Упрощение общего уравнения второй степени

Упрощение общего уравнения второй степени

Способ упрощения уравнения второй степени, изложенный в §§ 60—62, имеет перед другими способами два преимущества: 1) он дает полную классификацию линий второго порядка (теорема § 58); 2) он единообразен и прост по идее. Однако этот способ требует довольно утомительных выкладок.

Во многих случаях выкладки можно облегчить. 1. Для линий второго порядка, распадающихся на пару прямых (§ 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко

найти уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно (§ 64) дается признак распадения.

2. Нераспадающаяся линия второго порядка может быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс и гипербола имеют центр, а парабола не имеет. Поэтому упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать с переноса начала координат в центр. Можно заранее узнать, к какому из этих трех типов принадлежит линия второго порядка. Соответствующий признак дан в § 67, в § 68 уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения уравнений эллипса и гиперболы.

3. Что касается параболы, то для нее способ упрощения, изложенный в § 61, остается наилучшим. Впрочем, размеры параболы (т. е. величину параметра ) можно легко найти при помощи так называемых инвариантов. О них сказано в § 66.

Электронная библиотека

Мы рассмотрели четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Рассматривая общее уравнение второго порядка:

при отсутствии члена Вху (исследовали случай при В = 0), мы видели, что данное уравнение при различных соотношениях между коэффициентами А , С , D , Е может описывать либо одну из перечисленных четырех кривых, либо точку, либо пару пересекающихся прямых, либо не определять ничего. Кроме перечисленных случаев, уравнение (3.17) может определять еще две параллельные прямые или одну прямую (например, уравнение задает прямую ).

Пусть теперь уравнение (3.17) содержит член с произведением ху (т.е. В 0). Покажем, что можно, осуществляя поворот системы координат, перейти к новым координатам так, что уравнение (3.17) в новых координатах не будет содержать члена с произведением координат ху .Если новая система 0 XY получается из старой 0 ху поворотом на угол , то переход от старых координат к новым происходит по формулам:

При подстановке х , у по формулам (3.22) в уравнение (3.17) слагаемые Dx и Еу дадут лишь первые степени Х и Y . Поэтому преобразуем сумму :

Преобразуем коэффициент при XY :

Выберем угол поворота так, чтобы этот коэффициент был равен нулю:

Это всегда возможно. Действительно, при С = А будет , следовательно , при , следовательно,

Итак, с помощью поворота системы координат получили, что в новых координатах уравнение (3.17) не содержит члена с произведением координат ху . Выделяя далее полные квадраты, приведем уравнение к каноническому виду.Известно, что уравнение (3.17) может описывать только перечисленные ранее линии.

Упрощение общего уравнения второй степени

Мы рассмотрели кривые 2–го порядка (эллипс, окружность, гиперболу, параболу), описываемые общим уравнением второй степени:

Посмотрим, какие кривые или случаи вырождения определяются этим уравнением при различных значениях его коэффициентов. Первый, более простой случай, когда B = 0 (уравнение не содержит произведения переменных).

Выделим полный квадрат:

Выполним параллельный перенос : перенесём начало координат в точку , тогда новые координаты , и в них уравнение (2.20) примет вид:

Здесь U – правая часть (2.21).

Если U > 0, то из (2.22) следует: – уравнение эллипса. При a = b (или A = C ) имеем окружность.

Если U = 0, то уравнению удовлетворяет только одна точка

Если U > 0, то – , так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Здесь уравнение (2.22) вырождения в пустое множество, то есть на множестве действительных чисел решения не имеет. Говорят, что уравнение в данном случае определяет мнимый эллипс (окружность).

2) A и C – разного знака + ( AC 0). Пусть для определенности A >0, C , в противном случае уравнение (2.20) умножают на (–1).

Проведя выкладки с выделением полного квадрата в уравнении (2.20), получим аналогичное (2.22) уравнение

Если U > 0, то обозначим – уравнение гиперболы.

Если U 0, то обозначим . Уравнение (2.15) примет вид: . Это уравнение гиперболы с ветвями вверх или вниз, действительной осью по оси 0 y , мнимой – по оси 0 x .

Если U = 0, то при C 0. Обозначим A = m 2 , C = – n 2 , тогда . Данное уравнение распадается на два уравнения первой степени . Каждое из них – это уравнение прямой, проходящей через точку . Таким образом, (2.20) определяет пару пересекающихся прямых в точке . Говорят, что кривая вырождается в пару пересекающихся прямых.

3) Рассмотрим случай AC = 0. Пусть для определенности C = 0, A ≠ 0. Уравнение (2.20) имеет вид: Ax 2 + Dx + Ey + F =0 . Предполагая E ≠ 0, , после переобозначений , получим y = ax 2 + bx + c – уравнение параболы, ветвь которой вверх или вниз.

Если E = 0, то Ax 2 + Dx + F =0 – квадратное уравнение, раскладывающееся на множители .

Если , то x = x ₁ и x = x ₁ – уравнения двух прямых параллельных оси 0 y . При x ₁ = x ₂ – кривая вырождается в слившуюся прямую , параллельную оси 0 y .

Аналогичные случаи вырождения получим при A = 0, C ≠ 0.

Вывод из вышеизложенных случаев можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2.1 О бщее уравнение второй степени может определять:

либо окружность (при A = C ), либо эллипс (при AC > 0), либо гиперболу (при AC 0), либо параболу (при AC = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых (одну слившуюся прямую)

Пусть теперь B ≠ 0 (уравнение (2.20) содержит произведение переменных). Рассмотрим преобразование общего уравнения второй степени. Можно показать, что: 1) при помощи поворота осей координат его всегда можно привести к виду, не содержащему произведение переменных; 2) после этого при помощи параллельного переноса осей координат уравнение (2.20) будет приведено к каноническому виду, задающему все выше перечисленные кривые или же случаи вырождения.

Рассмотрим преобразование координат, называемое поворотом плоскости на угол α.

Пусть даны две системы декартовых координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть α – угол между осями 0 x и 0 x ’ . Обозначим через ( x ; y ) и ( x ’; y ’ ) координаты точки М соответственно в первоначальной и новой системах, длину радиус – вектора точки М – через ρ, угол между осью 0 x и – через β . Из прямоугольных треугольников (рис. 2.12):

По формулам косинуса разности и синуса разности имеем:

Мы получили формулы преобразования координат ( x ; y ) в ( x ’; y ’ ) при повороте осей на угол α:

Например, при α=45 0 с помощью формул (2.23) имеем:

Составим матрицу коэффициентов: . Она называется матрицей поворота. Тогда можно написать матричное уравнение поворота плоскости на угол α:

При обратном преобразовании осей осуществляется поворот на угол (– α ). Тогда

– выражение первоначальных координат точки М через новые.

Получили обратную матрицу A –1 для матрицы при обратном преобразовании. Перемножим матрицы A и A –1 :

Видно, что матрицы, соответствующие поворотам осей на углы α и –α, взаимообратны.

Рассмотрим преобразование координат, называемое параллельным переносом осей координат. Пусть даны две системы координат с параллельными осями и разными началами O и O ₁ , причём в первоначальной системе координат начало новой системы имеет координаты O ₁ ( a ; b ) . Точка M в первоначальной системе имеет координаты ( x ; y ) , в новой M ( x ; y ) (рис. 2.13).

Спроектируем на ось 0 x точки M и O ₁ , получим соответственно точки A и P : | OA |+| AP |=| OP | , то есть a + X = x .Аналогично спроектируем точки M и O ₁ на ось 0 y , получим соответственно точки N и K : | ON |+| NK |=| OK | , то есть b + Y = y . Таким образом, координаты точки в первоначальной системе координат равны сумме ее координат в новой системе и координат нового начала в первоначальной системе. Если из этих формул выразить новые координаты точки M , то получим:

Пример 2.8. Привести общее уравнение второй степени 5 x 2 + 12 xy –22 x –12 y –19=0 к каноническому виду, определить вид кривой и её основные характеристики.

Решение. Для заданного по условию уравнения коэффициенты соотношения (2.20) равны A = 5, B = 12 , C = 0, D = –22, E =– 12, F = –19. С помощью системы уравнений (2.23) вычислим угол поворота плоскости α, при котором коэффициент B при произведении переменных обратится в ноль: .

Примени м формулу тангенса двойного аргумента

тогда последнее равенство принимает вид

Пусть , тогда по формуле имеем:

По основному тригонометрическому тождеству находим: Так как тангенс положителен в 1–ой и 3–ей четверти ( 0 0 0 ) , то возьмем положительные значения

Раскрывая скобки, убедимся, что в результате поворота плоскости на угол , коэффициент при x ’ y ’ обращается в ноль: Оставшиеся сла­гаемые примут вид:

Выделим полные квадраты для параллельного переноса осей координат:

После подстановки и деления на 36 уравнение принимает вид