение

Варианты ответов 1) -3 2) 4 3) нет решений 4) -7

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-15; -5) 2) (-5; 5) 3) (15; 25) 4) (5; 15)

6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-7; 0) 2) (0; 4) 3) (4; 10) 4) (10; 20)

7. Решить уравнение

Варианты ответов 1) 3,5 2) 3,75 3) 3,25 4) 2,5

8. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 4.5 2) 4.6 3) 4,2 4)9

9. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

10. Решить уравнение

Варианты ответов 1) -2 2) -1,5; 0,5 3) -0,5; 1,5 4) -0,5; 2.

Основные типы задач Часть В

1. Решить уравнения ( способом логарифмирования )

х 1 =1 х 2 =2 Ответ: 1; 2.

2. Решить уравнения ( способом вынесения общего множителя либо замены переменной )

Вариант решения: х-4=0 х=4 Ответ: 4.

4) 10)

3. Решить уравнения ( способом подстановки )

Пусть , где , тогда , , (- не удовлетворяет условию )

Получаем х=1 или х=0. Ответ: 1; 0.

4. Решить уравнения ( способом подстановки и приведением к квадратному )

Вариант решения: . Пусть , где , тогда , откуда , (- не удовлетворяет условию ). Далее откуда Ответ: 1; -1.

5. Решить однородное показательное уравнение

Вариант решения: разделим все части уравнения на (это возможно, поскольку ), получим . Обозначим теперь , где . Имеем , , , , . х=0. Ответ: 0.

4) 8)

6. Решить уравнение методом оценок и свойств монотонности

Вариант решения: Заметим сразу, что х=1 корень предложенного уравнения и докажем, что других корней уравнение не имеет. Действительно. Перепишем уравнение в виде . Так как функция монотонно убывает, то она может принимать каждое своё значение (в том числе ) лишь в одной точке, таким образом, если уравнение имеет корень, то единственный. Такой корень нами указан х=1. других корней нет. Ответ: 1.

Задания более сложного уровня

1. Уравнения, возможный способ решения логарифмирование

Ответ: 100; 0,01. Ответ: 1.

2. Уравнения, возможный способ решения метод замены переменной

3. Уравнения, которые удается решить, представляя данные выражения в виде произведения

4. Уравнения, решаемые с использованием свойств соответствующих функций

Ответ: 1. Ответ: 0.

Ответ: 1; -1. Ответ: нет решений.

5. Неравенства, решаемые методом интервалов

Ответ:

3. Показательно-логарифмические неравенства решаемые методом интервалов

4. Задания с параметром

1) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ:

2) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ: а>0,5, a≠1, a≠0

3) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

4) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

5) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

6) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

7) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех значениях х . Ответ:

8) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

Урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тема: Математический марафон. Решение показательных уравнений и неравенств. (Слайд 1)

(Учебник под редакцией А. Н. Колмогорова, базовый уровень)

Цели урока:

• образовательная цель – рассмотреть способы решения показательных уравнений и неравенств; подготовка к ЕГЭ – решать показательные уравнения, включенные в «Открытый банк заданий по математике»;
• развивающая цель – способствовать выработке навыков решения показательных уравнений и неравенств, навыков самостоятельной работы
• воспитательная цель – способствовать воспитанию чувства ответственности, организованности, формирование умений работать в команде.

Тип урока: обобщение и систематизации знаний.

Форма проведения: групповая.

Оборудование: оценочные листы, карточки с самостоятельной работой, компьютер, проектор, презентация (Приложение 1).

Девиз: «Лучше думать перед тем, как действовать, чем после» Демокрит. (Заранее на доске)

Ход урока

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая, сделать его немного занимательным» Паскаль.

I. Организационный момент. Сообщение темы, постановка цели, сообщение этапов урока.

Сегодня мы и будем продолжать закреплять умения решать показательные уравнения и неравенства, включенные в «Открытый банк заданий по математике». Задания с использованием показательных функций и уравнений встречаются во всех вариантах ЕГЭ. Таких заданий всегда не менее 2 разделе В (В5, В13), не менее одного в разделе С (причем это часто С3, т.е. вполне доступное многим школьникам задание, а также С5 наиболее сложное задание повышенной трудности). Показательное уравнение в разделе С – это верный шанс на «пятерку». Следует заметить, что число заданий на эту тему остается практически постоянным. Поэтому вы должны иметь четкое представление о том, что все показательные уравнения, какой бы степени сложности они ни были, решаются по единым алгоритмам. Их немного: всего пять. Если их освоить, то решение показательного уравнения или неравенства из раздела С становятся вполне посильной задачей для многих в вашем классе. Мы знаем, что правильно выбранный метод, часто позволяет существенно упростить решение. Поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

Урок проведем в форме игры «Математический марафон». [2] Знаете ли вы, что такое марафон? Это дисциплина легкой атлетики, представляющий собой забег на определенную дистанцию (около 42 км). Чтобы пробежать такое расстояние, спортсмену необходимы хорошие физические данные. Сегодня мы тоже проведем марафон, но марафон математический. Чтобы его преодолеть, вам понадобиться сила воли, упорство в достижении цели и, конечно, ваши знания. В марафоне участвуют три команды. На старт, внимание марш!

Пояснение. Участники «марафона» получают индивидуальный номер члена своей команды. За верные ответы им выдают жетоны, имитирующие электронные чипы спортсменов. Команда, набравшая максимальное число баллов, является победителем «марафона»).

(Слайд 2) «Уравнения будут существовать вечно» Энштейн.

I. Актуализация знаний учащихся.

I этап: «Старт дан!»

Начало марафона – очень важный этап. От того, какой тем вы возьмете, зависят ваши результаты.

1) Устная работа. (Задания трем командам предлагают по очереди)

1. (Слайд 4) Какая функция называется показательной?

Ответ: Функция, заданная формулой у = ах (где а>0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а

2. (Слайд 6) Перечислите основные свойства показательной функции.

Ответ: Область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

– Область значений показательной функции – множество всех положительных действительных чисел.

– При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 1 и 0 19.04.2013

Система устных работ по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ СИСТЕМА УСТНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.doc

Ивашура Татьяна Владимировна, учитель математики, информатики и физики МКОУ «Манойлинская СОШ»

СИСТЕМА УСТНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ

«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

Разработка системы устных работ по теме

Характеристика учебного материала: на данную тему отводится 2 часа. На первом уроке дается определение показательного уравнения, и рассматриваются два способа их решения: функционально – графический и метод уравнивания показателей. А на втором уроке рассматриваются еще два способа решения показательных уравнений: метод введения новой переменной и метод разложения на множители [21].

Цели к первому уроку могут быть следующими:

сформулировать понятие «показательное » уравнение;

формирование навыков решения показательных уравнений функционально – графическим методом и методом уравнивания показателей.

Цели ко второму уроку:

формирование навыков решения показательных уравнений методами введения новой переменной и разложения на множители;

формирование умения определять способ решения;

формирование умения работать с переменными.

Система устных упражнений к первому уроку

Актуализация опорных знаний и умений

На данном этапе можно предложить учащимся выполнить следующую систему устных упражнений (задания заранее написаны на доске):

Возведите в степень:

;

;

;

;

;

.

Представьте в виде степени числа:

Примените свойства степеней:

;

;

;

;

.

;

;

;

.

Следует обратить внимание учащихся на 4 задание. Выполнение этого упражнения позволяет ввести понятие показательного уравнения и выделить характеристическое свойство уравнений данного вида – неизвестное содержится в показателе степени.

Формирование новых знаний и умений

Предлагаем учащимся упражнения на распознавание показательных уравнений, в процессе выполнения которых они овладеют действием подведения объекта под понятие.

Среди уравнений выбрать показательные:

;

;

;

;

;

;

;

.

Данное упражнение может быть проведено в форме «Математическая зарядка»: каждое уравнение записано на отдельной карточке. Учитель поочередно показывает классу карточки, а ученики делают определенное движение. Например, если уравнение является показательным – ребята поднимают руки вверх, не является – руки на парте.

«Равный счет». Учитель записывает на доске уравнение

. Ученики должны сначала устно его решить, а затем придумать свои показательные уравнения с тем же корнем. Их примеры на доске не записываются. Ребята должны на слух определить, верно ли составлено уравнение.

Применение знаний и умений

На этом этапе можно предложить учащимся устные упражнения на решение показательных уравнений. Данное задание может быть организовано следующим образом:

«Не зевай». Ученики каждого ряда получают по карточке. У первого ученика задание написано полностью, а у всех остальных есть пропуски. Что скрывается за многоточием, ученик узнает тогда, когда его товарищ, сидящий впереди, сообщит ему ответ своего задания. Этот ответ и будет недостающим числом.

Задание для первого ряда

Задание для второго ряда

Задание для третьего ряда

В таким образом организованном упражнении все должны быть предельно внимательны, поскольку ошибка одного участника зачеркнет работу всех остальных. Подобное задание способствует не только закреплению изученного материала и совершенствованию вычислительных навыков, но и развитию внимательности.

На дом, кроме письменных упражнений, можно также предложить учащимся придумать по 3-4 показательных уравнения для устного счета на следующем уроке.

Система устных упражнений ко второму уроку

Актуализация опорных знаний и умений

На предыдущем уроке в качестве домашнего задания учащимся предлагалось придумать по 3- 4 показательных уравнения для устного решения. Вот с этого упражнения и стоит начать актуализацию. Организация выполнения упражнения может быть следующей:

«Лучший счетчик». Класс делится на 3 команды (можно по рядам). В каждой команде выбирается свой «счетчик», который будет защищать честь своей команды. Уравнения для устного решения предлагают счетчику члены других команд до тех пор, пока он не собьется. Затем его сменяет другой ученик из той же команды, и игра продолжается. Число «счетчиков» определяется по договоренности. Побеждает та команда, в которой наименьшее число «счетчиков», решивших наибольшее количество уравнений.

Данная игра служит своеобразной разминкой для дальнейшей работы.

Так как на данном уроке будут рассмотрены метод введения новой переменной и метод разложения на множители, то целесообразно предложить ребятам следующие упражнения:

Разложите на множители:

;

;

;

;

;

;

.

Составьте квадратное уравнение, если известно, что

Найдите корни, используя теорему Виета и следствия из нее:

;

;

;

.

Сгруппировать показательные уравнения по способам решения:

;

;

;

;

;

.

При выполнении данного упражнения у ребят возникнут трудности, к какой категории отнести уравнения под буквами b и c . Таким образом, будет создана проблемная ситуация: а какими же методами решаются данные уравнения.

Формирование новых знаний и умений

Для начала можно предложить учащимся следующее упражнение:

Найдите ошибку в решении уравнения:

Пусть , тогда . Откуда Так как , то . Проверка показала, что — посторонний корень. Ответ: корней нет.

Восстановите ход решения уравнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Применение знаний и умений

На этом этапе можно предложить учащимся устные упражнения на решение показательных уравнений. Данное задание может быть организовано в форме «Устной цепочки»:

Устно решите следующие уравнения и с помощью ключа составьте слово.

;

;

;

;

;

;

.