Упростить и изобразить уравнение на рисунке

Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся

Разделы: Математика

Графический метод обладает рядом преимуществ:

• он часто проще аналитического;
• обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
• он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.

Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.

Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.

В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:

• решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
• находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х 2 , у=х 3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

— постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х 2 ; у=4; б) у=х 2 ; у=2х.

— изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 — х| = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.

— Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться

а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

— Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х 2 ). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х 3 — х + 1 = 0; х 3 + 2х — 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.

На рисунке изображён график одной их функций . Какой именно?

— Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

— Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х 3 получить графики функций у = — х 3 ; у = (х-3) 3 ; у = х 3 + 4.

б) из графика функции у = получить графики функций у = — ;

— Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| — 3, у = 4 — | х|; у =|х +4|; у = | х — 3|.

При построении параболы вводим первые преобразования:

— построить графики функций у = х 2 +3; у=х 2 -5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2) 2 ; у = (х-1) 2 . Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8-м классе: Урок-практикум.

Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»

Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.

I. Фронтально

1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций

2). Решить уравнения

II. Построить графики функций

III. Решение уравнений

X 2 -3 =

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х 2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х 2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х 2 -2) 2 — (х 2 -1) 2 ;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.

Упрощение уравнений кривых 2-го порядка

Упрощение уравнений кривых 2-го порядка

• Упрощение уравнения кривой 2-го порядка Н°1.Уравнение y = axh — \ — bx — <- c. в этом разделе описывается применение преобразований координат для упрощения уравнения 2-й строки. Давайте начнем с примера. Предположим, вы хотите найти линию, которая соответствует уравнению. у = 12л:+ 9.(!） объедините члены,

содержащие x, и перепишите это уравнение. вы добавите выражение в скобках с полным квадратом, вы получите: у = 3(х *-4х + 4)+ 9-12 Или то же самое у + 3 = 3(ок-2)’. (2） Это исходное уравнение (1), но только если группа членов отличается. Предположим, что здесь система координат переведена и начало

координат перемещено в точку 0 (p, q).Тогда старые координаты всех точек плоскости (x, y) представляются новыми координатами(xlt бьется по формуле). х = ХВ + р, г = г \ + Людмила Фирмаль

Теорема. соответствует параболе, полученной из параболы у = АХ *(7） Используйте параллельную передачу. Y、\ ыы З 4 * -/ −2 __ N л Дж 0 и C> 0 ( * ).И понятно, что это Λ1> 0.In дело в том, что если M = 0, то выражение (17) не является кривой, а соответствует точке, как в Примере (13), а неравенство 0 приводит к тому, что нет ничего, что соответствует выражению (17), например (12).Поэтому остается только возможность M> 0. Перепишите выражение (17) в следующий

формат •) Понятно, что это Еф 0.В противном случае выражение(11) будет иметь вид Ax * — * — Dx — * + ^ = 0 и будет соответствовать паре строк[подобно выражению(16)]. Рычание (15)]вообще никакого ответа «9 мая внимательно следите за процессом умозаключения. Но учтите, что вы не хотите запоминать выражение ru q, At. Do не загружайте ненужные детали в память. •* * ) В противном случае измените знак

на обеих сторонах уравнения(17). Ич I_1 „LG +“ LG-1 Или,=(это、 Дроби положительные), в виде] ФЛ-П-21-1 * б％ Это эллиптическое уравнение. Необходимо учитывать, когда А и С — это количество различных знаков. В противном случае, поскольку он изменяет знак с обеих сторон выражения (17), мы можем предположить, что O, C 0, C 0.Переписывание формулы (18) из Формулы (17) если вы поставите — = ^ = — b, он достигнет уравнения. О1-б * ’ То есть к гиперболическому уравнению. Теорема доказана. Замечание. 1) метод доказательства теоремы, примененный к определенному уравнению, фактически делает это уравнение каноническим. 2)из доказательства

теоремы ясно, что кривая, соответствующая уравнению*). Ах * + ТИЦ * ’\ — ДХ + ЕУ + Ф = 0、 Что это? а) LS = O парабола、 B) LS] > 0 эллипс、 в) преувеличение препарата (19） Где L обозначает совокупность всех остальных терминов. Понятно, что L не включает в себя 2-й член по отношению к xx. In в частности, L не включает продукт. запишем все члены формулы (19), включая x% Vy, отдельно. [- 2A sin 0 cos 0 + V (cos9 0-sin 90)+2Csin 0 cos 0] и позже 2sin

0 cos 0 = sin 20, cos90-sin9 0 = cos20、 Указанная группа членов может быть записана следующим образом [В COS 20-(л-с) грех 20] Xyyv Наша цель-выбрать такой угол 0, чтобы в Формуле (19) не было членов, содержащих произведение XYY. I cos 20-(Л-С) sin 20 = 0 (Л-с) грех 20 = потому что я 26、 Или наконец-то (21） Поскольку любое вещественное число действует как касательная к углу, всегда будет

существовать угол 0, удовлетворяющий соотношению (21) (для A, B, C).Но это также означает, что с помощью правильного вращения системы координат уравнение(10) всегда можно преобразовать в уравнение, не содержащее произведения координат. Замечание. 1) Если Λ= C, то уравнение (21) теряет свою meaning. In в этом случае он должен быть изменен на равенство (20). cos 20 = 0、 То есть cos 20 =

0 (ведь мы будем считать Bf 0).Однако это 20 = 90°, то есть 6 = 45°. Итак, при A = C нужно повернуть систему координат на 45°). 2) применяя метод доказательства теоремы к конкретному уравнению, мы можем сделать это уравнение каноническим. Однако существуют и более удобные методы для этой цели. Мы не будем

их рассматривать. (20 )） Или то же самое 3) по отношению к уравнению (10) возникают следующие критерии: кривая**) соответствует уравнению Топорик% + Ву + Су *-+ ДХ + ЕС + Ф = 0、 Я а) парабола при 4AC= B * t B) 4i4c> 5 *овал、 В) гипербола на 4 Это утверждение ничего не доказывает. в N°4.Образцы. Гипербола из-за асимптот. 1) рассмотрим уравнение 8x *-16 * + память+ 12y-4 =

0 Перепишите в форму 8С 1-2лг) + ЗСУ, — н > 0 = 4 Или дополните выражение в скобках до полного квадрата、 8 (f-2 * + 1)+ ЗСУ* + 4 >> + 4）= 24。 Отсюда (

!) ’. (y + 2) ’ 3 1 8 Перемещая начало координат в точку Oi (l, −2), мы делаем параллельный перенос системы. На новой оси уравнение линии имеет вид: 3 + 4- Он представляет собой эллипсоид с полу-оси Y3 и г-8.Этот трюк (новый! Обратите внимание,

что он находится на оси ординаты). 2) анализируйте более сложные примеры 4gv + 24hu + Tsu1-24kh-82u + 15 =0.(22） Начните с нахождения угла 0. Исчезновение произведения координат. Согласно (21) = Дж 482v = 4 ^ P = _T-123） Потому Что L = 4, B = 24, C = 11、 в pa 2tg6 О I A 2tg0 24 Итак, tgO — это 2-е уравнение^ _ q = — y или 12 tg90-7 tg 6-12 = 0. 4, 3.

Это уравнение удовлетворяет tg0 = -J и ТГ б= -. Неинтересно брать 0 из этих углов, потому что любой из этих углов удовлетворяет соотношению (23), но это все, что вам нужно. Возьмите по мере необходимости Угол 0 — это угол tg =0-.As [известно cos0 =± Так и в нашем случае cos0=:+=!(24)） И затем грех 0 = tg0cos0=± -^. (25） Выбор символов равенства (24) и, следовательно, (25) также свободен здесь. Конечно.、 Четыре если вы выберете tgO= -^, вы уже заявили,

что это гарантирует реализацию соотношения(23).Выберите Войти (24) cos 9 = 4. грех 0 = 4 ″» Формула преобразования координат при повороте системы на этот угол 0 принимает следующий вид: ДжейТи = а£л-4yLi у = у * У1. (26） Назначьте эти выражения выражению (22) в виде 4 >-y -1 bdg,-bu,+ 3 = 0.(27 )） Естественно, новое уравнение не включает в себя произведение. Выполните дальнейшие преобразования, как в предыдущем примере. То есть, напишите(27)

в виде: 4（>-4 * 1 + 4）-（y!+ 6y1 + 9)= 4 Или 1 4 Затем сделайте параллельный перенос системы и переместите начало координат в точку Oj (2, −3).Если вновь приобретенные оси обозначаются 0 \ X% и 0 ^ ur, то для xx = x2—2, yx = yb-3, а для оси 0 \ X^ уравнение прямой принимает вид: −1 т т т т Итак, эта линия является гиперболой

полуосей 1 и 2.Асимптотическая линия оси oijc| V имеет уравнение y1 =±2x%.Центром симметрии гиперболы является точка Oj. [В системе ohuh его координаты Xi = 2, yi =-3.So, согласно (26) системы Ohu, координаты точки 0\: = 3.6 и j»=-0.2. Чтобы нарисовать гиперболу на чертеже, сначала 3 4 поверните систему на угол cos0 = y, sin 6= -^ -. Этот угол находится в диапазоне от 0 до 90°и может быть легко настроен из тригонометрии известным способом. Если вы получаете

систему Ox / y / таким образом、 Найдите в нем точку Ot (2, −3) и постройте систему 77 Показаны характерные прямоугольники и асимптоты гиперболы(22), а также сама эта гипербола. 3) Рассмотрим другой пример, важный в теории. Нам нужно посмотреть на кривую. Ху = А. (28） Поскольку в этом уравнении A = C (=0), по замечаниям 1), система должна быть повернута на 45°.Для

значения этого угла, равного 0, форма выражения преобразования координат имеет вид Если вы подставите эти выражения в (28)、 Си-ильный = 2а、 (29） (28） И это равносторонняя гипербола (в af 0).Его асимптоты делят пополам углы между осями симметрии. Но ось симметрии гиперболы (29) является новой! Это координатная ось, поэтому асимптота-это старая координатная ось. Таким образом,

теорема 4 доказана. Ху = А Здесь afO соответствует равносторонней гиперболе и имеет осевые асимптоты координатных осей. Это первая гипербола、 Если 3-й, 2-й и 4-й координатные углы равны 0(рис.78 и 79).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Выражения и уравнения — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Выражения и уравнения

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения, и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например,

Пример:

Есть ли коэффициент в выражении ? Да. Он равен 1, поскольку

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок называется раскрытием скобок. Например:

Обратным действием в этом примере является вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки сводят подобные слагаемые:

Правила раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;
2. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) ; 2)

Решение:

1. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

2. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяются на противоположные:

Для раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: . Если , то знаки слагаемых и не изменяют. Если , то знаки слагаемых и изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) 2)

Решение:

1. Множитель перед скобками является положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем:

2. Множитель перед скобками является отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяем на противоположные:

1. Слово «сумма» происходит от латинского summа, что значит «итог», «общее количество».
2. Слово «плюс» происходит от латинского plus, что значит «больше», а слово «минус» — от латинского minus, что значит «меньше». Знаки и используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввёл чешский учёный И. Видман в 1489 г в книге «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев»(рис. 138).

Уравнения. Основные свойства уравнений

Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения. Вспомним основные формулировки.

Определение:

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти.

Неизвестное число в уравнении обозначают буквой или , или и т.п. Например, запись является

уравнением, где — неизвестное и является искомым.

Определение:

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Так, корнем уравнения является число , поскольку .

Уравнение может иметь больше одного корня. Например, уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число обращает уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, имеющими два, три или более корней, вы ознакомитесь позднее.

Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение не имеет корней, так как не существует числа, которое в произведении с числом даёт число .

Определение:

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня.

В 5 классе вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них.

Посмотрите на рисунок 139. Вы видите, что на левой чаше весов находится арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 5 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гире массой 3 кг, то весы останутся в равновесии (рис. 140). Понятно, что, сняв эти гири или поставив навесы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует следующее свойство равенств.

Определение: Если к обеим частям равенства прибавить (из обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится.

Пример:

Решите уравнение: 1) .

Решение:

К левой и правой частям уравнения прибавим число 12 и упростим полученное равенство:

Решая уравнение, в левой его части «уединили неизвестное». Такой же результат получим, если число 12 перенесём из левой части в правую, изменив при этом его знак.

Определение:

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак этого слагаемого на противоположный.

Пример:

Можно ли переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Да.

Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трёх таких пакетов втрое больше (рис. 142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств.

Определение: Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится. Данное свойство используют для решения уравнений. Рассмотрим пример.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения:

Основные свойства уравнений

Основные свойства уравнений

1. Корни уравнения не изменятся, если к обеим частям уравнения прибавить (из обеих частей уравнения вычесть) одно и то же число.
2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля.

Считают, что язык алгебры — это уравнения. «Чтобы решить вопросы. относящиеся к числам или к абстрактным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своём учебнике по алгебре, названном «Общая арифметика».

Применение уравнений к решению задач

В 5 классе с помощью уравнений вы решали задачи на нахождение суммы двух величин или их разности.

В 6 классе будем рассматривать особый вид задач — на равенство двух величин. В таких задачах тоже сравнивают две величины, например, количество книг на первой и второй полках. Значения же выражений с этими двумя величинами приравнивают.

Пример:

На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на обеих полках их станет поровну. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Составим краткую запись задачи в виде таблицы 23

Пусть — количество книг на второй полке, тогда — количество книг на первой полке. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на первой полке их станет , а на второй — . По условию, это количество книг одинаково. Составим уравнение: . Решим уравнение: . Тогда . Следовательно, на первой полке 36 книг, а на второй — 12 книг.

Первым произведением, содержащим исследование алгебраических вопросов, считают трактат «Арифметика» Диофанта (середина IV в.). Из 13 книг, составляющих полное собрание трудов Диофанта, до нас дошло только 6. В них предложено решение сложных алгебраических задач. Основная часть трактата — сборник задач (в первых шести книгах их 189) с решениями и удачно подобранными иллюстрациями к способам решения.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному размещаться на плоскости. В 6 классе вы узнаете о перпендикулярных и параллельных прямых.

Перпендикулярные прямые

Посмотрите па перекрёсток дорог на рисунке 143. Вы видите, что дороги напоминают пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике клеточки образуются перпендикулярными прямыми.

Определение:

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 144 изображены прямые и , которые пересекаются в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Записывают: , а на рисунке обозначают знаком прямого угла (см. рис. 145). Говорят: «Прямая перпендикулярна прямой ».

Если прямая перпендикулярна прямой , то и прямая перпендикулярна прямой . Иначе говорят: прямые и — взаимно перпендикулярны.

Пример:

Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Да, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145—146).

Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую , перпендикулярную прямой , с помощью транспортира, а на рисунке рис. 148 — с помощью угольника.

Параллельные прямые

Посмотрите на рисунок 149. Вы видите рельсы трамвайных путей, напоминающие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это пример параллельных прямых. Вокруг нас много других примеров параллельных прямых. Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и про вертикальные линии. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны.

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 150 изображены параллельные прямые и .

Записывают: . Говорят: «Прямая параллельна прямой ».

Если прямая параллельна прямой , то и прямая параллельна прямой . Однако для параллельных прямых термин «взаимно параллельные» не применяют.

Пример:

Бывают ли параллельными лучи? отрезки? Да, если они являются частями соответствующих параллельных прямых.

На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и угольника через точку провели прямую , параллельную прямой .

Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendicufaris», которое означает «отвесный». Знак предложил Пьер Еригон (1580—1643) — французский математик и астроном.

Название «параллельный» происходит от греческого слова «раralelos» — «идущий рядом». Символ параллельности известен с античных времён Его использовали Герои и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, чтобы избежать путаницы, символ был повёрнут вертикально Уильямом Отредом в 1677 году

Координатная плоскость

Вы уже знаете, что такое координатная прямая (рис. 162). На ней точка — начало отсчёта, стрелка показывает направление возрастания чисел, а цена деления составляет одну единицу.

Однако на практике часто приходится пользоваться ориентирами не только вдоль прямой, но и на плоскости.

Вы знаете, что в игре «Морской бой» положение корабля определяют с помощью «координат» из цифр и «координат» из букв (рис. 163). В зависимости от выбранной буквы передвигаются на определённое количество клеточек вправо или влево, а цифра указывает, на сколько клеточек нужно сместиться вверх или вниз. Итак, место корабля на поле боя определяют двумя « координатами».

Чтобы определить место в зале кинотеатра, также нужно знать две «координаты»: номер ряда и номер кресла в этом ряду (рис. 164). Причём порядок «координат» в такой паре является строго определённым. Действительно, например, пары чисел 3 и 12 и 12 и 3 направят нас в совершенно разные места зала: в 3-й ряд на 12-е место или в 12-й ряд на 3-е место. В отличие от предыдущего примера, для ориентирования в зале кинотеатра порядок координат не меняют, поскольку неудобно сначала искать номер места в ряду, а лишь затем — сам ряд.

Итак, чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости, нужно задать две координатные прямые с равными единичными отрезками, одна из которых задаёт направление вправо-влево, а вторая — вверх-вниз. Для этого координатные прямые изображают перпендикулярно друг к другу и так, чтобы начала отсчёта на них совпадали (рис. 165). Одну из этих прямых (как правило, горизонтальную) считают первой, а другую — второй. Такая пара координатных прямых образует прямоугольную систему координат.

Первую координатную прямую называют осью абсцисс. Её обозначают . Вторую координатную прямую называют осью ординат. Её обозначают . Общее начало отсчёта координатных прямых называют началом координат (рис. 166).

Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью.

Каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, взятых в определённом порядке, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Такая упорядоченная пара чисел называется координатами точки в данной системе координат. Координату по оси абсцисс называется абсциссой точки, а координату по оси ординат — ординатой точки.

Кратко записывают: . Читают: «Точка с координатами и », «Точка с координатами 3 и 2» или «3 — абсцисса точки , 2 — её ордината».

Пример:

На координатной плоскости постройте точку: 1) ; 2) .

Решение:

Введём прямоугольную систему координат на плоскости (рис. 167).

1. У точки абсцисса равна 3, а ордината — 2. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую числу 3, а на оси ординат — точку, соответствующую числу 2. Через точки, построенные на осях координат, проведём две прямые, параллельные осям (рис. 167). Точка пересечения построенных прямых— искомая точка .

2. Поскольку ордината точки равна 0, то эта точка лежит на оси абсцисс и соответствует числу 5 на этой оси.

Обратите внимание:

• точка лежит на оси абсцисс, если её ордината равна нулю, и наоборот;
• точка лежит на оси ординат, если её абсцисса равна нулю, и наоборот;
• начало координат — точка , имеет координаты .

Пример:

Как определить координаты точки, построенной на координатной плоскости, например, точки на рисунке 168? Для этого нужно через эту точку провести прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает ось абсцисс в точке, которая соответствует числу . Значит, первой координатой этой точки является число . Прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке, которая соответствует числу -4. Значит, другой координатой точки является число . Тогда точка имеет координаты и , то есть .

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями и обозначают так: I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (рис. 169).

Точки I четверти имеют положительную абсциссу и положительную ординату. И наоборот, если абсцисса и ордината точки положительные, то она лежит в I четверти, как, например, точка . Аналогично рассуждая, можно выяснить, что точки II четверти имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательную абсциссу и отрицательную ординату, а точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату.

На рисунке 170 показаны знаки координат точек, лежащих в соответствующих четвертях.

Положение любой точки на поверхности Земли определяется двумя координатами: географической широтой и географической долготой.

Географические координаты ввёл древнегреческий учёный Гиппарх во И в. до н.э. Географические координаты применяют для определения положения точек земной поверхности относительно экватора и начального (нулевого) меридиана. Например, Киев имеет следующие географические координаты: восточной долготы, северной широты.

Графики зависимостей между величинами

Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Например, если цена одного килограмма конфет составляет 35 грн, то за 2 кг нужно заплатить 70 грн, за 3 кг — 105 грн и т.п. Вы знаете, что такое соответствие можно наглядно отобразить на диаграмме (рис. 174). Однако по диаграмме трудно определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или иное их количество. Изобразим данные о стоимости конфет не в виде столбиков, а вертикальными отрезками в системе координат (рис. 175). Поскольку величины «масса конфет» и «стоимость покупки» являются прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Получим линию, показывающую, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такая линия называется графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «масса конфет».

Обратите внимание:

все точки графика зависимости прямо пропорциональных величин лежат на одной прямой.

Вы знаете, что расстояние и время на его преодоление являются прямо пропорциональными величинами. Поэтому все точки графика движения лежат на одной прямой.

Пример:

Поезд Харьков — Львов выходит из Харькова около и прибывает во Львов около . Скорость поезда составляет , на маршруте он делает 5 остановок, запланированных через каждые 3 часа. На рисунке 176 показан график движения этого поезда.

1) В котором часу новых суток поезд делает первую остановку? Какая это станция?

2) Что показывает число на оси абсцисс? А число ?

3) На каких расстояниях от первой остановки поезд останавливается на других станциях?

4) Что показывает число на оси ординат? А число ?

5) Каковы координаты конечных точек маршрута?

Решение:

По условию задачи, движение поезда начинается в , а заканчивается в следующего дня.

1. Начало новых суток поезд встречает недалеко от станции Лубны, а первую остановку делает в именно на этой станции.

2. Поскольку движение поезда началось в предыдущие сутки, то по оси абсцисс время его отправления из Харькова можно выразить отрицательным числом . Действительно, в предыдущих суток до начала новых суток должно пройти именно . Аналогично, времени остановки поезда в Полтаве на оси абсцисс соответствует отрицательное число.

3. Остановки запланированы через каждые . Поскольку скорость поезда составляет , то за он преодолевает . Следовательно, поезд останавливается на таких расстояниях от Полтавы: .

4. При помощи отрицательных чисел и на оси ординат показано, что в предыдущих суток поезд находился на расстоянии 300 км. не доезжая до станции Лубны, а в предыдущих суток — на расстоянии , не доезжая до этой станции.

5. Конечные результаты точки маршрута поезда имеют координаты .

Пример:

Обязательно ли выбирать конечные точки маршрута для построения графика движения? Нет. График можно построить по любым двум его точкам. Но концы маршрута нужно отметить обязательно.

Обратите внимание:

график движения является прямой (или её частью), поэтому такой график можно построить по любым двум его точкам.

С помощью графиков можно решать целый класс задач. Рассмотрим задачу.

Пример:

Из пунктов и , расстояние между которыми составляет 420 км. навстречу друг другу выехали два автомобиля. Красный автомобиль выехал в 6 ч из пункта и прибыл в пункт в 15 ч. Синий автомобиль выехал в 5 ч из пункта и прибыл в пункт в 11 ч. В котором часу встретятся автомобили?

Решение:

Построим в прямоугольной системе координат графики движения автомобилей (рис. 177). Красный отрезок — график движения красного автомобиля, синий — синего автомобиля. Точке пересечения этих отрезков соответствует время — 9 ч. Итак, автомобили встречаются в 9 ч.

• Линейное уравнение с одной переменной
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены
• Обыкновенные дроби
• Отношения и пропорции
• Рациональные числа и действия над ними
• Делимость натуральных чисел

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.