Упростить уравнение кривой и изобразить на рисунке

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Упрощение уравнений кривых 2-го порядка

Упрощение уравнений кривых 2-го порядка

• Упрощение уравнения кривой 2-го порядка Н°1.Уравнение y = axh — \ — bx — <- c. в этом разделе описывается применение преобразований координат для упрощения уравнения 2-й строки. Давайте начнем с примера. Предположим, вы хотите найти линию, которая соответствует уравнению. у = 12л:+ 9.(!） объедините члены,

содержащие x, и перепишите это уравнение. вы добавите выражение в скобках с полным квадратом, вы получите: у = 3(х *-4х + 4)+ 9-12 Или то же самое у + 3 = 3(ок-2)’. (2） Это исходное уравнение (1), но только если группа членов отличается. Предположим, что здесь система координат переведена и начало

координат перемещено в точку 0 (p, q).Тогда старые координаты всех точек плоскости (x, y) представляются новыми координатами(xlt бьется по формуле). х = ХВ + р, г = г \ + Людмила Фирмаль

Теорема. соответствует параболе, полученной из параболы у = АХ *(7） Используйте параллельную передачу. Y、\ ыы З 4 * -/ −2 __ N л Дж 0 и C> 0 ( * ).И понятно, что это Λ1> 0.In дело в том, что если M = 0, то выражение (17) не является кривой, а соответствует точке, как в Примере (13), а неравенство 0 приводит к тому, что нет ничего, что соответствует выражению (17), например (12).Поэтому остается только возможность M> 0. Перепишите выражение (17) в следующий

формат •) Понятно, что это Еф 0.В противном случае выражение(11) будет иметь вид Ax * — * — Dx — * + ^ = 0 и будет соответствовать паре строк[подобно выражению(16)]. Рычание (15)]вообще никакого ответа «9 мая внимательно следите за процессом умозаключения. Но учтите, что вы не хотите запоминать выражение ru q, At. Do не загружайте ненужные детали в память. •* * ) В противном случае измените знак

на обеих сторонах уравнения(17). Ич I_1 „LG +“ LG-1 Или,=(это、 Дроби положительные), в виде] ФЛ-П-21-1 * б％ Это эллиптическое уравнение. Необходимо учитывать, когда А и С — это количество различных знаков. В противном случае, поскольку он изменяет знак с обеих сторон выражения (17), мы можем предположить, что O, C 0, C 0.Переписывание формулы (18) из Формулы (17) если вы поставите — = ^ = — b, он достигнет уравнения. О1-б * ’ То есть к гиперболическому уравнению. Теорема доказана. Замечание. 1) метод доказательства теоремы, примененный к определенному уравнению, фактически делает это уравнение каноническим. 2)из доказательства

теоремы ясно, что кривая, соответствующая уравнению*). Ах * + ТИЦ * ’\ — ДХ + ЕУ + Ф = 0、 Что это? а) LS = O парабола、 B) LS] > 0 эллипс、 в) преувеличение препарата (19） Где L обозначает совокупность всех остальных терминов. Понятно, что L не включает в себя 2-й член по отношению к xx. In в частности, L не включает продукт. запишем все члены формулы (19), включая x% Vy, отдельно. [- 2A sin 0 cos 0 + V (cos9 0-sin 90)+2Csin 0 cos 0] и позже 2sin

0 cos 0 = sin 20, cos90-sin9 0 = cos20、 Указанная группа членов может быть записана следующим образом [В COS 20-(л-с) грех 20] Xyyv Наша цель-выбрать такой угол 0, чтобы в Формуле (19) не было членов, содержащих произведение XYY. I cos 20-(Л-С) sin 20 = 0 (Л-с) грех 20 = потому что я 26、 Или наконец-то (21） Поскольку любое вещественное число действует как касательная к углу, всегда будет

существовать угол 0, удовлетворяющий соотношению (21) (для A, B, C).Но это также означает, что с помощью правильного вращения системы координат уравнение(10) всегда можно преобразовать в уравнение, не содержащее произведения координат. Замечание. 1) Если Λ= C, то уравнение (21) теряет свою meaning. In в этом случае он должен быть изменен на равенство (20). cos 20 = 0、 То есть cos 20 =

0 (ведь мы будем считать Bf 0).Однако это 20 = 90°, то есть 6 = 45°. Итак, при A = C нужно повернуть систему координат на 45°). 2) применяя метод доказательства теоремы к конкретному уравнению, мы можем сделать это уравнение каноническим. Однако существуют и более удобные методы для этой цели. Мы не будем

их рассматривать. (20 )） Или то же самое 3) по отношению к уравнению (10) возникают следующие критерии: кривая**) соответствует уравнению Топорик% + Ву + Су *-+ ДХ + ЕС + Ф = 0、 Я а) парабола при 4AC= B * t B) 4i4c> 5 *овал、 В) гипербола на 4 Это утверждение ничего не доказывает. в N°4.Образцы. Гипербола из-за асимптот. 1) рассмотрим уравнение 8x *-16 * + память+ 12y-4 =

0 Перепишите в форму 8С 1-2лг) + ЗСУ, — н > 0 = 4 Или дополните выражение в скобках до полного квадрата、 8 (f-2 * + 1)+ ЗСУ* + 4 >> + 4）= 24。 Отсюда (

!) ’. (y + 2) ’ 3 1 8 Перемещая начало координат в точку Oi (l, −2), мы делаем параллельный перенос системы. На новой оси уравнение линии имеет вид: 3 + 4- Он представляет собой эллипсоид с полу-оси Y3 и г-8.Этот трюк (новый! Обратите внимание,

что он находится на оси ординаты). 2) анализируйте более сложные примеры 4gv + 24hu + Tsu1-24kh-82u + 15 =0.(22） Начните с нахождения угла 0. Исчезновение произведения координат. Согласно (21) = Дж 482v = 4 ^ P = _T-123） Потому Что L = 4, B = 24, C = 11、 в pa 2tg6 О I A 2tg0 24 Итак, tgO — это 2-е уравнение^ _ q = — y или 12 tg90-7 tg 6-12 = 0. 4, 3.

Это уравнение удовлетворяет tg0 = -J и ТГ б= -. Неинтересно брать 0 из этих углов, потому что любой из этих углов удовлетворяет соотношению (23), но это все, что вам нужно. Возьмите по мере необходимости Угол 0 — это угол tg =0-.As [известно cos0 =± Так и в нашем случае cos0=:+=!(24)） И затем грех 0 = tg0cos0=± -^. (25） Выбор символов равенства (24) и, следовательно, (25) также свободен здесь. Конечно.、 Четыре если вы выберете tgO= -^, вы уже заявили,

что это гарантирует реализацию соотношения(23).Выберите Войти (24) cos 9 = 4. грех 0 = 4 ″» Формула преобразования координат при повороте системы на этот угол 0 принимает следующий вид: ДжейТи = а£л-4yLi у = у * У1. (26） Назначьте эти выражения выражению (22) в виде 4 >-y -1 bdg,-bu,+ 3 = 0.(27 )） Естественно, новое уравнение не включает в себя произведение. Выполните дальнейшие преобразования, как в предыдущем примере. То есть, напишите(27)

в виде: 4（>-4 * 1 + 4）-（y!+ 6y1 + 9)= 4 Или 1 4 Затем сделайте параллельный перенос системы и переместите начало координат в точку Oj (2, −3).Если вновь приобретенные оси обозначаются 0 \ X% и 0 ^ ur, то для xx = x2—2, yx = yb-3, а для оси 0 \ X^ уравнение прямой принимает вид: −1 т т т т Итак, эта линия является гиперболой

полуосей 1 и 2.Асимптотическая линия оси oijc| V имеет уравнение y1 =±2x%.Центром симметрии гиперболы является точка Oj. [В системе ohuh его координаты Xi = 2, yi =-3.So, согласно (26) системы Ohu, координаты точки 0\: = 3.6 и j»=-0.2. Чтобы нарисовать гиперболу на чертеже, сначала 3 4 поверните систему на угол cos0 = y, sin 6= -^ -. Этот угол находится в диапазоне от 0 до 90°и может быть легко настроен из тригонометрии известным способом. Если вы получаете

систему Ox / y / таким образом、 Найдите в нем точку Ot (2, −3) и постройте систему 77 Показаны характерные прямоугольники и асимптоты гиперболы(22), а также сама эта гипербола. 3) Рассмотрим другой пример, важный в теории. Нам нужно посмотреть на кривую. Ху = А. (28） Поскольку в этом уравнении A = C (=0), по замечаниям 1), система должна быть повернута на 45°.Для

значения этого угла, равного 0, форма выражения преобразования координат имеет вид Если вы подставите эти выражения в (28)、 Си-ильный = 2а、 (29） (28） И это равносторонняя гипербола (в af 0).Его асимптоты делят пополам углы между осями симметрии. Но ось симметрии гиперболы (29) является новой! Это координатная ось, поэтому асимптота-это старая координатная ось. Таким образом,

теорема 4 доказана. Ху = А Здесь afO соответствует равносторонней гиперболе и имеет осевые асимптоты координатных осей. Это первая гипербола、 Если 3-й, 2-й и 4-й координатные углы равны 0(рис.78 и 79).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.